专题04 定义（理）的灵活运用（第一章有理数）-判断正误类-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

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一、单选题
1．下列意义叙述不正确的是（ ）
A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降
B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2m
C．温度上升−5∘C，指温度下降5∘C
D．盈利−1000元表示赚了1000元
【答案】D
【详解】解：A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降，说法正确，不符合题意；
B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2m，说法正确，不符合题意；
C．温度上升−5∘C，指温度下降5∘C，说法正确，不符合题意；
D．盈利−1000元表示亏了1000元，说法错误，符合题意；
故选D．
2．月球是地球的近邻，它的起源一直是人类不断探索的谜题之一．全球迄今进行了126次月球探测活动，因为研究月球可提高人类对宇宙的认识，包括认识太阳系的演化及特点，认识地球自然系统与太空自然现象之间的关系．我们已经认识到，在月球表面，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到﹣183℃．下面对“﹣183℃”的叙述不正确的是（ ）
A．﹣183是一个负数
B．﹣183表示在海平面以下183米
C．﹣183在数轴上的位置在原点的左边
D．﹣183是一个比﹣100小的数
【答案】B
【详解】A、﹣183是负数,正确;
B、﹣183表示在零摄氏度以下183℃,错误;
C、﹣183在数轴上的位置在原点的左边,正确;
D、﹣183是一个比-100小的数,正确;
故选B..
3．我们知道字母可代表任何数，那么对下列各式的叙述一定正确的是（ ）
A．−x一定是负数B．−x2一定是负数
C．−x2−1一定是负数D．−x−10一定是负数
【答案】C
【详解】解：A、当x为负数时，-x为正数，所以-x不一定是负数，故选项错误；
B、当x=0时，-x2=0，所以-x不一定是负数，故选项错误；
C、当x为任何数时，-x2-1＜0，所以-x一定是负数，故选项正确；
D、因为x不一定是负数，所以选项错误．
故选：C．
4．下列有关“0”的叙述中，错误的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数B．0 ℃是零上温度和零下温度的分界线
C．海拔是0 m表示没有海拔D．0是最小的自然数
【答案】C
【详解】A．0既不是正数，也不是负数，正确，不符合题意；
B．0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，不符合题意；
C．海拔是0 m表示没有海拔，错误，符合题意；
D．0是最小的自然数，正确，不符合题意；
故选C．
5．下列叙述正确的是（ ）
A．不是正数的数一定是负数B．有理数包括正有理数和负有理数
C．整数不是正整数就是负整数D．有理数绝对值越大，离原点越远
【答案】D
【详解】解：A．不是正数的数是负数或零，故A错误；
B．有理数包括正有理数，负有理数和零，故B错误；
C．整数有正整数、负整数和零，故C错误；
D．有理数绝对值越大，离原点越远，故D正确．
故选：D．
6．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图，下列判断：a0，c-a<0中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】解：由图知，b0．
所以原题中的式子错误的个数是4．
故选：D．
7．下列叙述正确的是（ ）
A．有理数中有最大的数
B．零是整数中最小的数
C．有理数中有绝对值最小的数
D．若一个数的平方与立方结果相等，则这个数是0
【答案】C
【详解】试题分析：根据有理数、绝对值、乘方的有关定义及性质，对各选项进行判断．
解：有理数中没有最大的数，A错；
整数中没有最小的数，B错；
绝对值最小的数是0，C正确；
一个数的平方与立方结果相等，则这个数是0或1，D错．
绝对值为非负数，所以有最小值0，
故选C．
考点：有理数的乘方；有理数；绝对值．
8．下列叙述中，正确的是（ ）
A．有理数分正有理数和负有理数
B．绝对值等干本身数是0和1
C．互为相反数的两个数的三次方仍是互为相反数
D．π2是分数
【答案】C
【详解】解：A、有理数分为正有理数和负有理数和0，故本选项错误；
B、绝对值等于其本身的数是0和正数，故本选项错误；
C、互为相反数的两个数的三次方仍是互为相反数，故本选项正确；
D、π2不是分数，分数的分子分母都是整数，故本选项错误．
故选：C．
9．若有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断中错误的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＜0C．ab＜1D．a﹣b＜0
【答案】C
【详解】解：由题意得，a、b为负数，
A、ab＞0，故此选项正确，不符合题意；
B、a+b＜0，故此选项正确，不符合题意；
C、ab＞1，故此选项错误，符合题意；
D、a﹣b＜0，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
10．以下叙述中，不正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数的相反数
B．两个正数的和一定是正数
C．两个负数的差一定是负数
D．在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数
【答案】C
【详解】解：A、有理数的减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数，正确；
B、两个正数的和一定是正数，正确；
