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专题09 排列组合备战2024年高考常见小题全归类（精讲精练）-备战2024年高考数学二轮复习讲练测（新备战2024年高考专用）
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这是一份专题09 排列组合备战2024年高考常见小题全归类（精讲精练）-备战2024年高考数学二轮复习讲练测（新备战2024年高考专用），文件包含专题09排列组合高考常见小题全归类精讲精练原卷版docx、专题09排列组合高考常见小题全归类精讲精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．
【核心考点目录】
核心考点一：两个计数原理的综合应用
核心考点二：直接法
核心考点三：间接法
核心考点四：捆绑法
核心考点五：插空法
核心考点六：定序问题（先选后排）
核心考点七：列举法
核心考点八：多面手问题
核心考点九：错位排列
核心考点十：涂色问题
核心考点十一：分组问题
核心考点十二：分配问题
核心考点十三：隔板法
核心考点十四：数字排列
核心考点十五：几何问题
核心考点十六：分解法模型与最短路径问题
核心考点十七：排队问题
核心考点十八：构造法模型和递推模型
核心考点十九：环排问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
2．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C．
3．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况．
所以共有种不同安排方法．
故选：C
4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种B．3种C．6种D．8种
【答案】C
【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆．
故不同的安排方法共有种．
故选：C
6．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤iA．5B．8C．10D．15
【答案】C
【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
7．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
【答案】．
【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
8．（2020·全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：．
【方法技巧与总结】
1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种．
2、错位排列公式
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．
7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：
（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形．
（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”．
（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．
【核心考点】
核心考点一：两个计数原理的综合应用
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：
“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；
“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）
A．108B．36C．9D．6
【答案】C
【解析】由题可知中间格只有一种放法；
十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；
四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；
所以不同放法共有种．
故选：C．
例2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（ ）
A．90B．216C．144D．240
【答案】B
【解析】完成这件事情，可以分两步完成，
第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有种方案；
第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有种不同方案，
所以根据分步乘法计数原理得共有种不同安排方案．
故选：B．
例3．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ）
A．720B．520C．600D．264
【答案】D
【解析】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：，
若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：；
因此不同的演出顺序的种数为．
故选：D．
核心考点二：直接法
【典型例题】
例4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）种
A．54B．72C．96D．120
【答案】A
【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：A．
例5．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”．试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（ ）
A．720种B．600种C．480种D．384种
【答案】D
【解析】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，
再排，也有4种情况，余下4人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况．
故选：D．
例6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ）
A．24种B．6种C．4种D．12种
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：B．
核心考点三：间接法
【典型例题】
例7．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种
【答案】D
【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法．
故选：D
例8．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）
A．21种B．231种C．238种D．252种
【答案】B
【解析】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种，
则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种．
故选：B
例9．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种B．240种C．1092种．D．120种
【答案】A
【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，
于是得，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种．
故选：A
核心考点四：捆绑法
【典型例题】
例10．（2022·四川自贡·统考一模）在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种
A．36B．48C．60D．72
【答案】A
【解析】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为．
故选：A．
例11．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，
共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，
排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，
从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法，
故总共有种排法，
故选：C．
例12．（2022春·四川内江·高三威远中学校校考期中）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有种，
物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，
与语文、英语、生物三门课程进行排序，有种排法．
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的排法．
故选：D．
核心考点五：插空法
【典型例题】
例13．（2022·全国·高三专题练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】先排4个商业广告，则，即存在5个空，再排2个公益广告，则，故总排法：，
故选：A．
例14．（2022·全国·高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
【答案】C
【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，再将商、角插入4个空中，共有种．
故选：C．
例15．（2022·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）
