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2023-2024学年浙教版数学九年级（上）期末仿真模拟卷
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这是一份2023-2024学年浙教版数学九年级（上）期末仿真模拟卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A．a：b = 4：9B．b：c = 2：3
C．a：b = 3：2D．b：c = 3：2
2．（4分）九年级一班有25名男生和20名女生，从中随机抽取一名作为代表参加校演讲比赛．下列说法正确的是（ ）
A．抽到男生和女生的可能性一样大
B．抽到男生的可能性大
C．抽到女生的可能性大
D．抽到男生或女生的可能性大小不能确定
3．（4分）二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=3B．直线x=-2 C．直线x=−12D．直线x=12
4．（4分）如图，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上．下列说法正确的是（ ）
A．图中的弦有AB，AC，BC，AOB．弦BC所对的弧是BC，BAC
C．图中的优弧是BCAD．图中的劣弧是BA
5．（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为 3cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A．0.6cm2B．1.8cm2C．5.4cm2D．3.6cm2
6．（4分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积是（ ）
A．100πcm2B．4003πcm2C．8003πcm2D．800πcm2
7．（4分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）
C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
8．（4分）如图，在⊙O中，AB=CD．有下列结论：
①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD．
其中正确的有（ ）
A．②③④B．①②③④C．①②④D．①②③
9．（4分）如图，以O为位似中心且与△ABC位似的图形编号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20 cmB．18 cmC．25 cmD．32 cm
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）明明家过年时包了100个饺子，其中有一个饺子中包有幸运果．明明任意挑选了一个饺子，正好是包有幸运果的饺子的概率是 .
12．（5分）如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB＝140°，则∠ACB度数为 °．
13．（5分）如图，点 A 在 ⊙O 上，弦 BC 垂直平分 OA ，垂足为 D ．若 OA=4 ，则 BC 的长为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=34，点M，N分别在AC，BC边上，将△ABC沿直线MN翻折，点C恰好落在边AB上，记为点C1，如果△C1MN与△ABC相似，那么折痕MN的长为 ．
15．（5分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=1，BD=3，则边AC的长为 ．
16．（5分）如图所示，△ABC内接于半径为5的半圆O中，AB为直径，点M是AC的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°，且D为BM的中点，则DM的长为 ，BC的长为 .
三、解答题(共8题；共80分)
17．（8分）在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢.
（1）（4分）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果.
（2）（4分）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平.
18．（8分）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）.
（1）（4分）在图1中画格点△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC相似，相似比为2：1.
（2）（4分）在图2中画格点△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC相似，面积比为2：1.（注：图1、图2在答题纸上.）
19．（8分） 某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为m=12x+20(1≤x≤30，x为整数)，且其日销售量y(千克)与时间x(天)之间的函数关系如图所示：
（1）（4分）求每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式；
（2）（4分）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
（1）（4分）求证：△ADF∽△DEC；
（2）（4分）若AB＝8，AD＝6 3 ，AF＝4 3 ，求AE的长．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）（5分）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）（5分）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
22．（12分）如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为120°和240°，转盘可以自由转动.
（1）（6分）转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率；
（2）（6分）转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率.
23．（12分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是ABC的中点，∴MA＝MC，…
（1）（5分）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）（2分）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）（5分）如图4，已知等边△ABC内接于⊙O，AB = 8，D为AC上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求△BDC的周长．
24．（14分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．
（1）（1分）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝ ．
（2）（4分）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEFM是菱形；
（3）（4分）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
（4）（5分）在线段AC上找一点G，使GB+35GA值最小，请直接写出最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵a：c=4：9，
∴9a=4c，
∴a=49c，c=94a．
∵线段b是线段a，c的比例中项，
∴a：b=b：c，即b2=ac=49c2=94a2，
∴b=23c=32a，
∴a：b=49c：23c=2：3，
∴b：c=a：b=2：3；
故答案为：B．
【点睛】根据比例中项的概念，得出a=49c，c=94a，再根据比例的基本性质计算．
【分析】首先由a：c=4：9，根据比例的基本性质得出9a=4c，则a=49c，c=94a．再根据比例中项的概念，可得a：b=b：c，即b2=ac，那么b=23c=32a，进而求解即可．
2．【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：共有25+20=45人，随机抽取一名，是男生的可能性大小=2545=59，是女生的可能性大小=2045=49，
∵59>49，
∴抽到男生的可能性大于女生，
故答案为：B.
【分析】分别求出抽到男生和女生的可能性大小，比较大小即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=(x-3)(x+2)=x2-x-6=(x-12)2-254，
∴该二次函数图象的对称轴是直线x=12.
故答案为：D.
