浙江省宁波市五校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省宁波市五校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知,,且,则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
2、双曲线的渐近线方程是( )
A.B.C.D.
3、在坐标平面内,与点距离为3,且与点距离为1的直线共有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
4、圆和的位置关系是( )
A.外离B.相交C.内切D.外切
5、若,,,求的面积为( )
A.28B.14C.56D.20
6、直线l的方向向量为,且l过点,则点到l的距离为( )
A.B.C.D.
7、已知点P是椭圆上一动点,Q是圆上一动点,点,则的最大值为( )
A.4B.5C.6D.7
8、如图,矩形ABCD中,,E为边AB的中点,将沿直线DE翻折成.在翻折过程中,直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为( )
A.B.C.D.
9、圆,圆,则下列直线中为两圆公切线的是( )
A.B.C.D.
10、若方程所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是( )
A.若C为椭圆,则,且B.若C为双曲线,则或
C.若,则曲线C表示圆D.若C为双曲线,则焦距为定值
11、如图,在四棱锥中,PA平面ABCD,,,,
,M为PD中点,则( )
A.
B.异面直线BM与AD所成角的余弦值为
C.直线BM与平面PBC所成角的正弦值为
D.点M到直线BC的距离为
12、曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量,已知对于曲线（）上点处的曲率半径公式为,则下列说法正确的是( )
A.若曲线上某点处的曲率半径起大,则曲线在该点处的弯曲程度越小
B.若某焦点在x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c（半焦距）则该椭圆离心率为
C.椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为
D.若椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8,最小值为1,则椭圆方程为
二、填空题
13、已知空间向量和,则在上的投影向量为________(用坐标表示).
14、已知直线l过点,且在x轴上的截距是在y轴上的截距的两倍,则直线l的方程为_______.
15、如图,在三棱锥中,,,M、N分别是AD,BC的中点,则_____.
16、已知双曲线的左右焦点分别为、,过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点B、C,若,则双曲线的离心率为__________.
三、解答题
17、设常数,已知直线,.
（1）若,求a的值;
（2）若,求与之间的距离.
18、在三棱锥体中,,,点H为PF的中点,设,,.
（1）记,试用向量,,表示向量;
（2）若,,,求的值.
19、已知圆,直线.
（1）当a为何值时,直线l与圆C相切;
（2）当直线l与圆C相交于A,B两点,且时,求直线l的方程.
20、若双曲线的离心率等于,直线与双曲线E的右支交于A,B两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若,点C是双曲线上一点,且,求k,m的值.
21、如图,在直三棱柱中,,,三棱柱的侧面积为.

（1）求证：平面平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22、已知,分别是椭圆的左、右焦点,且焦距为2,动弦MN平行于x轴,且.
（1）求椭圆E的方程;
（2）设A,B为椭圆E的左右顶点,P为直线上的一动点（点P不在x轴上）,连AP交椭圆于C点,连PB并延长交椭圆于D点,试问是否存在,使得成立,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：,,,所以,
,,,
又,与的夹角为.
故选：B.
2、答案：B
解析：在双曲线中,,,因此,该双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
3、答案：D
解析：到点距离为3的点的轨迹为以为圆心,半径为3的圆,
到点距离为1的点的轨迹为以为圆心,半径为1的圆,
则所求直线即为两圆的公切线,因为,且,
可知两圆相离,有4条公切线,所以符合题意的直线有4条.
故选：D.
4、答案：D
解析：圆的圆心为,半径为1,圆可化为,圆心为,半径为4,而两圆心的距离为,故两圆外切.
故选：D.
5、答案：A
解析：根据两点间的距离解得：,
AB所在直线方程为：,则,所以.
故选：A.
6、答案：B
解析：依题意,因为直线l的方向向量为,
所以取直线l的一个单位方向向量为,
由,可得,所以,
,所以.
故选：B.
7、答案：C
解析：如图所示：
由,得,,则,
则圆的圆心是为椭圆的左焦点,则右焦点为,
由椭圆的定义得,所以,
又,
所以.
故选：C.
8、答案：A
解析：分别取DE,DC的中点O,F,则点A的轨迹是以AF为直径的圆,
以OA,OE为x,y轴,过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系,
则,平面ABCD的其中一个法向量为,
由,设,则,
记直线与平面ABCD所成角为,则,
设,,
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为,
故选：A.
