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专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型---备战2024年高考物理模型与方法（新课标）
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这是一份专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型---备战2024年高考物理模型与方法（新课标），文件包含专题15带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型原卷版docx、专题15带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共124页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29963" 一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述 PAGEREF _Tc29963 \h 1
\l "_Tc11974" 二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型 PAGEREF _Tc11974 \h 2
\l "_Tc18899" 三．平行边界磁场模型 PAGEREF _Tc18899 \h 10
\l "_Tc18148" 四．圆形边界磁场模型 PAGEREF _Tc18148 \h 14
\l "_Tc12341" 五．环形磁约束模型 PAGEREF _Tc12341 \h 28
\l "_Tc12579" 六．三角形或四边形边界磁场模型 PAGEREF _Tc12579 \h 35
\l "_Tc7268" 七．数学圆模型在电磁学中的应用 PAGEREF _Tc7268 \h 42
\l "_Tc25198" 模型一 “放缩圆”模型的应用 PAGEREF _Tc25198 \h 42
\l "_Tc17179" 模型二 “旋转圆”模型的应用 PAGEREF _Tc17179 \h 46
\l "_Tc27175" 模型三 “平移圆”模型的应用 PAGEREF _Tc27175 \h 53
\l "_Tc13689" 模型四 “磁聚焦”模型 PAGEREF _Tc13689 \h 54
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述
二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【模型演练1】（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，在的区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为。一束速率等于的相同带电粒子从原点发射，速度方向与轴正方向的夹角等概率的分布在范围内。其中，沿轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的点（图中末标出）离开磁场，其偏向角为。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．带电粒子的比荷为
C．带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从右边界射出的粒子占总粒子数的
【答案】AC
【详解】A．根据题意作出沿轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图甲所示，圆心为，根据几何关系
可知粒子做圆周运动的半径为
故A正确；
B．由
故B错误；
C．在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为，在磁场中的运动时间
故C正确；
D．结合甲乙两图可知，能从右边界射出的粒子的速度方向与轴正方向的夹角等概率的分布在范围内，占总粒子数的，故D错误。
故选AC。
【模型演练2】如图所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在t＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，eq \r(3)a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a
B．粒子的发射速度大小为eq \f(4πa,t0)
C．带电粒子的比荷为eq \f(4π,3Bt0)
D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0
【答案】 D
【解析】 沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示：
设粒子运动的轨迹半径为r，根据几何关系有(3a－r)2＋(eq \r(3)a)2＝r2，可得粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝2a，选项A错误；根据几何关系可得sin θ＝eq \f(\r(3)a,r)＝eq \f(\r(3),2)，所以θ＝eq \f(π,3)，圆弧OP的长度s＝(π－θ)r，所以粒子的发射速度大小v＝eq \f(s,t0)＝eq \f(4πa,3t0)，选项B错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，结合粒子速度以及半径可得带电粒子的比荷eq \f(q,m)＝eq \f(2π,3Bt0)，选项C错误；当粒子轨迹恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，粒子轨迹如图乙所示，粒子与磁场边界相切于M点，由几何关系可知，从E点射出．设从P点射出的粒子转过的圆心角为π－θ，时间为t0，则从E点射出的粒子转过的圆心角为2(π－θ)，故带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0，选项D正确．
【典例分析3】(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在0≤x≤h，－∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力．
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为eq \f(Bm,2)，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离．
【答案】 见解析
【解析】 (1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里．设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
qv0B＝meq \f(v02,R)①
由此可得R＝eq \f(mv0,qB)②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h③
由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子穿过y轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得
Bm＝eq \f(mv0,qh)④
(2)若磁感应强度大小为eq \f(Bm,2)，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R′＝2h⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示．设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，
由几何关系sin α＝eq \f(h,2h)＝eq \f(1,2)⑥
即α＝eq \f(π,6)⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
y＝2h(1－cs α)⑧
联立⑦⑧式得y＝(2－eq \r(3))h.
【模型演练4】(2023·湖北宜昌市四月调研)如图甲所示的平面直角坐标系中，轴上方有磁感应强度大小为、垂直纸面向外的匀强磁场，在点处有一粒子源，沿纸面不断地放出同种粒子，粒子的速率均为，粒子射入磁场的速度方向与轴正方向的夹角范围为。粒子的重力及粒子间的相互作用均不计。图乙中的阴影部分表示粒子能经过的区域，其内边界与轴的交点为，外边界与轴的交点为，与轴的交点为。下列判断正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子源放出的粒子的比荷为
C．的长度为
D．从E点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间只能为
【答案】AB
【详解】A．由左手定则可知，粒子带负电，故A正确；
C．如图所示
由几何关系可知
故C错误；
B．根据
解得
故B正确；
D．从点离开磁场的粒子在磁场中转过的角度可能为，也可能是，则在磁场中运动的时间可能为
也可能是
故D错误。
故选AB。
【模型演练5】（2023·重庆·高三统考学业考试）如图所示，平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向里，磁感应强度大小的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9m，M点为x轴正方向上一点，现有一个比荷大小为，可视为质点带负电的微粒（重力不计）从挡板下端N处小孔以不同的速度沿x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，微粒最后都能经过M点，则微粒射入的速度大小可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意，粒子运动的圆心的位置一定在y轴上，所以粒子做圆周运动的半径r一定要大于等于3m，而
ON=9m＜3r
所以粒子最多与挡板ON碰撞一次，碰撞后，第二个圆心的位置在O点的上方，也可能粒子与挡板ON没有碰撞，直接过M点。由洛伦兹力提供向心力
解得
若小球与挡板ON碰撞一次，则轨迹可能如图1
设OO1=s，由几何关系得
r2=OM2+s2=9+s2
3r-9=s
联立解得
r1=3m
r2=3.75m
代入可解的速度分别为
v1=3m/s
v2=3.75m/s
若小球没有与挡板ON碰撞，则轨迹如图2，设 OO2=x，由几何关系得
r32=OM2+x2=9+x2
x=9-r3
联立解得
r3=5m
代入可解的速度分别为
v3=5m/s
故选C。
【模型演练6】（2023·全国·高三专题练习）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP = l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知，一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径
r = 2a
则粒子做圆周运动有
则有
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏，则有
Eq = qvB
联立有
故选A。
三．平行边界磁场模型
【运动模型】
平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝eq \f(θm,Bq)，t2＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θm,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【模型演练1】.(多选)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则( )
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝eq \r(3)∶1
C．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
D．两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1
【答案】 BD
【解析】 由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
故Ra＝eq \f(\f(1,2)d,sin 30°)＝d，Rb＝eq \f(\f(1,2)d,sin 60°)＝eq \f(\r(3),3)d，
所以，Ra∶Rb＝eq \r(3)∶1，故B正确；
由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的圆心角为60°，b粒子转过的圆心角为120°，
