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（学霸思维拓展）方阵问题（提高）-六年级数学小升初易错题奥数培优押题卷（苏教版）
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这是一份（学霸思维拓展）方阵问题（提高）-六年级数学小升初易错题奥数培优押题卷（苏教版），共29页。
2．盛盛把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出5棵树苗；后来又运来11棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
3．用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面，由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖……这样依次铺下次，一共使用了400块瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
4．一个正方形草地四周等距离的种杨树，共种80棵，四个角上都种有一棵，每一边有多少棵杨树？
5．一个实心方阵，最外层一共有20人．请问：
（1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？
（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？
（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？
6．解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？
7．沿一个正方形鱼池的边铺路，用一批大小相等的正方形水泥砖铺，铺一周还剩下20块，如果再接着铺一周，则差12块，这批水泥砖共有多少块？
8．用一堆棋子摆一个五层空心方阵，最内层每边有12枚，这堆棋子共有多少枚？
9．一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？
10．同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少人？
11．深圳实验小学在运动会排成一个每边18人的实心方阵，后来由于场地有限，减少了2行2列，则减少了多少人？
12．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
13．平安路小学组织了一个正方形彩旗队伍，最外层一共有20人，这个彩旗队伍一共有多少人？
14．为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个．鲜花队共多少人？
15．华富小学管乐队的学生排成一个实心方阵，如果增加36人就可以增加最外一层，变成大一点的实心方阵，问现在管乐队有多少人？
16．用132个杯子摆一个3层空心方阵，求最外层每边的杯子数量。
17．同学们先摆成每边16人的实心方阵，又变换队形，组成一个4层空心方阵。空心方阵最外层有多少人？
18．一块正方形绿化地，要在它的四周种上水杉（一层），如果每个角都要种上一棵水杉，而且每边都要有20棵，一共要多少棵水杉苗？
19．四年级同学举行广播操比赛，排成8行8列，如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？
20．同学们做队列操，排成一个正方形方阵，后来为这个方阵增加一行和一列，结果还需要25个人，原来这个队列有多少人？
21．一个实心方阵，最外层共有44人．请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）要让这个方阵总人数减少一半，一共减少了多少人？
22．在一个正方形池塘周围种树，每条边上种10棵，四个角都要种一棵，需要准备多少棵树？
23．运动会入场式要求运动员排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
24．一小队军人，如果排成三层中空方阵，就多了9人，如果中空部分增加两层，则少了23人，这小队军人有多少？
25．一座大型雕像周围用盆花摆了一个4层的正方形花坛，这些盆花如果摆成两层的正方形花坛，最外一层的盆花数比摆成4层的最外一层盆花数每边多8盆．问摆这个正方形花坛用了多少盆花？（用算术法解答）
26．菊花展上，园丁BB仔要摆一个正方形空心花坛（一层），已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算BB仔摆这个花坛共要用多少盆菊花？
27．学校庆祝六一节，要在正方形操场周围插上彩旗，要求四个角上都要插上一面彩旗，每条边上插8面旗，请你帮老师算算，要准备多少面彩旗？
28．大家要用若干盆花在空地上摆一个空心方阵花坛，最里面的一层每边摆10盆花，一共3层，一共要用多少盆花？
29．一些学生，如果排成三层空心方阵，则多24人，如果在中间空心部分接一层，则少8人，共有多少学生？
30．设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？
31．有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？
32．学校开运动会，老师要在正方形操场周围插上彩旗，要求四个角上都要插上一面彩旗，每条边上插10面旗，而在每两面彩旗中要摆放一盆鲜花。请你帮老师算算，要准备多少面彩旗和多少盆鲜花？
33．棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？
34．体育节表演方阵中，小丽所站的位置从前面数是第7个，从后面数是第10个．从左面数是第4个，从右面数是第6个，这个方阵共有多少人？
35．一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树．已知树苗的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵．问：桃树和李树一共有多少棵？
36．有一个表演方阵，新加入一行一列共13人后，组成新的表演方阵。原表演方阵有多少人？
37．红领巾小学三年级有120名学生，他们排成一个三层的空心方阵，请问：
（1）这个方阵最外层每边有多少人？
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？
38．如图，这是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？
39．小美用棋子摆了一个空心方阵，最外每边摆30颗棋子，一共摆了5层，那么这个方阵一共用了多少颗棋子？
40．田园小学团体操表演排队，若排成正方形，则多出12名学生．如果把这个正方形扩大横纵每排各增加一人，则少9人．算一算，田园小学参加表演的共有多少名学生？
41．小A同学用棋子摆空心方阵，最内层每边有10颗棋子，最外层每边有16颗棋子。他一共用了多少颗棋子？
42．用棋子摆方阵恰好摆成每边为20的实心方阵，若改为4层空心方阵，最外层每边应放几枚？
43．144人排成一个实心方阵，每边多少人？最外层多少人？
44．用400个棋子摆放了5层空心方阵，最内层每边有几个棋子？
45．做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人．问：原有多少人？
46．公园一角把一批树苗栽成一个实心方阵．后来又补种13棵，使原来的实心方阵横、竖各增加了一排，成为一个大一点的实心方阵．现在这个角落一共栽了多少棵树苗？
47．多少枚棋子能够摆成一个正方形方框，而且每边各有17枚棋子？如果将空心部分填满棋子，使它变成一个实心方阵，那么还需要多少枚棋子？
48．学校开联欢晚会，要在正方形的操场四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装7盏，那么一共要准备多少盏彩灯？
49．学校举行庆“六一”团体操表演，参加表演的同学分成4个方阵，每个方阵都排成了18列25行，参加表演的同学共有多少人？
50．三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个．三（4）班共有学生多少人？
51．国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？
52．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左右数，小红都是第5个，问一共有多少人？
53．若干名同学站成一个15×15的实心方阵．请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外算起的第七层有多少人？
54．一个正方形棋盘的四个角上都放有1枚棋子，而每条边上都能数出5枚棋子，一共放了多少枚棋子？
55．操场上有20排同学做课间操，每排人数相等，王刚站在第10排，从排头数他是第5个，从排尾数他是第8个，操场上一共有多少个学生？
56．操场上有15排同学在做早操，每排人数相等，李明站在第6排，从排头开始数，她是第6个，从排尾开始数她是第7个，一共有多少名同学？
57．同学们跳舞，排成了一个空心方阵的队形，最外层共有72人，最内层共有32人，一共有多少人？
58．在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共有多少人？
59．在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学，两层五年级的同学，两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，请问：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？
60．在一个正方形的每条边上放8枚棋子，四条边上最多能摆多少枚？最少能摆多少枚？（用〇表示棋子）
方阵问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共60小题）
1．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据方阵最外层四周人数＝每边人数×4﹣4，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵总人数＝每边人数×每边人数计算出这个班一共的人数即可．
【解答】解：（20+4）÷4＝6（人）
6×6＝36（人）
答：这个班一共有36人．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
2．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“结果还多出了5棵树苗，后来又运来了11棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，”可知增加了5+11＝16棵，那么后来的方阵最外层就有16棵，然后根据每边的棵数＝外层的总棵数÷4+1解答即可．
【解答】解：（5+11）÷4+1
＝16÷4+1
＝4+1
＝5（棵）
答：后来的方阵最外层每边有5棵树．
【分析】本题考查了方阵问题，关键是确定后来的方阵最外层的棵数．
3．【答案】见试题解答内容
