2021-2022学年四川省四川师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年四川省四川师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省四川师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式将中的角度转换成即可.【详解】故选：D2．设集合，，且，则的子集个数为（    ）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据给定条件求出a，b的值，再求出即可得解.【详解】因，则，，于是得，解得，因此，，即，，则有，所以的子集个数为.故选：D3．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数定义求解即可.【详解】角的终边经过点，即，则.故选：A.4．下列说法正确的是（    ）A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B．若，则C．若角的终边过点，则D．当时，【答案】D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可.【详解】对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，A错误；对于B，若，则，B错误；对于C，若角的终边过点，则，C错误；对于D，当时，，D正确.故选D.5．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】从整体角度出发，令，寻找与的关系，结合诱导公式化简即可.【详解】令，则，则，故.故选：A6．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分段函数解析式，可将自变量的值一步一步代入，即可求解.【详解】由题意得，当时，，则.∵当时，∴，即.故选：C.7．已知函数，对任意实数、都满足，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用单调性的定义判断出函数的单调性，然后两段函数均为单调递增函数且由两段函数在交界点处的函数值的大小，列出不等式组，求解即可．【详解】解：因为对任意实数，都满足，所以函数在上为单调递增函数，函数，当时，为单调递增函数，当时，函数也为增函数，故，解得，又在上为单调减函数，则，解得，综上所述，实数的取值范围是．故选：B8．已知函数的部分图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出的定义域可排除A；证明是奇函数可排除B；当且趋近于时，可排C，进而可得正确选项.【详解】的定义域为，故排除选项A；定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B；当且趋近于时，，故排除选项C，故选：D9．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】转化为两个函数交点问题分析【详解】即分别画出和的函数图像，则两图像有4个交点所以，即故选 ：C10．有一圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示.已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（    ）A．6.33平方寸 B．6.35平方寸 C．6.37平方寸 D．6.39平方寸【答案】A【分析】根据给定条件求出圆O半径，借助扇形面积、三角形面积即可计算出阴影部分面积.【详解】连接OC，依题意，OC必过弦AB中点D，设圆O半径为r，寸，则，如图，在直角三角形OAD中，，即，解得寸，则，即，则，则有扇形OAB的面积(平方寸) ，三角形OAB的面积(平方寸) ，所以阴影部分面积为(平方寸) .故选：A11．函数的部分图象如图所示，则的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图象的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，即可求解.【详解】由图象知，，，解得，因为函数过点，所以，，即，解得，因为，所以，，所以的解析式为.故选：A.12．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围【详解】因为，所以.由，得.当时，，又，则.因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.故选：D. 二、填空题13．已知，则________.【答案】【分析】利用，即可求出结果.【详解】因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查了与的关系，考查了计算能力，属于基础题目.14．若函数（且）在[1,3]上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【详解】令，因为，所以为增函数，因为函数（且）在[1,3]上单调递增，所以，解得；故填.点睛：本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，处理复合函数的单调性，往往只注重利用“同增异减”进行判定，往往忽视“对数式中的真数必须为正”这一隐含条件，如本题中要注意“在区间恒成立”.15．已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.【答案】【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．【详解】依题意，当时，y有最小值，即，则，所以.因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得.故答案为：16．