ta＝eq \f(Ta,6)＝tb＝eq \f(Tb,3)，则Ta∶Tb＝2∶1，
再根据洛伦兹力提供向心力可得：Bvq＝eq \f(mv2,R)，
所以，运动周期为：T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)；
根据a、b粒子电荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C错误，D正确．
【模型演练2】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是( )
A．电子将向右偏转
B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d
C．电子打在MN上的点与O′点的距离为eq \r(3)d
D．电子在磁场中运动的时间为eq \f(πd,3v0)
【答案】：D
【解析】：电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示
A错误；设电子打在MN上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得：x＝r－eq \r(r2－d2)＝2d－eq \r(2d2－d2)＝(2－eq \r(3))d，故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sin θ＝eq \f(d,2d)＝0.5，得θ＝eq \f(π,6)，则电子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(θr,v0)＝eq \f(πd,3v0)，故D正确．
【模型演练4】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成60°角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子在磁场中运动的周期为
C．在下边界有粒子飞出的长度为L
D．从上边界飞出的粒子速度大小范围为
【答案】AD
【详解】AB．速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其做圆周运动周期的，运动轨迹如图所示
圆心为，其圆弧所对圆心角为，由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得粒子比荷
粒子在磁场中运动的周期
故A正确，B错误；
D．当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心为。设这种情况下粒子速度大小为，半径为，由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
可知粒子从上边界飞出的粒子速度大小范围为，故D正确；
C．下边界有粒子飞出的长度为
故C错误。
故选AD。
四．圆形边界磁场模型
【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝eq \f(R,tan θ)
粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
θ＋α＝90°
1． 圆形有界磁场问题（1）
2． 圆形有界磁场问题（2）
【模型演练1】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场．一带电微粒从图中A点以水平速度垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成角，当该带电微粒离开磁场时，速度方向刚好改变了角．不计微粒重力，下列说法正确的是（ ）
A．该微粒带正电B．该微粒带负电
C．该微粒在磁场中运动的半径为D．该微粒在磁场中运动的时间为
【答案】ACD
【详解】A.B.根据带电微粒的偏转方向，由左手定则可知，该微粒带正电，A正确,B错误；
C.微粒的运动轨迹如图所示，根据几何关系，微粒做圆周运动的半径为
C正确；
D.微粒在磁场中运动的周期为
则微粒在磁场中的运动时间为
D正确。
故选ACD。
【模型演练2】（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，从圆上的A点沿AO方向以速度v射入一个不计重力的粒子。粒子从N点离开磁场。已知。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电荷B．粒子做圆周运动的半径为R
C．粒子的比荷为温D．粒子射出磁场时速度偏转角为
【答案】CD
【详解】A．粒子向上偏转，在A点受洛伦兹力向上，根据左手定则可知，四指指向与速度方向相反，粒子带负电，故A错误；
B．粒子的轨迹如图，粒子射出磁场时速度偏转角为，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系可知
故B错误；
C．由牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力
可得粒子的比荷为
故C正确；
D．由几何关系可知
可得速度偏转角为，故D正确。
故选CD。
【模型演练3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场
【答案】AC
【详解】A．当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为，此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间
故A正确；
B．如图所示
当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨道半径
设粒子的速度大小为，有，解得
故B错误；
C．设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为，根据几何关系有
设粒子的速度大小为，有，解得
故C正确；
D．当粒子的速度大于时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子从MN边界离开磁场，即粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。
故选AC。
【模型演练4】（2023·山西阳泉·统考三模）如图所示，半径为的圆形区域有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为，今有一质量为（不计重力），带电量为的离子以某一速度沿平行于直径的方向射入磁场区域，射入点与间距离为，（ ）
A．若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子一定能够通过磁场圆的圆心
B．若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子在磁场中入射点与出射点相距小于
C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，则该离子在磁场中的运动时间为
D．若该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，则该离子在磁场中的运动时间为
【答案】C
【详解】A．若该离子在磁场中的运动半径为，此时圆心在初速度垂直线段与ab交线处，设为，粒子轨迹如下图
由题意可知
而
故
故该粒子不经过磁场圆的圆心，故A错误；
BD．若该离子在磁场中的运动半径为，粒子轨迹如下图
根据几何知识可知粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的，即
因此为等边三角形，故
此时该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，根据洛伦兹力提供向心力可得该粒子做圆周运动周期为
则该离子在磁场中的运动时间为
故BD错误；
C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，粒子轨迹如下图
由几何知识可知
根据
可得
解得
故为等边三角形，故
故粒子在整个磁场中的圆心角为，粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的，故该离子在磁场中的运动时间为
故C正确。
故选C。
【模型演练5】（2023·北京海淀·人大附中校考模拟预测）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线PM通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1可能为质子
B．粒子2可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
【答案】D
【详解】A．粒子1沿直线运动，因忽略粒子重力及粒子间相互作用力，可知该粒子不带电，故不可能为质子，故A错误；
B．粒子2水平射入后向上偏转，即受到向上的洛伦兹力，由左手定则可知该粒子带正电，故B错误；
C．因粒子1不带电，所以增大磁感应强度，粒子1仍打在M点，故C错误；
D．由可知增大粒子入射速度后，粒子圆轨迹半径增大，所以粒子2可能打在探测器上的Q点，故D正确。
故选D。
【模型演练6】（2023·四川南充·统考三模）如图，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线与竖直方向分别成角，下列判断正确的是（ ）
A．沿径迹运动的粒子均为正电子
B．沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最短
C．沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间之比为2∶1
D．沿径迹运动的粒子动能之比为3∶1
【答案】C
【详解】A．由左手定则可判断沿径迹，运动的粒子均带负电，A项错误；
B．由于正电子和负电子的电量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
解得
可知四种粒子的周期相等，而沿径迹运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由
可知沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最长，B项错误；
C．沿径迹Oa运动的粒子在磁场中偏转角度为
沿径迹Od运动的粒子在磁场中偏转角度为
两粒子运动周期大小相同，则
可知，运动的粒子在磁场中运动时间之比为2∶1，选项C正确；
D．设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹，运动的粒子轨道半径分别为
根据
可得
根据动能
可知沿径迹运动的粒子动能之比为1∶3，选项D错误。
故选C。
【模型演练7】（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考三模）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点处的P点沿着与连线成的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图
当电子的运动轨迹与磁场边界相切时，根据
得
电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周运动的圆心做OP的垂线，由几何关系得
得
则最大速率为
故选C。
【模型演练8】（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。下列判断不正确的是（ ）
A．该粒子的速度为
B．该粒子从b点运动到a点的时间为
C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点
D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是
【答案】D
【详解】AB．粒子从b点以某一初速度沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于轴离开磁场，如图所示由洛伦兹力提供向心力可得
由几何关系可得
联立解得
该粒子从b点运动到a点的时间为
故AB正确；
C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为
该种粒子从边界出射的最远点与入射点的距离为粒子轨迹圆的直径，由几何关系可知
可知该种粒子从边界出射的最远点恰为a点，故C正确；
D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为
当该粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长最大时，轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示
由几何关系可知，最大圆心角为，则最长时间为
故D错误。
