重庆市渝北中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份重庆市渝北中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了 解等内容，欢迎下载使用。
（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3. 剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了
验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.
记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，
设纸张未折之前的厚度为毫米，则（ ）
A． B． C． D．
4. 若正四棱台的上、下底面的面积分别为2，8，侧棱与下底面所成角的正切值为2，
则该正四棱台的体积为（ ）
A． B．28 C． D．
已知，则（ ）
A． B． C． D．
6. 已知函数，若对任意的正数、，满足，则的
最小值为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．2
M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，
N为的中点.则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
设函数（其中e为自然对数的底数），若存在实数a 使得
恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在上最小值为
D． 将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左
平移个单位长度，可得到函数的图象
10. 已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于
M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．椭圆C的离心率为
C．直线l的方程为 D．的周长为
11．在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若∥，则平面
C．若，则与平面所成角为
D．若∥平面，则与所成角的正弦最小值为
12. 已知定义在R上的函数和，是的导函数且定义域为R . 若
为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的两条渐近线方程为，若焦点到渐近线
的距离为1，则双曲线的方程为 ______________________．
各项均为正数的等比数列的前n项和为，且成等差数列，
若，则 ___________．
15．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
16. 在直角中，，平面内动点P满足，
则的最小值为________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（10分）
在数列中，，.
（1）求证：为等差数列；
（2）求的前n项和.
（12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．
（12分）
从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全
国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛. 要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.
若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项
测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为. 求他第一项测试“通过”的概率；
现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项
获得三等奖，三项都没有通过不获奖. 已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为. 若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.
（分）
如图，在四棱台中，底面是正方形，，，
，．
（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的余弦值．
21.（分）
与双曲线有共同的焦点的椭圆经过点.
求椭圆的方程；
（2） 过点的直线交椭圆于A、B两点，交x轴于点，点A关于x轴
的对称点为，直线交x轴于点. 求的取值范围.
22. （分）
已知，.
求曲线在点处的切线方程；
当时，若关于x的方程存在两个正实数根，
渝北中学2023-2024学年高三12月月考质量监测
数学 参考答案
单项选择题
8. 解：函数的定义域为，由，得，
所以，令，
由题意知，函数和函数的图象，
一个在直线上方，一个在直下方，
等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，得，
所以当时，递增，当时，递减，
所以，没有最小值，
由，得，
当时，在上递增，在上递减，
所以有最大值，无最小值，不合题意，
当时，在上递减，在上递增，
所以，所以即，
所以，即的取值范围为．故选A.
多项选择题
12．解：因为为偶函数，则，两边求导得，
所以为奇函数，因为，，
所以，故，所以，
即的周期且，则，故A错误；
在，中，
令，可得，所以，故B正确；
由，令，可得，
则，则，即，所以，故D错误；
在中，令得，，
在中，令得，，
两式相加得，即，故C正确. 故选：BC.
三、填空题
13． 14. 15 15． 16．
解： 平面内动点P满足，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
因为，由勾股定理可得：，
所以，且，
所以，所以，

，
，
，
又向量是长度为的一个向量，由此可得，点P在圆上运动，
当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，
故的最小值为.
四、解答题
17．解：（1）由，得，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
；
综上所述，；
18. 解：（1）∵，根据正弦定理得，，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，
∴，，所以
，
19．解：（1） 记事件“第一项测试选择了项目A”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”，
由题意知，，
，
又事件互斥，则，
即，
即居民甲第一项测试“通过”的概率是.
（2） 由居民乙获一等奖的概率为，可知.
则.
令，
当时，；当时，.
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.
所以. 所以的最小值为.
20．（1）证明：设，交于点O，连接，，，
因为，，，
所以，所以，
又因为O为正方形的对角线交点，
即O是线段的中点，所以，
又因为四边形为正方形，所以，
又因为，平面，所以平面．
（2）解： ∵底面是正方形，，∴，，
又，，∴为等边三角形，
∵O为中点，∴，
又，平面，∴平面，
∴，，两两互相垂直，
以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图，∴，，，
所以，
，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，，
∴，
取平面的法向量，
设平面与平面所成夹角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
21．解：（1）双曲线的焦点为，，
则，即，
又点在椭圆上，
则，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意，设直线的方程为，则，
设，，则，直线的方程为：，
令，得点的横坐标为，
联立，整理得，
则，解得或，
，，
则，
从而，
当且仅当，即时等号成立，
所以的取值范围为.
（1）解： ∵，∴，，
∴曲线在点处的切线方程为.
（2）证明： 由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根.
由，知，
令，则，
当时，，在上单调递增;
当时，，在上单调递减.
所以.
因为有两个零点，即，得.
因为实数是的两个根，
所以，从而.
令，，则，变形整理得.
要证，则只需证，即只要证，
结合对数函数的图象可知，
只需要证，两点连线的斜率要比，
两点连线的斜率小即可.
因为，所以只要证，
整理得.
令，
则，
所以在上单调递减，即，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
C
D
C
B
A
题号
9
10
11
12
答案
AD
AC
ACD
BC