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专题12 匀强电场中的“点线面迹”模型---备战2024年高考物理模型与方法（新课标）
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这是一份专题12 匀强电场中的“点线面迹”模型---备战2024年高考物理模型与方法（新课标），文件包含专题12匀强电场中的“点线面迹”模型原卷版docx、专题12匀强电场中的“点线面迹”模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10168" 【模型一】孤立点电荷的电场模型 PAGEREF _Tc10168 \h 1
\l "_Tc9499" 【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型 PAGEREF _Tc9499 \h 5
\l "_Tc522" 【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型 PAGEREF _Tc522 \h 18
\l "_Tc14760" 【模型四】 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型 PAGEREF _Tc14760 \h 28
【模型一】孤立点电荷的电场模型
(1)正(负)点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外(内)部。
(2)离点电荷越近电场线越密(场强越大)。
(3)以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。
(4)点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝eq \f(kQ,r2).
(5)等势面是球面
【模型演练1】. （2023·江苏·模拟预测）如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（ ）
A．b、h两点的电场强度相同
B．a点电势比e点电势高
C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差
D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等
【答案】D
【详解】A．由题图可知，b、h两点到O点的距离相同，则电场强度的大小相同，但是方向不同，则b、h两点的电场强度不同，故A错误；
BC．电势沿着电场线的方向逐渐降低，该电场是由带负电的点电荷产生的，则离点电荷越远，电势越高，所以a点电势低于e点电势，d点电势低于e点电势，则d、b两点间电势差小于e、b两点间电势差，故BC错误；
D．d、f两点到O点的距离相等，则d、f两点的电势相同，电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等，故D正确。
故选D。
【模型演练2】. （2023·全国·高三专题练习）正点电荷的电场线和等势线如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．c、d两点的电场强度相同
B．a点电势可能低于b点电势
C．同一点电荷在a点所受电场力大于在b点所受电场力
D．一点电荷从c点沿圆弧移到d点，电场力做功不为零
【答案】C
【详解】A．根据对称性可知，c、d两点的电场强度大小一样，方向不一样，故A错误；
B．根据沿着电场线方向电势降低可知，a点所在等势面的电势比b点所在等势面的电势高，故a点的电势高于b点电势，故B错误；
C．由图可知，a点的电场线比b点更加密集，a点场强大于b点，则同一点电荷在a点所受电场力大于在b点所受电场力，故C正确；
D．c点和d处于同一等势面，故将一点电荷从c点沿圆弧移到d点，电场力做功为零，故D错误。
故选C。
【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）电场线的疏密程度能描述电场的强弱，小娜同学想通过点电荷定量研究此问题。首先，她用蓖麻油实验模拟得到点电荷周围电场的分布，如图1所示，然后由点电荷出发，依据模拟得到的电场分布特点，向四周均匀的辐射（画）出N根电场线，如图2所示，其中a点为距点电荷为的球面上一点，b点为距点电荷为的球面上一点。已知电场线的疏密程度n可用穿过单位面积的电场线的条数来表示，该点电荷的电量为Q，下列说法正确的是（ ）
A．依据点电荷场强公式，电场线的疏密程度，E和n均反比于，则可认为电场线的疏密能描述电场的强弱
B．如果小娜同学在画电场线时，向四周均匀的辐射出根电场线，则a点场强加倍
C．试探电荷在a点具有的电势能比在b点具有的电势能大
D．a、b两点的电势差大于
【答案】A
【详解】A．依据点电荷场强公式
电场线的疏密程度
可知E和n均反比于，所以可认为电场线的疏密能描述电场的强弱，故A正确；
B．根据点电荷场强公式
可知，空间中某点场强的大小只与场源电荷及该点到场源电荷的距离有关。电场线是人为假象出来的曲线，所以如果小娜同学在画电场线时，即使向四周均匀的辐射出根电场线，a点的场强也不会发生改变，故B错误；
C．沿着电场线方向，电势逐渐降低，知
根据
可知，由于不知道试探电荷的电性，所以试探电荷在a点具有的电势能不一定比在b点具有的电势能大，故C错误；
D．由于a、b两点间的电场强度
根据
可知a、b两点的电势差
故D错误。
故选A。
【模型演练4】.（2023·云南德宏·高三统考期末）如图所示，在正点电荷Q的电场中有M、N、P、F四点，M、N、P为直角三角形的三个顶点，F为MN的中点，∠M=30°。M、N、P、F四点处的电势分别用、、、表示。已知，，点电荷Q在M、N、P三点所在平面内，则（ ）
A．M、N两点的电场强度相同
B．P点的电势大于M点的电势
C．将正试探电荷从P点搬运到N点，电场力做负功
D．电子在P点的电势能小于在M点的电势能
【答案】BD
【详解】A．点电荷的等势面是一系列的同心圆，圆上任意两点的连线的中垂线一定经过圆心。因此场源电荷Q在MN的中垂线和FP的中垂线的交点处，如下图所示
由几何知识可知，正点电荷Q在MP上，且离P点更近，所以M、N两点的电场强度方向不相同，故A错误；
B．沿电场线方向电势逐渐降低，由于Q是正电荷，且P点距离电荷Q比M点距离电荷Q更近，所以P点的电势比M点的电势高，故B正确；
C．将正试探电荷从P点搬运到N点，试探场源电荷越来越远，则电场力做正功，故C错误；
D．由于P点的电势比M点的电势高，则根据
可知，电子在P点的电势能小于在M点的电势能，故D正确。
故选BD。
【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型
等势面
【模型演练1】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）电鳗是放电能力极强的淡水鱼类，具有“水中高压线”的称号。电鳗体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些细胞就像许多叠在一起的叠层电池，这些电池（每个电池电压约0.15伏）串联起来后，在电鳗的头和尾之间就产生了很高的电压，此时在电鳗的头和尾的周围空间产生了类似于等量异种点电荷（O为连线的中点）的强电场。如图所示，虚线为该强电场的等势线分布，实线ABCD为以O点为中心的正方形，点A和D、点B和C分别在等势线上。则下列说法正确的是（ ）
A．电鳗的头部带正电
B．A点与B点的电场强度相同
C．B点与D点的电场强度相同
D．负电荷沿正方形对角线从C点向A点运动过程中，电势能减小
【答案】C
【详解】A．根据等量异种点电荷的电场线由正极发出，终止于负极，沿电场线方向电势降低，电场线与等势线垂直，可知电鳗尾部带正电，故A错误；
B．A点与B点关于中垂线左右对称，电场强度大小相等，方向不同，故B错误；
C．B点与D点关于O点对称，B点与D点的电场强度相同，故C正确；
D．负电荷从C点沿对角线运动到A点过程中，电场力做负功，电势能增大，故D错误。
故选C。
【模型演练2】．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图所示，一椭圆的两焦点M、N处固定有两个等量异种电荷+Q，-Q，O为椭圆中心，a、b是椭圆短轴上的两个端点，c是OM上的一点，d是Oa上的一点，e、f是椭圆上关于O点对称的两个点，取无穷远处电势为零，下列说法中正确的是（ ）
A．a、b两点电势相等，电场强度不同
B．e、f两点电场强度相同，电势不同
C．一质子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，在c点的电势能小于在d点的电势能
D．一电子从a点沿直线移到O点，再从O点沿直线移到c点，电子的电势能先增大后减小
【答案】B
【详解】AB．等量异种点电荷的电场分布如图所示
电场线越密电场强度越大，电场线越疏，电场强度越小，且沿电场线方向电势降低，由图可知，a、b两点电势相等，电场强度也相同；e、f两点电场强度相同，但电势不同，故A错误，B正确；
C．在两电荷的连线上，O点场强最小，即c点场强大于O点场强，而在中垂线上，O点场强最强，即d点场强小于O点场强，所以c点场强大于d点场强，质子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，c点电势大于零，而d点电势等于零，所以质子在c点的电势能大于在d点的电势能，故C错误；
D．一电子从a移到O点，电势能始终为零，再从O点移到c点，电势升高，电势能减小，故D错误。
故选B。
【模型演练3】．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【答案】C
【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知
A错误；
B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误；
C．由于沿电场线电势降低，可知
根据
可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确；
D．根据
可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。
故选C。
【模型演练4】．（2023·北京·高三专题练习）如图所示，O为等量异种点电荷连线的中点，A、B为连线上的点，C、D为其中垂线上的点，且A、B、C、D距O点距离相等，取无穷远处的电势为零。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两点电势相等
B．C、D两点电场强度不相同
C．O点电势为零，电场强度也为零
D．沿中垂线移动电荷，静电力始终不做功
【答案】D
【详解】A、AB连线上的场强向右，沿电场线方向，电势逐渐降低，所以A点电势大于B点电势，故A错误；
B、C、D两点到两点电荷的距离相等，由点电荷的场强公式与电场的叠加原理可知，C、D两点电场强度大小相等、方向相同，故B错误；
CD、等量异号电荷连线的中垂线是等势线，中垂线上O点的电势与无穷远的电势相等为零，沿中垂线移动电荷，静电力始终不做功，但O点的电场强度不为零，电场强度方向向右，故C错误，D正确；
故选D。
【模型演练5】．（2023·广东湛江·统考二模）如图所示，两等量同种点电荷+q（q>0）固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线AC与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．D、O、B三点的电势相等
C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做正功
D．点电荷从E点运动到F点的过程中速度一直增大
【答案】C
【详解】A．根据等量同种电荷周围的电场线分布图
a、b、c、d四点的电场强度大小相等，但是方向不同，A错误；
B．根据电场线的方向以及电场线的对称性可知D和B两点的电势相等，但是低于O点的电势，B错误；
C．带正电点电荷在从E点运动到O点的过程中受到的电场力向右，所以此过程中电场力做正功，C正确；
D．带正电点电荷从E点运动到F点的过程中受到的电场力先向右，后向左，所以电场力先做正功，后做负功，点电荷的速度先增大后减小，D错误。
故选C。