【分析】将抛物线的解析式先整理成一般形式，再利用配方法转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，进而根据顶点式中其对称轴直线为x=h，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，
即点A、B、C在圆上，
则圆上的弦有AB、AC、BC；A选项不符合题意；
弦BC所对的弧有两条，分别为：BC，BAC；B选项符合题意；
图中的优弧有：BCA⏜、CAB⏜；C选项不符合题意；
图中的劣弧有：BA、BC⏜；D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫做弦可判断A选项说法错误；根据大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，所以半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧一般用三个字母表示，劣弧一般用两个字母表示可得B选项说法正确；C和D选项说法错误.
5．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出正方形二维码的面积为9cm2，再计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：AD=AB-BD=30-20=10cm，
∵贴纸部分的面积=扇形BAC的面积-扇形DEA的面积，
即贴纸部分的面积为：120360π×302−120360π×102=120360π×800=8003πcm2.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去小扇形的面积，结合扇形的面积公式S=n360πr2进行计算即可．
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数 y＝ax2（a≠0）的图象过点 （﹣2，﹣3），
∴−3＝4a，即a=−34，
∴y＝−34x2，
∴当x=2时，y=−3.
故答案为：C.
【分析】由待定系数法求得a=−34，即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，AB⏜=CD⏜，
∴AB=CD，①正确；
∵BC⏜为公共弧，
∴AB⏜−BC⏜=CD⏜−BC⏜，
即AC⏜=BD⏜，④正确；
∴AC=BD，②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：B.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD；结合题意可得AC⏜=BD⏜；根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AC=BD，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接OB、OA、OC，
则图形②的三个顶点与△ABC的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与△ABC位似．
故答案为：B
【分析】利用位似变换判断即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；勾股定理
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm ，设AP=CQ=tcm ∴ CP=(6-t)cm ∴PQ=PC2+CQ2 ＝ (6−t)2+t2＝2(t−3)2+18(cm） ∵ 0≤t≤2 ∴当t=2时，PQ的值最小，所以线段PQ的最小值为：25厘米， 故答案为：C。
【分析】根据勾股定理得到：CP=(6-t)cm，PQ=PC2+CQ2 ＝ (6−t)2+t2＝2(t−3)2+18(cm）即可得到结论。
11．【答案】1100
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 明明家过年时包了100个饺子，其中有一个饺子中包有幸运果．明明任意挑选了一个饺子，正好是包有幸运果的饺子的概率是 1100 .
故答案为： 1100 .
【分析】直接利用概率公式计算.
12．【答案】70
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠ACB=12∠AOB=12×140°=70°
故答案为：70.
【分析】直接根据圆周角定理计算。同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
13．【答案】43
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵弦 BC 垂直平分 OA ，
∴∠COD=90°，BD=CD，OD=AD，
∴OD= 12 OA= 12 ×4=2，
∴CD= OC2−OD2=42−22=23 ，
∴BC=2CD= 43 ，
故答案为： 43 ．
【分析】连接OC，根据垂径定理和垂直平分线的性质得到BD=CD，OD=AD，再利用勾股定理求出CD，即可得到BC的长。
14．【答案】5或12524
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，
∴tanA=BCAC=BC8=34，
∴BC=6，AB=62+82=10，
由折叠的性质知△CMN≌△C1MN，
要使△C1MN与△ABC相似，即△CMN与△ABC相似，
∵△CMN≌△C1MN，
∴MN是C1C的垂直平分线，设MN与C1C交于点O，
∴OC=12CC1，
如图所示：当△CMN∽△CAB时，则∠CMN=∠A，
∴MNAB=COCC1=12，
∴MN=12AB=5；
如图所示：当△CMN∽△CBA时，则∠CMN=∠B，
∴∠CMN+∠MCO=90°=∠A+∠B，
∴∠A=∠ACC1，
∴AC1=CC1，
同理，BC1=CC1，则AC1=CC1=BC1=12AB=5，
∴OC=12CC1=52，
设△ABC中，AB边上的高为ℎ，
∴S△ABC=12AC×BC=12AB×ℎ，
∴ℎ=245，
∵△CMN∽△CBA，
∴MNAB=COℎ=52245，
∴MN=12524；
故答案为：5或12524．
【分析】分两种情况画出图形，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出MN的长度。
15．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△CAD∽△BAC，
∴ADAC=ACAB，
∵AD=1，BD=3，
∴1AC=ACAD+BD，
∴AC2=4，AC=2，
故答案为：2.