【分析】一共使用了400块瓷砖，而20×20＝400，说明该方阵是20行20列，因为是方阵，所以相邻的两层每边相差2块，每层相差8块，说明红色的瓷砖多从最外层开始每两层相差8块，那么共5个两层，所以相差40块．
【解答】解：因为：20×20＝400块
所以该方阵是20行20列5层红色，5层绿色，而且从最外层起，相邻的红色瓷砖比与之相邻的绿色瓷砖多：
2×4＝8块
8×5＝40块
答：这个墙面上红颜色的瓷砖更多，两种瓷砖相差40块．
【分析】解答本题的关键是根据题意分析得到该方阵是20行20列．
4．【答案】见试题解答内容
【分析】在封闭的正方形中栽树，四个角不栽树，栽树棵数＝每边栽树棵数×边数4﹣4；由此逆用这个公式即可．
【解答】解：（80+4）÷4
＝84÷4
＝21（棵）
答：每一边有21棵杨树．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
5．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：20÷4+1＝6（人），因此这个方阵共有6×6＝36（人）；
（2）如果要组成一个更大的方阵，则每边可以是6+1＝7人，总人数就是7×7＝49人，用49﹣36即得至少需要增加的人数；
（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，根据方阵相邻两层相差8人可知，用20+8即得需要增加的人数；据此解答．
【解答】解：（1）每边的人数是：20÷4+1＝6（人）
这个方阵共有：6×6＝36（人）
答：这个方阵一共有36人．
（2）6+1＝7（人）
7×7﹣36＝13（人）
答：至少需要增加13人．
（3）20+8＝28（人）
答：如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加28人．
【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
6．【答案】见试题解答内容
【分析】把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数即可．
【解答】解：（1）中实方阵总人数：12×12＝144（人）
（2）第四层每边人数：12﹣2×（4﹣1）＝6（人）
（3）空心方阵人数：（6﹣2）×（6﹣2）＝16（人）
（4）中空方阵人数：144﹣16＝128（人）
答：总共有128人．
【分析】中空方阵总人数＝外边人数×外边人数﹣（内边人数﹣2）×（内边人数﹣2）．
解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形．
（1）每个长方形的长＝外边人数﹣层数，12﹣4＝8（人）；
（2）每个长方形的宽是层数：4人；
（3）总人数：8×4×4＝128（人）
7．【答案】见试题解答内容
【分析】铺一周还剩下20块，如果再接着铺一周，则差12块，即再铺下周需要20+12＝32块，因每一层外圈要比里圈多用4块，据此可求出里圈有水泥砖32﹣4＝28块，进而可求出这批水泥砖的块数，据此解答．
【解答】解：20+12＝32（块）
32﹣4＝28（块）
28+20＝48（块）
答：这批水泥砖共有48块．
【分析】本题的重点是让学生理解，每外层比里面一层多用4块水泥砖．
8．【答案】300枚。
【分析】求出外层每边的数量，然后根据总数＝（每边数量﹣层数）×层数×4，代入求解即可。
【解答】解：外层的每边的数量为：
12+2×（5﹣1）
＝12+2×4
＝12+8
＝20（枚）
（20﹣5）×5×4
＝15×20
＝300（枚）
答：这堆棋子共有300枚。
【分析】本题主要考查了方阵问题，正确的计算外层每边数量是本题解题的关键。
9．【答案】见试题解答内容
【分析】若干名运动员站成20行20列的方阵，现在去掉4行4列，现在是（20﹣4）行（20﹣4）列，然后根据“实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数”求出原来和现在的总人数，再相减即可．
【解答】解答：20﹣4＝16（人）
20×20＝400（人）
16×16＝256（人）
400﹣256＝144（人）
答：要减少144人．
【分析】此题主要考查方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的计算应用．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少人，就是求实心方阵中布点的总数：中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数．
【解答】解：9×9＝81（人）
答：这个方阵一共有81人．
【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】减少了2行2列，即减少的部分相当于外面1层的空心方阵，最外层每边有18人，然后根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．
【解答】解：（18﹣1）×1×4
＝17×4
＝68（人）
答：减少了68人．
【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最里层每条边有6棵树，因为每相邻的两层之间每边上都是相差2棵树，所以最外层每边有6+2+2＝10棵树，根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4即可求得树苗的总棵数；再根据两头都种的植树问题，用间隔数+1求得在马路的一侧种树需要的棵数，最后二者相减就是还剩的棵数；据此解答即可．
【解答】解：最外层每边有6+2+2＝10棵树，
树苗总数：（10﹣3）×3×4＝84（棵），
马路植树的棵数：400÷5+1＝81（棵），
还剩：84﹣81＝3（棵），
答：最后还剩3棵小树苗．
【分析】此题综合考查了方阵问题和植树问题，求得树苗总数是关键．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】要求这个彩旗队伍一共有多少人，就是求这个方阵的总点数；需要先求得这个方阵最外层的每边人数，根据方阵问题中：四周点数＝每边点数×4﹣4可知：每边点数＝（四周点数+4）÷4．再利用总点数＝每边点数×每边点数解答．
【解答】解：（20+4）÷4
＝24÷4
＝6（人）
6×6＝36（人）
答：这个彩旗队伍一共有36人．
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：最外层每边点数＝（四周点数+4）÷4和总点数＝每边点数×每边点数．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？2+4＝6，这时候小华加了两次，所以每行应该有2+4﹣1人；
二：队伍的行数？用同样的方法3+5﹣1（人），
最后用每行人数×行数，即可．
【解答】解：每行的人数：2+4﹣1＝5（人），
队伍的行数：3+5﹣1＝7（行），
总人数：5×7＝35（人）；
答：鲜花队共有35人．
【分析】本道题目就是利用排队论找到每一行的人数，以及行数，不应该因为数据比较多而乱．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】如果增加36人就可以增加最外一层，这时最外层的人数是（36+4）÷4＝10（人），再根据“总点数＝每边点数×每边点数”算出增加后的总人数，然后进一步解答即可．
【解答】解：（36+4）÷4＝10（人）
10×10＝100（人）
100﹣36＝64（人）
答：现在管乐队有64人．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
16．【答案】14个。
【分析】根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可。
【解答】解：132÷4÷3+3
＝11+3
＝14（个）
答：最外层每边有14个杯子。
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。
17．【答案】20人。
【分析】根据“总点数＝每边点数×每边点数”求出总人数，再根据“总人数＝（外层每边人数﹣层数）×层数×4”解答即可。
【解答】解：16×16＝256（人）
256÷4÷4+4
＝16+4
＝20（人）
答：空心方阵最外层有20人。
【分析】此题考查了方阵问题中：“总点数＝每边点数×每边点数；总人数＝（外层每边人数﹣层数）×层数×4”的灵活应用。
18．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”解答即可．
【解答】解：20×4﹣4＝76（棵）
答：一共要76棵水杉苗．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】如果去掉一行一列，要去掉8×2﹣1＝15人，最外层每边还剩7人，然后根据“中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”解答即可．
【解答】解：8×2﹣1＝15（人）
（8﹣1）×（8﹣1）＝49（人）
答：如果去掉一行一列，要去掉15人，还剩49人．
【分析】四周的点数＝（每边的点数﹣1）×4，每边的点数＝四周的点数÷4+1，中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的点数﹣内层每边的点数）÷2+1．
20．【答案】144人。
【分析】根据增加的人数，求出增加一行一列后的外边人数，然后求出原来方阵的外边人数，用方阵问题公式求解即可。
【解答】解：（25+1）÷2
＝26÷2
＝13（人）
13﹣1＝12（人）
12×12＝144（人）
答：原来这个队列有144人。
【分析】本题主要考查了方阵问题，正确的求出外边人数是本题解题的关键。
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）因为方阵的四个角上都是重复的，方阵的四个角上都是重复了一次，所以计算时要减去，算每边人数时，先用总数加上4，所以每边上有（44+4）÷4＝12人；
（2）要让这个方阵总人数减少一半，求一共减少了多少人，用总人数除以2即可．
【解答】解：（1）（44+4）÷4＝12（人）
12×12＝144（人）
答：这个方阵共有144人．
（2）减少一半就是6行6列，
144÷2＝72（人）
答：一共减少了72人．
【分析】本题考查方阵的问题：注意方阵的四个角上都是重复了一次．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】把树看作方阵中的点，每条边上种10棵，那么根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”代入数据解答即可．
【解答】解：10×4﹣4＝36（棵）
答：四个角都要种一棵，需要准备36棵树．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4或四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用．
23．【答案】32名。
【分析】去掉2行2列后，方阵变为7行7列，根据方阵问题公式，求出前后两个方阵的人数差即为所求。
【解答】解：9×9﹣（9﹣2）×（9﹣2）
＝81﹣49
＝32（人）
答：要减少32名运动员。
