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专题01 三角函数的图象与综合应用（精讲精练）-备战2024年高考数学二轮复习讲练测（新备战2024年高考专用）
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这是一份专题01 三角函数的图象与综合应用（精讲精练）-备战2024年高考数学二轮复习讲练测（新备战2024年高考专用），文件包含专题01三角函数的图象与综合应用精讲精练原卷版docx、专题01三角函数的图象与综合应用精讲精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：齐次化模型
核心考点二：辅助角与最值问题
核心考点三：整体代换与二次函数模型
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
核心考点五：的取值与范围问题
核心考点六：三角函数的综合性质
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
2．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
6．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【方法技巧与总结】
1、三角函数图象的变换
（1）将的图象变换为的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换；
（3）伸缩变换
①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）；
②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合，，
，的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为奇函数，则有．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解.
【核心考点】
核心考点一：齐次化模型
【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
或者（二次隐型齐次化）
这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【典型例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．1
例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若，，则（ ）
A．B．C．D．
核心考点二：辅助角与最值问题
【规律方法】第一类：一次辅助角:=．（其中）
第二类：二次辅助角
【典型例题】
例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数，当时，取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x的方程有实数解，则最小值是______．
例10．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________.
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为____.
核心考点三：整体代换与二次函数模型
【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是，与之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是与之间的关系，第三类则是与之间的关系.
【典型例题】
例12．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________．
例13．（2022·全国·高考真题（文））函数的最大值为________.
例14．（2022·全国·高考真题（理））函数的最大值是_________.
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为___________.
例16．（2022·全国·高三专题练习）若是三角形的最小内角，则函数的最小值是
A．B．C．1D．
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
【规律方法】
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【典型例题】
例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的最小值为
C．D．在上有解
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知，给出下述四个结论:
①是偶函数; ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①④
例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．是的一个周期B．函数在单调递减
C．函数的值域为D．函数在内有6个零点
例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的最大值为
C．在上单调递减D．在上有4个零点
例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数的最大值为______.
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则
①在上的最小值是1；
②的最小正周期是；
③直线是图象的对称轴；
④直线与的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上递增；
③在上有4个零点；
④的最大值为2.
其中所有正确结论的编号__________.
例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数，下述四个结论正确结论的编号是__________.
①是偶函数； ②的最小正周期为；
③的最小值为0； ④在上有3个零点.
核心考点五：的取值与范围问题
【规律方法】1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
【典型例题】
例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，为的一个零点，为图象的一条对称轴，且在内不单调，则的最小值为______.
例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________.
例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_________．
例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数，若在内单调且有一个零点，则的最大值是______________．
例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数在上为增函数，则的最大值为________.
例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数的最小正周期为，的一个极值点为.若 ，则的最大值是_____.
例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数()的图象向左平移个单位长度,得到曲线.若关于轴对称,则的最小值是______．
例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为_______．
例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，若是图象的一个对称中心，在区间上有最大值点无最小值点，且，记满足条件的的取值集合为，则______.
例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数，其中．且，则的最小值为________．
例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.
例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数，若在区间内没有零点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
核心考点六：三角函数的综合性质
【典型例题】
例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数同时满足下列三个条件：
①该函数的最大值为；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；
③该函数图象关于对称.