【模型演练6】．（2023春·江苏南京·高三校考阶段练习）如图甲，O为AB连线的中点，M、N在AB连线的中垂线上，A、B、M、N四点距O点的距离均为。在A、B两点分别固定一点电荷，电荷量均为Q（Q>0）。以O为原点，ON方向为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则ON上的电势随位置x的变化如图乙所示。一电荷量为-q（q > 0）的带电粒子以一定的初动能从M点沿x轴正方向运动，一定时间后经过N点。不计粒子重力，k为静电力常数。则下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在M点受到的电场力大小为
B．粒子在O点的电势能为
C．粒子从x = 处到N点的过程中，其动能减少了
D．要使粒子离开电场，粒子的初动能至少为
【答案】B
【详解】A．设A到M点的距离为，由几何关系可得
A点的电荷对带电粒子的库仑力大小为，由库仑定律有
设带电粒子在M点所受电场力大小为，由力的合成有
解得
A正确，不符合题意；
B．由电势能公式得O点的电势能
B错误，符合题意；
C．带电粒子从处到N点的过程中，由能量守恒定律可得动能的减少量
C正确，不符合题意；
D．要使粒子离开电场，由能量守恒定律得
解得
D正确，不符合题意。
故选B。
【模型演练7】．（2023·吉林·统考三模）如图所示，在光滑绝缘的水平面上固定两个等量正点电荷A和B，O点为AB连线的中点，C、D为AB连线上关于O点对称的两个点，且CO=OD=L，一带负电的可视为点电荷的小球以初速度v0从C点运动到D点，取无穷远处的电势φ=0，以C点为坐标原点，向右为x轴的正方向，下列关于电势φ、电场强度E、小球的电势能Ep及动能Ek随小球运动的位移x变化的图像，可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】AC．从C点到D点，电场线方向先向右后向左，则电势先降低后升高，且电势都大于零，并关于O点对称。小球带负电所以小球的电势能先增大后减小，小球在C、D两点处的电势能相同，故A正确，C错误；
D．由于小球的电势能先增大后减小，在C、D两点处的电势能相同，由能量守恒定律得知，动能先减小后增大，在C、D两点处的动能相同，故D错误；
B．设AC＝BD＝r，点电荷A和B的电荷量大小为Q，则当位移为x时，场强为
由数学知识得知E与x是非线性关系，图像是曲线，故B错误。
故选A。
【模型演练8】．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图所示，真空中电荷量分别为q和-q的两个点电荷固定在正方体ABCD-ABCD的两个顶点A、C上，则下列关于这两个点电荷产生电场的说法中正确的是（ ）
A．B、D两点的电场强度不同
B．B′、D′两点的电场强度相同
C．B、D两点的电势不同
D．B′、D′两点的电势相同
【答案】BD
【详解】等量异种点电荷的电场分布如图所示
面BDD′B′垂直于两点电荷的连线，是一个等势面，由等势面的性质和对称性可知，B、D两点的场强大小相等、方向相同，D′、B′两点的场强大小相等、方向相同，同时B、D、D′、B′四个点的电势均相等。
故选BD。
【模型演练9】．（2023·湖南·模拟预测）如图，一椭圆的两焦点M、N处固定两个等量异种电荷+Q、-Q，O为椭圆中心，ab是椭圆短轴上的两个端点，c是OM上的一点，d是Oa上的一点，ef是椭圆上关于O点对称的两个点，设无穷远处电势和电势能为零，下列说法中正确的是（ ）
A．a、b两点电势相等，但电场强度不同
B．e、f两点电场强度相同，电势也相同
C．一电子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，且在c点的电势能小于在d点的电势能
D．一质子从d点移到无穷远处，静电力做功为零
【答案】CD
【详解】AB．根据等量异种电荷电场线和等势面的分布规律可知，a、b两点电场强度相同，电势均为零，e、f两点关于O点对称，则电场强度相同，根据沿电场线方向电势降低，则e点的电势大于f点的电势，即电势不同，故AB错误；
C．根据等量异种电荷电场分布规律可知，c点电场强度大于O点的电场强度，O点的电场强度又大于d点的电场强度，则电子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，根据沿电场线方向电势降低，知c点的电势大于d点的电势，根据电势能，又因为电子带负电，则电子在c点的电势能小于在d点的电势能，故C正确；
D．由题意可知，无穷远处电势为零，则两电荷在d点产生的电势大小相等，符号相反，代数和为零，即d点电势为零，一质子在d点和无穷远处具有的电势能都为零，即电势能相等，所以将质子从d点移到无穷远处，静电力做功为零，故D正确。
故选CD。
【模型演练10】．（2023·四川成都·校联考三模）如图，电荷量分别为＋Q和－Q（Q > 0）的点电荷固定在正四面体的两个顶点a、b上，c、d是四面体的另外两个顶点，E、F、G、H分别是ab、bc、ca、cd的中点，选无穷远处为零电势点。则（ ）
A．E点的电场强度为零
B．E、H两点的电势均为零
C．c、d两点的电场强度大小相等、方向相同
D．将一检验正电荷从G点移到F点，电荷的电势能增大
【答案】BC
【详解】A．在E点，＋Q和－Q的场强方向均由a点指向b点，故合场强不为零，A错误；
B．过中点E且与＋Q和－Q连线垂直的平面为等势面，H点也在该等势面上，且零电势点在无穷远处，E、H两点的电势均为零，B正确；
C．因正四面体的边长均相等，故＋Q和－Q独自在c、d两点产生的场强大小相等，进一步分析知，在c、d两点，＋Q和－Q的场强方向的夹角均为120°，由平行四边形定则可得：c、d两点的合场强大小相等、方向均平行于ab向右，C正确
D．因G点电势高于F点，故将检验正电荷从G点移到F点，电势能减小，D错误。
故选BC。
【模型演练11】．（2023·安徽黄山·统考三模）如图所示，一绝缘圆环水平放置，圆心为O，其上放置四个电荷量相等的点电荷，这四个点电荷处于互相垂直的两直径的两端，一直径两端的电荷均为正电荷，另一直径两端的电荷均为负电荷。直线为圆环的中轴线，且两点关于O点对称。下列说法中正确的是（ ）
A．两点的场强相等
B．将某一试探电荷沿中轴线从O点移到点，所受电场力可能先增大后减小
C．图中相邻两点电荷间的圆弧中点处电势均相同
D．两正电荷所在直径上以O为对称中心的两个点的场强相同、电势相等
【答案】AC
【详解】AB．根据对称性及电场的矢量叠加可知中轴线的电场强度为0，将某一试探电荷沿中轴线从O点移到点，所受电场力均为0，两点的场强都为0，故A正确，B错误；
C．根据对称性分析可知图中相邻两点电荷间的圆弧中点处电势均相同，故C正确；
D．两正电荷所在直径上以O为对称中心的两个点的场强大小相等，方向相反、电势相等，故D错误；
故选AC。
【模型演练12】．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，在x轴上处固定两个带电量均为的点电荷，一电子仅在静电力的作用下沿x轴从处移动到处或沿y轴从处移动到处。下列说法中正确的是（ ）
A．沿x轴移动时电子的动能先增大后减小
B．沿y轴移动时电子的动能先增大后减小
C．在处固定电荷量为的负点电荷，可使处的电场强度为0
D．在处固定电荷量为的正点电荷，可使处的电场强度为0
【答案】AC
【详解】AB．等量负点电荷电场分布情况如图
x轴上，从处移动到处，场强先减小后变大，电场力先做正功后做负功，电子的动能先增大后减小。y轴上，场强从原点向外，先增大后减小，从处移动到处，电场力先做负功后做正功，电子的动能先减小后增大，A正确，B错误；
C．在处固定电荷量为的负点电荷处的电场强度为
又
解得
C正确；
D．在处固定电荷量为的正点电荷，可使处的电场强度为
又
解得
D错误。
故选AC。
【模型演练4】．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）如图所示，A、B为两个等量同种点电荷，a、O、b在点电荷A、B的连线上，c、O、d在连线的中垂线上，则（ ）
A．a、b两点的场强相同，电势不相同
B．c、d两点的场强不相同，电势相同
C．O点是点电荷A、B连线上电势最低的点，也是点电荷A、B连线上场强最小的点
D．O点是中垂线上电势最高的点，也是中垂线上场强最大的点
【答案】BC
【详解】A．在等量同种电荷的连线上，中点处的电场强度为零，从中点向两边电场强度在增大，方向都是指向中点O处，所以、两点的电场强度大小相等，方向不同，而、两点关于O点对称，根据等势线分布可知、电势相同，故A错误；
B．在中垂线上从O点处开始向两边先增大后减小，上面方向竖直向上，下面方向竖直向下，所以、两点的电场强度方向不同，根据对称性可知电势相等，故B正确；
C．根据电势对称以及沿电场方向电势降落可得O点是点电荷A、B连线上电势最低的点，也是点电荷A、B连线上场强最小的点，故C正确；
D．O点是中垂线上电势最高的点，但不是中垂线上场强最大的点，故D错误。
故选BC。
【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型
1．公式E＝eq \f(U,d)的三点注意
(1)只适用于匀强电场．
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2．纵向拓展
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势，φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
3．横向拓展
公式E＝eq \f(U,d)只能适用于匀强电场的定量计算，但在非匀强电场中，可以用该式进行定性判断．
【模型演练1】（2022·高三课时练习）如图所示，三条相互平行、距离相等的虚线分别表示电场中的三个等势面，对应的电势分别为5 V、10 V、15 V，实线是一不计重力的带电粒子在该区域内的运动轨迹，则可知（ ）
A．粒子一定带正电荷
B．粒子在a、b、c三点中，在b点时所受电场力最大
C．粒子在三点的动能大小为Ekc>Eka>Ekb
D．粒子在三点的电势能大小为Epc>Epa>Epb
【答案】C
【详解】AB．由等势面特点知，该电场为匀强电场，电场线方向向上，而粒子受电场力方向向下，故粒子带负电，粒子在a、b、c三点中所受电场力相等，AB错误；
CD．根据负电荷在电势高处电势能小，动能大，则知负电荷在b点电势能最大，动能最小，且有Epb>Epa>Epc，Ekb故选C。
【模型演练2】．（2023·全国·统考模拟预测）匀强电场中有一条直线，M、N、P为该直线上的三点，且。若MN两点的电势分别为、，则下列叙述正确的是（ ）
A．电场线方向由N指向M
B．P点的电势不一定为
C．正的检验电荷从M点运动到N点的过程，其电势能不一定增大
D．将负的检验电荷以初速度为0放入该电场中的M点，检验电荷将沿直线运动
【答案】D
【详解】A．在匀强电场中，沿电场线的电势变化，沿其他方向的直线电势也变化，N点电势高于M点电势，但直线MN不一定是电场线，选项A错误。
B．匀强电场中沿任意非等势面的直线电势均匀变化，则有
解得
选项B错误；
C．电势有，正的检验电荷在高电势处电势能大，则在M点的电势能小于在N点的电势能，选项C错误。
D．匀强电场的电场线是直线，将负的检验电荷以初速度为0放入M点，该电荷在恒定电场力的作用下，沿场强的反方向做匀加速直线运动，选项D正确；
故选D。
【模型演练3】．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速度相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的7倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（ ）
A．3倍B．4倍C．5倍D．6倍
【答案】C
【详解】根据题意，设电场强度沿AB方向的分量为，沿AD方向的分量为，粒子在A点时的动能为。粒子从A到B的过程，有
粒子从A到C的过程，有
则粒子从A到D的过程，有
解得
故选C。
【模型演练4】．（2023·云南曲靖·校考模拟预测）如图所示，在匀强电场中有直角三角形BOC，电场方向与三角形所在平面平行，若三角形三顶点处的电势分别为φ0=4.5V、φB=0V、φC=9V，且边长，，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场强度的大小为
B．一个电子在O点由静止释放后会做曲线运动