【分析】由已知的角相等，再加图形中的公共角，可以判定两三角形△CAD和△BAC相似，由相似三角形对应边成比例可得含AC的比例式，进而求解。
16．【答案】2；655
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AM，
∵AB是圆O的直径，
∴∠M=∠C=90°，
∵∠ADB=135°，
∴∠MDA=180°-∠ADB=45°，
∴∠MAD=90°-∠MDA=45°，
∴AM=DM，
∵点D是MB的中点，
∴BM=2MD，
设MD=AM=x，则BM=2x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AM2+BM2=AB2，即x2+(2x)2=252，
解得x=2，
∴DM=AM=2；
∵点M是弧AC的中点，
∴弧AM=弧CM，
∴∠CBM=∠ABM，
∴△ABM∽△EBC，
∴BMAM=BCCE=2，
∵∠M=∠C，∠MAC=∠CBM，
∴△CBE∽△MAE，
∴AMME=BCCE=2，
∴ME=1，BC=2CE，
∴BE=BM-ME=3，
在Rt△BCE中，∵CE2+BC2=BE2，
∴CE2+(2CE)2=32，
解得CE=355，
∴BC=2CE=655.
故答案为：2，655.
【分析】连接AM，由直径所对的圆周角是直角得∠M=∠C=90°，进而证出AM=DM，结合中点定义，设MD=AM=x，则BM=2x，在Rt△ABM中，由勾股定理建立方程可求出x的值，得到AM及DM的长，由等弧所对的圆周角相等得∠CBM=∠ABM，由有两组角相等的三角形相似得△ABM∽△EBC，由相似三角形对应边成比例得BMAM=BCCE=2，再由有两组角相等的三角形相似得△CBE∽△MAE，由相似三角形对应边成比例得AMME=BCCE=2，则ME=1，BC=2CE，在Rt△BCE中，由勾股定理建立方程可求出CE的长，从而此题得解.
17．【答案】（1）解：列表如下：
（2）解：从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次所掷数字的和为奇数的情况有8种，和为偶数的有8种，
所以小明获胜的概率为12、小刚获胜的概率为12，
故此游戏对两人是公平的.
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据列表法可得所有可能出现的结果；
（2）根据（1）的表格可得所有可能出现的情况数以及两次所掷数字的和为奇数、偶数的情况数，利用概率公式求出小明、小刚获胜的概率，然后进行比较即可判断.
18．【答案】（1）解：画法不唯一，如下图1：
由题意得，AB=1，BC=12+12=2，AC=12+22=5，
∵△A1B1C1∼△ABC，相似比为2：1，
∴A1B1AB=A1C1AC=B1C1BC=21，
∴△ABC的各边长扩大两倍，
∴A1B1=2，B1C1=22，A1C1=25.
（2）解：画法不唯一，如图2：
由（1）得：AB=1，BC=12+12=2，AC=12+22=5，
∴△A2B2C2∼△ABC，面积比为2：1，
∴相似比为：21，
∴A2B2AB=A2C2AC=B2C2BC=21，
∴△ABC的各边长扩大2倍，
∴A2B2=2，B2C2=2，A2C2=10.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及勾股定理算出BC、AC的长，进而根据相似三角形对应边成比例可得A1B1、B1C1、A1C1的长，进而利用方格纸的特点作图即可；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得相似比，从而即可求出A2B2、B2C2、A2C2的长，进而利用方格纸的特点作图即可.
19．【答案】（1）解：由题意设销售数量y=kx+b(k≠0)，
把(10，55)，(26，39)代入函数解析式得：
10k+b=5526k+b=39，
解得：k=−1b=65，
∴y=−x+65，
∴W=y(m−10)=(−x+65)(12x+20−10)=−12x2+452x+650(1≤x≤30，x为整数)．
∴每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式为W=−12x2+452x+650(1≤x≤30，x为整数)；
（2）解：∵W=−12x2+452x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x=−4522×(−12)=22.5，
∵a=−12<0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x=22或x=23时，W取得最大值，
最大值为：
(−22+65)(12×22+10)=43×21=903(元)．
∴第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为903元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）从图中读取2点坐标代入一次函数解析式的一般式，求出日销售数量的解析式，根据日销售利润=（销售单价-单位成本）×日销售数量的等量关系列函数关系式；（2）讨论（1）的函数解析式的最值，函数开口向下有最大值，当x=−b2a时，有最大值4ac−b24a。
20．【答案】（1）证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∴ ∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝180°－∠B． ∵ ∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴ ∠AFD＝180°－∠B，∴ ∠AFD＝∠C，∴ △ADF∽△DEC
（2）解：在□ABCD中，CD＝AB＝8，∵ △ADF∽△DEC， ∴ADDE=AFCD ，∴63DE=438 ，∴ DE＝12． ∵ AD∥BC，AE⊥BC，∴ AE⊥AD． 在Rt△AED中， AE=DE2−AD2=122−(63)2=6
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行得出 AD∥BC ， AB∥CD ，根据二直线平行，内错角相等得出 ∠ADF＝∠CED ，根据二直线平行，同旁内角互补得出 ∠B＋∠C＝180° ，由 ∠AFE＋∠AFD＝180° ， ∠AFE＝∠B，根据等角的补角相等得出 ∠AFD＝∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ADF∽△DEC ；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出 ADDE=AFCD ，根据比例式即可求出DE的长，然后利用勾股定理即可算出AE的长。
21．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2× 12 x2-2× 12 （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x≤2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- 32 ）2+ 92 ．
所以当x＝ 32 时，S的值最大，最大值为 92 ．
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，结合AE＝AH＝CG＝CF得BE＝DG，BF＝DH，利用SAS证明△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，然后根据S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB就可得到S与x的关系式；
（2）根据S与x的关系式结合二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）解：∵ 转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为120°和240°，
∴P（指针落在红色扇形内）=120°360°=13.