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】根据函数解析式可得，令，则是单调增函数且，进而可得，对恒成立，结合一元二次不等式恒成立即可求解.【详解】，， 有，又为单调增函数，令，可得是单调增函数，且，由得，即，即对恒成立．当时显然成立；当时，需，解得，综上可得．故答案为：. 三、解答题17．已知，其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将等式两边平方，可求出的值，进而可求得的值；（2）法一：利用同角三角函数的基本关系可求得的值，结合已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，进而可求得的值；法二：由弦化切可得出，可得出关于的二次方程，由已知条件可得出，由此可求得的值.【详解】（1）由①，得.，所以，；（2）法一：由（1）知，，，，.，②.由①②得，，，；法二：由（1）知，，.，即，整理可得，得或.因为，所以，，又，所以，，所以.【点睛】方法点睛：在利用同角三角函数的基本关系求值时，可利用以下方法求解：（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于、、这三个式子，利用可以知一求二；（2）关于、的齐次式，往往化为关于的式子．18．已知函数，其中.(1)求函数的最大值和最小值；(2)若实数满足：恒成立，求的取值范围.【答案】(1)最小值为，最大值为；(2). 【分析】（1）设，可得出，利用二次函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值；（2）分析可知，结合（1）中的结论可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：，令，则，令，其中.所以，函数在上为减函数，在上为增函数，所以，，.（2）解：恒成立，即恒成立，，由（1）知，，故的取值范围为.19．已知函数．(1)请用“五点法”列表并画出函数在上的图象；(2)若函数的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数的图象，求的单调增区间．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）根据五点作图法步骤找到五点并用光滑曲线连接即可；（2）根据题意对三角函数平移变换得到的解析式，再整体代入得到的单调增区间.【详解】（1）列表如下：000 函数在上的图象如下：（2）函数的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到再向右平移个单位，得到，令，解得所以的单调增区间为20．随着人们生活水平的不断提高，对蔬菜的品质要求越来越高．为了给消费者带来放心的蔬菜，某蔬菜种植基地准备种植有机蔬菜，经过调查发现，适合基地种植蔬菜的株数不少于2万株，不超过12万株，当种植蔬菜的株数（单位：万株）时，收入满足二次函数模型，已知种植5万株和8万株的收入相当，并且当种植4万株时，收入为6万元：当种植蔬菜的株数（单位：万株）时，收入为固定值7万元．(1)根据题中条件，写出收入函数的解析式；(2)如果，则每x万株的投入是；若，则每x万株的投入是．写出利润函数的解析式，并求出利润的最大值．【答案】(1)(2)，利润最大值为5万元 【分析】(1)根据题干所给条件，时可以得到二次函数的对称轴为，故可设函数解析式为，再代入已知点，即可得函数解析式，当时为常函数，最终得到分段函数的解析式；（2）由题干条件可得，根据第一问得到的解析式代入即可得到分段函数的解析式，分两段，分别求各段的最大值，再最终取两个最大值中的较大值即可.【详解】（1）由于二次函数满足，所以该函数对称轴为，设函数解析式为，∵二次函数经过点，，∴，解得，．∴（2）由题知，当时，，∴当时，的最大值为，当时，∵当且仅当时，等号成立，此时最大值为．∵，∴综上，当种植株数为6万株时，利润最大值为5万元.21．已知函数；(1)判断函数的奇偶性，并加以证明；(2)若，求的值；(3)若方程在上有解，求实数的取值范围【答案】(1)为奇函数，证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）由对数真数大于零可得定义域，根据可得结论；（2）根据对数运算法则求解即可；（3）根据复合函数单调性可确定在定义域内单调递减，进而得到单调性，根据单调性可得的范围，即为的范围.【详解】（1）由得：，即定义域为；，为定义在上的奇函数；（2），，；（3），在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性知：在上单调递减，在上单调递减，当时，，即，若方程在上有解，则，即实数的取值范围为.22．设，函数．（1）若，求证：函数为奇函数；（2）若，判断并证明函数的单调性；（3）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围．【答案】（1）证明见详解；（2）定义域上单调递增，证明见详解；（3）；【分析】（1）代入解析式，根据函数式知定义域为且，即为奇函数；（2）利用单调性定义令，有，即可知大小关系.（3）有题设知，而，讨论、，结合函数在相应区间的单调性，应用一元二次方程、不等式组求的范围．【详解】（1）时，有且定义域为，∴，综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数；（2）时，有，即定义域为R，结论为：在R上单调递增.设对任意两个实数：，则，而，，∴，即得证.（3）由知：，由知：，所以，∵，所以或，∴当时，由（2）知在R上单调递增，结合题意有，，得，即是的两个不同的实根，∴令，则在上有两个不同实根，故，可得，当时，在上都递减，若，有，则与矛盾，舍去；若，有，即有，即，所以，两式相减得，又，即有，则；∴综上有.【点睛】关键点点睛：（1）根据函数单调性、奇偶性定义证明函数的单调性、奇偶性；（2）由给定区间及其值域，结合函数的单调性，构造方程将问题转化为二次函数根的分布及有解问题求范围.