C．电场强度的大小为100V/m
D．一个电子在O点由静止释放后会沿直线OB运动
【答案】C
【详解】AC．由匀强电场的特点可知，则B、C连线中点D的电势为B、C电势的平均值，即为4.5V。连接OD，即为一条等势线，作出过D的与OD垂直的线ED如图，即电场线，
由几何关系可知
所以
D是BC的中点，则△OBD是等边三角形，又，所以DE与BD之间的夹角是，则电场线与OB之间的夹角也是，故该电场的场强方向沿∠B的角平分线向上，根据电势差与电场强度的关系
=
而
代入数据可得
故A错误，C正确；
BD．由作电场的图可知，一个电子在O点由静止释放后会沿电场线运动，而不会沿直线OB运动，故BD错误;
故选C。
【模型演练5】．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考模拟预测）如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为，经过b点时速率为，粒子经过a、b两点时速度方向与连线的夹角分别为、，连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（ ）
A．场强的大小B．场强的方向
C．a、b两点的电势差D．粒子在a、b两点的电势能之差
【答案】D
【详解】AB．设电场力的方向与ab所在直线夹角为，如图所示
垂直电场方向速度分量相同，根据几何知识有
解得
垂直电场力方向做匀速运动，运动的时间为
沿电场力方向速度变化量为
电场强度的大小为
故AB可以确定，不符合题意；
C．根据匀强电场电场强度
可知a、b两点的电势差可求，故C可以确定，不符合题意；
D．根据功能关系有
电荷量未知，无法确定粒子在a、b两点的电势能之差，故D无法确定，符合题意。
故选D。
【模型演练6】．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）一圆心在O点、半径R=0.5m的半圆，AB为其直径，C是半圆上的一点，∠BAC=37°，半圆所在的平面内有一匀强电场，已知A、B、C三点的电势φA=16V、φB=44V、φC=80V。有一粒子发射源从A点可以向半圆所在平面内各个方向发射动能为20eV的电子，不计电子所受的重力及空气阻力，sin37°=0.6，cs37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．在该半圆上，A、C之间可能有一点的电势为81V
B．在该半圆上，B、C之间可能有一点的电势为81V
C．该匀强电场的电场强度大小为100V/m
D．打到该半圆上的电子的最大动能为94eV
【答案】C
【详解】ABC．C是半圆上的一点，AB为直径，则AC垂直于BC，根据几何关系可得
设电场强度的大小为E，方向与CA间的夹角为θ，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系有
两式联立解得
则电场强度的方向沿半径CO方向，C点是半圆上电势最高的点，在该半圆上不可能有电势为81V的点，故A、B错误，C正确；
D．C点是半圆上电势最高的点，电子带负电，根据能量守恒定律可知，打到C点的电子具有的电势能最小，具有的动能最大，对电子从A到C的过程，根据动能定理有
代入数据解得，故D错误。
故选C。
【模型演练7】．（2023·重庆·统考模拟预测）如题图所示，水平面内有三条虚线、、，相邻虚线间距相等且彼此平行，a、b、c为虚线上的三点，其中a、c连线与垂直。某时刻电子以水平向右的速度v通过a点，则（ ）
A．若、、为电场线，则一定有
B．若、、为电场线，则电子一定能够通过c点
C．若、、为等势线，则一定有
D．若、、为等势线，则电子一定不能通过c点
【答案】CD
【详解】A．若l1、l2、l3为电场线，则一定有
Uab＝－Ubc
故A错误；
B．若l1、l2、l3为电场线，则电子不一定能够通过c点，故B错误；
C．若l1、l2、l3为等势线，则一定有
Uab＝Ubc
故C正确；
D．若l1、l2、l3为等势线，a、c连线在电场线上，电子运动离a、c连线越来越远，则电子一定不能通过c点，故D正确。
故选CD。
【模型演练8】．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，在匀强电场中建立直角坐标系，坐标平面与电场方向平行。坐标系中有一个经过O、A、B三点的圆，点为圆心，A点坐标为，A点电势为，点电势为，点电势为，则（ ）
A．电场强度的方向为由方向B．电场强度的方向为由方向
C．电场强度大小为D．电场强度大小为
【答案】BD
【详解】AB．如图所示，连接、，则为直角三角形。
在匀强电场中，沿任意一条直线电势均匀变化，则有
所以点电势为，即、A两点连线为等势线，电场方向为由方向，故A项错误，B项正确；
CD．根据图中数据可知，圆半径，由几何关系可知，，所以
所以电场强度大小为
故C项错误，D项正确。
故选BD。
【模型演练9】．（2023·广西南宁·南宁三中校考二模）如图所示，在匀强电场中有一圆心为O的虚线圆，圆平面与电场方向平行，和是圆的两条夹角为60°的直径，圆的半径为。将电荷量为的带正电粒子从a点移动到b点，克服电场力做功；若将该粒子从c点移动到d点，电场力做功。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．该匀强电场的场强方向与平行，且由a指向b
B．该匀强电场的场强大小为40V/m
C．该粒子从d点移动到b点，电场力做功为
D．该带电粒子从C点垂直方向射入圆形区域，不可能从b点射出
【答案】BD
【详解】A．根据
W=qU
可知
设该匀强电场的场强方向与方向夹角为，结合
U=Ed
则有
解得
该匀强电场的场强方向与平行，正电粒子从a点移动到b点，克服电场力做功，则方向由b指向a，故A错误；
B．根据
解得
故B正确；
C．从d点移动到b点，电场力做功
故C错误；
D．该匀强电场的场强方向与平行，由b指向a，则正粒子受合力方向由b指向a，从C点垂直方向射入圆形区域，不可能从b点射出，故D正确。
故选BD。
【模型演练10】．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）如图甲所示，圆形区域存在与圆平面平行的匀强电场E（图中未画出），圆的两条直径AB与CD间的夹角为，从A点向圆形平面内不同方向发射速率相同的质子（不计质子间相互作用），发现从圆边界射出的粒子中D点射出的粒子速度最大。以A为坐标原点。沿AB方向建立x坐标轴，B点的坐标为，x轴上从A到B的电势变化如图乙所示，则（ ）
A．CD间电势差
B．CD间电势差
C．电场强度
D．电场强度
【答案】BD
【详解】CD．从圆边界射出的粒子中D点射出的粒子速度最大，可知电场力做功最大，沿电场线方向的位移最大，可知场强沿CD方向，则
可得电场强度
故C项错误，D项正确。
AB．CD间电势差
故A项错误，B项正确。
故选BD。
【模型四】 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型
1.根据运动轨迹判断粒子的受力及运动情况
①确定受力方向的依据
a．曲线运动的受力特征：带电粒子受力总指向曲线的凹侧；
b．电场力方向与场强方向的关系：正电荷的受力方向与场强方向相同，负电荷则相反；
c．场强方向与电场线或等势面的关系：电场线的切线方向或等势面的法线方向为电场强度的方向。
②比较加速度大小的依据：电场线或等差等势面越密⇒E越大⇒F＝qE越大⇒a＝eq \f(qE,m)越大。
③判断加速或减速的依据：电场力与速度成锐角(钝角)，电场力做正功(负功)，速度增加(减小)。
2.分析电场的特点和性质问题的一般思路
(1)电场强度
①根据电场线的疏密程度进行判断。
②根据等差等势面的疏密程度进行判断。
③根据E＝keq \f(Q,r2)结合矢量合成进行判断或计算。
(2)电势
①根据沿电场线方向电势逐渐降低进行判断。
②根据φ＝eq \f(Ep,q)进行判断或计算。
③空间存在两个或两个以上的电场时，根据电势的叠加求代数和进行判断或计算。
(3)电势能
①根据Ep＝φq进行判断或计算。注意判断或计算时Ep、φ、q均带正、负号，且Ep、φ的正、负号表示大小。
②根据电场力做功进行判断或计算。若电场力对电荷做正功，电势能减少，反之则增加，且WAB＝－ΔEp。
③根据能量守恒定律进行判断或计算。电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程，若只有电场力做功，电荷的电势能与动能相互转化，而总和应保持不变，即当动能增加时，电势能减少，反之则增加，且ΔEk＝－ΔEp。
【模型演练1】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）某电场等势面分布情况如图所示，A、B分别为场中两点，一带电粒子在此电场中的轨迹如虚线所示，下列判断正确的是（ ）
A．带电粒子带负电
B．带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度
C．带电粒子运动到B点的速度大于在A点的速度
D．负的点电荷在B点由静止释放，只在电场力的作用下电荷将沿着等势面e运动
【答案】C
【详解】A．电场强度方向与等势面垂直，且由高电势点指向低电势点方向，根据图像可知电场方向整体方向向外，而带电粒子所受电场力方向指向轨迹弯曲一侧，根据轨迹可知，电场力方向与电场方向相同，可判定粒子带正电故，故A错误；
B．图中相邻等势线之间的电势差相等，而等差等势面的疏密程度能够间接反映场强大小，根据图像可知，带电粒子在B位置电场线分布比A点稀疏一些，则粒子在B处的电场强度小于A处的电场强度，可知带电粒子在B点的加速度小于在A点的加速度，故B错误；
C．带电粒子带正电，A点电势大于B点电势，根据
可知，粒子从A到B电场力做正功，电势能减小，动能增大，速度增大，即带电粒子运动到B点的速度大于在A点的速度，故C正确；
D．场强方向与等势面垂直，故点电荷受到的电场力方向与等势面垂直，只在电场力的作用下电荷由静止释放不可能沿着等势面e运动，故D错误。
故选C。
【模型演练2】．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）如图所示，一带正电荷的点电荷周围有、、、四条等势线，相邻的两等势线间的电势差为；椭圆轨道为一电子绕该点电荷运动的轨迹，该轨迹与等势线相切于点，与等势线相切于点，电子在点的动能为，另有两个电子分别在等势线、上做匀速圆周运动。不考虑电子间的相互作用及电子运动过程中的电磁辐射，下列说法正确的是（ ）
A．在等势线上运动的电子，其动能大于
B．在等势线上运动的电子，其动能大于
C．在轨道上运动的电子，运动到点时，仅适当改变运动方向，则该电子可到达等势线
D．在轨道上运动的电子，运动到点时，仅适当改变运动方向，则该电子可沿等势线运动
【答案】A
【详解】AB．在椭圆轨道运动的电子在点的动能为，由图可知，到达N点时，动能为2eV，要使在等势线上做匀速圆周运动的电子，其动能应大于，同理可知在等势线上做匀速圆周运动的电子，其动能应小于，A正确，B错误；
CD．点到a轨道的等势能差是9eV，电子在M点时的动能为8eV，因M点与等势线a的电势差为9V，因此在轨道上运动的电子，运动到点时，仅适当改变运动方向，则该电子不可到达等势线；同理电子在N点时的动能为2eV，要到b轨道上做圆周运动，需动能要大于2eV，因此在轨道上运动的电子，运动到点时，仅适当改变运动方向，则该电子不可沿等势线运动，CD错误。
故选A。
【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；
B．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；
C．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，C错误；
D．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误；
故选A。
【模型演练4】．（2023·江苏·模拟预测）电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3 V，电子从a点运动到b点电势能变化了5 eV，则下列说法正确的是（ ）
A．a点电势为7.5 V
B．电子在b点的动能不可能为2.5 eV
C．电子在b点加速度比在c点加速度大
D．电子在电场中运动的最小速度一定为零
【答案】B