9、答案：BCD
解析：由题知圆M,圆心为,半径为,圆N,圆心为,半径为,
由两圆圆心和半径大小知,两圆公切线的斜率存在,设公切线方程为,
则到l的距离,到l的距离
得,
,解得或,
当时,,解得或,即或,
当时,,
解得或,即或,
故选：BCD.
10、答案：ABC
解析：A：C为椭圆,则,可得,且,正确;
B：C为双曲线,则,可得或,正确;
C：时,方程为,即曲线C表示圆,正确;
D：若C为双曲线,则,显然焦距不为定值,错误.
故选：ABC.
11、答案：ACD
解析：过A作,垂足为E,则,以A为坐标原点,
分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,,,.
因为,故选项A正确;
因为,
所以直线BM与AD所成角的余弦值为,故选项B错误;
设平面PBC的法向量为,则,令,得,
设直线BM与平面PBC所成角为,则,
所以直线BM与平面PBC所成角的正弦值为,故选项正确;
设点M到直线BC的距离为d,则,
即点M到直线BC的距离为,故选项D正确,
故选：ACD.
12、答案：ABD
解析：对于A,曲线上某点处的曲率半径变大,则曲线在该点处的弯曲程度越小,故A正确;
对于B,因为,所以,
所以,
因为,所以,,
若某焦点在x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c,
可得,解得,故B正确;
对于C,由选项B可知,,所以,
所以椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为,故C错误;
对于D,若椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8,最小值为1,
由选项B可得,所以,解得,
则椭圆方程为,故D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析：已知空间向量和,
则在上的投影向量为.
故答案为：.
14、答案：或
解析：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,设直线方程为,
因为直线过点,所以,所以直线l的方程为;
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时,设直线l在y轴上的截距为b,
则在x轴上的截距为2b,则直线l的方程为,又因为直线l过点,所以,
解得：,所以直线l的方程为,即,
综上所述：直线l的方程为或,
故答案为：或.
15、答案：-7
解析：连结ND,取ND的中点E,连结ME,
则,是异面直线AN,CM所成的角,
,,,,
,同理得：,
又,,
,
设与的夹角为,由图可知与互补,则,
.
故答案为：-7.
16、答案：
解析：根据题意,记,则,其中为双曲线的半焦距,
进而由双曲线的焦半径公式和双曲线的定义,可得,即,
也即,解得,因此双曲线的离心率.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）根据题意,直线,,
若,则,解可得
（2）根据题意,若,则有,解可得或-3,
当时,直线,,两直线重合,不符合题意,
当时,直线,,即,两直线平行,
此时与之间的距离
18、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题可知,,,,
所以,即,又,
所以,所以,
又点H为PF的中点,所以,
所以;
（2）因为,,,,
所以,,
所以
.
19、答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）由圆,可得,
其圆心为,半径,若直线l与圆C相切,
则圆心C到直线l距离,即,可得：.
（2）由（1）知：圆心到直线的距离,因为,
即,解得,所以,整理得：,
解得：或,则直线l为或.
20、答案：（1）;
（2）,.
解析：(1)由得 故双曲线E的方程为.
设,,由得.①
因为直线与双曲线右支交于A,B两点,所以.即,
即,即k的取值范围是.
(2)由①得,,
所以.
整理得,所以或,又,所以,
所以,.
设,由得,
因为点C是双曲线上一点,所以,得,故,.
21、答案：（1）证明详见解析
（2）
解析：（1）依题意,,,
所以,所以,根据直三棱柱的性质可知平面ABC,
而AB,BC平面ABC,所以,,
由此以B为原点建立如图所示空间直角坐标系,
则,,设平面的法向量为,
则,故可得.平面的一个法向量是,
由于,所以,所以平面平面.
（2）由（1）得平面的法向量,,,
设直线与平面所成角为,则.
22、答案：（1）
（2）存在,3
解析：（1）因为焦距为2,所以,由椭圆的对称性得.
又因为,所以.则,.
所以椭圆E的方程为.
（2）设,又,则,
故直线AP的方程为：,代入方程,
并整理得：.
由韦达定理：即,
同理可解得：,,
故直线CD的方程为,即,
化简可得：,直线CD恒过定点.
,
因为,,
所以.