那么下列说法正确的是（ ）
A．的值可唯一确定
B．函数是奇函数
C．当时，函数取得最小值
D．函数在区间上单调递增
例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．在上单调递增
C．若在上恰有4个零点，则
D．在上的最大值为
例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，．若是奇函数，，与图象的交点为，，…，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．的图象关于直线对称D．
例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．在区间单调递减
C．在区间上有且仅有2个零点
D．将的图象向右平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数，且对任意均有在上单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的最小正周期为
C．若的根为，2，，，则
D．若在上恒成立，则的最大值为
例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上有4个零点
D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合
例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为π
B．图像的一个对称中心为
C．的单调递增区间为
D．的图像与函数的图像重合
例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数为奇函数
C．函数在上的值域为
D．函数在区间上的零点个数为8
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，，则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数则（ ）
A．是奇函数B．函数的最小正周期为
C．曲线关于对称D．
3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数（，），其图象相邻两条对称轴的距离为，且对任意，都有，则在下列区间中，为单调递减函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为的函数，其值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江苏南通·高三期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（ ）
①在有且仅有3个极大值点
②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增
④的取值范围是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数的命题，正确的有（ ）个
（1）它的最小正周期是
（2）是它的一个对称中心
（3）是它的一条对称轴
（4）它在上的值域为
A．0B．1C．2D．3
8．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，给出下列命题①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3；其中正确的命题有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
二、多选题
9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数，曲线关于点中心对称，则（ ）
A．将该函数向左平移个单位得到一个奇函数
B．在上单调递增
C．在上只有一个极值点
D．曲线关于直线对称
10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是的对称轴
B．点是的对称中心
C．在区间上单调递减
D．的图象向右平移个单位得的图象
11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数，则（ ）
A．的最大值为2B．是的图象的一条对称轴
C．在上单调递减D．的图象关于对称
12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设（其中为正整数，），且的一条对称轴为；若当时，函数在单调递增且在不单调，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的一个对称中心为
C．函数向右平移个单位后图象关于轴对称
D．将的图象的横坐标变为原来的一半，得到的图象，则的单调递增区间为
三、填空题
13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）
A．该函数解析式为；
B．函数的一个对称中心为
C．函数的定义域为
D．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则的最小值为.
14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant，sec）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec，出自英文secant．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即．若函数，则下列结论正确的有__
①函数的图像关于直线对称；
②函数图像在处的切线与轴平行，且与轴的距离为；
③函数在区间上单调递增；
④为奇函数，且有最大值，无最小值．
15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若，则______．
16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，若关于x的方程在上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
四、解答题
17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数在区间内有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数，且_____．
从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．
19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间（0，π）上恰有2个零点，求的值．
20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，再将图象右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.
21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数的部分图像如下图所示.
(1)直接写出的解析式；
(2)若对任意，存在，满足，求实数的取值范围.
0
x
0
5
0
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：齐次化模型
核心考点二：辅助角与最值问题
核心考点三：整体代换与二次函数模型
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
核心考点五：的取值与范围问题
核心考点六：三角函数的综合性质
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
2．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
6．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【方法技巧与总结】
1、三角函数图象的变换
（1）将的图象变换为的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换；
（3）伸缩变换
①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）；
②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合，，
，的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为奇函数，则有．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解.
【核心考点】
核心考点一：齐次化模型
【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
或者（二次隐型齐次化）
这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【典型例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．1
例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若，，则（ ）
A．B．C．D．
核心考点二：辅助角与最值问题
【规律方法】第一类：一次辅助角:=．（其中）
第二类：二次辅助角
【典型例题】
例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数，当时，取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）函数，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x的方程有实数解，则最小值是______．
例10．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________.
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为____.
核心考点三：整体代换与二次函数模型
【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是，与之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是与之间的关系，第三类则是与之间的关系.
【典型例题】
例12．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________．
例13．（2022·全国·高考真题（文））函数的最大值为________.
例14．（2022·全国·高考真题（理））函数的最大值是_________.
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为___________.
例16．（2022·全国·高三专题练习）若是三角形的最小内角，则函数的最小值是
A．B．C．1D．
核心考点四：绝对值与三角函数综合模型
【规律方法】
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【典型例题】
例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的最小值为
C．D．在上有解
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知，给出下述四个结论:
①是偶函数; ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①④
例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．是的一个周期B．函数在单调递减
C．函数的值域为D．函数在内有6个零点
例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的最大值为
C．在上单调递减D．在上有4个零点
例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数的最大值为______.
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则
①在上的最小值是1；
②的最小正周期是；
③直线是图象的对称轴；
④直线与的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上递增；
③在上有4个零点；
④的最大值为2.