【分析】本题主要考查了方阵问题，熟记方阵问题计算公式是本题解题的关键。
24．【答案】117人。
【分析】根据两次排队的人数差，可以求出中空部分增加两层的外层人数，从而求出三层方阵的外层人数，据此求出总人数即可。
【解答】解：中空部分增加的两层的外层人数：
（9+23）÷4÷2+2
＝32÷8+2
＝4+2
＝6（人）
三层中空方阵的最外层的人数为：
6+2×3＝12（人）
总人数为：
12×12﹣6×6+9
＝144﹣36+9
＝108+9
＝117（人）
答：这小队军人有117人。
【分析】本题主要考查了方阵问题，求出增加两层的外层人数是本题解题的关键。
25．【答案】见试题解答内容
【分析】在方阵问题中，相邻两边的点数相差2，所以4层方阵都比最里层每边多2、4、6盆，如果每层都相等，总共多（2+4+6）×4＝48盆；同理，由于摆成两层比摆成4层的最外一层盆花数每边多8盆，所以两层方阵最外层和4层方阵相比较，比最里层每边多6+8＝14盆，另一层多14﹣2＝12盆，总共多（12+14）×4＝104盆；这样根据盈亏问题可得4层方阵最里层有：（104﹣48）÷（4﹣2）＝28盆，则向外三层分别是36、44、52盆，然后相加即可．
【解答】解：根据分析可得，
（2+4+6）×4
＝12×4
＝48（盆）
6+8＝14（盆）
14﹣2＝12（盆）
（12+14）×4
＝26×4
＝104（盆）
（104﹣48）÷（4﹣2）
＝56÷2
＝28（盆）
28+2×4＝36（盆）
36+2×4＝44（盆）
44+2×4＝52（盆）
28+36+44+52＝160（盆）
答：摆这个正方形花坛用了160盆花．
【分析】本题考查了实心方阵问题和盈亏问题的综合应用，比较复杂，关键是明确相邻两边的点数相差2；难点是转化成“摆成4层多48盆，摆成2层多104盆”．
26．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”解答即可．
【解答】解：5×4﹣4＝16（盆）
答：BB仔摆这个花坛共要用16盆菊花．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
27．【答案】28面。
【分析】根据四周的数量＝（每边的数量﹣1）×4，代入数值计算即可。
【解答】解：（8﹣1）×4
＝7×4
＝28（面）
答：要准备28面彩旗。
【分析】本题主要考查了方阵问题，要注意的是，只有四个角都要插上旗子时才适用。
28．【答案】见试题解答内容
【分析】每相邻的两层，每边相差2盆，2×（3﹣1）＝4盆，所以最外层有10+4＝14盆，再利用方阵总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4计算出最外层四周点数即可．
【解答】解：2×（3﹣1）＝4（盆）
10+4＝14（盆）
（14﹣3）×3×4＝132（盆）
答：一共要用132盆花．
【分析】此题考查了方阵问题中：方阵总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4的灵活应用．
29．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，空心部分接的这一层的总人数是24+8＝32人，进而求得其每边的人数是9人；由此可推出方阵的最外层每边人数是9+2×3＝15人，之后就可根据“求多层空心方阵总人数的公式”即可得到排成四层空心方阵需要的人数176人，实际还差8人，这样就可知道实际共有的学生人数了．
【解答】解：24+8＝32（人）
32÷4+1＝9（人）
9+3×2＝15（人）
（15﹣4）×4×4＝176（人）
176﹣8＝168（人）
答：共有168人．
【分析】此题并不难，只要能灵活运用“方阵问题中的公式”即可轻松解答．
30．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”可得：“中空方阵最外层每边人数＝总人数÷4÷层数+层数”，由此代数求得．
【解答】解：360÷4÷6+6
＝90÷6+6
＝15+6
＝21（人）
答：最外层每边应安排21人．
【分析】本题考查了“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”的灵活应用．
31．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意，100个人站成一个实心方阵，10×10＝100，所以最外层每边有10人，要求最外层一共有多少人，根据“四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4”解答；
（2）由于方阵相邻两层每边相差2人，相邻两层人数相差8人，所以用最外层的人数减去8即得从外向里算起的第二层有多少人；
（3）这个实心方阵的最里层有4人，用4+8+8即得从里向外算起的第三层有多少人．
【解答】解：（1）最外层：（10﹣1）×4＝36（人），
（2）从外向里算起的第二层：36﹣8＝28（人），
（3）从里向外算起的第三层：4+8+8＝20（人），
答：这个方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人．
【分析】本题关键是求出最外层每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
32．【答案】要准备36面彩旗，36盆鲜花。
【分析】根据方阵问题四周数量计算公式求出彩旗的数量，再根据植树问题求出有多少间隔，即有多少盆鲜花，据此解答。
【解答】解：（10﹣1）×4
＝9×4
＝36（面）
这是封闭的植树问题，间隔数＝棋子数，
所以鲜花的数量也是36。
答：要准备36面彩旗，36盆鲜花。
【分析】本题主要考查了方阵问题，熟练掌握计算公式是本题解题的关键。
33．【答案】见试题解答内容
【分析】棋子排成每边8粒的正方形，即每排八粒，共八排，可见棋子总数是8个8粒，即8×8＝64粒，最外层的棋子数可按公式：一周总点数＝每边粒数×4﹣4求得．
【解答】解：8×8＝64（粒）
8×4﹣4
＝32﹣4
＝28（粒）
答：棋子共有64粒，最外层有28粒．
【分析】本题方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数．
34．【答案】见试题解答内容
【分析】从前面数是第7个，从后面数是第10个，说明这一列共有7+10﹣1＝16（人）；从左面数是第4个，从右面数是第6个，说明这一行共有4+6﹣1＝9（人）；因此，一共有16×9＝144（人）．
【解答】解：（7+10﹣1）×（4+6﹣1）
＝16×9
＝144（人）
答：这个方阵共有144人．
【分析】解答此题关键在于确定出每行、每列的人数，此题列式容易出错．
35．【答案】见试题解答内容
【分析】如图画出苗圃的最里面3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4+12+20+28+…，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，40÷8＝5，所以共有5×2＝10圈，最外圈的桃树为4+9×8＝76棵，然后根据高斯求和公式即可求出果树的总棵数．
【解答】解：果树的棵数排列为：4+12+20+28+…，
每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，
所以共有40÷8×2＝10圈，
最外圈的桃树为4+9×8＝76棵，
果树总棵数为：（4+76）×10÷2＝400（棵）
答：桃树和李树一共有400棵．
【分析】本题关键是求出最外层果树的棵数，然后根据高斯求和公式解答．
36．【答案】36人。
【分析】新加入一行一列共13人后，现在每行每列有（13+1）÷2＝7（人），则原来每行每列有7﹣1＝6（人），然后根据“中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数”解答即可。
【解答】解：（13+1）÷2＝7（人）
7﹣1＝6（人）
6×6＝36（人）
答：原表演方阵有36人。
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。
37．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设三层的空心方阵最外层每边x人，第二层每边是x﹣2，第三次每边是x﹣4，且，每一周的人数用四边人数的和减去4，可得方程4x﹣4+4（x﹣2）﹣4+4（x﹣4）﹣4＝120；解答即可得到x的值；
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，最外层的每一边比里边的相邻一层多2人，那么每边应该是15人，据此可解得增加的人数；
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，第五层的一边的人数比第四层一边的人数少2人，据此可得那么最里面的每边应该是：
13﹣6＝7（人）；据此解答即可．
【解答】解：（1）设三层的空心方阵最外层每边x人，由题意得：
4x﹣4+4（x﹣2）﹣4+4（x﹣4）﹣4＝120
12x﹣36＝120
12x﹣36+36＝120+36
12x＝156
12x÷12＝156÷12
x＝13
答：这个方阵最外层每边有13人．
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那么每边应该是15人，
15×4﹣4＝56（人）
答：应该增加56个人．
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，那么最里面的每边应该是：
13﹣6＝7（人）
7×4﹣4＝24（人）
答：还需要再增加24个人．
【分析】本题考查方阵问题，注意解题关键是相邻两层每条边相差2人．
38．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满，即两次摆法相差12+9＝21枚棋子，用（21﹣1）÷2即可求得原来正方阵的每边的点数，再据“每边的点数×每边的点数＝中实方阵的总点数”求得原正方阵的棋子数后再加12枚即可．
【解答】解：12+9＝21（枚），
（21﹣1）÷2＝10（枚），
10×10+12＝112（枚），
答：这堆棋子原有112枚．
【分析】先求得原来正方阵的每边的棋子数是解答此题的关键．
39．【答案】见试题解答内容
【分析】利用空心方阵公式：（最外边数一层数）×层数×4＝总数；据此即可解答问题．
【解答】解：棋子总数：（30﹣5）×5×4，
＝25×20，
＝500（颗）．
答：一共用了500颗棋子．
【分析】此题主要考查空心方阵公式：（最外边数一层数）×层数×4＝总数的计算应用．
40．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题干可知，横纵每排各增加一人，即每行每列都增加一排实际就是增加了12+9＝21人，由此即可求得原来每行每列的人数为：（21﹣1）÷2＝10人，所以原来的正方形方阵有：10×10＝100人，由此即可求出这些学生的总数．
【解答】解：（12+9﹣1）÷2
＝20÷2
＝10（人）
10×10+12
＝100+12
＝112（人）
答：田园小学参加表演的共有112名学生．
【分析】此题考查了实心方阵总点数＝每边点数×每边点数，这里根据“横纵每排各增加一人，则少9人”得出原来正方形方阵的每边人数是解决本题的关键．
41．【答案】192颗。
