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辽宁省锦州市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）
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这是一份辽宁省锦州市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解），共24页。
1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）度
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角.
【详解】将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程变形为 SKIPIF 1 < 0 ，该直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，该直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 度.
故选C.
【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题的关键就是求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系来求解，考查计算能力，属于基础题.
2. 算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理即可求得.
【详解】拨动两枚算珠可分为以下三类
（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.
（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.
（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示 SKIPIF 1 < 0 个不同整数.
所以，根据分类加法计数原理，一共可表示 SKIPIF 1 < 0 个不同整数.
故选：B.
3. 如图，在四面体 SKIPIF 1 < 0 中，M是棱 SKIPIF 1 < 0 上靠近O的三等分点，N，P分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示 SKIPIF 1 < 0 ，再利用向量线性运算求解作答.
【详解】在四面体 SKIPIF 1 < 0 中，N是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
而P是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得出关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次等式，变形后可求得离心率．
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，一条准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
5. SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 5D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 项，即可求解作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项相乘加上 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项相乘的和，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求系数为25.
故选：D
6. 直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到l的距离为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，取直线 SKIPIF 1 < 0 的一个单位方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，计算 SKIPIF 1 < 0 代入空间中点到直线的距离公式 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】依题意，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以取直线 SKIPIF 1 < 0 的一个单位方向向量为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7. 如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长均相等，P是侧面 SKIPIF 1 < 0 内一点，若点P到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分
【答案】D
【解析】
分析】如图，作 SKIPIF 1 < 0 ，做 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .可证得 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，据此可得答案.
【详解】如图，作 SKIPIF 1 < 0 ，做 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
因几何体为直三棱柱，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又由题可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面EPD， SKIPIF 1 < 0 平面EPD， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则平面EPD SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因平面 SKIPIF 1 < 0 平面EPD SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由题又有 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为点P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离.故点P到定点 SKIPIF 1 < 0 距离等于点P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离，则点P轨迹为抛物线的一部分.
故选：D
8. 已知实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 的正负分类讨论，去掉绝对值转化为相应的曲线方程，根据 SKIPIF 1 < 0 的几何意义利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】依题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
是双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的部分；
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
不能表示任何曲线；
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
是双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第三象限的部分；
当 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
是椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第四象限的部分；
其图象大致如图所示：
SKIPIF 1 < 0 的几何意义是曲线上的点到
直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的两倍，
双曲线的渐近线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，
所以曲线在第一、三象限上的点到 SKIPIF 1 < 0
的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
由图象可知直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第四象限的部分
相切时，距离取得最小值，设切线为： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以曲线在第四象限上的点到 SKIPIF 1 < 0
的距离 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A. 所有项的二项式系数和为256B. 所有项的系数和为1
C. 二项式系数最大的项为第4项D. 有理项共4项
【答案】AB
【解析】
【分析】利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．
【详解】选项A：所有项的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
选项B：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数的最大的项的上标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故二项式系数最大的项为第5项，故C不正确；
选项D：通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，8，
当 SKIPIF 1 < 0 ，2，4，6，8时为有理项，共5项，故D不正确，
故选：AB
10. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，P是该双曲线上任意一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值为1D. 若 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，则满足条件的P点共4个
【答案】BC
【解析】
【分析】由双曲线的定义可判断A；设 SKIPIF 1 < 0 ，由两点间的距离公式结合二次函数的性质可判断B，C；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，直角三角形 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线有 SKIPIF 1 < 0 个交点可判断D．
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数的性质知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数的性质知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为： SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1，故C正确；
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，直角三角形 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个，
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线有 SKIPIF 1 < 0 个交点，直角三角形 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个，
则若 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，则满足条件的 SKIPIF 1 < 0 点共 SKIPIF 1 < 0 个，故D错误；
故选：BC.
11. 已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于 SKIPIF 1 < 0
C. 曲线C不是封闭图形，且图形有渐近线
D. 曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，即判断曲线上任意点 SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点 SKIPIF 1 < 0 是否在曲线上；BC选项，由 SKIPIF 1 < 0 范围可知曲线是否为封闭图形，再由极限可知其渐近线；D选项，设曲线上一点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即判断 SKIPIF 1 < 0 最小值是否为2.
