2022-2023学年湖南省怀化四中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省怀化四中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数：197，3.14，0， 3， 4，π，0.3030030003…中，无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 两直线平行，同旁内角互补B. 有两个锐角互余的三角形是直角三角形
C. 全等三角形对应边相等D. 对顶角相等
3.在式子1x−2，1x−3， x−2， x−3中，x可以取2和3的是
( )
A. 1x−2B. 1x−3C. x−2D. x−3
4.已知一个三角形的三边长分别是4，6，x，若x的值为奇数，则x的取值有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
5.如果a=(−π)0，b=(−0.2)−1，c=(−12)−2，那么a、b、c三个数的大小为( )
A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>bD. c>b>a
6.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. 0.3B. 10C. 20D. 24
7.若x>y，则下列不等式中不一定成立的是( )
A. x+1>y+1B. x2>y2C. x2>y2D. 2x>2y
8.若|a−1− 2|+ b−1+ 2=0，则代数式ab+3的值为( )
A. 2B. ±3C. 5D. 9
9.若关于x的分式方程x+m4−x2+xx−2=1有增根，则m的值是( )
A. m=2或m=6B. m=2
C. m=6D. m=2或m=−6
10.根据下列条件，能唯一画出△ABC的是( )
A. AB=3，BC=4，AC=8B. AB=3，BC=4，∠A=30°
C. ∠A=60°，∠B=45°，AB=6D. ∠C=90°，AB=6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知a≠0，S1=3a，S2=3S1，S3=3S2…，S2023=3S2022，则S2023= ______ ．
12.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是________．
13.若关于x的不等式x−m<07−2x≤1的整数解共有4个，则m的取值范围是______．
14.如图，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是______ (用AAS判定)
15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= ______ ．
16.如图，点D、E分别在等边△ABC的边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F，则∠BFD的度数为______ ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算题
(1)(3+ 5)2−(2−3 5)(2+3 5)；
(2)( 12−2 13+ 48)÷2 3．
18.先化简，再求值：x+22x2−4x÷(x−2+8xx−2)，其中x= 2−1．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
对于不等式组5x−2>3(x+1)12x−1≤7−32x．
(1)求这个不等式组的解集，并在数轴上表示出来；
(2)写出这个不等式组的整数解．
20.(本小题8分)
如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．
(1)求证：AC/​/DE；
(2)若BF=13，EC=5，求BC的长．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
(1)作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，连结CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数．
22.(本小题8分)
我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s= 14[a2×b2−(a2+b2−c22)2]…①(其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积)．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s= p(p−a)(p−b)(p−c)…②(其中p=a+b+c2.)
(1)若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试．
23.(本小题8分)
为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
(1)求m的值；
(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
24.(本小题8分)
等边△ABC的边长为4，D是射线BC上任一点，线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．
(1)当点D是BC的中点时，如图1，判断线段BD与CE的数量关系，请直接写出结论：(不必证明)；
(2)当点D是BC边上任一点时，如图2，请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明；
(3)当点D是BC延长线上一点且CD=1时，如图3，求线段CE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 3，π，0.3030030003…是无理数，
故选：C．
无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：A、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故A不符合题意；
B、“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是“直角三角形两锐角互余”是真命题，故B不符合题意；
C、“全等三角形对应边相等”的逆命题是“三边对应相等的两个三角形全等”是真命题，故C不符合题意；
D、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故D符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定可判断A；
根据直角三角形的性质可判断B；
根据全等三角形的判定可判断C；
根据对顶角的性质可判断D．
本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求得x的范围，进行判断．【解答】
解：A、1x−2的分母不可以为0，即x−2≠0，解得：x≠2，故A错误；
B、1x−3的分母不可以为0，即x−3≠0，解得：x≠3，故B错误；
C、被开方数大于等于0，即x−2≥0，解得：x≥2，则x可以取2和3，故C正确；
D、被开方数大于等于0，即x−3≥0，解得：x≥3，x不能取2，故D错误．
故选C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先根据三角形的三边关系可得：6−4【解答】
解：根据三角形的三边关系可得：6−4解得：2∵x的值为奇数，
∴x=3，5，7，9，共4个，
故选：A.