【分析】先求出层数，再根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可。
【解答】解：（16﹣10）÷2+1
＝3+1
＝4（层）
（16﹣4）×4×4
＝12×16
＝192（颗）
答：他一共用了192颗棋子。
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。
42．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，这是一个实心方阵，则共有棋子20×20＝400枚，排成一个4层空心方阵，要求最外层每边有多少枚棋子，据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数＝总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可．
【解答】解答：20×20＝400（枚）
400÷4÷4+4
＝25+4
＝29（枚）
答：最外层每边应放29枚．
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4的灵活应用．
43．【答案】12人，44人。
【分析】根据“总点数＝每边点数×每边点数”求出每边的人数，再根据“最外层四周点数＝外层每边点数×4﹣4”求出最外层有多少人即可。
【解答】解：144＝12×12
12×4﹣4＝44（人）
答：每边12人，最外层44人。
【分析】此题考查了方阵问题中：“总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝外层每边点数×4﹣4”的灵活应用。
44．【答案】见试题解答内容
【分析】根据方阵每边点数的特点，最外层每边棋子数比与内层每边棋子数分别多2个棋子，四周共多8个棋子，则从里到外每层依次增加8、16、24、32个棋子，然后根据和差公式与四周点数＝（每边点数﹣1）×4，即可解决问题．
【解答】解：根据分析可得，从里到外每层依次增加8、16、24、32个棋子，
（400﹣8﹣16﹣24﹣32）÷5
＝320÷5
＝64（个）
64÷4+1＝17（个）
答：最内层每边有17个棋子．
【分析】本题考查了方阵问题，解题关键是根据实心方阵每边点数特点得出每一层中每边点数相差2的规律．
45．【答案】见试题解答内容
【分析】当扩大方阵时，需补充10+15＝25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角．补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2＝13（人）．因此，扩大的方阵共有13×13＝169（人），去掉15人，就是原来人数．
【解答】解：扩大的方阵每边上有：（10+15+1）÷2＝13（人）；
原来人数：13×13﹣15＝154（人）；
答：原来有154人．
【分析】此题解答的关键是扩大的方阵共有多少人，要求扩大的方阵共有多少人，就要求出扩大的方阵每边上的人数．
46．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“后来又补种13棵，”可得现在的实心方阵最外层每边的棋子数：（13﹣1）÷2+1＝7（棵），实心方阵有7×7＝49（棵）．
【解答】解：（13﹣1）÷2+1＝7（棵）
7×7＝49（棵）
答：现在这个角落一共栽了49棵树苗．
【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
47．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据方阵每边棋子数与四周棋子数的关系：四周棋子数＝（每边棋子数﹣1）×4解答即可．
（2）根据“实心方阵：总棋子数＝每边棋子数×每边棋子数”求出总数量，然后减去外层的数量即可．
【解答】解：（1）（17﹣1）×4
＝16×4
＝64（枚）
答：64枚棋子能够摆成一个正方形方框，而且每边各有17枚棋子．
（2）17×17﹣64
＝289﹣64
＝225（枚）
答：还需要225枚棋子．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
48．【答案】见试题解答内容
【分析】利用方阵最外层四周点数＝每边点数×4﹣4计算出一共要准备彩灯的盏数即可．
【解答】解：4×7﹣4
＝28﹣4
＝24（盏）
答：一共要准备24盏彩灯；
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
49．【答案】见试题解答内容
【分析】每个方阵都排成了18列25行，即18列，每列有25人，则每个方阵有25×18＝450人，4个方阵有4个450人，即450×4；据此解答．
【解答】解：25×18×4
＝450×4
＝1800（人）
答：参加表演的同学共有1800人．
【分析】解答此题关键是明确“18列25行”即“18列每列有25人”，求几个相同加数的和是多少，用乘法进行解答．
50．【答案】见试题解答内容
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？3+3＝6，这时候梅梅加了两次，所以每行应该有3+3﹣1＝5（人）；
二：队伍的列数？用同样的方法：6+5﹣1＝10（人），
最后用每行人数×列数即可．
【解答】解：3+3﹣1＝5（人）
6+5﹣1＝10（人）
5×10＝50（人）
答：三（4）班共有学生50人．
【分析】本题关键是求出每行、每列的人数．
51．【答案】见试题解答内容
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，根据和差公式可求出最外层有（40+8）÷2＝24（盆）；由此根据“每边的点数＝四周的点数÷4+1，”这一方阵的外层每边摆多少盆．
【解答】解：（40+8）÷2
＝48÷2
＝24（盆）
24÷4+1＝7（盆）
答：这一方阵的外层每边摆7盆．
【分析】本题关键是求出方阵的最外层的盆数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1．
52．【答案】见试题解答内容
【分析】因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：5×2﹣1＝9人，由此利用方阵问题中：总人数＝每边人数×每边人数，即可解答．
【解答】解：每边人数是：5×2﹣1＝9（人），
共有：9×9＝81（人），
答：一共有81人．
【分析】此题考查了方阵问题中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数．
53．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，要求最外层一共有多少人，根据“四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4”解答；由于方阵相邻两层每边相差2人，共相差8人，所以用（15﹣1）÷2+1＝8，即得这个方阵一共有8层；用最外层的人数减去8即得从里向外算起的第七层有多少人．
【解答】解：最外层：（15﹣1）×4＝56（人），
共有层数：（15﹣1）÷2+1
＝14÷2+1
＝8（层），
从里向外算起的第七层有：56﹣8＝48（人），
答：最外层一共有56人，这个方阵一共有8层，从里向外算起的第七层有48人．
【分析】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
54．【答案】16。
【分析】根据四周的数量＝（每边数量﹣1）×4，代入数值计算即可。
【解答】解：（5﹣1）×4
＝4×4
＝16（枚）
答：一共放了16枚棋子。
【分析】本题主要考查了方阵问题，题目较为简单。
55．【答案】240个。
【分析】根据排队论确定每一排有多少人，然后再乘排数即可求解。
【解答】解：（5+8﹣1）×20
＝12×20
＝240（人）
答：操场上一共有240个学生。
【分析】本题主要考查了方阵问题，根据排队论求出每排有多少人是本题解题的关键。
56．【答案】180。
【分析】根据排队论问题求出每排人数，然后根据方阵问题公式求出总人数即可。
【解答】解：15×（6+7﹣1）
＝15×12
＝180（人）
答：一共有180名同学。
【分析】本题主要考查了方阵问题，根据排队论求出一排有多少人是本题解题的关键。
57．【答案】见试题解答内容
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有72人，最内层有32人，则方阵的层数：（72﹣32）÷8+l＝6（层）；由此即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：（72﹣32）÷8+l＝6（层）
72÷4+1＝19（人）
（19﹣6）×6×4＝312（人）
答：一共有312人．
【分析】本题关键是求出每边的人数和层数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
58．【答案】见试题解答内容
【分析】因为每相邻的两层相差8人，据此可以求出这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1＝5层，又因为最外层每边人数＝最外层人数÷4+1，据此再利用空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，即可求出总人数．
【解答】解：这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1＝5（层），
最外层每边人数是：64÷4+1＝17（人），
总人数是：（17﹣5）×5×4，
＝12×20，
＝240（人），
答：参加体操表演的一共有240人．
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4．
59．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）相邻两边的人数相差1，所以相邻的两圈的人数相差6，因为六年级同学有126名，站了两层，所以根据和差问题的解答方法即可求出最外层有多少人：（126+6）÷2＝66（人）；
（2）最外层有66人，最内层有66﹣6×（8﹣1）＝24（人），然后根据高斯求和公式解答即可；
（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，里面空缺的最外一层有24﹣6＝18（人），最里面有6人，有（18﹣6）÷6+1＝3层，然后根据高斯求和公式解答，最后加上最中心的一人即可．
【解答】解：（1）（126+6）÷2
＝132÷2
＝66（人）；
答：最外层有66人．
（2）最内层有66﹣6×（8﹣1）
＝66﹣42
＝24（人）
（24+66）×8÷2
＝90×4
＝360（人）；
答：现在阵列中一共有360人．
（3）里面空缺的最外一层有24﹣6＝18（人），最里面有6人，有（18﹣6）÷6+1＝3（层），
（18+6）×3÷2+1
＝36+1
＝37（人）
答：如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要37人．
【分析】本题考查了方阵问题和等差数列的综合应用，关键是明确空心的正六边形阵列相邻的两圈的人数相差6．
60．【答案】见试题解答内容
【分析】四个角都不放时，需要的棋子数最多，利用每边盆数×4计算即可；四个角都放时，需要的棋子数最少，根据每边棋子数×4﹣4即可解答；