【详解】A．根据电子的受力和运动情况可知，电子从a点到c点电场力做负功，电势能增大，根据电场力做功与电势差的关系可知，b点电势比a点电势低5 V，则相邻两等势面间的电势差为2.5 V，则a点电势为
故A错误；
B．电子在两点，由能量守恒定律有
由于电子在c点动能不为零，因此在b点的动能一定大于2.5 eV，故B正确；
C．c点处等差等势面比b点处密集，则b点比c点电场强度小，因此加速度小，故C错误；
D．电子速度与等势面切线平行时，在电场中运动的速度最小，此时的速度最小值不一定为零，故D错误。
故选B。
【模型演练5】．（2023·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势小于D点的电势
B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为
C．电场中C、D两点的电场强度相同
D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大
【答案】A
【详解】A．电子从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度增加，电势能减小，电势升高，可知C点电势高于A点，又因为D、C电势相等，可知D点电势高于A点，A正确；
B．设相邻两等势面间的电势差为U，则从A到C有
从A到B
解得
B错误；
C．由对称性可知，C、D两点的电场强度大小相同，但是方向不同，C错误；
D．因E点电势高于A点，则若电子从A点运动到E点，其电势能减小，D错误。
故选A。
【模型演练6】．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示为某示波管内一个平面的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等差等势线，a、b、c三点分别是电场线与等势线的交点。两个电子分别从a、b两点运动到c点，和分别表示两电子从a、b两点运动到c点时电场力做的功，下列说法正确的是（ ）
A．
B．电子在b点的电势能小于在c点的电势能
C．电子在电场中b点的加速度大于a点的加速度
D．两电子从电场中某点获得瞬间冲量后，不可能沿电场线运动
【答案】A
【详解】A．根据图像可知a、b两点处于同一条等势线上，则有
根据
，
可知
A正确；
B．由于沿电场线电势降低，根据图像可知
根据
，
可知
B错误；
C．电场线分布的密集程度表示电场的强弱，根据图像可知b点的电场线分布比a点的稀疏一些，即b点的电场强度比a点小，电子在b点的电场力比a点小，则电子在电场中b点的加速度小于a点的加速度，C错误；
D．bc电场线是一条直线，当电子从电场中b点或c点获得一个沿bc电场线方向的瞬间冲量后，起速度方向与电场力方向在同一条直线上，此时电子沿电场线运动，D错误。
故选A。
【模型演练7】．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（ ）
A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小
B．负点电荷一定位于M点左侧
C．a点的场强大于b点的场强
D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度
【答案】D
【详解】A．由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向右，带电粒子从a到b过程中电场力对带电粒子做正功，其动能增加，选项A错误；
B．带正电的粒子所受电场力向右，电场线由M指向N，说明负电荷在直线N点右侧，选项B错误；
CD．a点离点电荷较远，a点的电场强度小于b点的电场强度，带电粒子在a点的小于在b点的电场力，根据牛顿第二定律得知，带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故C错误，D正确；
故选D。
【模型演练8】．（2023·山东·模拟预测）在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（ ）
A．α粒子在c处的动能最大
B．α粒子在处的电势能相等
C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等
D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心
【答案】B
【详解】A．α粒子由a到c过程受到的电场力与运动方向的夹角为钝角，电场力做负功，动能减小；由c到e过程受到的电场力与运动方向的夹角为锐角，电场力做正功，动能增大，α粒子在c处的动能最小，A错误；
B．在同一个等势面上，，又电荷电势能
所以α粒子在处的电势能相等，B正确；
C．匀强电场中两等势面间的电势差
由于此电场为非匀强电场，所在等势面间的场强大于所在等势面间的场强，因此
电场力做的功
可知由c到d过程电场力做功较多，C错误；
D．如果α粒子的运动轨迹在a处的切线经过金原子核的中心，则在a处的受力方向和速度方向共线，α粒子要做直线运动，D错误。
故选B。
【模型演练9】．（2023·天津·校联考模拟预测）如图所示，虚线为位于位置的点电荷形成电场中的等势面，已知三个等势面的电势差关系为，图中的实线为一带负电的粒子进入该电场后的运动轨迹，与等势面相交于图中的、、、四点，已知该粒子仅受电场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
A．位置的点电荷带正电
B．该粒子在点的加速度小于在点的加速度
C．、、、d四点中，该粒子在处的电势能最小
D．该粒子从点飞到点动能的变化量等于从点飞到d点动能的变化量
【答案】D
【详解】A．由带负电的粒子的运动轨迹可知，靠近点电荷时受到阻力作用，所以位置的点电荷带负电，故A错误；
B．等差等势面的疏密表示场强强弱，b处的场强比a处大，所以该粒子在点的加速度大于在点的加速度，故B错误；
C．由位置的点电荷带负电，所以b点电势在、、、d四点中最低，由，可知该粒子在处的电势能最大，故C错误；
D．由动能定理可知，该粒子从点飞到点动能的变化量
该粒子从点飞到d点动能的变化量
由，可得
所以该粒子从点飞到点动能的变化量等于从点飞到d点动能的变化量，故D正确。
故选D。
【模型演练10】．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，某静电场的电场线如图中带箭头的实线所示，虚线AB、CD为等势线，带电粒子甲从A点以大小为的初速度射入电场，到达C点，轨迹如图中1所示，带电粒子乙从B点以大小为的初速度射入电场，到达D点，轨迹如图中2所示，不计粒子的重力和粒子间作用力，两粒子的电荷量绝对值相等，则下列判断正确的是（ ）
A．粒子甲带正电，粒子乙带负电
B．粒子甲从A点到C点过程中，速度一直减小
C．粒子乙从B点到D点过程中，电场力做正功
D．粒子甲在C点的电势能一定大于粒子乙在D点的电势能
【答案】C
【详解】A．根据粒子做曲线运动受到的电场力处于轨迹的凹侧，可知粒子甲受到的电场力方向与电场方向相反，粒子甲带负电；粒子乙受到的电场力方向与电场方向相同，粒子乙带正电，故A错误；
C．粒子乙从B点到D点过程中，电场力与速度方向的夹角小于，电场力做正功，故C正确；
B．粒子甲从A点到C点过程中，电场力先做负功，后做正功，粒子甲的速度先减小后增大，故B错误；
D．C点与D点在同一等势线上，可知两点电势相等，根据
虽然知道粒子甲带负电，粒子乙带正电，但由于不清楚C点与D点的电势是大于零还是小于零，故无法判断粒子甲在C点的电势能与粒子乙在D点的电势能的大小关系，故D错误。
故选C。
【模型演练11】．（2023·全国·高三专题练习）一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图中虚线示。不计粒子所受重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电荷B．粒子加速度逐渐减小
C．A点的速度大于B点的速度D．粒子的初速度不为零
【答案】BCD
【详解】A．粒子做曲线运动，受到的电场力与电场线共线且指向轨迹凹侧，故电场力的方向如图所示
由于电场力方向与场强方向相反，故粒子带负电，故A错误；
B．从A点到B点，电场线变疏，场强变小，由
可知，粒子加速度变小，故B正确；
C．从A点运动到B点电场力做负功，速度减小，故在A点的速度大于在B点的速度，故C正确；
D．由图可知，粒子从A点运动到B点，速度逐渐减小，故粒子在A点速度不为零，故D正确。
故选BCD。
【模型演练12】．（2023·湖南郴州·郴州一中校联考模拟预测）静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件（如阴极时线示波管）和电子显微镜中。如图所示为某静电透镜示意图，图中虚线为等差等势面。实线为电场线，一电子束从左侧射入该区域后，沿POR轨迹运动，下列说法正确的是（ ）
A．O点的电场强度小于P点的电场强度
B．各点电势高低为
C．该电子束从P点到R点过程中动能一直增大
D．该电子束从P点到R点过程中电势能一直增大
【答案】BC
【详解】A．由题图知，O点附近的等势面比P点附近的等势面密集，则O点的电场强度大于P点的电场强度，故A错误；
B．根据电场线性质，沿电场线方向电势降低，则有
故B正确；
CD．电子束从P点到R点过程中，电场力一直做正功，因此该电子束从P点到R点过程中电势能一直减小，动能一直增大，故C正确，D错误。
故选BC。
【模型演练13】．（2023·重庆·统考三模）电子透镜两极间的电场线分布如图，中间的一条电场线为直线，其他电场线对称分布，a、b、c、d为电场中的四个点，其中b、d点和b、c点分别关于x、y轴对称。一离子仅在电场力作用下从a运动到b，轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．若将离子从b点移到d点电场力不做功
B．离子在a、b两点的电势能满足
C．离子在a、b两点时动能满足
D．由对称可知，b、c两点的场强相同
【答案】AC
【详解】A．根据电场的对称性可知，b、d两点电势相等，所以将离子从b点移到d点电场力不做功，故A正确；
B．由图可知，粒子带负电，且a点电势大于b点电势，根据电势能
可知离子在a、b两点的电势能满足
故B错误；
C．由图可知，粒子运动方向与受力方向夹角大于90°，所以离子从a到b电场力做负功，动能减少，所以两点时动能满足
故C正确；
D．由对称可知，b、c两点的场强大小相同，方向不同，故D错误。
故选AC。
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐减小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′、B与B′的场强
等大同向
等大反向
等量异种
等量同种
中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相等。
中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于中垂线、连线对称的点电势相等。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10168" 【模型一】孤立点电荷的电场模型 PAGEREF _Tc10168 \h 1
\l "_Tc9499" 【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型 PAGEREF _Tc9499 \h 5
\l "_Tc522" 【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型 PAGEREF _Tc522 \h 18
\l "_Tc14760" 【模型四】 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型 PAGEREF _Tc14760 \h 28
【模型一】孤立点电荷的电场模型
(1)正(负)点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外(内)部。
(2)离点电荷越近电场线越密(场强越大)。
(3)以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。
(4)点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝eq \f(kQ,r2).