此题选择不正确的选项，故选D。
【模型演练9】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在一垂直纸面向里的匀强磁场，直径ab水平。电子带电荷量为、质量为m，以速率v从a处始终沿纸面射入磁场，当电子在a处的速度方向与aO夹角为30°、斜向下时，离开磁场时的速度方向相比进入时的改变了60°。不计电子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．圆形区域中磁场的磁感应强度大小为
B．改变入射方向，当电子经过O点时，电子在磁场中的运动时间为
C．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变
D．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向可能改变
【答案】BC
【详解】A．设电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心为C，出射点为d，如图甲所示，由于电子离开磁场时的速度方向相比进入时的速度方向改变了60°，可知，由三角形全等可知
电子从d点射出时的速度方向竖直向下，可知为等腰三角形，可知电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径
根据洛伦兹力提供电子在磁场中做圆周运动的向心力可得
代入半径可得
故A错误。
B．改变电子在a处的入射方向，当电子经过O点时，如图乙所示，轨迹圆心在圆形边界上的D点，出射点在e点，可知四边形aOeD为菱形，三角形aOD，eOD为等边三角形，电子从e点射出时速度方向仍竖直向下，在磁场中运动轨迹对应的圆心角为120°，电子在磁场中的运动时间为
故B正确。
C．改变电子在a处的入射方向，设电子从一般位置f射出，轨迹圆心为P，同理可知四边形aOfP为菱形，出射点对应轨迹半径，可知电子射出磁场时速度方向仍竖直向下，即改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变，故C正确，D错误。
故选BC。
五．环形磁约束模型
【模型构建】
【模型演练1】（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）某粒子加速器位于竖直平面内，剖面图如图所示，圆筒内外直径分别为D和2D，O为圆心，水平直径GH以上部分是偏转区，以下是回收区，偏转区存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属板间有匀强电场，上板开有小孔，大量的质量为m、电荷量为的粒子由上极板下方处的P点静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度射出电场，由H点仅靠大圆内侧射入磁场，偏转后进入回收区，不计粒子重力，粒子若撞到内外桶壁会被吸收，则（ ）
A．电场强度大小为
B．若磁感应强度满足，粒子一定可以进入回收区
C．若磁感应强度满足，粒子可能进入回收区
D．进入回收区的粒子在磁场中的运动时间全都相同
【答案】BC
【详解】A．粒子加速过程运用动能定理可得
可得
故A错误；
BC．进入回收区的粒子在磁场中的半径范围
或
根据
粒子进入磁感应强度的范围为
或
故BC正确；
D. 周期公式
粒子运动周期随磁场变化，所有粒子均在磁场中经半个周期进入回收区，故D错误。
故选BC。
【模型演练2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q（）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
可得
粒子仅在磁场中运动，则
或
代入可得
或
故选ACD。
【模型演练3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）2023年1月7日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为，外半径为，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子最大轨道半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
要使粒子不离开磁场
由于
故选CD。
【模型演练3】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径，外圆半径，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小，被束缚的带正电粒子的比荷，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。
（1）求带电粒子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0。
（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间。
（3）若要使束缚效果最好，应在半径为的圆内也加上磁场，则该磁场的磁感应强度要与B的方向相同还是相反？在取得最大束缚效果的情况下，若=2B，为使粒子不能射出半径为的圆形区域，求粒子速度的最大值。
【答案】（1），；（2）；（3）相同，
【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
又
解得带电粒子在磁场中运动的周期
当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外边界的最大速度，如图甲所示
根据几何关系有
解得
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有
解得
（2）带电粒子以速度 射入磁场中时，根据几何关系有
解得
故其运动轨迹如图乙所示；带电粒子在磁场中运动的圆心角为
在磁场中运动的时间
带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间
带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间
解得
（3）要使束缚效果最好，则B'与B的方向应相同，如图丙所示；粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为O1，在圆环区域内运动时，轨迹圆心为，设粒子在两区域内的运动半径分别为r1、r2
因为，所以
根据几何关系，有
则为等腰三角形，，所以
解得
则
六．三角形或四边形边界磁场模型
【模型演练1】（2023·广西南宁·南宁三中校考二模）如图所示，A、C两点分别位于x轴和y轴上，，的长度为L。在区域内（包括边界）有垂直于平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带电粒子，以各种不同的速度垂直边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子带负电
B．磁场的磁感应强度的大小为
C．从中点射入磁场的带电粒子可以从C点出射
D．能从边射出的带电粒子最大射入速度是
【答案】BD
【详解】A．由左手定则可知带电粒子带正电，故A错误；
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间2t0内其速度方向改变了90°，故其周期
T=8t0
设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
匀速圆周运动的速度满足
解得
故B正确；
C．由题给条件可知，带电粒子从C点出射，则C为切点，如图所示
由几何关系可知，粒子的轨迹半径为，入射点到A点距离为，不是从中点射入磁场，故C错误；
D．由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹与AC边、OC边相切时，粒子的轨迹半径最大，此时粒子的入射速度最大，如图所示
设O′为圆弧的圆心，圆弧的半径为r0，圆弧与AC相切于N点，从O点射出磁场，由几何关系可知
设粒子最大入射速度大小为vm，由圆周运动规律有
解得
故D正确。
故选BD。
【模型演练2】（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l， 为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】AC
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，由
得
解得
故A正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
得
画出该粒子的运动轨迹如图，设轨道半径为R，由几何知识得
可得
故B错误；
C．粒子射入磁场的速度大小为
故C正确；
D．射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
故D错误。
故选AC。
【模型演练3】（2023·湖南·高三专题练习）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ、若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0.若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t>t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t>t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则
【答案】D
【详解】A．根据题述，粒子从CF的中点射出，由左手定则可知，粒子带正电。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，沿直线AC运动的粒子进入区域Ⅱ，其速度为
设CF=L，粒子从CF的中点射出，在区域II的磁场中运动轨迹半径为
r0=
所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为；
若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，沿直线AC运动的粒子进入区域Ⅱ，其速度，在区域II的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为，故A错误；
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，沿直线AC运动的粒子进入区域Ⅱ，其速度，在区域II的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为，故B错误；
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，由
=m
解得
r=
，带电粒子将从GF射出，由
粒子运动轨迹所对的圆心角
则
故C错误；
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，由
=m
解得
r=L
，带电粒子将从GF射出，由
解得粒子运动轨迹所对的圆心角
则
故D正确。
故选D。
【模型演练4】（2023·安徽·模拟预测）如图，一个边长为l的正方形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电量为的粒子以某一速度从M点垂直于磁场射入，粒子恰好从的中点射出磁场。已知粒子射入磁场时的速度方向与的夹角为，不计粒子重力，粒子射入磁场的速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意作出粒子运动轨迹如图
由题可知，根据几何关系有
则
粒子运动的轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故选B。
七．数学圆模型在电磁学中的应用
模型一 “放缩圆”模型的应用
【模型演练1】(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图9中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A.eq \f(7πm,6qB) B.eq \f(5πm,4qB)
C.eq \f(4πm,3qB) D.eq \f(3πm,2qB)
【答案】 C
【解析】 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定．设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示．圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最大，此时β＝30°，可得θ＝eq \f(4,3)π，则t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(4πm,3qB)，故选C.