【解答】解：如图：
8×4＝32（枚），
8×4﹣4＝28（枚），
答：最多需要32枚，最少需要28枚．
2．盛盛把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出5棵树苗；后来又运来11棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
3．用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面，由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖……这样依次铺下次，一共使用了400块瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
4．一个正方形草地四周等距离的种杨树，共种80棵，四个角上都种有一棵，每一边有多少棵杨树？
5．一个实心方阵，最外层一共有20人．请问：
（1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？
（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？
（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？
6．解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？
7．沿一个正方形鱼池的边铺路，用一批大小相等的正方形水泥砖铺，铺一周还剩下20块，如果再接着铺一周，则差12块，这批水泥砖共有多少块？
8．用一堆棋子摆一个五层空心方阵，最内层每边有12枚，这堆棋子共有多少枚？
9．一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？
10．同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少人？
11．深圳实验小学在运动会排成一个每边18人的实心方阵，后来由于场地有限，减少了2行2列，则减少了多少人？
12．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
13．平安路小学组织了一个正方形彩旗队伍，最外层一共有20人，这个彩旗队伍一共有多少人？
14．为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个．鲜花队共多少人？
15．华富小学管乐队的学生排成一个实心方阵，如果增加36人就可以增加最外一层，变成大一点的实心方阵，问现在管乐队有多少人？
16．用132个杯子摆一个3层空心方阵，求最外层每边的杯子数量。
17．同学们先摆成每边16人的实心方阵，又变换队形，组成一个4层空心方阵。空心方阵最外层有多少人？
18．一块正方形绿化地，要在它的四周种上水杉（一层），如果每个角都要种上一棵水杉，而且每边都要有20棵，一共要多少棵水杉苗？
19．四年级同学举行广播操比赛，排成8行8列，如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？
20．同学们做队列操，排成一个正方形方阵，后来为这个方阵增加一行和一列，结果还需要25个人，原来这个队列有多少人？
21．一个实心方阵，最外层共有44人．请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）要让这个方阵总人数减少一半，一共减少了多少人？
22．在一个正方形池塘周围种树，每条边上种10棵，四个角都要种一棵，需要准备多少棵树？
23．运动会入场式要求运动员排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
24．一小队军人，如果排成三层中空方阵，就多了9人，如果中空部分增加两层，则少了23人，这小队军人有多少？
25．一座大型雕像周围用盆花摆了一个4层的正方形花坛，这些盆花如果摆成两层的正方形花坛，最外一层的盆花数比摆成4层的最外一层盆花数每边多8盆．问摆这个正方形花坛用了多少盆花？（用算术法解答）
26．菊花展上，园丁BB仔要摆一个正方形空心花坛（一层），已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算BB仔摆这个花坛共要用多少盆菊花？
27．学校庆祝六一节，要在正方形操场周围插上彩旗，要求四个角上都要插上一面彩旗，每条边上插8面旗，请你帮老师算算，要准备多少面彩旗？
28．大家要用若干盆花在空地上摆一个空心方阵花坛，最里面的一层每边摆10盆花，一共3层，一共要用多少盆花？
29．一些学生，如果排成三层空心方阵，则多24人，如果在中间空心部分接一层，则少8人，共有多少学生？
30．设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？
31．有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？
32．学校开运动会，老师要在正方形操场周围插上彩旗，要求四个角上都要插上一面彩旗，每条边上插10面旗，而在每两面彩旗中要摆放一盆鲜花。请你帮老师算算，要准备多少面彩旗和多少盆鲜花？
33．棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？
34．体育节表演方阵中，小丽所站的位置从前面数是第7个，从后面数是第10个．从左面数是第4个，从右面数是第6个，这个方阵共有多少人？
35．一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树．已知树苗的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵．问：桃树和李树一共有多少棵？
36．有一个表演方阵，新加入一行一列共13人后，组成新的表演方阵。原表演方阵有多少人？
37．红领巾小学三年级有120名学生，他们排成一个三层的空心方阵，请问：
（1）这个方阵最外层每边有多少人？
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？
38．如图，这是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？
39．小美用棋子摆了一个空心方阵，最外每边摆30颗棋子，一共摆了5层，那么这个方阵一共用了多少颗棋子？
40．田园小学团体操表演排队，若排成正方形，则多出12名学生．如果把这个正方形扩大横纵每排各增加一人，则少9人．算一算，田园小学参加表演的共有多少名学生？
41．小A同学用棋子摆空心方阵，最内层每边有10颗棋子，最外层每边有16颗棋子。他一共用了多少颗棋子？
42．用棋子摆方阵恰好摆成每边为20的实心方阵，若改为4层空心方阵，最外层每边应放几枚？
43．144人排成一个实心方阵，每边多少人？最外层多少人？
44．用400个棋子摆放了5层空心方阵，最内层每边有几个棋子？
45．做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人．问：原有多少人？
46．公园一角把一批树苗栽成一个实心方阵．后来又补种13棵，使原来的实心方阵横、竖各增加了一排，成为一个大一点的实心方阵．现在这个角落一共栽了多少棵树苗？
47．多少枚棋子能够摆成一个正方形方框，而且每边各有17枚棋子？如果将空心部分填满棋子，使它变成一个实心方阵，那么还需要多少枚棋子？
48．学校开联欢晚会，要在正方形的操场四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装7盏，那么一共要准备多少盏彩灯？
49．学校举行庆“六一”团体操表演，参加表演的同学分成4个方阵，每个方阵都排成了18列25行，参加表演的同学共有多少人？
50．三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个．三（4）班共有学生多少人？
51．国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？
52．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左右数，小红都是第5个，问一共有多少人？
53．若干名同学站成一个15×15的实心方阵．请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外算起的第七层有多少人？
54．一个正方形棋盘的四个角上都放有1枚棋子，而每条边上都能数出5枚棋子，一共放了多少枚棋子？
55．操场上有20排同学做课间操，每排人数相等，王刚站在第10排，从排头数他是第5个，从排尾数他是第8个，操场上一共有多少个学生？
56．操场上有15排同学在做早操，每排人数相等，李明站在第6排，从排头开始数，她是第6个，从排尾开始数她是第7个，一共有多少名同学？
57．同学们跳舞，排成了一个空心方阵的队形，最外层共有72人，最内层共有32人，一共有多少人？
58．在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共有多少人？
59．在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学，两层五年级的同学，两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，请问：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？
60．在一个正方形的每条边上放8枚棋子，四条边上最多能摆多少枚？最少能摆多少枚？（用〇表示棋子）
方阵问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共60小题）
1．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据方阵最外层四周人数＝每边人数×4﹣4，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵总人数＝每边人数×每边人数计算出这个班一共的人数即可．
【解答】解：（20+4）÷4＝6（人）
6×6＝36（人）
答：这个班一共有36人．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
2．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“结果还多出了5棵树苗，后来又运来了11棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，”可知增加了5+11＝16棵，那么后来的方阵最外层就有16棵，然后根据每边的棵数＝外层的总棵数÷4+1解答即可．
【解答】解：（5+11）÷4+1
＝16÷4+1
＝4+1
＝5（棵）
答：后来的方阵最外层每边有5棵树．
【分析】本题考查了方阵问题，关键是确定后来的方阵最外层的棵数．
3．【答案】见试题解答内容
【分析】一共使用了400块瓷砖，而20×20＝400，说明该方阵是20行20列，因为是方阵，所以相邻的两层每边相差2块，每层相差8块，说明红色的瓷砖多从最外层开始每两层相差8块，那么共5个两层，所以相差40块．
【解答】解：因为：20×20＝400块