C、两个负数的差不一定是负数，例如（−1）−（−5）＝−1＋5＝4，不正确，符合题意；
D、在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数，正确；
故选：C．
11．下列叙述中错误的个数是（ ）
①任何有理数都有倒数；②互为倒数的两个数的积为1；③若a>0,b<0，则ab<0；④若a+b=0，则ab=−1；⑤若ab>0，则a，b同号．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】①0没有倒数，错误，故①符合题意；
②ab(ab≠0)的倒数是ba，且ab⋅ba=1，正确，故②不符合题意；
③若a>0,b<0，则ab<0，正确，故③不符合题意；
④若a+b=0，则a=−b∴当ab≠0时，ab=−bb=−1，错误，故④符合题意；
⑤若ab>0，则a，b同号，正确，故⑤不符合题意，
故错误的有：①④
故选：B．
12．下列判断错误的是( )
A．除零以外任何一个实数都有倒数
B．互为相反数的两个数的和为零
C．两个无理数的和一定是无理数
D．任何一个实数都能用数轴上的一点表示，数轴上的任何一点都表示一个实数
【答案】C
【详解】A、B、D均正确，不符合题意；
C、如2与−2，2+−2=0，和是有理数，故C错误，符合题意．
13．下列叙述中，不正确的是（ ）
A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示
B．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等
C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大
D．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大
【答案】C
【详解】解：∵实数与数轴上的点一一对应，故答案A正确；
∵两个互为相反数的数绝对值相等，∴表示互为相反数的两个点与原点距离相等，故答案B正确；
∵在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，故答案C错误；
∵通常以向右的方向表示数轴的正方向，∴右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大，故答案D正确．
故选C．
14．下列叙述正确的是（ ）
A．－1的任何次幂都是－1B．非负数的任何次幂一定是正数
C．平方等于49的数是7D．任何数的平方都不会是负数
【答案】D
【详解】解：A、−1的偶次幂为1，故选项错误；
B、0的非零次幂为0，故选项错误；
C、平方等于49的数是7或−7，故选项错误；
D、任何数的平方都不会是负数，故选项正确．
故选：D．
15．下列对于–34，叙述正确的是（ ）
A．读作–3的4次幂
B．底数是–3，指数是4
C．表示4个3相乘的积的相反数
D．表示4个–3相乘的积
【答案】C
【详解】因为–34读作：负的3的4次幂，所以选项A不正确；
因为–34的底数是3，指数是4，所以选项B不正确；
因为–34表示4个3相乘的积的相反数，所以选项C正确；
因为–34表示4个3相乘的积的相反数，所以选项D不正确．
故选C．
16．下列关于数轴的概念叙述不正确的是（ ）
A．数轴是一条直线;
B．数轴上位于原点的两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数；
C．数轴上的点只能表示有理数；
D．数轴上表示的两个数，左边的数总比右边的小；
【答案】C
【详解】下列关于数轴的概念叙述不正确的是（ ）
A. 数轴是一条直线，正确;
B. 数轴上位于原点的两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数，正确；
C. 有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，故不正确；
D. 数轴上表示的两个数，左边的数总比右边的小，正确；
故选C.
二、填空题
17．已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：
①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＜0中，错误的是 （写序号）
【答案】②③④．
【详解】由数轴可得：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，﹣1＜c＜0，
①数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以a＜c＜b，此结论正确；②由数轴图不难得出2＜﹣a＜3，所以﹣a＞b，此结论错误；③异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，很明显，|a|＞|b|，所以a+b＜0，此结论错误；④正数减去负数所得差必为正数，所以c﹣a＞0，此结论错误．
故答案为②③④．
18．有理数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，则：
①a×b＜0 ；②a+b＜0； ③ab＜1；④a﹣b＜0，以上说法错误的是 （填序号）
【答案】①③
【详解】由图可得，a＜b＜0，
∴a×b＞0，故①错误；
a+b＜0，故②正确；
ab＞1，故③错误；
a﹣b＜0，故④正确；
故答案为①③．
19．已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②−a是负数；③a与−a必有一个是负数；④a与−a互为相反数，其中正确的序号是 .
【答案】④
【详解】解：∵a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，同样-a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，①错误；②错误；
∵当a=0时，a和-a都是0，都不是负数，∴③错误；
∵不论a是正数、0负数，a与-a都互为相反数，∴④正确.
故答案为：④.
