中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：锐角三角函数（含答案）

这是一份中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：锐角三角函数（含答案），共17页。

A．188m B．269m C．286m D．312m
2．（烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）

A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
3．（甘肃模拟）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，则tanB的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（南岗区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝，tanC＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（泗水县二模）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑2m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB′＝2m，则csβ＝（ ）

A． B． C． D．
6．（德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）．

A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
7．（日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）

A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
8．（潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）

A．15° B．30° C．45° D．60°
9．（温州校级模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（ ）m．

A．+2sinα B．2csα+sinα
C．csα+2sinα D．tanα+2sinα
10．（淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）

A． B． C． D．
中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：锐角三角函数（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）

A．188m B．269m C．286m D．312m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】首先分析图形：根据题意得两个直角三角形△AON、△BOM，通过解这两个直角三角形求得OB、ON的长度，进而可解即可求出答案．
【解答】解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，
在Rt△AON中，
tanN＝＝tan43°，
∴NO＝≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM＝＝tan35°，
∴MO＝≈135.7m，
∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286m．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
2．（烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）

A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
【考点】计算器—数的开方；计算器—三角函数．
【专题】实数；运算能力．
【分析】分别计算出m，n，k的值即可得出答案．
【解答】解：m＝23﹣＝8﹣4＝4；
n＝﹣22＝4﹣4＝0；
k＝﹣cs60°＝﹣＝4；
∴m＝k，
故选：C．
【点评】本题考查了计算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．
3．（甘肃模拟）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，则tanB的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．
【解答】解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，
∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴tanB＝＝＝2．
故选：A．

【点评】本题主要考查了解直角三角形，根据题意，运用勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形是解题的关键．
4．（南岗区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝，tanC＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】由tanC＝＝2，可设BC＝x，则AB＝2x，根据勾股定理列出方程x2+（2x）2＝（）2，求出x即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴tanC＝＝2，
∴可设BC＝x，则AB＝2x，
∵BC2+AB2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝（）2，
∴x＝1，
∴AB＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，设BC＝x，根据正切函数定义表示出AB＝2x，并且根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
5．（泗水县二模）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑2m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB′＝2m，则csβ＝（ ）

A． B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】在Rt△ABC中，由tanα＝，可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，根据勾股定理求出AB＝5xm，那么A′B′＝AB＝5xm．在Rt△A′B′C中，根据勾股定理列出方程（4x﹣2）2+（3x+2）2＝（5x）2，求出x＝2，然后利用余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，
∴可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，
∴AB＝＝5xm，
∴A′B′＝AB＝5x（m）．
在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣2）m，B′C＝（3x+2）m，
∴（4x﹣2）2+（3x+2）2＝（5x）2，
解得：x＝2，
∴A′C＝6m，B′C＝8m，A′B′＝10m，
∴csβ＝＝．
故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，锐角三角函数定义，关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．
6．（德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）．

A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】根据正弦的定义求出BD，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，
则BD＝AB•sin∠BAD≈5×＝3（米），
在Rt△BCD中，∠C＝30°，
∴BC＝2BD＝6（米），
则调整后的楼梯会加长：6﹣5＝1（米），
故选：D．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）

A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，得到DH＝BF，BH＝DF，设DF＝xm，CF＝xm，根据勾股定理得到CD＝＝2x＝20（m），求得BH＝DF＝10m，CF＝10m，AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），于是得到结论．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴＝1：，
设DF＝xm，CF＝xm，
∴CD＝＝2x＝20m，
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，
∴DH＝BF＝（10+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．（潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）

A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD∥EF，根据水平线与地面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
【解答】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．
∵EF⊥平面镜，
∴CD∥EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，

根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGC＝AGB＝×60°＝30°，
∴α＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
9．（温州校级模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（ ）m．

A．+2sinα B．2csα+sinα
C．csα+2sinα D．tanα+2sinα
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，由锐角三角函数定义分别求出BG、EH，即可求解．
【解答】解：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示：
则四边形BHNG是矩形，
∴HN＝BG，
在Rt△ABG中，∠BAG＝α，sin∠BAG＝，
∴BG＝AB•sin∠BAG＝2sinα（m），
∴HN＝2sinα（m），
∵∠EBM＝∠ANM＝90°，∠BME＝∠AMN，
∴∠BEM＝∠MAN＝α，
在Rt△EHB中，∠BEM＝α，BE＝1m，
∵s∠BEM＝，
∴EH＝BE•cs∠BEM＝1×csα＝csα（m），
∴EN＝EH+HN＝（csα+2sinα）m，
即木箱端点E距地面AC的高度为（csα+2sinα）m，
故选：C．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）

A． B． C． D．
【考点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BE＝AB，进而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF•BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
故选：A．

【点评】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
考点卡片
1．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
4．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
5．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
6．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
7．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．