【详解】A选项，设 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，其关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在曲线上，则曲线C关于原点对称，故A正确；
BC选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C不是封闭图形.
又注意到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则曲线有渐近线 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则曲线有渐近线 SKIPIF 1 < 0 .故B错误，C正确；
D选项，设曲线上一点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则其到原点距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为2，故D正确.
故选：ACD
12. 已知边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，动点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（不含端点），以 SKIPIF 1 < 0 为折痕将 SKIPIF 1 < 0 折起，使点 SKIPIF 1 < 0 到达 SKIPIF 1 < 0 的位置．记 SKIPIF 1 < 0 ，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则对于任意点 SKIPIF 1 < 0 ，下列成立的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. 存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D. 存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断A选项；利用空间向量夹角的数量积表示可判断B选项；利用线面垂直的性质可判断C选项；利用反证法可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 为锐角，故 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为锐角且函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，过直线 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在翻折的过程中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，事实上， SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，故假设不成立，D错.
故选；ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的值是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】对参数 SKIPIF 1 < 0 分 SKIPIF 1 < 0 两类进行讨论，利用斜率相等即可求解.
【详解】依题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，不符合题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间向量一组基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若A，B，C，D四点共面．则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.
【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 设 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除,则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】1
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ,利用二项展开式可知只需 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除整除即可,由 SKIPIF 1 < 0 的范围即可得到结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
要使 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除,
则 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
16. 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是__________， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________
【答案】 ①. 34 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建系，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，根据圆的性质即可得 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大值，即可得 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由数量积的坐标运算可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，即将问题转化为圆与直线有交点，可求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即得所求.
【详解】因为， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则要求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，即点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 最大，
又直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可表示直线，又 SKIPIF 1 < 0 在圆上，则直线与圆有交点，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离小于或等于半径 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据题意建立直角坐标系，将问题转化为动点到圆上的点的最值问题，直线与圆的位置关系求参数的问题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
（1）女生必须坐在一起坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)采用捆绑法即可求解；
(2)采用插空法即可求解；
(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；
【小问1详解】
先将3个女生排在一起，有 SKIPIF 1 < 0 种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有 SKIPIF 1 < 0 种排法，由分步乘法计数原理，共有 SKIPIF 1 < 0 (种)排法；
【小问2详解】
先将4个男生排好，有 SKIPIF 1 < 0 种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有 SKIPIF 1 < 0 种方法，故符合条件的排法共有 SKIPIF 1 < 0 (种)；
【小问3详解】
先排甲、乙、丙以外的其他4人，有 SKIPIF 1 < 0 种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有 SKIPIF 1 < 0 种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有 SKIPIF 1 < 0 种排法，故符合条件的排法共有 SKIPIF 1 < 0 (种)；
18. 已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）求过点N与曲线C相切的直线方程；
（3）曲线C与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于E，F两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设出点 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知结合两点间距离列式化简即可得出答案；
（2）分类讨论过点N的直线方程斜率存不存在，设出直线方程，根据直线与圆相切的判定，即可得出答案；
（3）根据两圆方程相减得出直线 SKIPIF 1 < 0 所在的方程，即可根据圆的弦长求法得出答案.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 外，
①过点 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率不存在时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与圆C相切，符合题意；
②直线的斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线到圆心的距离 SKIPIF 1 < 0 得，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，过点N与圆C相切得直线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于E、F两点，
两个方程作差得直线 SKIPIF 1 < 0 所在的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
19. 如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，点E为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
（3）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）利用向量法求得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
（3）利用向量法求得点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【小问1详解】
如图以点D为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
20. 动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离比它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离小 SKIPIF 1 < 0 ，设动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个不同的点，过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，且二者相交干点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析 （3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）将动点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离转化为到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，由抛物线的定义求解即可；
（2）设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程，与曲线 SKIPIF 1 < 0 方程联立，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再分别求出过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的切线和点 SKIPIF 1 < 0 坐标，证明 SKIPIF 1 < 0 即可；
（3）由抛物线定义求出焦点弦长 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 进行计算，并求出最小值即可.