(5)等势面是球面
【模型演练1】. （2023·江苏·模拟预测）如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（ ）
A．b、h两点的电场强度相同
B．a点电势比e点电势高
C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差
D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等
【答案】D
【详解】A．由题图可知，b、h两点到O点的距离相同，则电场强度的大小相同，但是方向不同，则b、h两点的电场强度不同，故A错误；
BC．电势沿着电场线的方向逐渐降低，该电场是由带负电的点电荷产生的，则离点电荷越远，电势越高，所以a点电势低于e点电势，d点电势低于e点电势，则d、b两点间电势差小于e、b两点间电势差，故BC错误；
D．d、f两点到O点的距离相等，则d、f两点的电势相同，电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等，故D正确。
故选D。
【模型演练2】. （2023·全国·高三专题练习）正点电荷的电场线和等势线如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．c、d两点的电场强度相同
B．a点电势可能低于b点电势
C．同一点电荷在a点所受电场力大于在b点所受电场力
D．一点电荷从c点沿圆弧移到d点，电场力做功不为零
【答案】C
【详解】A．根据对称性可知，c、d两点的电场强度大小一样，方向不一样，故A错误；
B．根据沿着电场线方向电势降低可知，a点所在等势面的电势比b点所在等势面的电势高，故a点的电势高于b点电势，故B错误；
C．由图可知，a点的电场线比b点更加密集，a点场强大于b点，则同一点电荷在a点所受电场力大于在b点所受电场力，故C正确；
D．c点和d处于同一等势面，故将一点电荷从c点沿圆弧移到d点，电场力做功为零，故D错误。
故选C。
【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）电场线的疏密程度能描述电场的强弱，小娜同学想通过点电荷定量研究此问题。首先，她用蓖麻油实验模拟得到点电荷周围电场的分布，如图1所示，然后由点电荷出发，依据模拟得到的电场分布特点，向四周均匀的辐射（画）出N根电场线，如图2所示，其中a点为距点电荷为的球面上一点，b点为距点电荷为的球面上一点。已知电场线的疏密程度n可用穿过单位面积的电场线的条数来表示，该点电荷的电量为Q，下列说法正确的是（ ）
A．依据点电荷场强公式，电场线的疏密程度，E和n均反比于，则可认为电场线的疏密能描述电场的强弱
B．如果小娜同学在画电场线时，向四周均匀的辐射出根电场线，则a点场强加倍
C．试探电荷在a点具有的电势能比在b点具有的电势能大
D．a、b两点的电势差大于
【答案】A
【详解】A．依据点电荷场强公式
电场线的疏密程度
可知E和n均反比于，所以可认为电场线的疏密能描述电场的强弱，故A正确；
B．根据点电荷场强公式
可知，空间中某点场强的大小只与场源电荷及该点到场源电荷的距离有关。电场线是人为假象出来的曲线，所以如果小娜同学在画电场线时，即使向四周均匀的辐射出根电场线，a点的场强也不会发生改变，故B错误；
C．沿着电场线方向，电势逐渐降低，知
根据
可知，由于不知道试探电荷的电性，所以试探电荷在a点具有的电势能不一定比在b点具有的电势能大，故C错误；
D．由于a、b两点间的电场强度
根据
可知a、b两点的电势差
故D错误。
故选A。
【模型演练4】.（2023·云南德宏·高三统考期末）如图所示，在正点电荷Q的电场中有M、N、P、F四点，M、N、P为直角三角形的三个顶点，F为MN的中点，∠M=30°。M、N、P、F四点处的电势分别用、、、表示。已知，，点电荷Q在M、N、P三点所在平面内，则（ ）
A．M、N两点的电场强度相同
B．P点的电势大于M点的电势
C．将正试探电荷从P点搬运到N点，电场力做负功
D．电子在P点的电势能小于在M点的电势能
【答案】BD
【详解】A．点电荷的等势面是一系列的同心圆，圆上任意两点的连线的中垂线一定经过圆心。因此场源电荷Q在MN的中垂线和FP的中垂线的交点处，如下图所示
由几何知识可知，正点电荷Q在MP上，且离P点更近，所以M、N两点的电场强度方向不相同，故A错误；
B．沿电场线方向电势逐渐降低，由于Q是正电荷，且P点距离电荷Q比M点距离电荷Q更近，所以P点的电势比M点的电势高，故B正确；
C．将正试探电荷从P点搬运到N点，试探场源电荷越来越远，则电场力做正功，故C错误；
D．由于P点的电势比M点的电势高，则根据
可知，电子在P点的电势能小于在M点的电势能，故D正确。
故选BD。
【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型
等势面
【模型演练1】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）电鳗是放电能力极强的淡水鱼类，具有“水中高压线”的称号。电鳗体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些细胞就像许多叠在一起的叠层电池，这些电池（每个电池电压约0.15伏）串联起来后，在电鳗的头和尾之间就产生了很高的电压，此时在电鳗的头和尾的周围空间产生了类似于等量异种点电荷（O为连线的中点）的强电场。如图所示，虚线为该强电场的等势线分布，实线ABCD为以O点为中心的正方形，点A和D、点B和C分别在等势线上。则下列说法正确的是（ ）
A．电鳗的头部带正电
B．A点与B点的电场强度相同
C．B点与D点的电场强度相同
D．负电荷沿正方形对角线从C点向A点运动过程中，电势能减小
【答案】C
【详解】A．根据等量异种点电荷的电场线由正极发出，终止于负极，沿电场线方向电势降低，电场线与等势线垂直，可知电鳗尾部带正电，故A错误；
B．A点与B点关于中垂线左右对称，电场强度大小相等，方向不同，故B错误；
C．B点与D点关于O点对称，B点与D点的电场强度相同，故C正确；
D．负电荷从C点沿对角线运动到A点过程中，电场力做负功，电势能增大，故D错误。
故选C。
【模型演练2】．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图所示，一椭圆的两焦点M、N处固定有两个等量异种电荷+Q，-Q，O为椭圆中心，a、b是椭圆短轴上的两个端点，c是OM上的一点，d是Oa上的一点，e、f是椭圆上关于O点对称的两个点，取无穷远处电势为零，下列说法中正确的是（ ）
A．a、b两点电势相等，电场强度不同
B．e、f两点电场强度相同，电势不同
C．一质子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，在c点的电势能小于在d点的电势能
D．一电子从a点沿直线移到O点，再从O点沿直线移到c点，电子的电势能先增大后减小
【答案】B
【详解】AB．等量异种点电荷的电场分布如图所示
电场线越密电场强度越大，电场线越疏，电场强度越小，且沿电场线方向电势降低，由图可知，a、b两点电势相等，电场强度也相同；e、f两点电场强度相同，但电势不同，故A错误，B正确；
C．在两电荷的连线上，O点场强最小，即c点场强大于O点场强，而在中垂线上，O点场强最强，即d点场强小于O点场强，所以c点场强大于d点场强，质子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，c点电势大于零，而d点电势等于零，所以质子在c点的电势能大于在d点的电势能，故C错误；
D．一电子从a移到O点，电势能始终为零，再从O点移到c点，电势升高，电势能减小，故D错误。
故选B。
【模型演练3】．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【答案】C
【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知
A错误；
B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误；
C．由于沿电场线电势降低，可知
根据
可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确；
D．根据
可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。
故选C。
【模型演练4】．（2023·北京·高三专题练习）如图所示，O为等量异种点电荷连线的中点，A、B为连线上的点，C、D为其中垂线上的点，且A、B、C、D距O点距离相等，取无穷远处的电势为零。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两点电势相等
B．C、D两点电场强度不相同
C．O点电势为零，电场强度也为零
D．沿中垂线移动电荷，静电力始终不做功
【答案】D
【详解】A、AB连线上的场强向右，沿电场线方向，电势逐渐降低，所以A点电势大于B点电势，故A错误；
B、C、D两点到两点电荷的距离相等，由点电荷的场强公式与电场的叠加原理可知，C、D两点电场强度大小相等、方向相同，故B错误；
CD、等量异号电荷连线的中垂线是等势线，中垂线上O点的电势与无穷远的电势相等为零，沿中垂线移动电荷，静电力始终不做功，但O点的电场强度不为零，电场强度方向向右，故C错误，D正确；
故选D。
【模型演练5】．（2023·广东湛江·统考二模）如图所示，两等量同种点电荷+q（q>0）固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线AC与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．D、O、B三点的电势相等
C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做正功
D．点电荷从E点运动到F点的过程中速度一直增大
【答案】C
【详解】A．根据等量同种电荷周围的电场线分布图
a、b、c、d四点的电场强度大小相等，但是方向不同，A错误；
B．根据电场线的方向以及电场线的对称性可知D和B两点的电势相等，但是低于O点的电势，B错误；
C．带正电点电荷在从E点运动到O点的过程中受到的电场力向右，所以此过程中电场力做正功，C正确；
D．带正电点电荷从E点运动到F点的过程中受到的电场力先向右，后向左，所以电场力先做正功，后做负功，点电荷的速度先增大后减小，D错误。
故选C。
【模型演练6】．（2023春·江苏南京·高三校考阶段练习）如图甲，O为AB连线的中点，M、N在AB连线的中垂线上，A、B、M、N四点距O点的距离均为。在A、B两点分别固定一点电荷，电荷量均为Q（Q>0）。以O为原点，ON方向为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则ON上的电势随位置x的变化如图乙所示。一电荷量为-q（q > 0）的带电粒子以一定的初动能从M点沿x轴正方向运动，一定时间后经过N点。不计粒子重力，k为静电力常数。则下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在M点受到的电场力大小为
B．粒子在O点的电势能为
C．粒子从x = 处到N点的过程中，其动能减少了
D．要使粒子离开电场，粒子的初动能至少为
【答案】B
【详解】A．设A到M点的距离为，由几何关系可得
A点的电荷对带电粒子的库仑力大小为，由库仑定律有
设带电粒子在M点所受电场力大小为，由力的合成有
解得
A正确，不符合题意；
B．由电势能公式得O点的电势能
B错误，符合题意；