答：转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率为13
（2）解：列树状图如下
一共有9种结果数，落在蓝色区域的有4种情况，
∴P（指针两次都落在蓝色扇形内）=49
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知红色转盘的圆心角为120°，因此利用概率公式进行计算，可求出结果.
（2）由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数及落在蓝色区域的情况数，然后利用概率公式进行计算，可求出结果.
23．【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 ABC 的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）3
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= 22 AB=4 2 ，
则△BDC的周长=2BE+BC=8 2 +8．
故答案为：8+8 2 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，利用弧的中点和弧、弦、圆心角之间的关系定理，可证得MA=MC，利用SAS证明△MBA≌△MGC，利用全等三角形的性质可得到MB=MG，利用等腰三角形的性质可证得BD=GD，由此可证得DC=AB+BD.
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，利用SAS证明△DCF≌△DBA，利用全等三角形的性质可证得DF=AD，利用等腰三角形的性质可证得AE=EF，即可求出AE的长.
（3）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，利用SAS证明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性质可得到AF=AD，利用等腰三角形的性质可证得FE=DE，可推出CD+DE=BE；从而可求出BE的长，然后证明△BDC的周长=2BE+BC，代入计算求出△BDC的周长.
24．【答案】（1）4
（2）解：证明：由题意得△AEF≌△MEF，
∴AE＝AF，ME＝MF，∠AFE＝∠MFE，
∵FM∥AC，
∴∠AEF＝∠MFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝MF＝ME，
∴四边形AEFM是菱形；
（3）解：解：在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴AC=AB2−BC2=202−122=16，
∵△AQH∽△ACB，
∴AQAC=QHBC，
即AQ16=412，
∴AQ=163，
∴QC=AC−AQ=323．
设菱形AEFM边长为4m，
∵FM∥AC，
∴△BFM∽△BAC，
∴FMAC=BMBC=BFBA，
即4m16=BM12=BF20，
∴BM＝3m，BF＝5m，
∴AB＝AF+BF＝4m+5m＝20，
∴m=209，
∴BM=3m=203，
∴CM=BC−BM=163．
设PQ＝x，
当△HQP∽△MCP时，HQMC=QPCP，
即4163=x323−x，
解得x=327；
当△HQP∽△MPC时，HQPC=QPCM，
即4323−x=x163，
解得x1=8，x2=83；
经检验，x=327或x＝8或x=83都是原方程的解，
综上所述，满足条件的PQ的值为327或8或83；
（4）解：解：如图延长线段BC到D，使得DC＝CB＝12，作DM⊥AB于点M，交AC与点G，连接BG，
∴BD＝2BC＝24，∠AMG＝∠ACB＝90°，
∴AC为线段BD的垂直平分线，
∴DG＝BG，
又∵∠A＝∠A，∠AMG＝∠ACB＝90°，
∴△AMG∽△ACB，
∴MGCB=AGAB，
即MG12=AG20，
∴MG=35AG，
∴GB+35GA=DG+GM=DM，此时GB+35GA最小，
∵∠DMB＝∠ACB＝90°，∠DBM＝∠ABC，
∴△DMB∽△ACB，
∴DBAB=DMAC，
即2420=DM16，
∴DM=965，
∴GB+35GA最小值为965．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵QH⊥AC，△AQH≅△DQH，
∴QH∥BC，
∴△AQH~△ACB，
∴△DQH~△ACB，
∵S△ABC＝9S△DHQ，
∴QH2BC2=19，
∴QH12=13，
∴QH=4，
故答案为：4.