【小问1详解】
∵动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离比它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离小 SKIPIF 1 < 0 ，
∴动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上方，且动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
∴由抛物线定义，动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线，
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
∵过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个不同的点，
∴该直线斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
（也可以设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 与抛物线方程联立，令 SKIPIF 1 < 0 求切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ）
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可求得曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
由（2）及抛物线定义， SKIPIF 1 < 0 ，
由（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
易知，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：直线与圆锥曲线的位置关系问题，考查学生的转化与化归思想、数形结合思想和数学运算能力等，通常采用设而不求的方法，联立直线与圆锥曲线方程，借助韦达定理（根与系数的关系），结合题目中的几何背景进行求解.
21. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，Q为 SKIPIF 1 < 0 的中点，M是棱 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
（3）在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点M，使二面角 SKIPIF 1 < 0 大小为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请指出点M的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
（3）存在，点M位于靠近点C的四等分处
【解析】
【分析】（1）由面面垂直证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再证平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）以Q为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由向量法求线线角；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由向量法利用二面角建立方程求解.
【小问1详解】
证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，Q为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，Q为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
以Q为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
假设存在点M，
设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由（2）知平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点M使二面角 SKIPIF 1 < 0 大小为 SKIPIF 1 < 0 ，且点M位于靠近点C的四等分处．
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C的两个交点和O，B构成一个面积为 SKIPIF 1 < 0 的菱形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）圆F过O，B，交l于点M，N，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆C于另一点P，Q．
①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②证明见解析，定点 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为直线l与C的一个交点，根据菱形的面积求得 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，再代入椭圆方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解；
（2）①由题意得 SKIPIF 1 < 0 为圆E的一条弦，且直线 SKIPIF 1 < 0 垂直平分该弦，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由此计算即可得出结论；
②由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 不可能平行于x轴，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程，利用韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合①中结论求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论.
【小问1详解】
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与C的两个交点和O，B构成的四边形是菱形，
所以l垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为直线l与C的一个交点，
则菱形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为菱形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
①由题意得 SKIPIF 1 < 0 为圆E的一条弦，且直线 SKIPIF 1 < 0 垂直平分该弦，
故直线 SKIPIF 1 < 0 经过圆心E，所以 SKIPIF 1 < 0 为圆E的直径，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 不可能平行于x轴，
则设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，（∗）
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足（∗），
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的一元二次方程，必要时计算 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）度
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角.
【详解】将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程变形为 SKIPIF 1 < 0 ，该直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，该直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 度.
故选C.
【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题的关键就是求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系来求解，考查计算能力，属于基础题.
2. 算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理即可求得.
【详解】拨动两枚算珠可分为以下三类
（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.
（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.
（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示 SKIPIF 1 < 0 个不同整数.
所以，根据分类加法计数原理，一共可表示 SKIPIF 1 < 0 个不同整数.
故选：B.
3. 如图，在四面体 SKIPIF 1 < 0 中，M是棱 SKIPIF 1 < 0 上靠近O的三等分点，N，P分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示 SKIPIF 1 < 0 ，再利用向量线性运算求解作答.
【详解】在四面体 SKIPIF 1 < 0 中，N是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
而P是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得出关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次等式，变形后可求得离心率．
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，一条准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
5. SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 5D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 项，即可求解作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项相乘加上 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项相乘的和，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求系数为25.
故选：D
6. 直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到l的距离为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，取直线 SKIPIF 1 < 0 的一个单位方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，计算 SKIPIF 1 < 0 代入空间中点到直线的距离公式 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】依题意，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以取直线 SKIPIF 1 < 0 的一个单位方向向量为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7. 如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长均相等，P是侧面 SKIPIF 1 < 0 内一点，若点P到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分
【答案】D
【解析】
分析】如图，作 SKIPIF 1 < 0 ，做 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .可证得 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，据此可得答案.
【详解】如图，作 SKIPIF 1 < 0 ，做 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
因几何体为直三棱柱，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又由题可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面EPD， SKIPIF 1 < 0 平面EPD， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则平面EPD SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因平面 SKIPIF 1 < 0 平面EPD SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由题又有 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为点P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离.故点P到定点 SKIPIF 1 < 0 距离等于点P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离，则点P轨迹为抛物线的一部分.