【模型演练2】.(多选)(2020·山东潍坊市检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
【答案】 BC
【解析】 由t＝eq \f(θ,2π)T知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹线弧长s＝rθ，运动时间越长，θ越大，但半径r不一定大，s也不一定大，故A错误，B正确．由周期公式T＝eq \f(2πm,qB)知，电子做圆周运动的周期与电子的速率无关，所以电子在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，由r＝eq \f(mv,qB)可知它们的速率不同，故C正确，D错误．
【模型演练3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场
【答案】AC
【详解】A．当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为，此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间
故A正确；
B．如图所示
当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨道半径
设粒子的速度大小为，有，解得
故B错误；
C．设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为，根据几何关系有
设粒子的速度大小为，有，解得
故C正确；
D．当粒子的速度大于时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子从MN边界离开磁场，即粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。
故选AC。
【模型演练4】（2023·高三课时练习）如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处由一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则质子的速度可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】质子带正电，且经过点，其可能的轨迹如图所示
所有圆弧所对圆心角均为，所以质子运行半径为
，2，3，…）
质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
，2，3，…）
故ABD正确，C错误。
故选ABD。
模型二 “旋转圆”模型的应用
【模型演练1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场中有一固定竖直挡板，挡板足够长，P处有一粒子源，PO连线垂直挡板，P到O的距离为L。粒子源能垂直磁场沿纸面向各个方向发射速度大小均为v的带正电粒子。粒子质量均为m，电荷量均为q，到达挡板的粒子都被吸收，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）若有粒子能到达挡板，求磁感应强度大小B应满足的条件；
（2）若粒子到达挡板上侧最远处为M点，下侧最远处为N点，且，求磁感应强度的大小B。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）若恰有粒子能到达挡板，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径最小，为
如图1所示，由几何关系可知
洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律有
解得
即当时，有粒子能到达挡板。
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，粒子到达挡板上侧最远处M点时，轨迹圆在M点与挡板相切，如图2所示。设O、M间距离为
由几何关系有
粒子到达挡板下侧最远处N点时，PN为轨迹圆的直径。设O、N间距离为，由几何关系可得
由题意知
解得
由牛顿第二定律有
解得
【模型演练2】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，空间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，粒子源可沿纸面向各个方向以相同的速率发射质量为、带电荷量为的正粒子，一薄光屏与纸面的交线为PQ，OQL，PQL，。要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】要使粒子能打中左侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹的直径为，由几何关系可得
由洛伦兹力作为向心力可得
可得对应的最小速度为
要使粒子能打中右侧的所有位置，轨迹如图所示
由几何关系可得
解得
由洛伦兹力作为向心力可得
联立解得对应的最小速度为
要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为。
故选D。
【模型演练3】（2023·江西九江·统考三模）如图所示，S为一离子源，为足够长的荧光屏，S到的距离为，左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（ ）
A．打中荧光屏的最短时间为B．打中荧光屏的最长时间为
C．打中荧光屏的宽度为D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为
【答案】AD
【详解】A．根据
则离子轨道半径
离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子轨迹恰好经过P点，如图所示
根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角为60°，能打中荧光屏的最短时间为
故A正确；
B．当时，根据半径公式
离子运动轨迹如图所示
离子速度为从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打在荧光屏上的离子的周期
打中荧光屏的最长时间为
故B错误；
C．离子打中荧光屏的范围总长度为图中得AB长度，由几何关系可知
打中荧光屏的宽度为，故C错误；
D．当时，根据半径公式
离子恰好打到MN上的临界运动轨迹如图所示
离子速度为从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打到N点的离子离开S时的初速度方向和打到点的离子离开S时的初速度方向夹角
能打到荧光屏上的离子数与发射的粒子总数之比
故D正确。
故选AD。
【模型演练4】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段是屏与纸面的交线，长度为，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子；，P为垂足，如图所示，已知，若上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】粒子要打中的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从飞出，绕过距离最近的点，从右侧打中最下端的点，粒子运动的轨迹如图所示
为轨迹圆的弦长，为中点，，；粒子运动的半径为，根据几何关系可知四边形为平行四边形，则
解得
粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知
解得粒子的最小速率为
故选C。
模型三 “平移圆”模型的应用
【模型演练1】如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝eq \f(π,6)。现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为eq \f(4,3)t(不计粒子重力)。则下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(πm,2qt)
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为eq \f(2,5)d
D．粒子进入磁场时的速度大小为eq \f(\r(3)πd,7t)
【答案】 ABC
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是eq \f(1,4)T，即为t＝eq \f(1,4)T，则得周期为T＝4t，故A正确；由T＝4t，R＝eq \f(mv,qB)，T＝eq \f(2πR,v)得，B＝eq \f(2πm,qT)＝eq \f(πm,2qt)，故B正确；运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有Rsin eq \f(π,6)＋eq \f(R,sin \f(π,6))＝d，解得R＝eq \f(2,5)d，故C正确；根据粒子在磁场中运动的速度为v＝eq \f(2πR,T)，周期为T＝4t，半径R＝eq \f(2,5)d，联立可得v＝eq \f(πd,5t)，故D错误。
【模型演练2】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．eq \r(3)∶eq \r(2)
【答案】C
【解析】画出粒子
从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝eq \f(T,4)；由P点运动到M点所用时间为t2，圆心角为θ，则cs θ＝eq \f(\f(R,2),R)，则cs θ＝eq \f(1,2)，θ＝60°，故t2＝eq \f(T,6)，所以eq \f(t1,t2)＝eq \f(\f(T,4),\f(T,6))＝eq \f(3,2)，C正确。
模型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
【模型演练1】(多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq \f(πm,qB)
【答案】 ACD
【解析】 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(θm,qB)可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误．粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r＝eq \f(mv,qB)＝R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：t【模型演练2】（2023·湖南株洲·校联考模拟预测）科学工作者通过电场和磁场来控制带电粒子的运动。如图所示，在xOy平面内，有一个半径为R的圆形区域和边长为2R的正方形区域，在这两个区域里加入匀强电场或匀强磁场就可以控制带电粒子的运动。圆形区域的圆心A的坐标是（R，0），MN是圆的直径，正方形区域中心的坐标是（R，－2R），圆和正方形相切于N点。在范围内有宽度为R的粒子束平行于x轴射入圆形区域，粒子束的速度大小均为。已知圆形区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，正方形区域内加上垂直于纸面向里的匀强磁场，粒子的质量为m，电荷量为＋q，重力不计。
（1）若经过O点的粒子刚好偏转经过N点，求电场强度E的大小。
（2）在满足（1）的条件下，若经过N点的粒子刚好垂直于正方形边界离开，求正方形区域内磁感应强度B的大小。
（3）若把原来的圆形区域和正方形区域里的场都去掉，在圆形区域里加上垂直纸面向外的匀强磁场，在正方形区域里加上垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为，且所有粒子汇聚于N点，最终从正方形区域右边界离开，求粒子从正方形区域右边界离开时的位置对应的长度。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子在圆形区域内做类平抛运动，经过O点的粒子刚好偏转经过N点，则
水平方向
竖直方向
联立上式解得
（2）设粒子进入磁场时与水平方向的夹角为，如图甲所示，则
则
正方形区域中，洛伦兹力提供向心力，有
解得
由几何关系得
则
解得
（3）依题意，平行射入圆形区域的所有粒子汇聚于N点，根据磁聚焦原理，可知粒子在磁场中运动的轨道半径
r＝R
设从N点进入的粒子从正方形区域右边界离开的位置最上边为C点，最下边为D点，作出两个边界圆的圆心分别为、，设从C点射出的粒子从N点进入正方形区域时速度方向与竖直方向的夹角为，如图乙所示，由几何关系可知
且两个边界圆的半径
可得，则
故
【模型演练3】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，以O点为坐标原点在竖直面内建立坐标系，Oa、cd是两个线状粒子放射源，长度均为L=1m，放出同种带正电的粒子，粒子电荷量为，粒子的质量为，其中Oa发出的所有粒子初速度为零，cd发出的所有粒子初速度均为，方向水平向右，带电粒子的重力以及粒子之间的相互作用均可忽略。曲线b的方程为，在曲线Ob与放射源Oa之间存在竖直向上、场强E大小为的匀强电场；第一象限内、虚线eb的上方有垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场I；第二象限内以O为圆心、L长为半径的四分之一圆形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场II。图中的Oe、ab、Oc、eb、ed的长度均为L。观察发现：Oa发出的所有粒子均从同一点离开匀强磁场I，cd发出的所有粒子在匀强磁场II的作用下也汇聚于同一点，即该点可接收到两个粒子源发出的所有粒子。在所有粒子到达汇聚点的过程中，求：