所以该方阵是20行20列5层红色，5层绿色，而且从最外层起，相邻的红色瓷砖比与之相邻的绿色瓷砖多：
2×4＝8块
8×5＝40块
答：这个墙面上红颜色的瓷砖更多，两种瓷砖相差40块．
【分析】解答本题的关键是根据题意分析得到该方阵是20行20列．
4．【答案】见试题解答内容
【分析】在封闭的正方形中栽树，四个角不栽树，栽树棵数＝每边栽树棵数×边数4﹣4；由此逆用这个公式即可．
【解答】解：（80+4）÷4
＝84÷4
＝21（棵）
答：每一边有21棵杨树．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
5．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：20÷4+1＝6（人），因此这个方阵共有6×6＝36（人）；
（2）如果要组成一个更大的方阵，则每边可以是6+1＝7人，总人数就是7×7＝49人，用49﹣36即得至少需要增加的人数；
（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，根据方阵相邻两层相差8人可知，用20+8即得需要增加的人数；据此解答．
【解答】解：（1）每边的人数是：20÷4+1＝6（人）
这个方阵共有：6×6＝36（人）
答：这个方阵一共有36人．
（2）6+1＝7（人）
7×7﹣36＝13（人）
答：至少需要增加13人．
（3）20+8＝28（人）
答：如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加28人．
【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
6．【答案】见试题解答内容
【分析】把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数即可．
【解答】解：（1）中实方阵总人数：12×12＝144（人）
（2）第四层每边人数：12﹣2×（4﹣1）＝6（人）
（3）空心方阵人数：（6﹣2）×（6﹣2）＝16（人）
（4）中空方阵人数：144﹣16＝128（人）
答：总共有128人．
【分析】中空方阵总人数＝外边人数×外边人数﹣（内边人数﹣2）×（内边人数﹣2）．
解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形．
（1）每个长方形的长＝外边人数﹣层数，12﹣4＝8（人）；
（2）每个长方形的宽是层数：4人；
（3）总人数：8×4×4＝128（人）
7．【答案】见试题解答内容
【分析】铺一周还剩下20块，如果再接着铺一周，则差12块，即再铺下周需要20+12＝32块，因每一层外圈要比里圈多用4块，据此可求出里圈有水泥砖32﹣4＝28块，进而可求出这批水泥砖的块数，据此解答．
【解答】解：20+12＝32（块）
32﹣4＝28（块）
28+20＝48（块）
答：这批水泥砖共有48块．
【分析】本题的重点是让学生理解，每外层比里面一层多用4块水泥砖．
8．【答案】300枚。
【分析】求出外层每边的数量，然后根据总数＝（每边数量﹣层数）×层数×4，代入求解即可。
【解答】解：外层的每边的数量为：
12+2×（5﹣1）
＝12+2×4
＝12+8
＝20（枚）
（20﹣5）×5×4
＝15×20
＝300（枚）
答：这堆棋子共有300枚。
【分析】本题主要考查了方阵问题，正确的计算外层每边数量是本题解题的关键。
9．【答案】见试题解答内容
【分析】若干名运动员站成20行20列的方阵，现在去掉4行4列，现在是（20﹣4）行（20﹣4）列，然后根据“实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数”求出原来和现在的总人数，再相减即可．
【解答】解答：20﹣4＝16（人）
20×20＝400（人）
16×16＝256（人）
400﹣256＝144（人）
答：要减少144人．
【分析】此题主要考查方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的计算应用．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少人，就是求实心方阵中布点的总数：中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数．
【解答】解：9×9＝81（人）
答：这个方阵一共有81人．
【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】减少了2行2列，即减少的部分相当于外面1层的空心方阵，最外层每边有18人，然后根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．
【解答】解：（18﹣1）×1×4
＝17×4
＝68（人）
答：减少了68人．
【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最里层每条边有6棵树，因为每相邻的两层之间每边上都是相差2棵树，所以最外层每边有6+2+2＝10棵树，根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4即可求得树苗的总棵数；再根据两头都种的植树问题，用间隔数+1求得在马路的一侧种树需要的棵数，最后二者相减就是还剩的棵数；据此解答即可．
【解答】解：最外层每边有6+2+2＝10棵树，
树苗总数：（10﹣3）×3×4＝84（棵），
马路植树的棵数：400÷5+1＝81（棵），
还剩：84﹣81＝3（棵），
答：最后还剩3棵小树苗．
【分析】此题综合考查了方阵问题和植树问题，求得树苗总数是关键．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】要求这个彩旗队伍一共有多少人，就是求这个方阵的总点数；需要先求得这个方阵最外层的每边人数，根据方阵问题中：四周点数＝每边点数×4﹣4可知：每边点数＝（四周点数+4）÷4．再利用总点数＝每边点数×每边点数解答．
【解答】解：（20+4）÷4
＝24÷4
＝6（人）
6×6＝36（人）
答：这个彩旗队伍一共有36人．
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：最外层每边点数＝（四周点数+4）÷4和总点数＝每边点数×每边点数．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？2+4＝6，这时候小华加了两次，所以每行应该有2+4﹣1人；
二：队伍的行数？用同样的方法3+5﹣1（人），
最后用每行人数×行数，即可．
【解答】解：每行的人数：2+4﹣1＝5（人），
队伍的行数：3+5﹣1＝7（行），
总人数：5×7＝35（人）；
答：鲜花队共有35人．
【分析】本道题目就是利用排队论找到每一行的人数，以及行数，不应该因为数据比较多而乱．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】如果增加36人就可以增加最外一层，这时最外层的人数是（36+4）÷4＝10（人），再根据“总点数＝每边点数×每边点数”算出增加后的总人数，然后进一步解答即可．
【解答】解：（36+4）÷4＝10（人）
10×10＝100（人）
100﹣36＝64（人）
答：现在管乐队有64人．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
16．【答案】14个。
【分析】根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可。
【解答】解：132÷4÷3+3
＝11+3
＝14（个）
答：最外层每边有14个杯子。
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。
17．【答案】20人。
【分析】根据“总点数＝每边点数×每边点数”求出总人数，再根据“总人数＝（外层每边人数﹣层数）×层数×4”解答即可。
【解答】解：16×16＝256（人）
256÷4÷4+4
＝16+4
＝20（人）
答：空心方阵最外层有20人。
【分析】此题考查了方阵问题中：“总点数＝每边点数×每边点数；总人数＝（外层每边人数﹣层数）×层数×4”的灵活应用。
18．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”解答即可．
【解答】解：20×4﹣4＝76（棵）
答：一共要76棵水杉苗．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】如果去掉一行一列，要去掉8×2﹣1＝15人，最外层每边还剩7人，然后根据“中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”解答即可．
【解答】解：8×2﹣1＝15（人）
（8﹣1）×（8﹣1）＝49（人）
答：如果去掉一行一列，要去掉15人，还剩49人．
【分析】四周的点数＝（每边的点数﹣1）×4，每边的点数＝四周的点数÷4+1，中实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的点数﹣内层每边的点数）÷2+1．
20．【答案】144人。
【分析】根据增加的人数，求出增加一行一列后的外边人数，然后求出原来方阵的外边人数，用方阵问题公式求解即可。
【解答】解：（25+1）÷2
＝26÷2
＝13（人）
13﹣1＝12（人）
12×12＝144（人）
答：原来这个队列有144人。
【分析】本题主要考查了方阵问题，正确的求出外边人数是本题解题的关键。
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）因为方阵的四个角上都是重复的，方阵的四个角上都是重复了一次，所以计算时要减去，算每边人数时，先用总数加上4，所以每边上有（44+4）÷4＝12人；
（2）要让这个方阵总人数减少一半，求一共减少了多少人，用总人数除以2即可．
【解答】解：（1）（44+4）÷4＝12（人）
12×12＝144（人）
答：这个方阵共有144人．
（2）减少一半就是6行6列，
144÷2＝72（人）
答：一共减少了72人．
【分析】本题考查方阵的问题：注意方阵的四个角上都是重复了一次．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】把树看作方阵中的点，每条边上种10棵，那么根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”代入数据解答即可．
【解答】解：10×4﹣4＝36（棵）
答：四个角都要种一棵，需要准备36棵树．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4或四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用．
23．【答案】32名。
【分析】去掉2行2列后，方阵变为7行7列，根据方阵问题公式，求出前后两个方阵的人数差即为所求。
【解答】解：9×9﹣（9﹣2）×（9﹣2）
＝81﹣49
＝32（人）
答：要减少32名运动员。
【分析】本题主要考查了方阵问题，熟记方阵问题计算公式是本题解题的关键。
24．【答案】117人。
【分析】根据两次排队的人数差，可以求出中空部分增加两层的外层人数，从而求出三层方阵的外层人数，据此求出总人数即可。
【解答】解：中空部分增加的两层的外层人数：
（9+23）÷4÷2+2