5.【答案】B
【解析】解：∵a=(−π)0=1，b=1−15=−5，c=1(−12)2=4，
∴c>a>b，
故选：B．
根据零指数幂、负整数指数幂分别计算出a、b、c的值，从而比较出a、b、c的大小．
本题主要考查有理数的大小比较以及零指数幂、负整数指数幂，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A． 0.3= 3010，不是最简二次根式，故A选项错误；
B. 10是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；
C. 20=2 5，不是最简二次根式，故C选项错误；
D. 24=2 6，不是最简二次根式，故D选项错误．
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：A、两边都加1，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、0>x>y时，x2C、两边都除以2，不等号的方向不变，故C不符合题意；
D、两边都乘以2，不等号的方向不变，故D不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质求解即可．
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵|a−1− 2|+ b−1+ 2=0，
∴a−1− 2=0，b−1+ 2=0，
解得：a=1+ 2，b=1− 2，
∴ab+3=(1+ 2)(1− 2)+3
=1−2+3
=2．
故选：A．
直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而代入得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：x+m4−x2+xx−2=1，
x+m−x(2+x)=4−x2，
解得：x=m−4，
∵分式方程有增根，
∴4−x2=0，
∴x=±2，
当x=2时，m−4=2，
∴m=6，
当x=−2时，m−4=−2，
∴m=2，
∴m的值是6或2，
故选：A．
根据题意可得：x=±2，然后把x的值代入到整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：A、∵AC与BC两边之差大于第三边，∴A不能作出三角形；
B、∠A并不是AB，BC的夹角，故可画出多个三角形；
C、两角夹一边，形状固定，可作唯一三角形；
D、两个锐角也不确定，也可画出多个三角形．
故选C．
判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形则并不是唯一存在，可能有多种情况存在．
本题考查了全等三角形全等的有关知识，要掌握三角形的判定方法，只有符合全等判定方法的条件画出的三角形才都是一样的，也就是说是唯一的．本问题界定的是唯一三角形，要注意要求．
11.【答案】3a
【解析】解：∵a≠0，S1=3a，S2=3S1，
∴S2=33a=1a，
∵S3=3S2，
∴S3=31a=3a，
…，
∴当n为奇数时，Sn=3a，
当n为偶数时，Sn=1a，
故S2023=3a．
通过计算找出S1，S2，S3，...，Sn的变化规律，即可求出S2023的值．
本题考查数字变化类规律探究，分式的约分，发现变化规律是解题的关键．
12.【答案】10
【解析】【分析】
此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式计算解答即可．
根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．
【解答】
解：当三边为2，2，4时，
因为2+2=4，不能构成三角形；
当三边为2，4，4时，能构成三角形，
周长为：4+4+2=10．
故答案为10．
13.【答案】6【解析】解：x−m<0 ①7−2x≤1 ②，
由①得：x由②得：x≥3，
∴不等式组的解集是3≤x∵关于x的不等式x−m<07−2x≤1的整数解共有4个，
∴6故答案为：6关键不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得到6≤m<7即可．
本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到614.【答案】∠C=∠B
【解析】解：①添加∠C=∠B，
在△ABE与△ACD中，
∠A=∠A∠B=∠CAD=AE
∴△ABE≌△ACD(AAS)，
故答案为：∠C=∠B
由图可知∠A=∠A，且AE=AD，故只需要添加∠A的另一邻边AB=AC相等或一组角相等即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确找出条件证明全等三角形，本题属于基础题型．
15.【答案】35°
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE，
∵在Rt△ABE中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠C+∠CAE=70°，
∴∠C=35°．
故答案为：35°．
由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，即可求得∠C的度数．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】60°
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
证明△ABE≌△CAD，推出∠ABE=∠CAD，由∠BFD=∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，即可解决问题．
【解答】
解：：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE=∠C=60°，AB=AC，
在△ABE和△CAD中，
AB=CA∠BAE=∠CAE=CD，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BFD=∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，
故答案为60°．
17.【答案】解：(1)原式=9+6 5+5−(4−45)
=9+6 5+5−(−41)
=9+6 5+5+41
=55+6 5；
(2)原式=(2 3−2 33+4 3)÷2 3
=16 33÷2 3
=83．
【解析】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．
(1)利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后再算加减，有小括号先算小括号里面的；
(2)化简二次根式，然后先计算小括号里面的加减法，再算括号外面的除法．
18.【答案】解：原式=x+22x(x−2)÷(x+2)2x−2=x+22x(x−2)⋅x−2(x+2)2=12x(x+2)，
当x= 2−1时，原式=12( 2−1)( 2+1)=12．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：把原不等式组简化为5x−2>3x+312x−1≤7−32x，
由①得x>52，
由②得x≤4，
解得52在数轴上表示：
(2)这个不等式组的整数解是：3，4．