C．带电粒子从处到N点的过程中，由能量守恒定律可得动能的减少量
C正确，不符合题意；
D．要使粒子离开电场，由能量守恒定律得
解得
D正确，不符合题意。
故选B。
【模型演练7】．（2023·吉林·统考三模）如图所示，在光滑绝缘的水平面上固定两个等量正点电荷A和B，O点为AB连线的中点，C、D为AB连线上关于O点对称的两个点，且CO=OD=L，一带负电的可视为点电荷的小球以初速度v0从C点运动到D点，取无穷远处的电势φ=0，以C点为坐标原点，向右为x轴的正方向，下列关于电势φ、电场强度E、小球的电势能Ep及动能Ek随小球运动的位移x变化的图像，可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】AC．从C点到D点，电场线方向先向右后向左，则电势先降低后升高，且电势都大于零，并关于O点对称。小球带负电所以小球的电势能先增大后减小，小球在C、D两点处的电势能相同，故A正确，C错误；
D．由于小球的电势能先增大后减小，在C、D两点处的电势能相同，由能量守恒定律得知，动能先减小后增大，在C、D两点处的动能相同，故D错误；
B．设AC＝BD＝r，点电荷A和B的电荷量大小为Q，则当位移为x时，场强为
由数学知识得知E与x是非线性关系，图像是曲线，故B错误。
故选A。
【模型演练8】．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图所示，真空中电荷量分别为q和-q的两个点电荷固定在正方体ABCD-ABCD的两个顶点A、C上，则下列关于这两个点电荷产生电场的说法中正确的是（ ）
A．B、D两点的电场强度不同
B．B′、D′两点的电场强度相同
C．B、D两点的电势不同
D．B′、D′两点的电势相同
【答案】BD
【详解】等量异种点电荷的电场分布如图所示
面BDD′B′垂直于两点电荷的连线，是一个等势面，由等势面的性质和对称性可知，B、D两点的场强大小相等、方向相同，D′、B′两点的场强大小相等、方向相同，同时B、D、D′、B′四个点的电势均相等。
故选BD。
【模型演练9】．（2023·湖南·模拟预测）如图，一椭圆的两焦点M、N处固定两个等量异种电荷+Q、-Q，O为椭圆中心，ab是椭圆短轴上的两个端点，c是OM上的一点，d是Oa上的一点，ef是椭圆上关于O点对称的两个点，设无穷远处电势和电势能为零，下列说法中正确的是（ ）
A．a、b两点电势相等，但电场强度不同
B．e、f两点电场强度相同，电势也相同
C．一电子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，且在c点的电势能小于在d点的电势能
D．一质子从d点移到无穷远处，静电力做功为零
【答案】CD
【详解】AB．根据等量异种电荷电场线和等势面的分布规律可知，a、b两点电场强度相同，电势均为零，e、f两点关于O点对称，则电场强度相同，根据沿电场线方向电势降低，则e点的电势大于f点的电势，即电势不同，故AB错误；
C．根据等量异种电荷电场分布规律可知，c点电场强度大于O点的电场强度，O点的电场强度又大于d点的电场强度，则电子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，根据沿电场线方向电势降低，知c点的电势大于d点的电势，根据电势能，又因为电子带负电，则电子在c点的电势能小于在d点的电势能，故C正确；
D．由题意可知，无穷远处电势为零，则两电荷在d点产生的电势大小相等，符号相反，代数和为零，即d点电势为零，一质子在d点和无穷远处具有的电势能都为零，即电势能相等，所以将质子从d点移到无穷远处，静电力做功为零，故D正确。
故选CD。
【模型演练10】．（2023·四川成都·校联考三模）如图，电荷量分别为＋Q和－Q（Q > 0）的点电荷固定在正四面体的两个顶点a、b上，c、d是四面体的另外两个顶点，E、F、G、H分别是ab、bc、ca、cd的中点，选无穷远处为零电势点。则（ ）
A．E点的电场强度为零
B．E、H两点的电势均为零
C．c、d两点的电场强度大小相等、方向相同
D．将一检验正电荷从G点移到F点，电荷的电势能增大
【答案】BC
【详解】A．在E点，＋Q和－Q的场强方向均由a点指向b点，故合场强不为零，A错误；
B．过中点E且与＋Q和－Q连线垂直的平面为等势面，H点也在该等势面上，且零电势点在无穷远处，E、H两点的电势均为零，B正确；
C．因正四面体的边长均相等，故＋Q和－Q独自在c、d两点产生的场强大小相等，进一步分析知，在c、d两点，＋Q和－Q的场强方向的夹角均为120°，由平行四边形定则可得：c、d两点的合场强大小相等、方向均平行于ab向右，C正确
D．因G点电势高于F点，故将检验正电荷从G点移到F点，电势能减小，D错误。
故选BC。
【模型演练11】．（2023·安徽黄山·统考三模）如图所示，一绝缘圆环水平放置，圆心为O，其上放置四个电荷量相等的点电荷，这四个点电荷处于互相垂直的两直径的两端，一直径两端的电荷均为正电荷，另一直径两端的电荷均为负电荷。直线为圆环的中轴线，且两点关于O点对称。下列说法中正确的是（ ）
A．两点的场强相等
B．将某一试探电荷沿中轴线从O点移到点，所受电场力可能先增大后减小
C．图中相邻两点电荷间的圆弧中点处电势均相同
D．两正电荷所在直径上以O为对称中心的两个点的场强相同、电势相等
【答案】AC
【详解】AB．根据对称性及电场的矢量叠加可知中轴线的电场强度为0，将某一试探电荷沿中轴线从O点移到点，所受电场力均为0，两点的场强都为0，故A正确，B错误；
C．根据对称性分析可知图中相邻两点电荷间的圆弧中点处电势均相同，故C正确；
D．两正电荷所在直径上以O为对称中心的两个点的场强大小相等，方向相反、电势相等，故D错误；
故选AC。
【模型演练12】．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，在x轴上处固定两个带电量均为的点电荷，一电子仅在静电力的作用下沿x轴从处移动到处或沿y轴从处移动到处。下列说法中正确的是（ ）
A．沿x轴移动时电子的动能先增大后减小
B．沿y轴移动时电子的动能先增大后减小
C．在处固定电荷量为的负点电荷，可使处的电场强度为0
D．在处固定电荷量为的正点电荷，可使处的电场强度为0
【答案】AC
【详解】AB．等量负点电荷电场分布情况如图
x轴上，从处移动到处，场强先减小后变大，电场力先做正功后做负功，电子的动能先增大后减小。y轴上，场强从原点向外，先增大后减小，从处移动到处，电场力先做负功后做正功，电子的动能先减小后增大，A正确，B错误；
C．在处固定电荷量为的负点电荷处的电场强度为
又
解得
C正确；
D．在处固定电荷量为的正点电荷，可使处的电场强度为
又
解得
D错误。
故选AC。
【模型演练4】．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）如图所示，A、B为两个等量同种点电荷，a、O、b在点电荷A、B的连线上，c、O、d在连线的中垂线上，则（ ）
A．a、b两点的场强相同，电势不相同
B．c、d两点的场强不相同，电势相同
C．O点是点电荷A、B连线上电势最低的点，也是点电荷A、B连线上场强最小的点
D．O点是中垂线上电势最高的点，也是中垂线上场强最大的点
【答案】BC
【详解】A．在等量同种电荷的连线上，中点处的电场强度为零，从中点向两边电场强度在增大，方向都是指向中点O处，所以、两点的电场强度大小相等，方向不同，而、两点关于O点对称，根据等势线分布可知、电势相同，故A错误；
B．在中垂线上从O点处开始向两边先增大后减小，上面方向竖直向上，下面方向竖直向下，所以、两点的电场强度方向不同，根据对称性可知电势相等，故B正确；
C．根据电势对称以及沿电场方向电势降落可得O点是点电荷A、B连线上电势最低的点，也是点电荷A、B连线上场强最小的点，故C正确；
D．O点是中垂线上电势最高的点，但不是中垂线上场强最大的点，故D错误。
故选BC。
【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型
1．公式E＝eq \f(U,d)的三点注意
(1)只适用于匀强电场．
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2．纵向拓展
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势，φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
3．横向拓展
公式E＝eq \f(U,d)只能适用于匀强电场的定量计算，但在非匀强电场中，可以用该式进行定性判断．
【模型演练1】（2022·高三课时练习）如图所示，三条相互平行、距离相等的虚线分别表示电场中的三个等势面，对应的电势分别为5 V、10 V、15 V，实线是一不计重力的带电粒子在该区域内的运动轨迹，则可知（ ）
A．粒子一定带正电荷
B．粒子在a、b、c三点中，在b点时所受电场力最大
C．粒子在三点的动能大小为Ekc>Eka>Ekb
D．粒子在三点的电势能大小为Epc>Epa>Epb
【答案】C
【详解】AB．由等势面特点知，该电场为匀强电场，电场线方向向上，而粒子受电场力方向向下，故粒子带负电，粒子在a、b、c三点中所受电场力相等，AB错误；
CD．根据负电荷在电势高处电势能小，动能大，则知负电荷在b点电势能最大，动能最小，且有Epb>Epa>Epc，Ekb
【模型演练2】．（2023·全国·统考模拟预测）匀强电场中有一条直线，M、N、P为该直线上的三点，且。若MN两点的电势分别为、，则下列叙述正确的是（ ）
A．电场线方向由N指向M
B．P点的电势不一定为
C．正的检验电荷从M点运动到N点的过程，其电势能不一定增大
D．将负的检验电荷以初速度为0放入该电场中的M点，检验电荷将沿直线运动
【答案】D
【详解】A．在匀强电场中，沿电场线的电势变化，沿其他方向的直线电势也变化，N点电势高于M点电势，但直线MN不一定是电场线，选项A错误。
B．匀强电场中沿任意非等势面的直线电势均匀变化，则有
解得
选项B错误；
C．电势有，正的检验电荷在高电势处电势能大，则在M点的电势能小于在N点的电势能，选项C错误。
D．匀强电场的电场线是直线，将负的检验电荷以初速度为0放入M点，该电荷在恒定电场力的作用下，沿场强的反方向做匀加速直线运动，选项D正确；
故选D。
【模型演练3】．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速度相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的7倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（ ）
A．3倍B．4倍C．5倍D．6倍
【答案】C
【详解】根据题意，设电场强度沿AB方向的分量为，沿AD方向的分量为，粒子在A点时的动能为。粒子从A到B的过程，有
粒子从A到C的过程，有
则粒子从A到D的过程，有
解得
故选C。
【模型演练4】．（2023·云南曲靖·校考模拟预测）如图所示，在匀强电场中有直角三角形BOC，电场方向与三角形所在平面平行，若三角形三顶点处的电势分别为φ0=4.5V、φB=0V、φC=9V，且边长，，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场强度的大小为
B．一个电子在O点由静止释放后会做曲线运动
C．电场强度的大小为100V/m
D．一个电子在O点由静止释放后会沿直线OB运动
【答案】C
【详解】AC．由匀强电场的特点可知，则B、C连线中点D的电势为B、C电势的平均值，即为4.5V。连接OD，即为一条等势线，作出过D的与OD垂直的线ED如图，即电场线，
由几何关系可知
所以