20．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①b＜a＜c；②﹣c＞﹣a③a+b＜a﹣b；④a﹣c＞﹣a﹣b中，错误的有 （请填出所有错误结论的序号）．
【答案】②④
【详解】由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数，可知b＜a＜0＜c．
①b＜a＜c，①正确；
②﹣c＜﹣a，②错误；
③a+b＜a﹣b，③正确；
④a﹣c＜﹣a﹣b，④错误．
故答案为②④．
21．在数轴上，有理数a，b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5，且ab<0，a>b．下列结论：①a3<0；②a1a4>0；③a−a3=a−a3；④b−a=2(a3+b)．其中所有正确结论的序号是 ．

【答案】①③④
【详解】解：∵ ab<0，a>b，
∴ a<0，且距离原点比较远，b>0，且距离原点比较近，
∴中点所表示的数a3在原点的左侧，
∴ a3<0，
∴①正确；
由数轴所表示的数可知a1<0，a4可能大于0，也可能小于0，
∴ a1a4符号不确定，
∴②不正确；
∵ a∴表示数a的点到表示数a3的点距离既可以表示为a−a3，也可以表示为a−a3，
∴ a−a3=a−a3，
∴③正确；
∵ a3在原点的左侧，而b在原点右侧，
∴表示数a3的点到表示数b的点距离为a3+b，
∴ a到b的距离为2(a3+b)，
即：b−a=2(a3+b)
∴④正确；
故答案为：①③④．
22．在数轴上，有理数a，b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5，且ab＜0，a＞b．下列结论：①a3＜0；②a1a4＞0；③ a−a3 =|a|−|a3|；④|b−a|=2|a3|+|b|．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【详解】解：∵ab＜0，a＞b
∴a是负数且离原点较远，b是正数且离原点较近，
∴中点所表示的数a3在原点的左侧，
∴a3＜0，
因此①正确；
由数轴所表示的数可知，a1＜0，a4＞0或a4＜0，
∴a1a4＞0不正确，因此②不正确；
∵a＜a3＜0，
∴表示数a的点到表示数a3的点距离既可以表示为a−a3，也可以表示为a−a3，
∴|a−a3|=a−a3，
因此③正确；
∵表示数a3的点在原点的左侧，而表示数b的点在原点的右侧，
∴表示数a3的点到表示数b的点距离为a3+b，
∴a与b的对应点间的距离为2a3+b，也是b−a，
∴|b−a|=2|a3|+|b|，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
23．下列是运用有理数加法法则计算−5+2思考、计算过程的叙述：
①−5和2的绝对值分别为5和2；
②−5的绝对值5较大；2的绝对值2较小
③−5+2是异号两数相加；
④结果的绝对值是用5−2得到；
⑤计算结果为−3；
⑥结果的符号是取−5的符号－－负号；
请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）： ．
【答案】③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤
【详解】解：根据有理数加法法则：
应该先看两数符号是否相同，故应先③，
若符号不同，再看两数的绝对值，故再①，
然后再比较绝对值的大小，故再②，
然后再确定结果的绝对值与结果的符号，故再④⑥或⑥④；
最后得出结果，故最后为⑤；
综上分析可知，计算过程的先后顺序排序为③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤．
故答案为：③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤．
24．下列是运用有理数加法法则计算﹣7+5思考过程的叙述：
①结果的符号是取﹣7的符号﹣；②计算结果为﹣2；③﹣7+5是异号两数相加；
④﹣7的绝对值7较大；⑤结果的绝对值是用7﹣5得到；
⑥﹣7和5的绝对值分别为7和5； ⑦5的绝对值5较小．
请按运用法则计算的先后顺序排序（只写序号）： ．
【答案】答案不唯一，如：③⑥④⑦①⑤②，④、⑦可以交换，①⑤可以交换．
【详解】解：计算﹣7+5思考过程为：
﹣7+5是异号两数相加；（确定计算法则）
﹣7和5的绝对值分别为7和5；（求着两个数的绝对值）
﹣7的绝对值7较大；（判断绝对值的大小）
5的绝对值5较小；（判断绝对值的大小）
结果的符号是取﹣7的符号﹣；（确定结果的符号）
结果的绝对值是用7﹣5得到；（计算结果）
计算结果为﹣2；
故正确的排列顺序为③⑥④⑦①⑤②，④、⑦可以交换，①⑤可以交换．
25．两个有理数a、b，如果a+b<0，a−b>0，那么下列几个判断：①a>0；②b<0；③a、b两数中一定有一个是正数，另一个为负数；④a>b；其中正确的有 ．（只需填写序号）
【答案】①②③④
【详解】解：∵a+b<0，a−b>0，
∴b<0a,
∴①②③④正确．
故答案为：①②③④．
26．下列说法中，正确的是 (将正确的答案序号填写横线上)
①两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②所有的有理数都能用数轴上的点表示；
③如果a<0，b>0，那么a−b<0；
④正数和负数统称为有理数；
⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．
【答案】②③
【详解】解：①两数相加，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数，故①不正确；
②所有的有理数都能用数轴上的点表示，故②正确；
③如果a<0，b>0，那么a−b=a+−b=−a+b<0，故③正确；
④正有理数与负有理数和0统称为有俩胡，故④不正确；
⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故⑤不正确．
正确的是②；③．
故答案为②；③．
27．下列说法错误的是 （只填序号）．
①有理数分为正数和负数；②所有的有理数都能用数轴上的点表示；③符号不同的两个数互为相反数；④两数相加，和一定大于任何一个加数；⑤两数相减，差一定小于被减数．
【答案】①③④⑤
【详解】①有理数分为正数和负数、0，此结论错误；
②所有的有理数都能用数轴上的点表示，此结论正确；
③只有符号不同的两个数互为相反数，此结论错误；
④两数相加，和不一定大于任何一个加数，此结论错误；
⑤两数相减，差不一定小于被减数，此结论错误．
故答案为①③④⑤．
28．对于式子-（-4）下列理解：可表示-4的相反数，可表示-4的绝对值，运算结果等于4，其中理解正确的是 . ( 只填序号)
【答案】①②③
【详解】解：①-（-4）表示-4的相反数，故①正确；
②−−4=4=|−4|，等于-4的绝对值，故②正确；
③−−4=4，故③正确；
故答案为①②③.