（1）粒子放射源Oa发出粒子进入匀强磁场I时的最大速度；
（2）匀强磁场I、II的磁感应强度、的大小；
（3）Oa、cd两个放射源中点M、N发出的粒子在磁场中的运动时间之比。
【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）粒子在电场中受电场力而加速
得
由，代入可得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
由
又因为，可得
x接近于0，r也接近于0，可知粒子均汇聚于e点，所以
得到
所以
在磁场中运动的粒子也汇聚于e点，可知
得到
（3）粒子在磁场中圆周运动
得
由几何关系可知，M点射出的粒子在磁场I中偏转半周，运动时间为
设N点射出的粒子在磁场II中偏转
得
则运动时间为
则Oa、cd两个放射源中点M、N发出的粒子在磁场中的运动时间之比为
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)
R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq \f(L2＋d2,2d)
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝eq \f(θ,2π)T
②t＝eq \f(L,v)
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
正对圆心射入圆形磁场区域
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。
不对圆心射入圆形磁场区域
两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形
临界圆
临界半径
勾股定理(R2-R1)2=R12+r2
解得：
适用条件
速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
适用条件
速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB)。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq \f(mv0,qB)的圆上
界定
方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29963" 一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述 PAGEREF _Tc29963 \h 1
\l "_Tc11974" 二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型 PAGEREF _Tc11974 \h 2
\l "_Tc18899" 三．平行边界磁场模型 PAGEREF _Tc18899 \h 10
\l "_Tc18148" 四．圆形边界磁场模型 PAGEREF _Tc18148 \h 14
\l "_Tc12341" 五．环形磁约束模型 PAGEREF _Tc12341 \h 28
\l "_Tc12579" 六．三角形或四边形边界磁场模型 PAGEREF _Tc12579 \h 35
\l "_Tc7268" 七．数学圆模型在电磁学中的应用 PAGEREF _Tc7268 \h 42
\l "_Tc25198" 模型一 “放缩圆”模型的应用 PAGEREF _Tc25198 \h 42
\l "_Tc17179" 模型二 “旋转圆”模型的应用 PAGEREF _Tc17179 \h 46
\l "_Tc27175" 模型三 “平移圆”模型的应用 PAGEREF _Tc27175 \h 53
\l "_Tc13689" 模型四 “磁聚焦”模型 PAGEREF _Tc13689 \h 54
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述
二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【模型演练1】（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，在的区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为。一束速率等于的相同带电粒子从原点发射，速度方向与轴正方向的夹角等概率的分布在范围内。其中，沿轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的点（图中末标出）离开磁场，其偏向角为。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．带电粒子的比荷为
C．带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从右边界射出的粒子占总粒子数的
【答案】AC
【详解】A．根据题意作出沿轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图甲所示，圆心为，根据几何关系
可知粒子做圆周运动的半径为
故A正确；
B．由
故B错误；
C．在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为，在磁场中的运动时间
故C正确；
D．结合甲乙两图可知，能从右边界射出的粒子的速度方向与轴正方向的夹角等概率的分布在范围内，占总粒子数的，故D错误。
故选AC。
【模型演练2】如图所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在t＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，eq \r(3)a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a
B．粒子的发射速度大小为eq \f(4πa,t0)
C．带电粒子的比荷为eq \f(4π,3Bt0)
D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0
【答案】 D
【解析】 沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示：
设粒子运动的轨迹半径为r，根据几何关系有(3a－r)2＋(eq \r(3)a)2＝r2，可得粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝2a，选项A错误；根据几何关系可得sin θ＝eq \f(\r(3)a,r)＝eq \f(\r(3),2)，所以θ＝eq \f(π,3)，圆弧OP的长度s＝(π－θ)r，所以粒子的发射速度大小v＝eq \f(s,t0)＝eq \f(4πa,3t0)，选项B错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，结合粒子速度以及半径可得带电粒子的比荷eq \f(q,m)＝eq \f(2π,3Bt0)，选项C错误；当粒子轨迹恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，粒子轨迹如图乙所示，粒子与磁场边界相切于M点，由几何关系可知，从E点射出．设从P点射出的粒子转过的圆心角为π－θ，时间为t0，则从E点射出的粒子转过的圆心角为2(π－θ)，故带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0，选项D正确．
【典例分析3】(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在0≤x≤h，－∞
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为eq \f(Bm,2)，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离．
【答案】 见解析
【解析】 (1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里．设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
qv0B＝meq \f(v02,R)①
由此可得R＝eq \f(mv0,qB)②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h③
由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子穿过y轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得
Bm＝eq \f(mv0,qh)④
(2)若磁感应强度大小为eq \f(Bm,2)，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R′＝2h⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示．设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，
由几何关系sin α＝eq \f(h,2h)＝eq \f(1,2)⑥
即α＝eq \f(π,6)⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
y＝2h(1－cs α)⑧
联立⑦⑧式得y＝(2－eq \r(3))h.
【模型演练4】(2023·湖北宜昌市四月调研)如图甲所示的平面直角坐标系中，轴上方有磁感应强度大小为、垂直纸面向外的匀强磁场，在点处有一粒子源，沿纸面不断地放出同种粒子，粒子的速率均为，粒子射入磁场的速度方向与轴正方向的夹角范围为。粒子的重力及粒子间的相互作用均不计。图乙中的阴影部分表示粒子能经过的区域，其内边界与轴的交点为，外边界与轴的交点为，与轴的交点为。下列判断正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子源放出的粒子的比荷为
C．的长度为
D．从E点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间只能为
【答案】AB
【详解】A．由左手定则可知，粒子带负电，故A正确；
C．如图所示
由几何关系可知
故C错误；
B．根据
解得
故B正确；
D．从点离开磁场的粒子在磁场中转过的角度可能为，也可能是，则在磁场中运动的时间可能为
也可能是
故D错误。
故选AB。
【模型演练5】（2023·重庆·高三统考学业考试）如图所示，平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向里，磁感应强度大小的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9m，M点为x轴正方向上一点，现有一个比荷大小为，可视为质点带负电的微粒（重力不计）从挡板下端N处小孔以不同的速度沿x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，微粒最后都能经过M点，则微粒射入的速度大小可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意，粒子运动的圆心的位置一定在y轴上，所以粒子做圆周运动的半径r一定要大于等于3m，而
ON=9m＜3r
所以粒子最多与挡板ON碰撞一次，碰撞后，第二个圆心的位置在O点的上方，也可能粒子与挡板ON没有碰撞，直接过M点。由洛伦兹力提供向心力
解得
若小球与挡板ON碰撞一次，则轨迹可能如图1
设OO1=s，由几何关系得
r2=OM2+s2=9+s2
3r-9=s
联立解得
r1=3m
r2=3.75m
代入可解的速度分别为
v1=3m/s
v2=3.75m/s
若小球没有与挡板ON碰撞，则轨迹如图2，设 OO2=x，由几何关系得
r32=OM2+x2=9+x2
x=9-r3
联立解得
r3=5m
代入可解的速度分别为
v3=5m/s
故选C。
【模型演练6】（2023·全国·高三专题练习）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP = l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知，一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径
r = 2a
则粒子做圆周运动有
则有
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏，则有
Eq = qvB
联立有
故选A。
三．平行边界磁场模型
【运动模型】
平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝eq \f(θm,Bq)，t2＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θm,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【模型演练1】.(多选)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则( )