【分析】（1）根据题意得到QH⊥AC，△AQH≅△DQH，进而得到△DQH~△ACB，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）由题意得△AEF≅△MEF，进而得到：AE＝AF，ME＝MF，∠AFE＝∠MFE，再根据平行线的性质得到：∠AEF＝∠AFE， AE=AF，即可证明四边形AEFM是菱形；
（3）先求出QC=323，再求出CM=163， 设PQ=x， △HQP~△MCP和△HQP~△MPC两种情况讨论即可求解；
（4） 延长线段BC到D，使得DC＝CB＝12，作DM⊥AB于点M，交AC与点G，连接BG，可以得到AC为线段BD的垂直平分线，DG=BG， 证明△AMG~△ACB，得到MG=35AG，从而得到GB+35GA=DG+GM=DM，此时GB+GA最小，证明△DMB~△ACB，即可求出DM的长度.1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A．a：b = 4：9B．b：c = 2：3
C．a：b = 3：2D．b：c = 3：2
2．（4分）九年级一班有25名男生和20名女生，从中随机抽取一名作为代表参加校演讲比赛．下列说法正确的是（ ）
A．抽到男生和女生的可能性一样大
B．抽到男生的可能性大
C．抽到女生的可能性大
D．抽到男生或女生的可能性大小不能确定
3．（4分）二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=3B．直线x=-2 C．直线x=−12D．直线x=12
4．（4分）如图，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上．下列说法正确的是（ ）
A．图中的弦有AB，AC，BC，AOB．弦BC所对的弧是BC，BAC
C．图中的优弧是BCAD．图中的劣弧是BA
5．（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为 3cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A．0.6cm2B．1.8cm2C．5.4cm2D．3.6cm2
6．（4分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积是（ ）
A．100πcm2B．4003πcm2C．8003πcm2D．800πcm2
7．（4分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）
C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
8．（4分）如图，在⊙O中，AB=CD．有下列结论：
①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD．
其中正确的有（ ）
A．②③④B．①②③④C．①②④D．①②③
9．（4分）如图，以O为位似中心且与△ABC位似的图形编号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20 cmB．18 cmC．25 cmD．32 cm
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）明明家过年时包了100个饺子，其中有一个饺子中包有幸运果．明明任意挑选了一个饺子，正好是包有幸运果的饺子的概率是 .
12．（5分）如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB＝140°，则∠ACB度数为 °．
13．（5分）如图，点 A 在 ⊙O 上，弦 BC 垂直平分 OA ，垂足为 D ．若 OA=4 ，则 BC 的长为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=34，点M，N分别在AC，BC边上，将△ABC沿直线MN翻折，点C恰好落在边AB上，记为点C1，如果△C1MN与△ABC相似，那么折痕MN的长为 ．
15．（5分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=1，BD=3，则边AC的长为 ．
16．（5分）如图所示，△ABC内接于半径为5的半圆O中，AB为直径，点M是AC的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°，且D为BM的中点，则DM的长为 ，BC的长为 .
三、解答题(共8题；共80分)
17．（8分）在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢.
（1）（4分）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果.
（2）（4分）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平.
18．（8分）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）.
（1）（4分）在图1中画格点△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC相似，相似比为2：1.
（2）（4分）在图2中画格点△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC相似，面积比为2：1.（注：图1、图2在答题纸上.）
19．（8分） 某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为m=12x+20(1≤x≤30，x为整数)，且其日销售量y(千克)与时间x(天)之间的函数关系如图所示：
（1）（4分）求每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式；
（2）（4分）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
（1）（4分）求证：△ADF∽△DEC；
（2）（4分）若AB＝8，AD＝6 3 ，AF＝4 3 ，求AE的长．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）（5分）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）（5分）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
22．（12分）如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为120°和240°，转盘可以自由转动.
（1）（6分）转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率；
（2）（6分）转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率.
23．（12分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是ABC的中点，∴MA＝MC，…
（1）（5分）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）（2分）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）（5分）如图4，已知等边△ABC内接于⊙O，AB = 8，D为AC上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求△BDC的周长．
24．（14分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．
（1）（1分）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝ ．
（2）（4分）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEFM是菱形；
（3）（4分）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
（4）（5分）在线段AC上找一点G，使GB+35GA值最小，请直接写出最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵a：c=4：9，
∴9a=4c，
∴a=49c，c=94a．
∵线段b是线段a，c的比例中项，
∴a：b=b：c，即b2=ac=49c2=94a2，
∴b=23c=32a，
∴a：b=49c：23c=2：3，
∴b：c=a：b=2：3；
故答案为：B．
【点睛】根据比例中项的概念，得出a=49c，c=94a，再根据比例的基本性质计算．
【分析】首先由a：c=4：9，根据比例的基本性质得出9a=4c，则a=49c，c=94a．再根据比例中项的概念，可得a：b=b：c，即b2=ac，那么b=23c=32a，进而求解即可．
2．【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：共有25+20=45人，随机抽取一名，是男生的可能性大小=2545=59，是女生的可能性大小=2045=49，
∵59>49，
∴抽到男生的可能性大于女生，
故答案为：B.
【分析】分别求出抽到男生和女生的可能性大小，比较大小即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=(x-3)(x+2)=x2-x-6=(x-12)2-254，
∴该二次函数图象的对称轴是直线x=12.
故答案为：D.