三、解答题
29．我们用字母a表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例．
(1)a一定表示正数，−a一定表示负数；
(2)如果a是零，那么−a就是负数；
(3)若−a是正数，则a一定为非正数．
【答案】(1)错误．若a=−3，则−a=3；
(2)错误．若a=0，则−a=0；
(3)正确；
【详解】（1）解：错误．举例：若a=−3，则−a=3；
（2）解：错误．举例：若a=0，则−a=0；
（3）解：正确．
30．观察以下计算过程：
−113+2+−23
=−1+13+2−23（第一步）
=−1+2+13−23（第二步）
=23（第三步）
以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并改正．
【答案】不正确，错在第一步，改正见解析
【详解】解：不正确，错在第一步，改正如下：
−113+2+−23
=(−1)+−13+2+−23
=(−1)+2+−13+−23
=1+−1
=0．
31．小明、小华分别计算：-5--3÷13×3
小明 小华
解：原式=-5--3÷1 解：原式=-5+3÷13×3
=-5--3 =-2÷13×3
=-5+3 =-2×3×3
=-2． =-18．
回答下列问题
(1)上面计算有错误的是______（填写序号）
①小明 ②小华 ③小明和小华
(2)你认为计算出错的原因是______
(3)写出此题的正确解答过程．
【答案】(1)③
(2)小明：有理数混合运算的顺序出错，乘除同级运算应从左往右依次运算．小华：有理数混合运算的顺序出错，应先算乘除再算加减
(3)22
【详解】（1）解：上面计算有错误的是小明和小华，
故答案为：③；
（2）解：小明：有理数混合运算的顺序出错，乘除同级运算应从左往右依次运算．
小华：有理数混合运算的顺序出错，应先算乘除再算加减．
故答案为：小明：有理数混合运算的顺序出错，乘除同级运算应从左往右依次运算．小华：有理数混合运算的顺序出错，应先算乘除再算加减．
（3）-5--3÷13×3
=-5-(-3)×3×3
=-5-(-27)
=-5+27
=22．
32．计算：
①计算：−6−(+5)−3
②计算：−2+(−5)−13+∣−12∣
③计算：−2−4×−122÷(−3)2
④−12020+54÷58−23×−9
⑤学习了有理数的混合运算后，小华同学做家庭作业时，遇到一道题目：“计算：−223÷−23÷−22．”，他是这么做的：
解：原式=−223÷[(−8)÷(−4)]=−223÷2=−83×12=−43
同学们，你认为小华同学的解法正确吗？如果不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答．
【答案】①−14；②−1912；③−13；④7；⑤不正确，原因为运算顺序不正确，正确的答案为：−112
【详解】①−6−(+5)−3=−6−5−3=−14；
②−2+(−5)−13+∣−12∣=−2−5−13+12=−392=−1912；
③−2−4×−122÷(−3)2=−2−4×14×19=−3×19=−13；
④−12020+54÷58−23×−9=−1+54×85+6=−1+2+6=7；
⑤小华同学的解法错误，原因为：运算顺序不正确，有理数除法没有结合律
正确的解法为：−223÷−23÷−22=−83×−18×−14=13×−14=−112．
33．结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法的对错，认为对，说明理由；认为错，举出反例．
（1）任何数都不等于它的相反数；
（2）互为相反数的两个数的同一偶数次方相等；
（3）如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数．
【答案】（1）错．0等于它的相反数．
（2）对．互为相反数的两个数的同一偶数次方符号相同，绝对值相等．
（3）错．2大于−3，但2的倒数12大于−3的倒数−13．
【详解】解：根据题意，
（1）0等于它的相反数；故（1）错误；
（2）互为相反数的两个数的同一偶数次方符号相同，绝对值相等；故（2）正确；
（3）如果a大于b，那么a的倒数不一定小于b的倒数；故（3）错误；
例如：2大于−3，但2的倒数12大于−3的倒数−13．