A．72B．48C．36D．24
【答案】C
【解析】首先将A与C捆绑到一起，与除B、D以外的其他2位同学共3个元素进行排列，有种排法，再将B、D插空到除最右边的3个位置中，有 种排法，因此共有种排法，
故选：C
核心考点六：定序问题（先选后排）
【典型例题】
例16．满足，且的有序数组共有（ ）个．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为．
故选：A．
例17．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ）
A．120种B．80种C．20种D．48种
【答案】C
【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为．
故选：C．
例18．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520B．5040C．7560D．10080
【答案】A
【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，
所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故一共有种，
故选：A
核心考点七：列举法
【典型例题】
例19．（2022春·河南南阳·高三统考期末）2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻．某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施．如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（ ）
A．15种B．16种C．17种D．18种
【答案】B
【解析】因为在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，所以不同的关闭方案如下：
，
，
共16种方案，
故选：B
例20．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）
A．6种B．8种C．10种D．16种
【答案】C
【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知：
经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种，
故选：C．
例21．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有
A．18个B．16个
C．14个D．12个
【答案】C
【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：
，01010011；010101011，共14个
核心考点八：多面手问题
【典型例题】
例22．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解．
详根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理．
第一类个只会左边的都不选，有种；
第二类个只会左边的有人入选，有种；
第三类个只会左边的全入选，有种，所以共有种不同的选法，故选A．
例23．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225B．185C．145D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有种．
综上分析，共可开出种．
故选：B．
例24．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种B．30种C．37种D．42种
【答案】C
【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法．
故选：C．
核心考点九：错位排列
【典型例题】
例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种B．20种C．30种D．60种
【答案】B
【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，
另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，
所以不同的坐法有种．
故选：B
例26．将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，分以下两步进行：
（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；
（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，
对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子．
则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，
对于编号为、的小球，只有种放法．
综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种．
故选：B．
例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）
A．20B．90C．15D．45
【答案】D
【解析】根据题意，分2步分析：
①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法，
②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，
所以不同的拿卡片的方法有种．
故选：．
核心考点十：涂色问题
【典型例题】
例28．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种
A．36 B．48 C．54 D．72
【答案】D
【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，
第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，
其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有种方案，即48种方案；
区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有种方案，即24种方案；
所以符合条件的涂色方案共有72种，
故选：D．
例29．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ）
A．480B．720C．1080D．1200
【答案】D
【解析】先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法，
①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，
最后E有2种涂色方法；
②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，
若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；
若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法．
综上，涂色方法总数为
故选：D
例30．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．72种B．36种C．12种D．60种
【答案】A
【解析】如下表
故选：A．
核心考点十一：分组问题
【典型例题】
例31．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ）
A．91B．101C．111D．121
【答案】B
【解析】（1）若编号为，则有种，
（2）若编号为，则有种，
（3）若编号为，则有种，
（4）若编号为，则有种，
（5）若编号为，则有1种，
所以不同的指派方法种数为种．
故选：B．
例32．已知有6本不同的书．
（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】
（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为．
（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为
核心考点十二：分配问题
【典型例题】
例33．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加项目，乙不能参加、项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案．
【答案】10
【解析】由题意可得乙一定参加项目，
若项目只有一个人时，即为乙，
则先将甲、丙、丁分为两组，有种，
再将两组分配到两个项目，有种，
则有种不同的志愿者选拔方案，
若项目有2人时，又甲不能参加项目，
则只能从丙、丁中选1人和乙组队到项目，有种，
再将剩下的2人分配到两个项目，有种，
则有种不同的志愿者选拔方案，
综上，共有种不同的志愿者选拔方案．
故答案为：10．
例34．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法
【答案】
【解析】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有种选法，
第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有种选法，
第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有种选法，
所以共有种选法．
故答案为： ．
例35．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．
【答案】150
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有种分组方法，
若两组1人，一组3人，有种分组方法，
则有15＋10＝25种分组方法，