D是BC的中点，则△OBD是等边三角形，又，所以DE与BD之间的夹角是，则电场线与OB之间的夹角也是，故该电场的场强方向沿∠B的角平分线向上，根据电势差与电场强度的关系
=
而
代入数据可得
故A错误，C正确；
BD．由作电场的图可知，一个电子在O点由静止释放后会沿电场线运动，而不会沿直线OB运动，故BD错误;
故选C。
【模型演练5】．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考模拟预测）如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为，经过b点时速率为，粒子经过a、b两点时速度方向与连线的夹角分别为、，连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（ ）
A．场强的大小B．场强的方向
C．a、b两点的电势差D．粒子在a、b两点的电势能之差
【答案】D
【详解】AB．设电场力的方向与ab所在直线夹角为，如图所示
垂直电场方向速度分量相同，根据几何知识有
解得
垂直电场力方向做匀速运动，运动的时间为
沿电场力方向速度变化量为
电场强度的大小为
故AB可以确定，不符合题意；
C．根据匀强电场电场强度
可知a、b两点的电势差可求，故C可以确定，不符合题意；
D．根据功能关系有
电荷量未知，无法确定粒子在a、b两点的电势能之差，故D无法确定，符合题意。
故选D。
【模型演练6】．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）一圆心在O点、半径R=0.5m的半圆，AB为其直径，C是半圆上的一点，∠BAC=37°，半圆所在的平面内有一匀强电场，已知A、B、C三点的电势φA=16V、φB=44V、φC=80V。有一粒子发射源从A点可以向半圆所在平面内各个方向发射动能为20eV的电子，不计电子所受的重力及空气阻力，sin37°=0.6，cs37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．在该半圆上，A、C之间可能有一点的电势为81V
B．在该半圆上，B、C之间可能有一点的电势为81V
C．该匀强电场的电场强度大小为100V/m
D．打到该半圆上的电子的最大动能为94eV
【答案】C
【详解】ABC．C是半圆上的一点，AB为直径，则AC垂直于BC，根据几何关系可得
设电场强度的大小为E，方向与CA间的夹角为θ，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系有
两式联立解得
则电场强度的方向沿半径CO方向，C点是半圆上电势最高的点，在该半圆上不可能有电势为81V的点，故A、B错误，C正确；
D．C点是半圆上电势最高的点，电子带负电，根据能量守恒定律可知，打到C点的电子具有的电势能最小，具有的动能最大，对电子从A到C的过程，根据动能定理有
代入数据解得，故D错误。
故选C。
【模型演练7】．（2023·重庆·统考模拟预测）如题图所示，水平面内有三条虚线、、，相邻虚线间距相等且彼此平行，a、b、c为虚线上的三点，其中a、c连线与垂直。某时刻电子以水平向右的速度v通过a点，则（ ）
A．若、、为电场线，则一定有
B．若、、为电场线，则电子一定能够通过c点
C．若、、为等势线，则一定有
D．若、、为等势线，则电子一定不能通过c点
【答案】CD
【详解】A．若l1、l2、l3为电场线，则一定有
Uab＝－Ubc
故A错误；
B．若l1、l2、l3为电场线，则电子不一定能够通过c点，故B错误；
C．若l1、l2、l3为等势线，则一定有
Uab＝Ubc
故C正确；
D．若l1、l2、l3为等势线，a、c连线在电场线上，电子运动离a、c连线越来越远，则电子一定不能通过c点，故D正确。
故选CD。
【模型演练8】．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，在匀强电场中建立直角坐标系，坐标平面与电场方向平行。坐标系中有一个经过O、A、B三点的圆，点为圆心，A点坐标为，A点电势为，点电势为，点电势为，则（ ）
A．电场强度的方向为由方向B．电场强度的方向为由方向
C．电场强度大小为D．电场强度大小为
【答案】BD
【详解】AB．如图所示，连接、，则为直角三角形。
在匀强电场中，沿任意一条直线电势均匀变化，则有
所以点电势为，即、A两点连线为等势线，电场方向为由方向，故A项错误，B项正确；
CD．根据图中数据可知，圆半径，由几何关系可知，，所以
所以电场强度大小为
故C项错误，D项正确。
故选BD。
【模型演练9】．（2023·广西南宁·南宁三中校考二模）如图所示，在匀强电场中有一圆心为O的虚线圆，圆平面与电场方向平行，和是圆的两条夹角为60°的直径，圆的半径为。将电荷量为的带正电粒子从a点移动到b点，克服电场力做功；若将该粒子从c点移动到d点，电场力做功。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．该匀强电场的场强方向与平行，且由a指向b
B．该匀强电场的场强大小为40V/m
C．该粒子从d点移动到b点，电场力做功为
D．该带电粒子从C点垂直方向射入圆形区域，不可能从b点射出
【答案】BD
【详解】A．根据
W=qU
可知
设该匀强电场的场强方向与方向夹角为，结合
U=Ed
则有
解得
该匀强电场的场强方向与平行，正电粒子从a点移动到b点，克服电场力做功，则方向由b指向a，故A错误；
B．根据
解得
故B正确；
C．从d点移动到b点，电场力做功
故C错误；
D．该匀强电场的场强方向与平行，由b指向a，则正粒子受合力方向由b指向a，从C点垂直方向射入圆形区域，不可能从b点射出，故D正确。
故选BD。
【模型演练10】．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）如图甲所示，圆形区域存在与圆平面平行的匀强电场E（图中未画出），圆的两条直径AB与CD间的夹角为，从A点向圆形平面内不同方向发射速率相同的质子（不计质子间相互作用），发现从圆边界射出的粒子中D点射出的粒子速度最大。以A为坐标原点。沿AB方向建立x坐标轴，B点的坐标为，x轴上从A到B的电势变化如图乙所示，则（ ）
A．CD间电势差
B．CD间电势差
C．电场强度
D．电场强度
【答案】BD
【详解】CD．从圆边界射出的粒子中D点射出的粒子速度最大，可知电场力做功最大，沿电场线方向的位移最大，可知场强沿CD方向，则
可得电场强度
故C项错误，D项正确。
AB．CD间电势差
故A项错误，B项正确。
故选BD。
【模型四】 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型
1.根据运动轨迹判断粒子的受力及运动情况
①确定受力方向的依据
a．曲线运动的受力特征：带电粒子受力总指向曲线的凹侧；
b．电场力方向与场强方向的关系：正电荷的受力方向与场强方向相同，负电荷则相反；
c．场强方向与电场线或等势面的关系：电场线的切线方向或等势面的法线方向为电场强度的方向。
②比较加速度大小的依据：电场线或等差等势面越密⇒E越大⇒F＝qE越大⇒a＝eq \f(qE,m)越大。
③判断加速或减速的依据：电场力与速度成锐角(钝角)，电场力做正功(负功)，速度增加(减小)。
2.分析电场的特点和性质问题的一般思路
(1)电场强度
①根据电场线的疏密程度进行判断。
②根据等差等势面的疏密程度进行判断。
③根据E＝keq \f(Q,r2)结合矢量合成进行判断或计算。
(2)电势
①根据沿电场线方向电势逐渐降低进行判断。
②根据φ＝eq \f(Ep,q)进行判断或计算。
③空间存在两个或两个以上的电场时，根据电势的叠加求代数和进行判断或计算。
(3)电势能
①根据Ep＝φq进行判断或计算。注意判断或计算时Ep、φ、q均带正、负号，且Ep、φ的正、负号表示大小。
②根据电场力做功进行判断或计算。若电场力对电荷做正功，电势能减少，反之则增加，且WAB＝－ΔEp。
③根据能量守恒定律进行判断或计算。电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程，若只有电场力做功，电荷的电势能与动能相互转化，而总和应保持不变，即当动能增加时，电势能减少，反之则增加，且ΔEk＝－ΔEp。
【模型演练1】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）某电场等势面分布情况如图所示，A、B分别为场中两点，一带电粒子在此电场中的轨迹如虚线所示，下列判断正确的是（ ）
A．带电粒子带负电
B．带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度
C．带电粒子运动到B点的速度大于在A点的速度
D．负的点电荷在B点由静止释放，只在电场力的作用下电荷将沿着等势面e运动
【答案】C
【详解】A．电场强度方向与等势面垂直，且由高电势点指向低电势点方向，根据图像可知电场方向整体方向向外，而带电粒子所受电场力方向指向轨迹弯曲一侧，根据轨迹可知，电场力方向与电场方向相同，可判定粒子带正电故，故A错误；
B．图中相邻等势线之间的电势差相等，而等差等势面的疏密程度能够间接反映场强大小，根据图像可知，带电粒子在B位置电场线分布比A点稀疏一些，则粒子在B处的电场强度小于A处的电场强度，可知带电粒子在B点的加速度小于在A点的加速度，故B错误；
C．带电粒子带正电，A点电势大于B点电势，根据
可知，粒子从A到B电场力做正功，电势能减小，动能增大，速度增大，即带电粒子运动到B点的速度大于在A点的速度，故C正确；
D．场强方向与等势面垂直，故点电荷受到的电场力方向与等势面垂直，只在电场力的作用下电荷由静止释放不可能沿着等势面e运动，故D错误。
故选C。
【模型演练2】．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）如图所示，一带正电荷的点电荷周围有、、、四条等势线，相邻的两等势线间的电势差为；椭圆轨道为一电子绕该点电荷运动的轨迹，该轨迹与等势线相切于点，与等势线相切于点，电子在点的动能为，另有两个电子分别在等势线、上做匀速圆周运动。不考虑电子间的相互作用及电子运动过程中的电磁辐射，下列说法正确的是（ ）
A．在等势线上运动的电子，其动能大于
B．在等势线上运动的电子，其动能大于
C．在轨道上运动的电子，运动到点时，仅适当改变运动方向，则该电子可到达等势线
D．在轨道上运动的电子，运动到点时，仅适当改变运动方向，则该电子可沿等势线运动
【答案】A
【详解】AB．在椭圆轨道运动的电子在点的动能为，由图可知，到达N点时，动能为2eV，要使在等势线上做匀速圆周运动的电子，其动能应大于，同理可知在等势线上做匀速圆周运动的电子，其动能应小于，A正确，B错误；
CD．点到a轨道的等势能差是9eV，电子在M点时的动能为8eV，因M点与等势线a的电势差为9V，因此在轨道上运动的电子，运动到点时，仅适当改变运动方向，则该电子不可到达等势线；同理电子在N点时的动能为2eV，要到b轨道上做圆周运动，需动能要大于2eV，因此在轨道上运动的电子，运动到点时，仅适当改变运动方向，则该电子不可沿等势线运动，CD错误。
故选A。
【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；
B．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；
C．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，C错误；
D．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误；
故选A。