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝eq \r(3)∶1
C．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
D．两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1
【答案】 BD
【解析】 由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
故Ra＝eq \f(\f(1,2)d,sin 30°)＝d，Rb＝eq \f(\f(1,2)d,sin 60°)＝eq \f(\r(3),3)d，
所以，Ra∶Rb＝eq \r(3)∶1，故B正确；
由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的圆心角为60°，b粒子转过的圆心角为120°，
ta＝eq \f(Ta,6)＝tb＝eq \f(Tb,3)，则Ta∶Tb＝2∶1，
再根据洛伦兹力提供向心力可得：Bvq＝eq \f(mv2,R)，
所以，运动周期为：T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)；
根据a、b粒子电荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C错误，D正确．
【模型演练2】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是( )
A．电子将向右偏转
B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d
C．电子打在MN上的点与O′点的距离为eq \r(3)d
D．电子在磁场中运动的时间为eq \f(πd,3v0)
【答案】：D
【解析】：电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示
A错误；设电子打在MN上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得：x＝r－eq \r(r2－d2)＝2d－eq \r(2d2－d2)＝(2－eq \r(3))d，故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sin θ＝eq \f(d,2d)＝0.5，得θ＝eq \f(π,6)，则电子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(θr,v0)＝eq \f(πd,3v0)，故D正确．
【模型演练4】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成60°角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子在磁场中运动的周期为
C．在下边界有粒子飞出的长度为L
D．从上边界飞出的粒子速度大小范围为
【答案】AD
【详解】AB．速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其做圆周运动周期的，运动轨迹如图所示
圆心为，其圆弧所对圆心角为，由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得粒子比荷
粒子在磁场中运动的周期
故A正确，B错误；
D．当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心为。设这种情况下粒子速度大小为，半径为，由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
可知粒子从上边界飞出的粒子速度大小范围为，故D正确；
C．下边界有粒子飞出的长度为
故C错误。
故选AD。
四．圆形边界磁场模型
【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝eq \f(R,tan θ)
粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
θ＋α＝90°
1． 圆形有界磁场问题（1）
2． 圆形有界磁场问题（2）
【模型演练1】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场．一带电微粒从图中A点以水平速度垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成角，当该带电微粒离开磁场时，速度方向刚好改变了角．不计微粒重力，下列说法正确的是（ ）
A．该微粒带正电B．该微粒带负电
C．该微粒在磁场中运动的半径为D．该微粒在磁场中运动的时间为
【答案】ACD
【详解】A.B.根据带电微粒的偏转方向，由左手定则可知，该微粒带正电，A正确,B错误；
C.微粒的运动轨迹如图所示，根据几何关系，微粒做圆周运动的半径为
C正确；
D.微粒在磁场中运动的周期为
则微粒在磁场中的运动时间为
D正确。
故选ACD。
【模型演练2】（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，从圆上的A点沿AO方向以速度v射入一个不计重力的粒子。粒子从N点离开磁场。已知。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电荷B．粒子做圆周运动的半径为R
C．粒子的比荷为温D．粒子射出磁场时速度偏转角为
【答案】CD
【详解】A．粒子向上偏转，在A点受洛伦兹力向上，根据左手定则可知，四指指向与速度方向相反，粒子带负电，故A错误；
B．粒子的轨迹如图，粒子射出磁场时速度偏转角为，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系可知
故B错误；
C．由牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力
可得粒子的比荷为
故C正确；
D．由几何关系可知
可得速度偏转角为，故D正确。
故选CD。
【模型演练3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场
【答案】AC
【详解】A．当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为，此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间
故A正确；
B．如图所示
当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨道半径
设粒子的速度大小为，有，解得
故B错误；
C．设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为，根据几何关系有
设粒子的速度大小为，有，解得
故C正确；
D．当粒子的速度大于时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子从MN边界离开磁场，即粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。
故选AC。
【模型演练4】（2023·山西阳泉·统考三模）如图所示，半径为的圆形区域有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为，今有一质量为（不计重力），带电量为的离子以某一速度沿平行于直径的方向射入磁场区域，射入点与间距离为，（ ）
A．若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子一定能够通过磁场圆的圆心
B．若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子在磁场中入射点与出射点相距小于
C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，则该离子在磁场中的运动时间为
D．若该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，则该离子在磁场中的运动时间为
【答案】C
【详解】A．若该离子在磁场中的运动半径为，此时圆心在初速度垂直线段与ab交线处，设为，粒子轨迹如下图
由题意可知
而
故
故该粒子不经过磁场圆的圆心，故A错误；
BD．若该离子在磁场中的运动半径为，粒子轨迹如下图
根据几何知识可知粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的，即
因此为等边三角形，故
此时该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，根据洛伦兹力提供向心力可得该粒子做圆周运动周期为
则该离子在磁场中的运动时间为
故BD错误；
C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，粒子轨迹如下图
由几何知识可知
根据
可得
解得
故为等边三角形，故
故粒子在整个磁场中的圆心角为，粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的，故该离子在磁场中的运动时间为
故C正确。
故选C。
【模型演练5】（2023·北京海淀·人大附中校考模拟预测）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线PM通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1可能为质子
B．粒子2可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
【答案】D
【详解】A．粒子1沿直线运动，因忽略粒子重力及粒子间相互作用力，可知该粒子不带电，故不可能为质子，故A错误；
B．粒子2水平射入后向上偏转，即受到向上的洛伦兹力，由左手定则可知该粒子带正电，故B错误；
C．因粒子1不带电，所以增大磁感应强度，粒子1仍打在M点，故C错误；
D．由可知增大粒子入射速度后，粒子圆轨迹半径增大，所以粒子2可能打在探测器上的Q点，故D正确。
故选D。
【模型演练6】（2023·四川南充·统考三模）如图，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线与竖直方向分别成角，下列判断正确的是（ ）
A．沿径迹运动的粒子均为正电子
B．沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最短
C．沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间之比为2∶1
D．沿径迹运动的粒子动能之比为3∶1
【答案】C
【详解】A．由左手定则可判断沿径迹，运动的粒子均带负电，A项错误；
B．由于正电子和负电子的电量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
解得
可知四种粒子的周期相等，而沿径迹运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由
可知沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最长，B项错误；
C．沿径迹Oa运动的粒子在磁场中偏转角度为
沿径迹Od运动的粒子在磁场中偏转角度为
两粒子运动周期大小相同，则
可知，运动的粒子在磁场中运动时间之比为2∶1，选项C正确；
D．设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹，运动的粒子轨道半径分别为
根据
可得
根据动能
可知沿径迹运动的粒子动能之比为1∶3，选项D错误。
故选C。
【模型演练7】（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考三模）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点处的P点沿着与连线成的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图
当电子的运动轨迹与磁场边界相切时，根据
得
电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周运动的圆心做OP的垂线，由几何关系得
得
则最大速率为
故选C。
【模型演练8】（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。下列判断不正确的是（ ）
A．该粒子的速度为
B．该粒子从b点运动到a点的时间为
C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点
D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是
【答案】D
【详解】AB．粒子从b点以某一初速度沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于轴离开磁场，如图所示由洛伦兹力提供向心力可得
由几何关系可得
联立解得
该粒子从b点运动到a点的时间为
故AB正确；
C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为
该种粒子从边界出射的最远点与入射点的距离为粒子轨迹圆的直径，由几何关系可知