【分析】将抛物线的解析式先整理成一般形式，再利用配方法转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，进而根据顶点式中其对称轴直线为x=h，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，
即点A、B、C在圆上，
则圆上的弦有AB、AC、BC；A选项不符合题意；
弦BC所对的弧有两条，分别为：BC，BAC；B选项符合题意；
图中的优弧有：BCA⏜、CAB⏜；C选项不符合题意；
图中的劣弧有：BA、BC⏜；D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫做弦可判断A选项说法错误；根据大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，所以半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧一般用三个字母表示，劣弧一般用两个字母表示可得B选项说法正确；C和D选项说法错误.
5．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出正方形二维码的面积为9cm2，再计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：AD=AB-BD=30-20=10cm，
∵贴纸部分的面积=扇形BAC的面积-扇形DEA的面积，
即贴纸部分的面积为：120360π×302−120360π×102=120360π×800=8003πcm2.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去小扇形的面积，结合扇形的面积公式S=n360πr2进行计算即可．
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数 y＝ax2（a≠0）的图象过点 （﹣2，﹣3），
∴−3＝4a，即a=−34，
∴y＝−34x2，
∴当x=2时，y=−3.
故答案为：C.
【分析】由待定系数法求得a=−34，即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，AB⏜=CD⏜，
∴AB=CD，①正确；
∵BC⏜为公共弧，
∴AB⏜−BC⏜=CD⏜−BC⏜，
即AC⏜=BD⏜，④正确；
∴AC=BD，②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：B.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD；结合题意可得AC⏜=BD⏜；根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AC=BD，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接OB、OA、OC，
则图形②的三个顶点与△ABC的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与△ABC位似．
故答案为：B
【分析】利用位似变换判断即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；勾股定理
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm ，设AP=CQ=tcm ∴ CP=(6-t)cm ∴PQ=PC2+CQ2 ＝ (6−t)2+t2＝2(t−3)2+18(cm） ∵ 0≤t≤2 ∴当t=2时，PQ的值最小，所以线段PQ的最小值为：25厘米， 故答案为：C。
【分析】根据勾股定理得到：CP=(6-t)cm，PQ=PC2+CQ2 ＝ (6−t)2+t2＝2(t−3)2+18(cm）即可得到结论。
11．【答案】1100
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 明明家过年时包了100个饺子，其中有一个饺子中包有幸运果．明明任意挑选了一个饺子，正好是包有幸运果的饺子的概率是 1100 .
故答案为： 1100 .
【分析】直接利用概率公式计算.
12．【答案】70
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠ACB=12∠AOB=12×140°=70°
故答案为：70.
【分析】直接根据圆周角定理计算。同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
13．【答案】43
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵弦 BC 垂直平分 OA ，
∴∠COD=90°，BD=CD，OD=AD，
∴OD= 12 OA= 12 ×4=2，
∴CD= OC2−OD2=42−22=23 ，
∴BC=2CD= 43 ，
故答案为： 43 ．
【分析】连接OC，根据垂径定理和垂直平分线的性质得到BD=CD，OD=AD，再利用勾股定理求出CD，即可得到BC的长。
14．【答案】5或12524
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，
∴tanA=BCAC=BC8=34，
∴BC=6，AB=62+82=10，
由折叠的性质知△CMN≌△C1MN，
要使△C1MN与△ABC相似，即△CMN与△ABC相似，
∵△CMN≌△C1MN，
∴MN是C1C的垂直平分线，设MN与C1C交于点O，
∴OC=12CC1，
如图所示：当△CMN∽△CAB时，则∠CMN=∠A，
∴MNAB=COCC1=12，
∴MN=12AB=5；
如图所示：当△CMN∽△CBA时，则∠CMN=∠B，
∴∠CMN+∠MCO=90°=∠A+∠B，
∴∠A=∠ACC1，
∴AC1=CC1，
同理，BC1=CC1，则AC1=CC1=BC1=12AB=5，
∴OC=12CC1=52，
设△ABC中，AB边上的高为ℎ，
∴S△ABC=12AC×BC=12AB×ℎ，
∴ℎ=245，
∵△CMN∽△CBA，
∴MNAB=COℎ=52245，
∴MN=12524；
故答案为：5或12524．
【分析】分两种情况画出图形，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出MN的长度。
15．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△CAD∽△BAC，
∴ADAC=ACAB，
∵AD=1，BD=3，
∴1AC=ACAD+BD，
∴AC2=4，AC=2，
故答案为：2.
【分析】由已知的角相等，再加图形中的公共角，可以判定两三角形△CAD和△BAC相似，由相似三角形对应边成比例可得含AC的比例式，进而求解。
16．【答案】2；655
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AM，
∵AB是圆O的直径，
∴∠M=∠C=90°，
∵∠ADB=135°，
∴∠MDA=180°-∠ADB=45°，
∴∠MAD=90°-∠MDA=45°，
∴AM=DM，
∵点D是MB的中点，
∴BM=2MD，
设MD=AM=x，则BM=2x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AM2+BM2=AB2，即x2+(2x)2=252，
解得x=2，
∴DM=AM=2；
∵点M是弧AC的中点，
∴弧AM=弧CM，
∴∠CBM=∠ABM，
∴△ABM∽△EBC，
∴BMAM=BCCE=2，
∵∠M=∠C，∠MAC=∠CBM，
∴△CBE∽△MAE，
∴AMME=BCCE=2，
∴ME=1，BC=2CE，
∴BE=BM-ME=3，
在Rt△BCE中，∵CE2+BC2=BE2，
∴CE2+(2CE)2=32，
解得CE=355，
∴BC=2CE=655.