故选：D
8. 已知实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 的正负分类讨论，去掉绝对值转化为相应的曲线方程，根据 SKIPIF 1 < 0 的几何意义利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】依题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
是双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的部分；
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
不能表示任何曲线；
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
是双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第三象限的部分；
当 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
是椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第四象限的部分；
其图象大致如图所示：
SKIPIF 1 < 0 的几何意义是曲线上的点到
直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的两倍，
双曲线的渐近线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，
所以曲线在第一、三象限上的点到 SKIPIF 1 < 0
的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
由图象可知直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第四象限的部分
相切时，距离取得最小值，设切线为： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以曲线在第四象限上的点到 SKIPIF 1 < 0
的距离 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A. 所有项的二项式系数和为256B. 所有项的系数和为1
C. 二项式系数最大的项为第4项D. 有理项共4项
【答案】AB
【解析】
【分析】利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．
【详解】选项A：所有项的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
选项B：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数的最大的项的上标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故二项式系数最大的项为第5项，故C不正确；
选项D：通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，8，
当 SKIPIF 1 < 0 ，2，4，6，8时为有理项，共5项，故D不正确，
故选：AB
10. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，P是该双曲线上任意一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值为1D. 若 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，则满足条件的P点共4个
【答案】BC
【解析】
【分析】由双曲线的定义可判断A；设 SKIPIF 1 < 0 ，由两点间的距离公式结合二次函数的性质可判断B，C；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，直角三角形 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线有 SKIPIF 1 < 0 个交点可判断D．
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数的性质知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数的性质知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为： SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1，故C正确；
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，直角三角形 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个，
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线有 SKIPIF 1 < 0 个交点，直角三角形 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个，
则若 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，则满足条件的 SKIPIF 1 < 0 点共 SKIPIF 1 < 0 个，故D错误；
故选：BC.
11. 已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于 SKIPIF 1 < 0
C. 曲线C不是封闭图形，且图形有渐近线
D. 曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，即判断曲线上任意点 SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点 SKIPIF 1 < 0 是否在曲线上；BC选项，由 SKIPIF 1 < 0 范围可知曲线是否为封闭图形，再由极限可知其渐近线；D选项，设曲线上一点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即判断 SKIPIF 1 < 0 最小值是否为2.
【详解】A选项，设 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，其关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在曲线上，则曲线C关于原点对称，故A正确；
BC选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C不是封闭图形.
又注意到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则曲线有渐近线 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则曲线有渐近线 SKIPIF 1 < 0 .故B错误，C正确；
D选项，设曲线上一点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则其到原点距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为2，故D正确.
故选：ACD
12. 已知边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，动点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（不含端点），以 SKIPIF 1 < 0 为折痕将 SKIPIF 1 < 0 折起，使点 SKIPIF 1 < 0 到达 SKIPIF 1 < 0 的位置．记 SKIPIF 1 < 0 ，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则对于任意点 SKIPIF 1 < 0 ，下列成立的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. 存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D. 存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断A选项；利用空间向量夹角的数量积表示可判断B选项；利用线面垂直的性质可判断C选项；利用反证法可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 为锐角，故 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为锐角且函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，过直线 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在翻折的过程中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，事实上， SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，故假设不成立，D错.
故选；ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的值是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】对参数 SKIPIF 1 < 0 分 SKIPIF 1 < 0 两类进行讨论，利用斜率相等即可求解.
【详解】依题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，不符合题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间向量一组基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若A，B，C，D四点共面．则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.
【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 设 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除,则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】1
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ,利用二项展开式可知只需 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除整除即可,由 SKIPIF 1 < 0 的范围即可得到结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
要使 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除,
则 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
16. 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是__________， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________
【答案】 ①. 34 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建系，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，根据圆的性质即可得 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大值，即可得 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由数量积的坐标运算可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，即将问题转化为圆与直线有交点，可求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即得所求.