可知该种粒子从边界出射的最远点恰为a点，故C正确；
D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为
当该粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长最大时，轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示
由几何关系可知，最大圆心角为，则最长时间为
故D错误。
此题选择不正确的选项，故选D。
【模型演练9】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在一垂直纸面向里的匀强磁场，直径ab水平。电子带电荷量为、质量为m，以速率v从a处始终沿纸面射入磁场，当电子在a处的速度方向与aO夹角为30°、斜向下时，离开磁场时的速度方向相比进入时的改变了60°。不计电子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．圆形区域中磁场的磁感应强度大小为
B．改变入射方向，当电子经过O点时，电子在磁场中的运动时间为
C．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变
D．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向可能改变
【答案】BC
【详解】A．设电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心为C，出射点为d，如图甲所示，由于电子离开磁场时的速度方向相比进入时的速度方向改变了60°，可知，由三角形全等可知
电子从d点射出时的速度方向竖直向下，可知为等腰三角形，可知电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径
根据洛伦兹力提供电子在磁场中做圆周运动的向心力可得
代入半径可得
故A错误。
B．改变电子在a处的入射方向，当电子经过O点时，如图乙所示，轨迹圆心在圆形边界上的D点，出射点在e点，可知四边形aOeD为菱形，三角形aOD，eOD为等边三角形，电子从e点射出时速度方向仍竖直向下，在磁场中运动轨迹对应的圆心角为120°，电子在磁场中的运动时间为
故B正确。
C．改变电子在a处的入射方向，设电子从一般位置f射出，轨迹圆心为P，同理可知四边形aOfP为菱形，出射点对应轨迹半径，可知电子射出磁场时速度方向仍竖直向下，即改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变，故C正确，D错误。
故选BC。
五．环形磁约束模型
【模型构建】
【模型演练1】（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）某粒子加速器位于竖直平面内，剖面图如图所示，圆筒内外直径分别为D和2D，O为圆心，水平直径GH以上部分是偏转区，以下是回收区，偏转区存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属板间有匀强电场，上板开有小孔，大量的质量为m、电荷量为的粒子由上极板下方处的P点静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度射出电场，由H点仅靠大圆内侧射入磁场，偏转后进入回收区，不计粒子重力，粒子若撞到内外桶壁会被吸收，则（ ）
A．电场强度大小为
B．若磁感应强度满足，粒子一定可以进入回收区
C．若磁感应强度满足，粒子可能进入回收区
D．进入回收区的粒子在磁场中的运动时间全都相同
【答案】BC
【详解】A．粒子加速过程运用动能定理可得
可得
故A错误；
BC．进入回收区的粒子在磁场中的半径范围
或
根据
粒子进入磁感应强度的范围为
或
故BC正确；
D. 周期公式
粒子运动周期随磁场变化，所有粒子均在磁场中经半个周期进入回收区，故D错误。
故选BC。
【模型演练2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q（）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
可得
粒子仅在磁场中运动，则
或
代入可得
或
故选ACD。
【模型演练3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）2023年1月7日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为，外半径为，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子最大轨道半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
要使粒子不离开磁场
由于
故选CD。
【模型演练3】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径，外圆半径，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小，被束缚的带正电粒子的比荷，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。
（1）求带电粒子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0。
（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间。
（3）若要使束缚效果最好，应在半径为的圆内也加上磁场，则该磁场的磁感应强度要与B的方向相同还是相反？在取得最大束缚效果的情况下，若=2B，为使粒子不能射出半径为的圆形区域，求粒子速度的最大值。
【答案】（1），；（2）；（3）相同，
【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
又
解得带电粒子在磁场中运动的周期
当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外边界的最大速度，如图甲所示
根据几何关系有
解得
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有
解得
（2）带电粒子以速度 射入磁场中时，根据几何关系有
解得
故其运动轨迹如图乙所示；带电粒子在磁场中运动的圆心角为
在磁场中运动的时间
带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间
带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间
解得
（3）要使束缚效果最好，则B'与B的方向应相同，如图丙所示；粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为O1，在圆环区域内运动时，轨迹圆心为，设粒子在两区域内的运动半径分别为r1、r2
因为，所以
根据几何关系，有
则为等腰三角形，，所以
解得
则
六．三角形或四边形边界磁场模型
【模型演练1】（2023·广西南宁·南宁三中校考二模）如图所示，A、C两点分别位于x轴和y轴上，，的长度为L。在区域内（包括边界）有垂直于平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带电粒子，以各种不同的速度垂直边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子带负电
B．磁场的磁感应强度的大小为
C．从中点射入磁场的带电粒子可以从C点出射
D．能从边射出的带电粒子最大射入速度是
【答案】BD
【详解】A．由左手定则可知带电粒子带正电，故A错误；
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间2t0内其速度方向改变了90°，故其周期
T=8t0
设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
匀速圆周运动的速度满足
解得
故B正确；
C．由题给条件可知，带电粒子从C点出射，则C为切点，如图所示
由几何关系可知，粒子的轨迹半径为，入射点到A点距离为，不是从中点射入磁场，故C错误；
D．由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹与AC边、OC边相切时，粒子的轨迹半径最大，此时粒子的入射速度最大，如图所示
设O′为圆弧的圆心，圆弧的半径为r0，圆弧与AC相切于N点，从O点射出磁场，由几何关系可知
设粒子最大入射速度大小为vm，由圆周运动规律有
解得
故D正确。
故选BD。
【模型演练2】（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l， 为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】AC
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，由
得
解得
故A正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
得
画出该粒子的运动轨迹如图，设轨道半径为R，由几何知识得
可得
故B错误；
C．粒子射入磁场的速度大小为
故C正确；
D．射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
故D错误。
故选AC。
【模型演练3】（2023·湖南·高三专题练习）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ、若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0.若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t>t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t>t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则
【答案】D
【详解】A．根据题述，粒子从CF的中点射出，由左手定则可知，粒子带正电。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，沿直线AC运动的粒子进入区域Ⅱ，其速度为
设CF=L，粒子从CF的中点射出，在区域II的磁场中运动轨迹半径为
r0=
所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为；
若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，沿直线AC运动的粒子进入区域Ⅱ，其速度，在区域II的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为，故A错误；
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，沿直线AC运动的粒子进入区域Ⅱ，其速度，在区域II的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为，故B错误；
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，由
=m
解得
r=
，带电粒子将从GF射出，由
粒子运动轨迹所对的圆心角
则
故C错误；
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，由
=m
解得
r=L
，带电粒子将从GF射出，由
解得粒子运动轨迹所对的圆心角
则
故D正确。
故选D。
【模型演练4】（2023·安徽·模拟预测）如图，一个边长为l的正方形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电量为的粒子以某一速度从M点垂直于磁场射入，粒子恰好从的中点射出磁场。已知粒子射入磁场时的速度方向与的夹角为，不计粒子重力，粒子射入磁场的速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意作出粒子运动轨迹如图
由题可知，根据几何关系有
则
粒子运动的轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故选B。
七．数学圆模型在电磁学中的应用
模型一 “放缩圆”模型的应用
【模型演练1】(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图9中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A.eq \f(7πm,6qB) B.eq \f(5πm,4qB)
C.eq \f(4πm,3qB) D.eq \f(3πm,2qB)
【答案】 C
【解析】 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定．设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示．圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最大，此时β＝30°，可得θ＝eq \f(4,3)π，则t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(4πm,3qB)，故选C.