故答案为：2，655.
【分析】连接AM，由直径所对的圆周角是直角得∠M=∠C=90°，进而证出AM=DM，结合中点定义，设MD=AM=x，则BM=2x，在Rt△ABM中，由勾股定理建立方程可求出x的值，得到AM及DM的长，由等弧所对的圆周角相等得∠CBM=∠ABM，由有两组角相等的三角形相似得△ABM∽△EBC，由相似三角形对应边成比例得BMAM=BCCE=2，再由有两组角相等的三角形相似得△CBE∽△MAE，由相似三角形对应边成比例得AMME=BCCE=2，则ME=1，BC=2CE，在Rt△BCE中，由勾股定理建立方程可求出CE的长，从而此题得解.
17．【答案】（1）解：列表如下：
（2）解：从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次所掷数字的和为奇数的情况有8种，和为偶数的有8种，
所以小明获胜的概率为12、小刚获胜的概率为12，
故此游戏对两人是公平的.
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据列表法可得所有可能出现的结果；
（2）根据（1）的表格可得所有可能出现的情况数以及两次所掷数字的和为奇数、偶数的情况数，利用概率公式求出小明、小刚获胜的概率，然后进行比较即可判断.
18．【答案】（1）解：画法不唯一，如下图1：
由题意得，AB=1，BC=12+12=2，AC=12+22=5，
∵△A1B1C1∼△ABC，相似比为2：1，
∴A1B1AB=A1C1AC=B1C1BC=21，
∴△ABC的各边长扩大两倍，
∴A1B1=2，B1C1=22，A1C1=25.
（2）解：画法不唯一，如图2：
由（1）得：AB=1，BC=12+12=2，AC=12+22=5，
∴△A2B2C2∼△ABC，面积比为2：1，
∴相似比为：21，
∴A2B2AB=A2C2AC=B2C2BC=21，
∴△ABC的各边长扩大2倍，
∴A2B2=2，B2C2=2，A2C2=10.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及勾股定理算出BC、AC的长，进而根据相似三角形对应边成比例可得A1B1、B1C1、A1C1的长，进而利用方格纸的特点作图即可；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得相似比，从而即可求出A2B2、B2C2、A2C2的长，进而利用方格纸的特点作图即可.
19．【答案】（1）解：由题意设销售数量y=kx+b(k≠0)，
把(10，55)，(26，39)代入函数解析式得：
10k+b=5526k+b=39，
解得：k=−1b=65，
∴y=−x+65，
∴W=y(m−10)=(−x+65)(12x+20−10)=−12x2+452x+650(1≤x≤30，x为整数)．
∴每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式为W=−12x2+452x+650(1≤x≤30，x为整数)；
（2）解：∵W=−12x2+452x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x=−4522×(−12)=22.5，
∵a=−12<0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x=22或x=23时，W取得最大值，
最大值为：
(−22+65)(12×22+10)=43×21=903(元)．
∴第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为903元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）从图中读取2点坐标代入一次函数解析式的一般式，求出日销售数量的解析式，根据日销售利润=（销售单价-单位成本）×日销售数量的等量关系列函数关系式；（2）讨论（1）的函数解析式的最值，函数开口向下有最大值，当x=−b2a时，有最大值4ac−b24a。
20．【答案】（1）证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∴ ∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝180°－∠B． ∵ ∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴ ∠AFD＝180°－∠B，∴ ∠AFD＝∠C，∴ △ADF∽△DEC
（2）解：在□ABCD中，CD＝AB＝8，∵ △ADF∽△DEC， ∴ADDE=AFCD ，∴63DE=438 ，∴ DE＝12． ∵ AD∥BC，AE⊥BC，∴ AE⊥AD． 在Rt△AED中， AE=DE2−AD2=122−(63)2=6
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行得出 AD∥BC ， AB∥CD ，根据二直线平行，内错角相等得出 ∠ADF＝∠CED ，根据二直线平行，同旁内角互补得出 ∠B＋∠C＝180° ，由 ∠AFE＋∠AFD＝180° ， ∠AFE＝∠B，根据等角的补角相等得出 ∠AFD＝∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ADF∽△DEC ；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出 ADDE=AFCD ，根据比例式即可求出DE的长，然后利用勾股定理即可算出AE的长。
21．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2× 12 x2-2× 12 （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x≤2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- 32 ）2+ 92 ．
所以当x＝ 32 时，S的值最大，最大值为 92 ．
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，结合AE＝AH＝CG＝CF得BE＝DG，BF＝DH，利用SAS证明△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，然后根据S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB就可得到S与x的关系式；
（2）根据S与x的关系式结合二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）解：∵ 转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为120°和240°，
∴P（指针落在红色扇形内）=120°360°=13.