②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有种情况，
则有25×6＝150种安排方法，
故答案为：150．
核心考点十三：隔板法
【典型例题】
例36．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程的正整数解有________组．
【答案】126
【解析】的正整数解的组数为，
故答案为：．
例37．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种B．420种C．120种D．15种
【答案】D
【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，
再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，
故选： D
例38．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）
A．12项B．24项C．39项D．78项
【答案】D
【解析】展开之后必有形如的式子出现，其中，且．
构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法种；
每组去掉一个小球的数目分别为的展开式中各字母的次数；
小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故的展开式中，合并同类项之后的项数为项．
故选：D
核心考点十四：数字排列
【典型例题】
例39．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中
（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个
【答案】20
【解析】由题意可得，用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，
数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两类：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，
这样组成的无重复数字的三位数个数为：．
故答案为：20
例40．（2022·全国·高三专题练习）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数．
【答案】198
【解析】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一．
当个位为0时，从2，4，6中再取1个数字（3种方法），从1，3，5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；
当十位或百位为0时（2种不同方法），从2，4，6中再取1个数字放置在个位（3种方法），然后从1，3，5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；
当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位（有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字（2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法），将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列（有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．
根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，
故答案为：198．
例41．（2022·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校考二模）用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．
【答案】
【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个．故答案为：．
核心考点十五：几何问题
【典型例题】
例42．（2022秋·山东聊城·高二校考期中）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（ ）
A．24对B．16对C．18对D．48对
【答案】C
【解析】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，
则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可．
相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对，共6对，
正方体有三组相对面，故3×6=18，
故选C
例43．（2022·全国·高考真题）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95B．91C．88D．75
【答案】B
【解析】由题设，直线分别交x、y轴于、，
以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线上的整数点有、、、、、，共6个，
所以，矩形对角线两侧的三角形中整点的个数为个，
综上，△中整点的个数为个．
故选：B
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，．各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图．已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个．
A．10B．12
C．16D．20
【答案】B
【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，
所以五边形面数为个，
故选B．
核心考点十六：分解法模型与最短路径问题
【典型例题】
例45．（2022秋·内蒙古·高二校考期中）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【解析】由题意知：从从到的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有种，又因为经过段的走法有种，
故不经过段的最短路程有种．
故选：B．
例46．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在某城市中，，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，且不经过地，则不同的路径共有________条．
【答案】66
【解析】由图可知，从地出发去往地的最短路径需要9步，其中4步向上，5步向右，则不同的路径共有条．
若途径地，则不同的路径共有条．故从地出发去往地，且不经过地的不同路径共有条．
故答案为：66．
例47．5400的正约数有（ ）个
A．48B．46C．36D．38
【答案】A
【解析】，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，
所以正约数个数为．
故选：A．
核心考点十七：排队问题
【典型例题】
例48．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有______种．
【答案】24
【解析】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案；
②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
所以，甲、乙、丙三人不同的排队方案共有24种．
故答案为：24
例49．（2022秋·安徽·高三芜湖一中校联考阶段练习）某医院对9个人进行核酸检测，为了防止排队密集，将9人分成两组，第一组5人，排队等候，由于甲、乙两人不熟悉流程，故无论在哪一组，排队都不在第一位，则第一组的不同排法种数为_________．（用数字作答）
【答案】11760
【解析】第一组的第一位排法种数为7，后4位的排法种数，故所有排法种数为．
故答案为：11760．
例50．（2022·上海·统考模拟预测）有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李､小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有___________种．
【答案】192
【解析】当小李和小张在小王的左侧时共有（种）排列方法，
同理，当小李和小张在小王的右侧时也有96种排列方法，
∴共有192种排列方法．
故答案为：192
核心考点十八：构造法模型和递推模型
【典型例题】
例51．贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①次传球之后，共有___________种可能的传球方法；②次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有___________种．
【答案】
【解析】每次传球有两种方法，所以次传球之后，共有种可能的传球方法；
设次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法为种．
则2，即
因为
例52．一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________．
【答案】
【解析】解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到．爬行方法总数为（种）．
解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，，，
，
，．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值）
故答案为：．
核心考点十九：环排问题
【典型例题】
例53．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为