【解析】(1)先求出两个不等式的解集，再求其公共解，在数轴上表示出来即可；
(2)写出整数解即可．
本题考查了求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20.【答案】解：(1)在△ABC和△DFE中AB=DF∠A=∠DAC=DE，
∴△ABC≌△DFE(SAS)，
∴∠ACE=∠DEF，
∴AC/​/DE；
(2)∵△ABC≌△DFE，
∴BC=EF，
∴CB−EC=EF−EC，
∴EB=CF，
∵BF=13，EC=5，
∴EB=13−52=4，
∴CB=4+5=9．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
(1)首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC/​/DE；
(2)根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，进而可得答案．
21.【答案】解：(1)如图所示：
(2)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=24°，
∴∠ABC=48°，∠DBC=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°−60°−48°=72°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=24°，
∴∠ACF=72°−24°=48°．

【解析】(1)分别以B、C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，与BC，BD的交点记作E，F；
(2)根据角平分线性质可得∠ABC=2∠ABD，∠ABD=∠CBD，然后利用三角形内角和定理可得∠ACB的度数，根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=∠FBC=24°，再根据角的和差关系可得答案．
此题主要考查了复杂作图，以及线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
22.【答案】解：(1)s= 14[52×72−(52+72−822)2]，
=12 52(72−11)=52 48=10 3；
p=12(5+7+8)=10，
又s= 10(10−5)(10−7)(10−8)= 10×5×3×2=10 3；
(2)14[a2b2−(a2+b2−c22)2]=14(4a2b24−(a2+b2) 2−2(a2+b2)⋅ c2+(c2) 24)
=116[c2−(a−b)2][(a+b)2−c2]，
=116(c+a−b)(c−a+b)(a+b+c)(a+b−c)，
=116(2p−2a)(2p−2b)⋅2p⋅(2p−2c)，
=p(p−a)(p−b)(p−c)，
∴ 14[a2b2−(a2+b2−c22)]= p(p−a)(p−b)(p−c)．
(说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确)
【解析】(1)代入计算即可；
(2)需要在括号内都乘以4，括号外再乘14，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．
考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．
23.【答案】解：(1)由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，
即可得：90m=75m−3，
解得m=18，
经检验m=18是原方程的解，即m=18；
(2)设买A型污水处理设备x台，则B型(10−x)台，
根据题意得：18x+15(10−x)≤165，
解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，
当x=0时，10−x=10，月处理污水量为1800吨，
当x=1时，10−x=9，月处理污水量为220+180×9=1840吨，
当x=2时，10−x=8，月处理污水量为220×2+180×8=1880吨，
当x=3时，10−x=7，月处理污水量为220×3+180×7=1920吨，
当x=4时，10−x=6，月处理污水量为220×4+180×6=1960吨，
当x=5时，10−x=5，月处理污水量为220×5+180×5=2000吨，
答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．
【解析】(1)根据90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出m的分式方程，求出m的值即可；
(2)设买A型污水处理设备x台，B型则(10−x)台，根据题意列出x的一元一次不等式，求出x的取值范围，进而得出方案的个数，并求出最大值．
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题难度不大，特别是几种方案要分析周全．
24.【答案】解：(1)BD=CE，
如图，连接AE，
∵线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∵BD=CD，
∴∠CAD=30°，
∴AC垂直平分DE，
∴CD=CE，
∴BD=CE；
(2)AB=CD+CE，
理由：如图2，连接AE，
由(1)得△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD于△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△AEC，
∴BD=CE，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD，
∴AB=CD+CE；
(3)如图3，连接AE，
由(1)得△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD于△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△AEC，
∴CE=BD，
∵BD=BC+CD=5，
∴CE=5．
【解析】(1)如图，连接AE，根据段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，得到AD=DE，推出△ADE是等边三角形，由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB=AC证得AC垂直平分DE，根据线段垂直平分线的性质的即可得到结论；
(2)如图2，连接AE，由(1)得△ADE是等边三角形，得到AD=AE，∠DAE=60°，根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=60°，证得∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△AEC，由全等三角形的性质得到BD=CE，等量代换即可得到结论；
(3)如图3，连接AE，方法同(2)．
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，连接AE构造全等三角形是解题的关键．污水处理设备
A型
B型
价格(万元/台)
m
m−3
月处理污水量(吨/台)
220
180