＝32÷8+2
＝4+2
＝6（人）
三层中空方阵的最外层的人数为：
6+2×3＝12（人）
总人数为：
12×12﹣6×6+9
＝144﹣36+9
＝108+9
＝117（人）
答：这小队军人有117人。
【分析】本题主要考查了方阵问题，求出增加两层的外层人数是本题解题的关键。
25．【答案】见试题解答内容
【分析】在方阵问题中，相邻两边的点数相差2，所以4层方阵都比最里层每边多2、4、6盆，如果每层都相等，总共多（2+4+6）×4＝48盆；同理，由于摆成两层比摆成4层的最外一层盆花数每边多8盆，所以两层方阵最外层和4层方阵相比较，比最里层每边多6+8＝14盆，另一层多14﹣2＝12盆，总共多（12+14）×4＝104盆；这样根据盈亏问题可得4层方阵最里层有：（104﹣48）÷（4﹣2）＝28盆，则向外三层分别是36、44、52盆，然后相加即可．
【解答】解：根据分析可得，
（2+4+6）×4
＝12×4
＝48（盆）
6+8＝14（盆）
14﹣2＝12（盆）
（12+14）×4
＝26×4
＝104（盆）
（104﹣48）÷（4﹣2）
＝56÷2
＝28（盆）
28+2×4＝36（盆）
36+2×4＝44（盆）
44+2×4＝52（盆）
28+36+44+52＝160（盆）
答：摆这个正方形花坛用了160盆花．
【分析】本题考查了实心方阵问题和盈亏问题的综合应用，比较复杂，关键是明确相邻两边的点数相差2；难点是转化成“摆成4层多48盆，摆成2层多104盆”．
26．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”解答即可．
【解答】解：5×4﹣4＝16（盆）
答：BB仔摆这个花坛共要用16盆菊花．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
27．【答案】28面。
【分析】根据四周的数量＝（每边的数量﹣1）×4，代入数值计算即可。
【解答】解：（8﹣1）×4
＝7×4
＝28（面）
答：要准备28面彩旗。
【分析】本题主要考查了方阵问题，要注意的是，只有四个角都要插上旗子时才适用。
28．【答案】见试题解答内容
【分析】每相邻的两层，每边相差2盆，2×（3﹣1）＝4盆，所以最外层有10+4＝14盆，再利用方阵总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4计算出最外层四周点数即可．
【解答】解：2×（3﹣1）＝4（盆）
10+4＝14（盆）
（14﹣3）×3×4＝132（盆）
答：一共要用132盆花．
【分析】此题考查了方阵问题中：方阵总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4的灵活应用．
29．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，空心部分接的这一层的总人数是24+8＝32人，进而求得其每边的人数是9人；由此可推出方阵的最外层每边人数是9+2×3＝15人，之后就可根据“求多层空心方阵总人数的公式”即可得到排成四层空心方阵需要的人数176人，实际还差8人，这样就可知道实际共有的学生人数了．
【解答】解：24+8＝32（人）
32÷4+1＝9（人）
9+3×2＝15（人）
（15﹣4）×4×4＝176（人）
176﹣8＝168（人）
答：共有168人．
【分析】此题并不难，只要能灵活运用“方阵问题中的公式”即可轻松解答．
30．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”可得：“中空方阵最外层每边人数＝总人数÷4÷层数+层数”，由此代数求得．
【解答】解：360÷4÷6+6
＝90÷6+6
＝15+6
＝21（人）
答：最外层每边应安排21人．
【分析】本题考查了“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”的灵活应用．
31．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意，100个人站成一个实心方阵，10×10＝100，所以最外层每边有10人，要求最外层一共有多少人，根据“四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4”解答；
（2）由于方阵相邻两层每边相差2人，相邻两层人数相差8人，所以用最外层的人数减去8即得从外向里算起的第二层有多少人；
（3）这个实心方阵的最里层有4人，用4+8+8即得从里向外算起的第三层有多少人．
【解答】解：（1）最外层：（10﹣1）×4＝36（人），
（2）从外向里算起的第二层：36﹣8＝28（人），
（3）从里向外算起的第三层：4+8+8＝20（人），
答：这个方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人．
【分析】本题关键是求出最外层每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
32．【答案】要准备36面彩旗，36盆鲜花。
【分析】根据方阵问题四周数量计算公式求出彩旗的数量，再根据植树问题求出有多少间隔，即有多少盆鲜花，据此解答。
【解答】解：（10﹣1）×4
＝9×4
＝36（面）
这是封闭的植树问题，间隔数＝棋子数，
所以鲜花的数量也是36。
答：要准备36面彩旗，36盆鲜花。
【分析】本题主要考查了方阵问题，熟练掌握计算公式是本题解题的关键。
33．【答案】见试题解答内容
【分析】棋子排成每边8粒的正方形，即每排八粒，共八排，可见棋子总数是8个8粒，即8×8＝64粒，最外层的棋子数可按公式：一周总点数＝每边粒数×4﹣4求得．
【解答】解：8×8＝64（粒）
8×4﹣4
＝32﹣4
＝28（粒）
答：棋子共有64粒，最外层有28粒．
【分析】本题方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数．
34．【答案】见试题解答内容
【分析】从前面数是第7个，从后面数是第10个，说明这一列共有7+10﹣1＝16（人）；从左面数是第4个，从右面数是第6个，说明这一行共有4+6﹣1＝9（人）；因此，一共有16×9＝144（人）．
【解答】解：（7+10﹣1）×（4+6﹣1）
＝16×9
＝144（人）
答：这个方阵共有144人．
【分析】解答此题关键在于确定出每行、每列的人数，此题列式容易出错．
35．【答案】见试题解答内容
【分析】如图画出苗圃的最里面3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4+12+20+28+…，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，40÷8＝5，所以共有5×2＝10圈，最外圈的桃树为4+9×8＝76棵，然后根据高斯求和公式即可求出果树的总棵数．
【解答】解：果树的棵数排列为：4+12+20+28+…，
每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，
所以共有40÷8×2＝10圈，
最外圈的桃树为4+9×8＝76棵，
果树总棵数为：（4+76）×10÷2＝400（棵）
答：桃树和李树一共有400棵．
【分析】本题关键是求出最外层果树的棵数，然后根据高斯求和公式解答．
36．【答案】36人。
【分析】新加入一行一列共13人后，现在每行每列有（13+1）÷2＝7（人），则原来每行每列有7﹣1＝6（人），然后根据“中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数”解答即可。
【解答】解：（13+1）÷2＝7（人）
7﹣1＝6（人）
6×6＝36（人）
答：原表演方阵有36人。
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。
37．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设三层的空心方阵最外层每边x人，第二层每边是x﹣2，第三次每边是x﹣4，且，每一周的人数用四边人数的和减去4，可得方程4x﹣4+4（x﹣2）﹣4+4（x﹣4）﹣4＝120；解答即可得到x的值；
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，最外层的每一边比里边的相邻一层多2人，那么每边应该是15人，据此可解得增加的人数；
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，第五层的一边的人数比第四层一边的人数少2人，据此可得那么最里面的每边应该是：
13﹣6＝7（人）；据此解答即可．
【解答】解：（1）设三层的空心方阵最外层每边x人，由题意得：
4x﹣4+4（x﹣2）﹣4+4（x﹣4）﹣4＝120
12x﹣36＝120
12x﹣36+36＝120+36
12x＝156
12x÷12＝156÷12
x＝13
答：这个方阵最外层每边有13人．
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那么每边应该是15人，
15×4﹣4＝56（人）
答：应该增加56个人．
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，那么最里面的每边应该是：
13﹣6＝7（人）
7×4﹣4＝24（人）
答：还需要再增加24个人．
【分析】本题考查方阵问题，注意解题关键是相邻两层每条边相差2人．
38．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满，即两次摆法相差12+9＝21枚棋子，用（21﹣1）÷2即可求得原来正方阵的每边的点数，再据“每边的点数×每边的点数＝中实方阵的总点数”求得原正方阵的棋子数后再加12枚即可．
【解答】解：12+9＝21（枚），
（21﹣1）÷2＝10（枚），
10×10+12＝112（枚），
答：这堆棋子原有112枚．
【分析】先求得原来正方阵的每边的棋子数是解答此题的关键．
39．【答案】见试题解答内容
【分析】利用空心方阵公式：（最外边数一层数）×层数×4＝总数；据此即可解答问题．
【解答】解：棋子总数：（30﹣5）×5×4，
＝25×20，
＝500（颗）．
答：一共用了500颗棋子．
【分析】此题主要考查空心方阵公式：（最外边数一层数）×层数×4＝总数的计算应用．
40．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题干可知，横纵每排各增加一人，即每行每列都增加一排实际就是增加了12+9＝21人，由此即可求得原来每行每列的人数为：（21﹣1）÷2＝10人，所以原来的正方形方阵有：10×10＝100人，由此即可求出这些学生的总数．
【解答】解：（12+9﹣1）÷2
＝20÷2
＝10（人）
10×10+12
＝100+12
＝112（人）
答：田园小学参加表演的共有112名学生．
【分析】此题考查了实心方阵总点数＝每边点数×每边点数，这里根据“横纵每排各增加一人，则少9人”得出原来正方形方阵的每边人数是解决本题的关键．
41．【答案】192颗。
【分析】先求出层数，再根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可。
【解答】解：（16﹣10）÷2+1
＝3+1
＝4（层）
（16﹣4）×4×4
＝12×16
＝192（颗）
答：他一共用了192颗棋子。