A．19B．38C．51D．57
【答案】D
【解析】根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列，剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D．
例54．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．
A．6种B．8种C．12种D．16种
【答案】B
【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．
故选：B．
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12B．24C．48D．84
【答案】D
【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；
当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为种，
故选：．
2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）某医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、电图、血压测量等五个检查项目．为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起接着检查．则不同顺序的检查方案一共有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
【答案】B
【解析】由题意不同顺序的检查方案一共有种．
故选：B．
3．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（ ）
A．18种B．36种C．60种D．108种
【答案】D
【解析】首先选出2名男生和1名女生，共有种情况，
再把选出来的人进行全排列，共有种情况．
所以不同的分配方案有种．
故选：D
4．（2022春·河南许昌·高三阶段练习）中国空间站（China Space Statin）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．9种B．24种C．26种D．30种
【答案】B
【解析】依题意，先从5名航天员中安排1人到“梦天实验舱”，则有种安排方案，
再将剩下的4人分成两组，每组2人，则有种安排方案，
接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱”，有种安排方案，
所以这5名航天员的安排方案共有种，
其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有种，同在“问天实验舱”内的安排方案有种，
即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有种，
所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有种．
故选：B．
5．（2022·四川南充·统考一模）在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（ ）
A．60种B．120种C．132种D．168种
【答案】A
【解析】若从红方选出一架飞机，则有种选法．
若从蓝方选出一架飞机，则有种选法．
则共有种选法．
故选：A
6．（2022春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）某群主发了元的红包，分成四份，四人领取，均为正整数元，已知其中“运气王”（“运气王”是指领到红包金额最多的人）领到元，则这四个人不同领取红包的方法总数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意元，分成份有、、、、，
∴四个人领取的方案：；
四个人领取的方案：；
四个人领取的方案：；
四个人领取的方案：；
四个人领取的方案：；
∴一共有种领取方案．
故选：A
7．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（ ）
A．144B．96C．72D．60
【答案】D
【解析】将6串香蕉编号为1，2，3，4，5，6．
把“2，3，4，5，6”取完，方法为23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10种，再把1插入其中，每个有6种插法．共有60种方法，
故选：D．
8．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．180种D．360种
【答案】D
【解析】若分配3个小区的志愿者人数均不相同，则1个小区1人，1个小区2人，1个小区3人，则不同的分配方案共有种．
故选：D．
二、多选题
9．（2022春·吉林·高三东北师大附中校考开学考试）某学生在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为
【答案】ABC
【解析】对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，可判断A正确；
对于B．若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，
若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法
由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B正确；
对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，
①只选物理有且物理和历史不同时选，有种选法；
②选化学，不选物理，有种选法；
③物理与化学都选，有种选法，
故总数为种，故D错误．
故选：ABC．
10．（2022春·江苏镇江·高三校考开学考试）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
【答案】AB
【解析】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．
故选：AB．
11．（2022·全国·高三专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（ ）
A．甲乙都不选的方案共有432种
B．选甲不选乙的方案共有216种
C．甲乙都选的方案共有96种
D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种
【答案】ABC
【解析】男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班
甲乙都不选的方案共有种，A正确
选甲不选乙的方案共有种，B正确
甲乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一
乙排星期一的方案共有种
乙不排星期一的方案共有种
∴甲乙都选的方案共有96种，C正确
这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选
选乙不选甲的方案共有种
∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+432+96=1176种，D错误
故选：ABC．
12．（2022·全国·高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
【答案】ABC
【解析】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：
若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，
若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，
所以，共有种排法，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
13．（2022·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶．如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形．若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种．
【答案】
【解析】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色．
又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色．
①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况；
②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况．
又板块颜色可排列，故共种．
故答案为：
14．（2022·上海金山·统考一模）从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）．
【答案】
【解析】从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，
由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为．
故答案为：．
15．（2022春·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为____________．
【答案】60
【解析】当A基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；
当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；
则甲同学被安排到A基地的排法总数为种．
故答案为：60．
16．（2022·上海宝山·统考一模）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种．（结果用数值表示）