【详解】因为， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则要求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，即点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 最大，
又直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可表示直线，又 SKIPIF 1 < 0 在圆上，则直线与圆有交点，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离小于或等于半径 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据题意建立直角坐标系，将问题转化为动点到圆上的点的最值问题，直线与圆的位置关系求参数的问题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
（1）女生必须坐在一起坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)采用捆绑法即可求解；
(2)采用插空法即可求解；
(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；
【小问1详解】
先将3个女生排在一起，有 SKIPIF 1 < 0 种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有 SKIPIF 1 < 0 种排法，由分步乘法计数原理，共有 SKIPIF 1 < 0 (种)排法；
【小问2详解】
先将4个男生排好，有 SKIPIF 1 < 0 种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有 SKIPIF 1 < 0 种方法，故符合条件的排法共有 SKIPIF 1 < 0 (种)；
【小问3详解】
先排甲、乙、丙以外的其他4人，有 SKIPIF 1 < 0 种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有 SKIPIF 1 < 0 种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有 SKIPIF 1 < 0 种排法，故符合条件的排法共有 SKIPIF 1 < 0 (种)；
18. 已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）求过点N与曲线C相切的直线方程；
（3）曲线C与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于E，F两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设出点 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知结合两点间距离列式化简即可得出答案；
（2）分类讨论过点N的直线方程斜率存不存在，设出直线方程，根据直线与圆相切的判定，即可得出答案；
（3）根据两圆方程相减得出直线 SKIPIF 1 < 0 所在的方程，即可根据圆的弦长求法得出答案.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 外，
①过点 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率不存在时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与圆C相切，符合题意；
②直线的斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线到圆心的距离 SKIPIF 1 < 0 得，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，过点N与圆C相切得直线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于E、F两点，
两个方程作差得直线 SKIPIF 1 < 0 所在的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
19. 如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，点E为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
（3）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）利用向量法求得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
（3）利用向量法求得点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【小问1详解】
如图以点D为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
20. 动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离比它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离小 SKIPIF 1 < 0 ，设动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个不同的点，过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，且二者相交干点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析 （3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）将动点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离转化为到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，由抛物线的定义求解即可；
（2）设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程，与曲线 SKIPIF 1 < 0 方程联立，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再分别求出过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的切线和点 SKIPIF 1 < 0 坐标，证明 SKIPIF 1 < 0 即可；
（3）由抛物线定义求出焦点弦长 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 进行计算，并求出最小值即可.
【小问1详解】
∵动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离比它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离小 SKIPIF 1 < 0 ，
∴动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上方，且动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
∴由抛物线定义，动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线，
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
∵过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个不同的点，
∴该直线斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
（也可以设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 与抛物线方程联立，令 SKIPIF 1 < 0 求切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ）
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可求得曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
由（2）及抛物线定义， SKIPIF 1 < 0 ，
由（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
易知，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：直线与圆锥曲线的位置关系问题，考查学生的转化与化归思想、数形结合思想和数学运算能力等，通常采用设而不求的方法，联立直线与圆锥曲线方程，借助韦达定理（根与系数的关系），结合题目中的几何背景进行求解.
21. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，Q为 SKIPIF 1 < 0 的中点，M是棱 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
（3）在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点M，使二面角 SKIPIF 1 < 0 大小为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请指出点M的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
（3）存在，点M位于靠近点C的四等分处
【解析】
【分析】（1）由面面垂直证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再证平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）以Q为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由向量法求线线角；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由向量法利用二面角建立方程求解.
【小问1详解】
证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，Q为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，Q为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
以Q为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
假设存在点M，
设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由（2）知平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点M使二面角 SKIPIF 1 < 0 大小为 SKIPIF 1 < 0 ，且点M位于靠近点C的四等分处．
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C的两个交点和O，B构成一个面积为 SKIPIF 1 < 0 的菱形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）圆F过O，B，交l于点M，N，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆C于另一点P，Q．
①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②证明见解析，定点 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为直线l与C的一个交点，根据菱形的面积求得 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，再代入椭圆方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解；
（2）①由题意得 SKIPIF 1 < 0 为圆E的一条弦，且直线 SKIPIF 1 < 0 垂直平分该弦，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由此计算即可得出结论；
②由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 不可能平行于x轴，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程，利用韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合①中结论求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论.
【小问1详解】
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与C的两个交点和O，B构成的四边形是菱形，
所以l垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为直线l与C的一个交点，
则菱形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为菱形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
①由题意得 SKIPIF 1 < 0 为圆E的一条弦，且直线 SKIPIF 1 < 0 垂直平分该弦，
故直线 SKIPIF 1 < 0 经过圆心E，所以 SKIPIF 1 < 0 为圆E的直径，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 不可能平行于x轴，
则设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，（∗）
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足（∗），
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的一元二次方程，必要时计算 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
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