【模型演练2】.(多选)(2020·山东潍坊市检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
【答案】 BC
【解析】 由t＝eq \f(θ,2π)T知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹线弧长s＝rθ，运动时间越长，θ越大，但半径r不一定大，s也不一定大，故A错误，B正确．由周期公式T＝eq \f(2πm,qB)知，电子做圆周运动的周期与电子的速率无关，所以电子在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，由r＝eq \f(mv,qB)可知它们的速率不同，故C正确，D错误．
【模型演练3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场
【答案】AC
【详解】A．当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为，此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间
故A正确；
B．如图所示
当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨道半径
设粒子的速度大小为，有，解得
故B错误；
C．设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为，根据几何关系有
设粒子的速度大小为，有，解得
故C正确；
D．当粒子的速度大于时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子从MN边界离开磁场，即粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。
故选AC。
【模型演练4】（2023·高三课时练习）如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处由一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则质子的速度可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】质子带正电，且经过点，其可能的轨迹如图所示
所有圆弧所对圆心角均为，所以质子运行半径为
，2，3，…）
质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
，2，3，…）
故ABD正确，C错误。
故选ABD。
模型二 “旋转圆”模型的应用
【模型演练1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场中有一固定竖直挡板，挡板足够长，P处有一粒子源，PO连线垂直挡板，P到O的距离为L。粒子源能垂直磁场沿纸面向各个方向发射速度大小均为v的带正电粒子。粒子质量均为m，电荷量均为q，到达挡板的粒子都被吸收，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）若有粒子能到达挡板，求磁感应强度大小B应满足的条件；
（2）若粒子到达挡板上侧最远处为M点，下侧最远处为N点，且，求磁感应强度的大小B。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）若恰有粒子能到达挡板，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径最小，为
如图1所示，由几何关系可知
洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律有
解得
即当时，有粒子能到达挡板。
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，粒子到达挡板上侧最远处M点时，轨迹圆在M点与挡板相切，如图2所示。设O、M间距离为
由几何关系有
粒子到达挡板下侧最远处N点时，PN为轨迹圆的直径。设O、N间距离为，由几何关系可得
由题意知
解得
由牛顿第二定律有
解得
【模型演练2】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，空间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，粒子源可沿纸面向各个方向以相同的速率发射质量为、带电荷量为的正粒子，一薄光屏与纸面的交线为PQ，OQL，PQL，。要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】要使粒子能打中左侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹的直径为，由几何关系可得
由洛伦兹力作为向心力可得
可得对应的最小速度为
要使粒子能打中右侧的所有位置，轨迹如图所示
由几何关系可得
解得
由洛伦兹力作为向心力可得
联立解得对应的最小速度为
要使左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为。
故选D。
【模型演练3】（2023·江西九江·统考三模）如图所示，S为一离子源，为足够长的荧光屏，S到的距离为，左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（ ）
A．打中荧光屏的最短时间为B．打中荧光屏的最长时间为
C．打中荧光屏的宽度为D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为
【答案】AD
【详解】A．根据
则离子轨道半径
离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子轨迹恰好经过P点，如图所示
根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角为60°，能打中荧光屏的最短时间为
故A正确；
B．当时，根据半径公式
离子运动轨迹如图所示
离子速度为从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打在荧光屏上的离子的周期
打中荧光屏的最长时间为
故B错误；
C．离子打中荧光屏的范围总长度为图中得AB长度，由几何关系可知
打中荧光屏的宽度为，故C错误；
D．当时，根据半径公式
离子恰好打到MN上的临界运动轨迹如图所示
离子速度为从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打到N点的离子离开S时的初速度方向和打到点的离子离开S时的初速度方向夹角
能打到荧光屏上的离子数与发射的粒子总数之比
故D正确。
故选AD。
【模型演练4】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段是屏与纸面的交线，长度为，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子；，P为垂足，如图所示，已知，若上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】粒子要打中的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从飞出，绕过距离最近的点，从右侧打中最下端的点，粒子运动的轨迹如图所示
为轨迹圆的弦长，为中点，，；粒子运动的半径为，根据几何关系可知四边形为平行四边形，则
解得
粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知
解得粒子的最小速率为
故选C。
模型三 “平移圆”模型的应用
【模型演练1】如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝eq \f(π,6)。现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为eq \f(4,3)t(不计粒子重力)。则下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(πm,2qt)
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为eq \f(2,5)d
D．粒子进入磁场时的速度大小为eq \f(\r(3)πd,7t)
【答案】 ABC
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是eq \f(1,4)T，即为t＝eq \f(1,4)T，则得周期为T＝4t，故A正确；由T＝4t，R＝eq \f(mv,qB)，T＝eq \f(2πR,v)得，B＝eq \f(2πm,qT)＝eq \f(πm,2qt)，故B正确；运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有Rsin eq \f(π,6)＋eq \f(R,sin \f(π,6))＝d，解得R＝eq \f(2,5)d，故C正确；根据粒子在磁场中运动的速度为v＝eq \f(2πR,T)，周期为T＝4t，半径R＝eq \f(2,5)d，联立可得v＝eq \f(πd,5t)，故D错误。
【模型演练2】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．eq \r(3)∶eq \r(2)
【答案】C
【解析】画出粒子
从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝eq \f(T,4)；由P点运动到M点所用时间为t2，圆心角为θ，则cs θ＝eq \f(\f(R,2),R)，则cs θ＝eq \f(1,2)，θ＝60°，故t2＝eq \f(T,6)，所以eq \f(t1,t2)＝eq \f(\f(T,4),\f(T,6))＝eq \f(3,2)，C正确。
模型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
【模型演练1】(多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq \f(πm,qB)
【答案】 ACD
【解析】 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(θm,qB)可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误．粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r＝eq \f(mv,qB)＝R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：t
（1）若经过O点的粒子刚好偏转经过N点，求电场强度E的大小。
（2）在满足（1）的条件下，若经过N点的粒子刚好垂直于正方形边界离开，求正方形区域内磁感应强度B的大小。
（3）若把原来的圆形区域和正方形区域里的场都去掉，在圆形区域里加上垂直纸面向外的匀强磁场，在正方形区域里加上垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为，且所有粒子汇聚于N点，最终从正方形区域右边界离开，求粒子从正方形区域右边界离开时的位置对应的长度。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子在圆形区域内做类平抛运动，经过O点的粒子刚好偏转经过N点，则
水平方向
竖直方向
联立上式解得
（2）设粒子进入磁场时与水平方向的夹角为，如图甲所示，则
则
正方形区域中，洛伦兹力提供向心力，有
解得
由几何关系得
则
解得
（3）依题意，平行射入圆形区域的所有粒子汇聚于N点，根据磁聚焦原理，可知粒子在磁场中运动的轨道半径
r＝R
设从N点进入的粒子从正方形区域右边界离开的位置最上边为C点，最下边为D点，作出两个边界圆的圆心分别为、，设从C点射出的粒子从N点进入正方形区域时速度方向与竖直方向的夹角为，如图乙所示，由几何关系可知
且两个边界圆的半径
可得，则
故
【模型演练3】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，以O点为坐标原点在竖直面内建立坐标系，Oa、cd是两个线状粒子放射源，长度均为L=1m，放出同种带正电的粒子，粒子电荷量为，粒子的质量为，其中Oa发出的所有粒子初速度为零，cd发出的所有粒子初速度均为，方向水平向右，带电粒子的重力以及粒子之间的相互作用均可忽略。曲线b的方程为，在曲线Ob与放射源Oa之间存在竖直向上、场强E大小为的匀强电场；第一象限内、虚线eb的上方有垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场I；第二象限内以O为圆心、L长为半径的四分之一圆形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场II。图中的Oe、ab、Oc、eb、ed的长度均为L。观察发现：Oa发出的所有粒子均从同一点离开匀强磁场I，cd发出的所有粒子在匀强磁场II的作用下也汇聚于同一点，即该点可接收到两个粒子源发出的所有粒子。在所有粒子到达汇聚点的过程中，求：
（1）粒子放射源Oa发出粒子进入匀强磁场I时的最大速度；
（2）匀强磁场I、II的磁感应强度、的大小；
（3）Oa、cd两个放射源中点M、N发出的粒子在磁场中的运动时间之比。
【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）粒子在电场中受电场力而加速
得
由，代入可得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
由
又因为，可得
x接近于0，r也接近于0，可知粒子均汇聚于e点，所以
得到
所以
在磁场中运动的粒子也汇聚于e点，可知
得到
（3）粒子在磁场中圆周运动
得
由几何关系可知，M点射出的粒子在磁场I中偏转半周，运动时间为
设N点射出的粒子在磁场II中偏转
得
则运动时间为
则Oa、cd两个放射源中点M、N发出的粒子在磁场中的运动时间之比为
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)
R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq \f(L2＋d2,2d)
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝eq \f(θ,2π)T
②t＝eq \f(L,v)
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
正对圆心射入圆形磁场区域
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。
不对圆心射入圆形磁场区域
两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形
临界圆
临界半径
勾股定理(R2-R1)2=R12+r2
解得：
适用条件
速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
适用条件
速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB)。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq \f(mv0,qB)的圆上
界定
方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
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