其中所有正确结论的编号__________.
例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数，下述四个结论正确结论的编号是__________.
①是偶函数； ②的最小正周期为；
③的最小值为0； ④在上有3个零点.
核心考点五：的取值与范围问题
【规律方法】1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
【典型例题】
例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，为的一个零点，为图象的一条对称轴，且在内不单调，则的最小值为______.
例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________.
例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_________．
例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数，若在内单调且有一个零点，则的最大值是______________．
例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数在上为增函数，则的最大值为________.
例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数的最小正周期为，的一个极值点为.若 ，则的最大值是_____.
例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数()的图象向左平移个单位长度,得到曲线.若关于轴对称,则的最小值是______．
例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为_______．
例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，若是图象的一个对称中心，在区间上有最大值点无最小值点，且，记满足条件的的取值集合为，则______.
例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数，其中．且，则的最小值为________．
例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.
例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数，若在区间内没有零点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
核心考点六：三角函数的综合性质
【典型例题】
例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数同时满足下列三个条件：
①该函数的最大值为；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；
③该函数图象关于对称.
那么下列说法正确的是（ ）
A．的值可唯一确定
B．函数是奇函数
C．当时，函数取得最小值
D．函数在区间上单调递增
例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．在上单调递增
C．若在上恰有4个零点，则
D．在上的最大值为
例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，．若是奇函数，，与图象的交点为，，…，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．的图象关于直线对称D．
例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．在区间单调递减
C．在区间上有且仅有2个零点
D．将的图象向右平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数，且对任意均有在上单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的最小正周期为
C．若的根为，2，，，则
D．若在上恒成立，则的最大值为
例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上有4个零点
D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合
例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为π
B．图像的一个对称中心为
C．的单调递增区间为
D．的图像与函数的图像重合
例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数为奇函数
C．函数在上的值域为
D．函数在区间上的零点个数为8
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，，则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数则（ ）
A．是奇函数B．函数的最小正周期为
C．曲线关于对称D．
3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数（，），其图象相邻两条对称轴的距离为，且对任意，都有，则在下列区间中，为单调递减函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为的函数，其值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江苏南通·高三期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（ ）
①在有且仅有3个极大值点
②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增
④的取值范围是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数的命题，正确的有（ ）个
（1）它的最小正周期是
（2）是它的一个对称中心
（3）是它的一条对称轴
（4）它在上的值域为
A．0B．1C．2D．3
8．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，给出下列命题①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3；其中正确的命题有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
二、多选题
9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数，曲线关于点中心对称，则（ ）
A．将该函数向左平移个单位得到一个奇函数
B．在上单调递增
C．在上只有一个极值点
D．曲线关于直线对称
10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是的对称轴
B．点是的对称中心
C．在区间上单调递减
D．的图象向右平移个单位得的图象
11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数，则（ ）
A．的最大值为2B．是的图象的一条对称轴
C．在上单调递减D．的图象关于对称
12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设（其中为正整数，），且的一条对称轴为；若当时，函数在单调递增且在不单调，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的一个对称中心为
C．函数向右平移个单位后图象关于轴对称
D．将的图象的横坐标变为原来的一半，得到的图象，则的单调递增区间为
三、填空题
13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）
A．该函数解析式为；
B．函数的一个对称中心为
C．函数的定义域为
D．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则的最小值为.
14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant，sec）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec，出自英文secant．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即．若函数，则下列结论正确的有__
①函数的图像关于直线对称；
②函数图像在处的切线与轴平行，且与轴的距离为；
③函数在区间上单调递增；
④为奇函数，且有最大值，无最小值．
15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若，则______．
16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，若关于x的方程在上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
四、解答题
17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数在区间内有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数，且_____．
从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．
19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间（0，π）上恰有2个零点，求的值．
20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，再将图象右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.
21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数的部分图像如下图所示.
(1)直接写出的解析式；
(2)若对任意，存在，满足，求实数的取值范围.
0
x
0
5
0
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