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。
42．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，这是一个实心方阵，则共有棋子20×20＝400枚，排成一个4层空心方阵，要求最外层每边有多少枚棋子，据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数＝总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可．
【解答】解答：20×20＝400（枚）
400÷4÷4+4
＝25+4
＝29（枚）
答：最外层每边应放29枚．
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4的灵活应用．
43．【答案】12人，44人。
【分析】根据“总点数＝每边点数×每边点数”求出每边的人数，再根据“最外层四周点数＝外层每边点数×4﹣4”求出最外层有多少人即可。
【解答】解：144＝12×12
12×4﹣4＝44（人）
答：每边12人，最外层44人。
【分析】此题考查了方阵问题中：“总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝外层每边点数×4﹣4”的灵活应用。
44．【答案】见试题解答内容
【分析】根据方阵每边点数的特点，最外层每边棋子数比与内层每边棋子数分别多2个棋子，四周共多8个棋子，则从里到外每层依次增加8、16、24、32个棋子，然后根据和差公式与四周点数＝（每边点数﹣1）×4，即可解决问题．
【解答】解：根据分析可得，从里到外每层依次增加8、16、24、32个棋子，
（400﹣8﹣16﹣24﹣32）÷5
＝320÷5
＝64（个）
64÷4+1＝17（个）
答：最内层每边有17个棋子．
【分析】本题考查了方阵问题，解题关键是根据实心方阵每边点数特点得出每一层中每边点数相差2的规律．
45．【答案】见试题解答内容
【分析】当扩大方阵时，需补充10+15＝25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角．补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2＝13（人）．因此，扩大的方阵共有13×13＝169（人），去掉15人，就是原来人数．
【解答】解：扩大的方阵每边上有：（10+15+1）÷2＝13（人）；
原来人数：13×13﹣15＝154（人）；
答：原来有154人．
【分析】此题解答的关键是扩大的方阵共有多少人，要求扩大的方阵共有多少人，就要求出扩大的方阵每边上的人数．
46．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“后来又补种13棵，”可得现在的实心方阵最外层每边的棋子数：（13﹣1）÷2+1＝7（棵），实心方阵有7×7＝49（棵）．
【解答】解：（13﹣1）÷2+1＝7（棵）
7×7＝49（棵）
答：现在这个角落一共栽了49棵树苗．
【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
47．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据方阵每边棋子数与四周棋子数的关系：四周棋子数＝（每边棋子数﹣1）×4解答即可．
（2）根据“实心方阵：总棋子数＝每边棋子数×每边棋子数”求出总数量，然后减去外层的数量即可．
【解答】解：（1）（17﹣1）×4
＝16×4
＝64（枚）
答：64枚棋子能够摆成一个正方形方框，而且每边各有17枚棋子．
（2）17×17﹣64
＝289﹣64
＝225（枚）
答：还需要225枚棋子．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
48．【答案】见试题解答内容
【分析】利用方阵最外层四周点数＝每边点数×4﹣4计算出一共要准备彩灯的盏数即可．
【解答】解：4×7﹣4
＝28﹣4
＝24（盏）
答：一共要准备24盏彩灯；
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
49．【答案】见试题解答内容
【分析】每个方阵都排成了18列25行，即18列，每列有25人，则每个方阵有25×18＝450人，4个方阵有4个450人，即450×4；据此解答．
【解答】解：25×18×4
＝450×4
＝1800（人）
答：参加表演的同学共有1800人．
【分析】解答此题关键是明确“18列25行”即“18列每列有25人”，求几个相同加数的和是多少，用乘法进行解答．
50．【答案】见试题解答内容
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？3+3＝6，这时候梅梅加了两次，所以每行应该有3+3﹣1＝5（人）；
二：队伍的列数？用同样的方法：6+5﹣1＝10（人），
最后用每行人数×列数即可．
【解答】解：3+3﹣1＝5（人）
6+5﹣1＝10（人）
5×10＝50（人）
答：三（4）班共有学生50人．
【分析】本题关键是求出每行、每列的人数．
51．【答案】见试题解答内容
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，根据和差公式可求出最外层有（40+8）÷2＝24（盆）；由此根据“每边的点数＝四周的点数÷4+1，”这一方阵的外层每边摆多少盆．
【解答】解：（40+8）÷2
＝48÷2
＝24（盆）
24÷4+1＝7（盆）
答：这一方阵的外层每边摆7盆．
【分析】本题关键是求出方阵的最外层的盆数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1．
52．【答案】见试题解答内容
【分析】因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：5×2﹣1＝9人，由此利用方阵问题中：总人数＝每边人数×每边人数，即可解答．
【解答】解：每边人数是：5×2﹣1＝9（人），
共有：9×9＝81（人），
答：一共有81人．
【分析】此题考查了方阵问题中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数．
53．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，要求最外层一共有多少人，根据“四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4”解答；由于方阵相邻两层每边相差2人，共相差8人，所以用（15﹣1）÷2+1＝8，即得这个方阵一共有8层；用最外层的人数减去8即得从里向外算起的第七层有多少人．
【解答】解：最外层：（15﹣1）×4＝56（人），
共有层数：（15﹣1）÷2+1
＝14÷2+1
＝8（层），
从里向外算起的第七层有：56﹣8＝48（人），
答：最外层一共有56人，这个方阵一共有8层，从里向外算起的第七层有48人．
【分析】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
54．【答案】16。
【分析】根据四周的数量＝（每边数量﹣1）×4，代入数值计算即可。
【解答】解：（5﹣1）×4
＝4×4
＝16（枚）
答：一共放了16枚棋子。
【分析】本题主要考查了方阵问题，题目较为简单。
55．【答案】240个。
【分析】根据排队论确定每一排有多少人，然后再乘排数即可求解。
【解答】解：（5+8﹣1）×20
＝12×20
＝240（人）
答：操场上一共有240个学生。
【分析】本题主要考查了方阵问题，根据排队论求出每排有多少人是本题解题的关键。
56．【答案】180。
【分析】根据排队论问题求出每排人数，然后根据方阵问题公式求出总人数即可。
【解答】解：15×（6+7﹣1）
＝15×12
＝180（人）
答：一共有180名同学。
【分析】本题主要考查了方阵问题，根据排队论求出一排有多少人是本题解题的关键。
57．【答案】见试题解答内容
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有72人，最内层有32人，则方阵的层数：（72﹣32）÷8+l＝6（层）；由此即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：（72﹣32）÷8+l＝6（层）
72÷4+1＝19（人）
（19﹣6）×6×4＝312（人）
答：一共有312人．
【分析】本题关键是求出每边的人数和层数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
58．【答案】见试题解答内容
【分析】因为每相邻的两层相差8人，据此可以求出这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1＝5层，又因为最外层每边人数＝最外层人数÷4+1，据此再利用空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，即可求出总人数．
【解答】解：这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1＝5（层），
最外层每边人数是：64÷4+1＝17（人），
总人数是：（17﹣5）×5×4，
＝12×20，
＝240（人），
答：参加体操表演的一共有240人．
【分析】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4．
59．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）相邻两边的人数相差1，所以相邻的两圈的人数相差6，因为六年级同学有126名，站了两层，所以根据和差问题的解答方法即可求出最外层有多少人：（126+6）÷2＝66（人）；
（2）最外层有66人，最内层有66﹣6×（8﹣1）＝24（人），然后根据高斯求和公式解答即可；
（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，里面空缺的最外一层有24﹣6＝18（人），最里面有6人，有（18﹣6）÷6+1＝3层，然后根据高斯求和公式解答，最后加上最中心的一人即可．
【解答】解：（1）（126+6）÷2
＝132÷2
＝66（人）；
答：最外层有66人．
（2）最内层有66﹣6×（8﹣1）
＝66﹣42
＝24（人）
（24+66）×8÷2
＝90×4
＝360（人）；
答：现在阵列中一共有360人．
（3）里面空缺的最外一层有24﹣6＝18（人），最里面有6人，有（18﹣6）÷6+1＝3（层），
（18+6）×3÷2+1
＝36+1
＝37（人）
答：如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要37人．
【分析】本题考查了方阵问题和等差数列的综合应用，关键是明确空心的正六边形阵列相邻的两圈的人数相差6．
60．【答案】见试题解答内容
【分析】四个角都不放时，需要的棋子数最多，利用每边盆数×4计算即可；四个角都放时，需要的棋子数最少，根据每边棋子数×4﹣4即可解答；
【解答】解：如图：
8×4＝32（枚），
8×4﹣4＝28（枚），
答：最多需要32枚，最少需要28枚．
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