【答案】96
【解析】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种．
故答案为：96
顶点
V
A
B
C
D
种数
4
3
2
C与A同色1
2
C与A不同色1
1
总计
排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．
【核心考点目录】
核心考点一：两个计数原理的综合应用
核心考点二：直接法
核心考点三：间接法
核心考点四：捆绑法
核心考点五：插空法
核心考点六：定序问题（先选后排）
核心考点七：列举法
核心考点八：多面手问题
核心考点九：错位排列
核心考点十：涂色问题
核心考点十一：分组问题
核心考点十二：分配问题
核心考点十三：隔板法
核心考点十四：数字排列
核心考点十五：几何问题
核心考点十六：分解法模型与最短路径问题
核心考点十七：排队问题
核心考点十八：构造法模型和递推模型
核心考点十九：环排问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
2．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C．
3．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况．
所以共有种不同安排方法．
故选：C
4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种B．3种C．6种D．8种
【答案】C
【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆．
故不同的安排方法共有种．
故选：C
6．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i
【答案】C
【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
7．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
【答案】．
【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
8．（2020·全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：．
【方法技巧与总结】
1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种．
2、错位排列公式
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．
7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：
（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形．
（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”．
（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．
【核心考点】
核心考点一：两个计数原理的综合应用
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：
“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；
“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）
A．108B．36C．9D．6
【答案】C
【解析】由题可知中间格只有一种放法；
十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；
四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；
所以不同放法共有种．
故选：C．
例2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（ ）
A．90B．216C．144D．240
【答案】B
【解析】完成这件事情，可以分两步完成，
第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有种方案；
第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有种不同方案，
所以根据分步乘法计数原理得共有种不同安排方案．
故选：B．
例3．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ）
A．720B．520C．600D．264
【答案】D
【解析】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：，
若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：；
因此不同的演出顺序的种数为．
故选：D．
核心考点二：直接法
【典型例题】
例4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）种
A．54B．72C．96D．120
【答案】A
【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：A．
例5．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”．试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（ ）
A．720种B．600种C．480种D．384种
【答案】D
【解析】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，
再排，也有4种情况，余下4人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况．
故选：D．
例6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ）
A．24种B．6种C．4种D．12种
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：B．
核心考点三：间接法
【典型例题】
例7．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种
【答案】D
【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法．
故选：D
例8．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）
A．21种B．231种C．238种D．252种
【答案】B
【解析】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种，
则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种．
故选：B
例9．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种B．240种C．1092种．D．120种
【答案】A
【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，
于是得，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种．
故选：A
核心考点四：捆绑法
【典型例题】
例10．（2022·四川自贡·统考一模）在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种
A．36B．48C．60D．72
【答案】A
【解析】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为．
故选：A．
例11．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，
共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，
排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，
从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法，
故总共有种排法，
故选：C．
例12．（2022春·四川内江·高三威远中学校校考期中）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有种，
物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，
与语文、英语、生物三门课程进行排序，有种排法．
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的排法．
故选：D．
核心考点五：插空法
【典型例题】
例13．（2022·全国·高三专题练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】先排4个商业广告，则，即存在5个空，再排2个公益广告，则，故总排法：，
故选：A．
例14．（2022·全国·高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
【答案】C
【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，再将商、角插入4个空中，共有种．
故选：C．
例15．（2022·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）
A．72B．48C．36D．24
【答案】C
【解析】首先将A与C捆绑到一起，与除B、D以外的其他2位同学共3个元素进行排列，有种排法，再将B、D插空到除最右边的3个位置中，有 种排法，因此共有种排法，
故选：C
核心考点六：定序问题（先选后排）
【典型例题】
例16．满足，且的有序数组共有（ ）个．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为．