答：转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率为13
（2）解：列树状图如下
一共有9种结果数，落在蓝色区域的有4种情况，
∴P（指针两次都落在蓝色扇形内）=49
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知红色转盘的圆心角为120°，因此利用概率公式进行计算，可求出结果.
（2）由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数及落在蓝色区域的情况数，然后利用概率公式进行计算，可求出结果.
23．【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 ABC 的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）3
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= 22 AB=4 2 ，
则△BDC的周长=2BE+BC=8 2 +8．
故答案为：8+8 2 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，利用弧的中点和弧、弦、圆心角之间的关系定理，可证得MA=MC，利用SAS证明△MBA≌△MGC，利用全等三角形的性质可得到MB=MG，利用等腰三角形的性质可证得BD=GD，由此可证得DC=AB+BD.
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，利用SAS证明△DCF≌△DBA，利用全等三角形的性质可证得DF=AD，利用等腰三角形的性质可证得AE=EF，即可求出AE的长.
（3）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，利用SAS证明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性质可得到AF=AD，利用等腰三角形的性质可证得FE=DE，可推出CD+DE=BE；从而可求出BE的长，然后证明△BDC的周长=2BE+BC，代入计算求出△BDC的周长.
24．【答案】（1）4
（2）解：证明：由题意得△AEF≌△MEF，
∴AE＝AF，ME＝MF，∠AFE＝∠MFE，
∵FM∥AC，
∴∠AEF＝∠MFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝MF＝ME，
∴四边形AEFM是菱形；
（3）解：解：在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴AC=AB2−BC2=202−122=16，
∵△AQH∽△ACB，
∴AQAC=QHBC，
即AQ16=412，
∴AQ=163，
∴QC=AC−AQ=323．
设菱形AEFM边长为4m，
∵FM∥AC，
∴△BFM∽△BAC，
∴FMAC=BMBC=BFBA，
即4m16=BM12=BF20，
∴BM＝3m，BF＝5m，
∴AB＝AF+BF＝4m+5m＝20，
∴m=209，
∴BM=3m=203，
∴CM=BC−BM=163．
设PQ＝x，
当△HQP∽△MCP时，HQMC=QPCP，
即4163=x323−x，
解得x=327；
当△HQP∽△MPC时，HQPC=QPCM，
即4323−x=x163，
解得x1=8，x2=83；
经检验，x=327或x＝8或x=83都是原方程的解，
综上所述，满足条件的PQ的值为327或8或83；
（4）解：解：如图延长线段BC到D，使得DC＝CB＝12，作DM⊥AB于点M，交AC与点G，连接BG，
∴BD＝2BC＝24，∠AMG＝∠ACB＝90°，
∴AC为线段BD的垂直平分线，
∴DG＝BG，
又∵∠A＝∠A，∠AMG＝∠ACB＝90°，
∴△AMG∽△ACB，
∴MGCB=AGAB，
即MG12=AG20，
∴MG=35AG，
∴GB+35GA=DG+GM=DM，此时GB+35GA最小，
∵∠DMB＝∠ACB＝90°，∠DBM＝∠ABC，
∴△DMB∽△ACB，
∴DBAB=DMAC，
即2420=DM16，
∴DM=965，
∴GB+35GA最小值为965．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵QH⊥AC，△AQH≅△DQH，
∴QH∥BC，
∴△AQH~△ACB，
∴△DQH~△ACB，
∵S△ABC＝9S△DHQ，
∴QH2BC2=19，
∴QH12=13，
∴QH=4，
故答案为：4.
【分析】（1）根据题意得到QH⊥AC，△AQH≅△DQH，进而得到△DQH~△ACB，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）由题意得△AEF≅△MEF，进而得到：AE＝AF，ME＝MF，∠AFE＝∠MFE，再根据平行线的性质得到：∠AEF＝∠AFE， AE=AF，即可证明四边形AEFM是菱形；
（3）先求出QC=323，再求出CM=163， 设PQ=x， △HQP~△MCP和△HQP~△MPC两种情况讨论即可求解；
（4） 延长线段BC到D，使得DC＝CB＝12，作DM⊥AB于点M，交AC与点G，连接BG，可以得到AC为线段BD的垂直平分线，DG=BG， 证明△AMG~△ACB，得到MG=35AG，从而得到GB+35GA=DG+GM=DM，此时GB+GA最小，证明△DMB~△ACB，即可求出DM的长度.1
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