【模型演练4】．（2023·江苏·模拟预测）电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3 V，电子从a点运动到b点电势能变化了5 eV，则下列说法正确的是（ ）
A．a点电势为7.5 V
B．电子在b点的动能不可能为2.5 eV
C．电子在b点加速度比在c点加速度大
D．电子在电场中运动的最小速度一定为零
【答案】B
【详解】A．根据电子的受力和运动情况可知，电子从a点到c点电场力做负功，电势能增大，根据电场力做功与电势差的关系可知，b点电势比a点电势低5 V，则相邻两等势面间的电势差为2.5 V，则a点电势为
故A错误；
B．电子在两点，由能量守恒定律有
由于电子在c点动能不为零，因此在b点的动能一定大于2.5 eV，故B正确；
C．c点处等差等势面比b点处密集，则b点比c点电场强度小，因此加速度小，故C错误；
D．电子速度与等势面切线平行时，在电场中运动的速度最小，此时的速度最小值不一定为零，故D错误。
故选B。
【模型演练5】．（2023·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势小于D点的电势
B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为
C．电场中C、D两点的电场强度相同
D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大
【答案】A
【详解】A．电子从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度增加，电势能减小，电势升高，可知C点电势高于A点，又因为D、C电势相等，可知D点电势高于A点，A正确；
B．设相邻两等势面间的电势差为U，则从A到C有
从A到B
解得
B错误；
C．由对称性可知，C、D两点的电场强度大小相同，但是方向不同，C错误；
D．因E点电势高于A点，则若电子从A点运动到E点，其电势能减小，D错误。
故选A。
【模型演练6】．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示为某示波管内一个平面的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等差等势线，a、b、c三点分别是电场线与等势线的交点。两个电子分别从a、b两点运动到c点，和分别表示两电子从a、b两点运动到c点时电场力做的功，下列说法正确的是（ ）
A．
B．电子在b点的电势能小于在c点的电势能
C．电子在电场中b点的加速度大于a点的加速度
D．两电子从电场中某点获得瞬间冲量后，不可能沿电场线运动
【答案】A
【详解】A．根据图像可知a、b两点处于同一条等势线上，则有
根据
，
可知
A正确；
B．由于沿电场线电势降低，根据图像可知
根据
，
可知
B错误；
C．电场线分布的密集程度表示电场的强弱，根据图像可知b点的电场线分布比a点的稀疏一些，即b点的电场强度比a点小，电子在b点的电场力比a点小，则电子在电场中b点的加速度小于a点的加速度，C错误；
D．bc电场线是一条直线，当电子从电场中b点或c点获得一个沿bc电场线方向的瞬间冲量后，起速度方向与电场力方向在同一条直线上，此时电子沿电场线运动，D错误。
故选A。
【模型演练7】．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（ ）
A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小
B．负点电荷一定位于M点左侧
C．a点的场强大于b点的场强
D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度
【答案】D
【详解】A．由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向右，带电粒子从a到b过程中电场力对带电粒子做正功，其动能增加，选项A错误；
B．带正电的粒子所受电场力向右，电场线由M指向N，说明负电荷在直线N点右侧，选项B错误；
CD．a点离点电荷较远，a点的电场强度小于b点的电场强度，带电粒子在a点的小于在b点的电场力，根据牛顿第二定律得知，带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故C错误，D正确；
故选D。
【模型演练8】．（2023·山东·模拟预测）在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（ ）
A．α粒子在c处的动能最大
B．α粒子在处的电势能相等
C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等
D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心
【答案】B
【详解】A．α粒子由a到c过程受到的电场力与运动方向的夹角为钝角，电场力做负功，动能减小；由c到e过程受到的电场力与运动方向的夹角为锐角，电场力做正功，动能增大，α粒子在c处的动能最小，A错误；
B．在同一个等势面上，，又电荷电势能
所以α粒子在处的电势能相等，B正确；
C．匀强电场中两等势面间的电势差
由于此电场为非匀强电场，所在等势面间的场强大于所在等势面间的场强，因此
电场力做的功
可知由c到d过程电场力做功较多，C错误；
D．如果α粒子的运动轨迹在a处的切线经过金原子核的中心，则在a处的受力方向和速度方向共线，α粒子要做直线运动，D错误。
故选B。
【模型演练9】．（2023·天津·校联考模拟预测）如图所示，虚线为位于位置的点电荷形成电场中的等势面，已知三个等势面的电势差关系为，图中的实线为一带负电的粒子进入该电场后的运动轨迹，与等势面相交于图中的、、、四点，已知该粒子仅受电场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
A．位置的点电荷带正电
B．该粒子在点的加速度小于在点的加速度
C．、、、d四点中，该粒子在处的电势能最小
D．该粒子从点飞到点动能的变化量等于从点飞到d点动能的变化量
【答案】D
【详解】A．由带负电的粒子的运动轨迹可知，靠近点电荷时受到阻力作用，所以位置的点电荷带负电，故A错误；
B．等差等势面的疏密表示场强强弱，b处的场强比a处大，所以该粒子在点的加速度大于在点的加速度，故B错误；
C．由位置的点电荷带负电，所以b点电势在、、、d四点中最低，由，可知该粒子在处的电势能最大，故C错误；
D．由动能定理可知，该粒子从点飞到点动能的变化量
该粒子从点飞到d点动能的变化量
由，可得
所以该粒子从点飞到点动能的变化量等于从点飞到d点动能的变化量，故D正确。
故选D。
【模型演练10】．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，某静电场的电场线如图中带箭头的实线所示，虚线AB、CD为等势线，带电粒子甲从A点以大小为的初速度射入电场，到达C点，轨迹如图中1所示，带电粒子乙从B点以大小为的初速度射入电场，到达D点，轨迹如图中2所示，不计粒子的重力和粒子间作用力，两粒子的电荷量绝对值相等，则下列判断正确的是（ ）
A．粒子甲带正电，粒子乙带负电
B．粒子甲从A点到C点过程中，速度一直减小
C．粒子乙从B点到D点过程中，电场力做正功
D．粒子甲在C点的电势能一定大于粒子乙在D点的电势能
【答案】C
【详解】A．根据粒子做曲线运动受到的电场力处于轨迹的凹侧，可知粒子甲受到的电场力方向与电场方向相反，粒子甲带负电；粒子乙受到的电场力方向与电场方向相同，粒子乙带正电，故A错误；
C．粒子乙从B点到D点过程中，电场力与速度方向的夹角小于，电场力做正功，故C正确；
B．粒子甲从A点到C点过程中，电场力先做负功，后做正功，粒子甲的速度先减小后增大，故B错误；
D．C点与D点在同一等势线上，可知两点电势相等，根据
虽然知道粒子甲带负电，粒子乙带正电，但由于不清楚C点与D点的电势是大于零还是小于零，故无法判断粒子甲在C点的电势能与粒子乙在D点的电势能的大小关系，故D错误。
故选C。
【模型演练11】．（2023·全国·高三专题练习）一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图中虚线示。不计粒子所受重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电荷B．粒子加速度逐渐减小
C．A点的速度大于B点的速度D．粒子的初速度不为零
【答案】BCD
【详解】A．粒子做曲线运动，受到的电场力与电场线共线且指向轨迹凹侧，故电场力的方向如图所示
由于电场力方向与场强方向相反，故粒子带负电，故A错误；
B．从A点到B点，电场线变疏，场强变小，由
可知，粒子加速度变小，故B正确；
C．从A点运动到B点电场力做负功，速度减小，故在A点的速度大于在B点的速度，故C正确；
D．由图可知，粒子从A点运动到B点，速度逐渐减小，故粒子在A点速度不为零，故D正确。
故选BCD。
【模型演练12】．（2023·湖南郴州·郴州一中校联考模拟预测）静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件（如阴极时线示波管）和电子显微镜中。如图所示为某静电透镜示意图，图中虚线为等差等势面。实线为电场线，一电子束从左侧射入该区域后，沿POR轨迹运动，下列说法正确的是（ ）
A．O点的电场强度小于P点的电场强度
B．各点电势高低为
C．该电子束从P点到R点过程中动能一直增大
D．该电子束从P点到R点过程中电势能一直增大
【答案】BC
【详解】A．由题图知，O点附近的等势面比P点附近的等势面密集，则O点的电场强度大于P点的电场强度，故A错误；
B．根据电场线性质，沿电场线方向电势降低，则有
故B正确；
CD．电子束从P点到R点过程中，电场力一直做正功，因此该电子束从P点到R点过程中电势能一直减小，动能一直增大，故C正确，D错误。
故选BC。
【模型演练13】．（2023·重庆·统考三模）电子透镜两极间的电场线分布如图，中间的一条电场线为直线，其他电场线对称分布，a、b、c、d为电场中的四个点，其中b、d点和b、c点分别关于x、y轴对称。一离子仅在电场力作用下从a运动到b，轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．若将离子从b点移到d点电场力不做功
B．离子在a、b两点的电势能满足
C．离子在a、b两点时动能满足
D．由对称可知，b、c两点的场强相同
【答案】AC
【详解】A．根据电场的对称性可知，b、d两点电势相等，所以将离子从b点移到d点电场力不做功，故A正确；
B．由图可知，粒子带负电，且a点电势大于b点电势，根据电势能
可知离子在a、b两点的电势能满足
故B错误；
C．由图可知，粒子运动方向与受力方向夹角大于90°，所以离子从a到b电场力做负功，动能减少，所以两点时动能满足
故C正确；
D．由对称可知，b、c两点的场强大小相同，方向不同，故D错误。
故选AC。
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐减小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′、B与B′的场强
等大同向
等大反向
等量异种
等量同种
中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相等。
中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于中垂线、连线对称的点电势相等。
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