故选：A．
例17．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ）
A．120种B．80种C．20种D．48种
【答案】C
【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为．
故选：C．
例18．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520B．5040C．7560D．10080
【答案】A
【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，
所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故一共有种，
故选：A
核心考点七：列举法
【典型例题】
例19．（2022春·河南南阳·高三统考期末）2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻．某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施．如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（ ）
A．15种B．16种C．17种D．18种
【答案】B
【解析】因为在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，所以不同的关闭方案如下：
，
，
共16种方案，
故选：B
例20．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）
A．6种B．8种C．10种D．16种
【答案】C
【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知：
经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种，
故选：C．
例21．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有
A．18个B．16个
C．14个D．12个
【答案】C
【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：
，01010011；010101011，共14个
核心考点八：多面手问题
【典型例题】
例22．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解．
详根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理．
第一类个只会左边的都不选，有种；
第二类个只会左边的有人入选，有种；
第三类个只会左边的全入选，有种，所以共有种不同的选法，故选A．
例23．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225B．185C．145D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有种．
综上分析，共可开出种．
故选：B．
例24．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种B．30种C．37种D．42种
【答案】C
【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法．
故选：C．
核心考点九：错位排列
【典型例题】
例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种B．20种C．30种D．60种
【答案】B
【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，
另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，
所以不同的坐法有种．
故选：B
例26．将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，分以下两步进行：
（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；
（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，
对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子．
则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，
对于编号为、的小球，只有种放法．
综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种．
故选：B．
例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）
A．20B．90C．15D．45
【答案】D
【解析】根据题意，分2步分析：
①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法，
②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，
所以不同的拿卡片的方法有种．
故选：．
核心考点十：涂色问题
【典型例题】
例28．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种
A．36 B．48 C．54 D．72
【答案】D
【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，
第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，
其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有种方案，即48种方案；
区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有种方案，即24种方案；
所以符合条件的涂色方案共有72种，
故选：D．
例29．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ）
A．480B．720C．1080D．1200
【答案】D
【解析】先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法，
①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，
最后E有2种涂色方法；
②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，
若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；
若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法．
综上，涂色方法总数为
故选：D
例30．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．72种B．36种C．12种D．60种
【答案】A
【解析】如下表
故选：A．
核心考点十一：分组问题
【典型例题】
例31．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ）
A．91B．101C．111D．121
【答案】B
【解析】（1）若编号为，则有种，
（2）若编号为，则有种，
（3）若编号为，则有种，
（4）若编号为，则有种，
（5）若编号为，则有1种，
所以不同的指派方法种数为种．
故选：B．
例32．已知有6本不同的书．
（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】
（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为．
（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为
核心考点十二：分配问题
【典型例题】
例33．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加项目，乙不能参加、项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案．
【答案】10
【解析】由题意可得乙一定参加项目，
若项目只有一个人时，即为乙，
则先将甲、丙、丁分为两组，有种，
再将两组分配到两个项目，有种，
则有种不同的志愿者选拔方案，
若项目有2人时，又甲不能参加项目，
则只能从丙、丁中选1人和乙组队到项目，有种，
再将剩下的2人分配到两个项目，有种，
则有种不同的志愿者选拔方案，
综上，共有种不同的志愿者选拔方案．
故答案为：10．
例34．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法
【答案】
【解析】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有种选法，
第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有种选法，
第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有种选法，
所以共有种选法．
故答案为： ．
例35．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．
【答案】150
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有种分组方法，
若两组1人，一组3人，有种分组方法，
则有15＋10＝25种分组方法，
②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有种情况，
则有25×6＝150种安排方法，
故答案为：150．
核心考点十三：隔板法
【典型例题】
例36．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程的正整数解有________组．
【答案】126
【解析】的正整数解的组数为，
故答案为：．
例37．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种B．420种C．120种D．15种
【答案】D
【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，
再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，
故选： D
例38．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）
A．12项B．24项C．39项D．78项
【答案】D
【解析】展开之后必有形如的式子出现，其中，且．
构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法种；
每组去掉一个小球的数目分别为的展开式中各字母的次数；
小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故的展开式中，合并同类项之后的项数为项．
故选：D
核心考点十四：数字排列
【典型例题】
例39．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中
（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个
【答案】20
【解析】由题意可得，用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，
数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两类：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，
这样组成的无重复数字的三位数个数为：．
故答案为：20
例40．（2022·全国·高三专题练习）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数．
【答案】198
【解析】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一．
当个位为0时，从2，4，6中再取1个数字（3种方法），从1，3，5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；
当十位或百位为0时（2种不同方法），从2，4，6中再取1个数字放置在个位（3种方法），然后从1，3，5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；
当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位（有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字（2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法），将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列（有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．
根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，
故答案为：198．
例41．（2022·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校考二模）用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．
【答案】
【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个．故答案为：．
核心考点十五：几何问题
【典型例题】
例42．（2022秋·山东聊城·高二校考期中）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（ ）
A．24对B．16对C．18对D．48对
【答案】C
【解析】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，
则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可．
相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对，共6对，
正方体有三组相对面，故3×6=18，
故选C
例43．（2022·全国·高考真题）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95B．91C．88D．75
【答案】B
【解析】由题设，直线分别交x、y轴于、，
以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线上的整数点有、、、、、，共6个，
所以，矩形对角线两侧的三角形中整点的个数为个，
综上，△中整点的个数为个．
故选：B
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，．各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图．已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个．
A．10B．12
C．16D．20
【答案】B
【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，
所以五边形面数为个，
故选B．
核心考点十六：分解法模型与最短路径问题
【典型例题】
例45．（2022秋·内蒙古·高二校考期中）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【解析】由题意知：从从到的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有种，又因为经过段的走法有种，
故不经过段的最短路程有种．
故选：B．
例46．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在某城市中，，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，且不经过地，则不同的路径共有________条．
【答案】66
【解析】由图可知，从地出发去往地的最短路径需要9步，其中4步向上，5步向右，则不同的路径共有条．
若途径地，则不同的路径共有条．故从地出发去往地，且不经过地的不同路径共有条．
故答案为：66．
例47．5400的正约数有（ ）个
A．48B．46C．36D．38
【答案】A
【解析】，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，
所以正约数个数为．
故选：A．
核心考点十七：排队问题
【典型例题】
例48．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有______种．
【答案】24
【解析】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案；
②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
所以，甲、乙、丙三人不同的排队方案共有24种．
故答案为：24
例49．（2022秋·安徽·高三芜湖一中校联考阶段练习）某医院对9个人进行核酸检测，为了防止排队密集，将9人分成两组，第一组5人，排队等候，由于甲、乙两人不熟悉流程，故无论在哪一组，排队都不在第一位，则第一组的不同排法种数为_________．（用数字作答）
【答案】11760
【解析】第一组的第一位排法种数为7，后4位的排法种数，故所有排法种数为．
故答案为：11760．
例50．（2022·上海·统考模拟预测）有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李､小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有___________种．
【答案】192
【解析】当小李和小张在小王的左侧时共有（种）排列方法，
同理，当小李和小张在小王的右侧时也有96种排列方法，
∴共有192种排列方法．
故答案为：192
核心考点十八：构造法模型和递推模型
【典型例题】
例51．贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①次传球之后，共有___________种可能的传球方法；②次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有___________种．
【答案】
【解析】每次传球有两种方法，所以次传球之后，共有种可能的传球方法；
设次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法为种．
则2，即
因为
例52．一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________．
【答案】
【解析】解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到．爬行方法总数为（种）．
解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，，，
，
，．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值）
故答案为：．
核心考点十九：环排问题
【典型例题】
例53．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为
A．19B．38C．51D．57
【答案】D
【解析】根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列，剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D．
例54．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．
A．6种B．8种C．12种D．16种
【答案】B
【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．
故选：B．
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12B．24C．48D．84
【答案】D
【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；
当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为种，
故选：．
2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）某医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、电图、血压测量等五个检查项目．为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起接着检查．则不同顺序的检查方案一共有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
【答案】B
【解析】由题意不同顺序的检查方案一共有种．
故选：B．
3．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（ ）
A．18种B．36种C．60种D．108种
【答案】D
【解析】首先选出2名男生和1名女生，共有种情况，
再把选出来的人进行全排列，共有种情况．
所以不同的分配方案有种．
故选：D
4．（2022春·河南许昌·高三阶段练习）中国空间站（China Space Statin）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．9种B．24种C．26种D．30种
【答案】B
【解析】依题意，先从5名航天员中安排1人到“梦天实验舱”，则有种安排方案，
再将剩下的4人分成两组，每组2人，则有种安排方案，
接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱”，有种安排方案，
所以这5名航天员的安排方案共有种，
其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有种，同在“问天实验舱”内的安排方案有种，
即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有种，
所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有种．
故选：B．
5．（2022·四川南充·统考一模）在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（ ）
A．60种B．120种C．132种D．168种
【答案】A
【解析】若从红方选出一架飞机，则有种选法．
若从蓝方选出一架飞机，则有种选法．
则共有种选法．
故选：A
6．（2022春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）某群主发了元的红包，分成四份，四人领取，均为正整数元，已知其中“运气王”（“运气王”是指领到红包金额最多的人）领到元，则这四个人不同领取红包的方法总数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意元，分成份有、、、、，
∴四个人领取的方案：；
四个人领取的方案：；
四个人领取的方案：；
四个人领取的方案：；
四个人领取的方案：；
∴一共有种领取方案．
故选：A
7．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（ ）
A．144B．96C．72D．60
【答案】D
【解析】将6串香蕉编号为1，2，3，4，5，6．
把“2，3，4，5，6”取完，方法为23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10种，再把1插入其中，每个有6种插法．共有60种方法，
故选：D．
8．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．180种D．360种
【答案】D
【解析】若分配3个小区的志愿者人数均不相同，则1个小区1人，1个小区2人，1个小区3人，则不同的分配方案共有种．
故选：D．
二、多选题
9．（2022春·吉林·高三东北师大附中校考开学考试）某学生在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为
【答案】ABC
【解析】对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，可判断A正确；
对于B．若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，
若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法
由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B正确；
对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，
①只选物理有且物理和历史不同时选，有种选法；
②选化学，不选物理，有种选法；
③物理与化学都选，有种选法，
故总数为种，故D错误．
故选：ABC．
10．（2022春·江苏镇江·高三校考开学考试）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
【答案】AB
【解析】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．
故选：AB．
11．（2022·全国·高三专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（ ）
A．甲乙都不选的方案共有432种
B．选甲不选乙的方案共有216种
C．甲乙都选的方案共有96种
D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种
【答案】ABC
【解析】男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班
甲乙都不选的方案共有种，A正确
选甲不选乙的方案共有种，B正确
甲乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一
乙排星期一的方案共有种
乙不排星期一的方案共有种
∴甲乙都选的方案共有96种，C正确
这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选
选乙不选甲的方案共有种
∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+432+96=1176种，D错误
故选：ABC．
12．（2022·全国·高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
【答案】ABC
【解析】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：
若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，
若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，
所以，共有种排法，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
13．（2022·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶．如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形．若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种．
【答案】
【解析】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色．
又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色．
①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况；
②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况．
又板块颜色可排列，故共种．
故答案为：
14．（2022·上海金山·统考一模）从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）．
【答案】
【解析】从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，
由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为．
故答案为：．
15．（2022春·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为____________．
【答案】60
【解析】当A基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；
当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；
则甲同学被安排到A基地的排法总数为种．
故答案为：60．
16．（2022·上海宝山·统考一模）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种．（结果用数值表示）
【答案】96
【解析】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种．
故答案为：96
顶点
V
A
B
C
D
种数
4
3
2
C与A同色1
2
C与A不同色1
1
总计
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