重庆市渝高中学2025届高三上学期第一次月考阶段测试数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意写出集合的元素，再根据集合交运算即可求解.
【详解】即，
解得，
由题意得，
则.
故选：.
2. 在中，，，，则等于（ ）
A. 45°或135°B. 135°C. 45°D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理可得，，可得，结合大边对大角由可得，从而可求B．
【详解】∵，，
由正弦定理可得，
∴
∵，∴
∴
故选：C．
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的定义域、特殊位置可排除法得出结果.
【详解】易知函数的定义域为，故可排除C，D；
又，所以可排除B，
故选:A．
4. “曲线恒在直线的上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得,设，利用导数求出函数的最小值，令最小值大于零，得出的取值范围，再进行判断即可.
【详解】由曲线恒在直线上方，可得，
设，则恒成立，
因为，所以在R上单调递增，且当时，，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，
令，得.
所以“曲线恒在直线的上方”的充要条件是，故A错误；
对B：是的既不充分也不必要条件，故B错误；
对C：由可推出，但反之不成立，故C正确；
对D：是的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：C
5. 现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出、，代值计算可得出函数的图象在处的曲率.
【详解】因为，所以，，
所以，，
所以.
故选：D.
6. 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围.
【详解】当时，由，可得，则，
因为，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，当时，的最大值为，故.
故选：A.
7. 在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理求得，求得，然后再利用正弦定理，即可求得外接圆的半径，得到答案.
【详解】因为，且，
所以，
由正弦定理，可得，即，
所以，
又因，所以，所以 外接圆的半径为.
故选：A.
8. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数的一个对称中心为B.
C. 函数为周期函数，且一个周期为4D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，由为奇函数，则，再将代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得，再由为偶函数可得，令可求出；对于C，由的图象关于点对称，结合求出进行判断；对于D，利用赋值法求解判断.
【详解】对于A，因为为奇函数，
所以，即，
所以，所以，
所以函数的图象关于点对称，所以A正确，
对于B，在中，令，得，得，
因为函数为偶函数，所以，
所以，
所以，
令，则，所以，得，所以B正确，
对于C，因为函数的图象关于点对称，，
所以，所以，
所以4不是的周期，所以C错误，
对于D，在中令，则，
令，则，因为，所以，
因为，所以，所以D正确，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知展开式中各项二项式系数之和为128，则（ ）
A.
B. 展开式的各项系数之和是
C. 展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D. 展开式中无常数项
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二项式系数和公式可先得判定A，利用赋值法可判定B，利用二项式系数的性质可判定C，利用通项公式可判定D.
【详解】由题意可知，则，故A正确；
令，则，故B错误；
因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，
即第4、5项二项式系数最大，分别为，故C正确；
设展开式的通项为，
显然无整数解，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换一一判定选项即可.
【详解】易知，其最小正周期为，
所以，即，显然，故A正确；
令，
显然区间不是区间的子区间，故B错误；
令，则是的一个对称中心，故C正确；
将图象向右平移个单位得到
，
故D正确.
故选：ACD
11. 设，是两个随机事件，且，，，则（ ）
A. B. 与相互独立
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用概率的性质、独立事件的判定和条件概率的公式逐项判断即可.
【详解】对于A，由，即，得，选项A正确；
对于B，由，故，且，
故，所以与相互独立，选项B正确；
对于C，由，选项C正确；
对于D，因为与相互独立，所以与，与相互独立，
所以；，即，选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】分和两种情况列方程求解即可.
【详解】，若，
则或，即或，解得.
故答案为：2.
13. 已知函数的部分图像如图所示，其中，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】观察图象确定函数的周期，由此求，根据求，再求即可.
【详解】设函数的最小正周期为，
观察图象可得，所以，又，
所以，
又，
所以，
所以，，又，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
14. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则______；的最大值为______.
【答案】 ①. ##60° ②.
【解析】
【分析】由正弦定理边化角结合诱导公式求解角C；利用余弦定理结合基本不等式求面积最大值即可.
【详解】因为，所以由正弦定理知，
所以，因为，所以，
又，所以，所以，所以；
由已知及余弦定理得：，
所以，当且仅当时，等号成立，
，
则面积的最大值为3.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的最大值为2．
（1）求a值，并求的最小正周期；
（2）求在上的单调递增区间．
【答案】（1），最小正周期为
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到，根据函数最值，即可求出，再由正弦函数的周期，即可求出周期；
（2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果.
【小问1详解】
，
所以，
因为函数最大为2，所以，
解得；
所以，因此最小正周期为；
【小问2详解】
由，得，
所以的单调递增区间为，
又，取，
得在上的单调递增区间为.
16. 已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且当时，恒成立，求取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；
（2）问题可转化为求解函数在区间上的最小值，求导后对实数分和两种情况讨论，求出，然后解不等式，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
由题意可得，，切线斜率，
故曲线在处的切线方程，即；
（2）.
①若，则对任意的，，则函数在上单调递减，则只要，
解可得，，不合题意，舍去；
②若，当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故只要，，解得.
综上可得，的范围为.
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，一般转化为与函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
17. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表：
（1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？
（2）为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：
方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；
方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？
附：
【答案】（1）表格见解析，能有
（2）振华选择方案一晋级的可能性更大
【解析】
【分析】（1）根据已知条件补全列联表，计算的值并作出判断.
（2）根据相互独立概率计算，求得两种方案晋级的概率，从而作出判断.
【小问1详解】
列联表如下：
，
能有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关.
【小问2详解】
记这4个问题为，记振华答对的事件分别记为，
分别记按方案一､二晋级的概率为，
则
，
，
因为，振华选择方案一晋级的可能性更大.
18. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角大小；
（2）若，求的面积；
（3）若角为钝角，直接写出的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角，整理化简得，由推得，求得角；
（2）由余弦定理和题设条件，求出，代入三角形面积公式计算即得；
（3）由正弦定理化边为角，再消去角，整理得，利用时正切函数的值域即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由和正弦定理得，，
因，
则有，因，则，
又，故.
【小问2详解】
由余弦定理，，代入得，，
因，则有，即得，
故的面积.
【小问3详解】
由正弦定理，可得，
因，代入化简得：
因为钝角，故由可得，
则，，即，故的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在求角、面积和解析式范围上的应用，属于难题.
解题思路即是遇到与三角形中的边相关的解析式求范围问题时，一般运用正、余弦定理将其化成内角的三角函数式，利用三角函数的有界性求其范围.
19. 已知函数与函数，其中.
（1）求的单调区间；
（2）若gx>0，求的取值范围；
（3）若曲线y=fx与轴有两个不同的交点，求证：曲线y=fx与曲线y=gx共有三个不同的交点.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数研究其导函数的正负即可得其单调区间；
（2）若，可得不等式恒成立，若，即，构造函数后借助导数求出其最大值即可得解；
（3）根据题设先证两条曲线有，两个交点，再构造函数证明其除了这两个交点后还存在第三个交点即可得.
【小问1详解】
的定义域为：，
又已知，，
所以时，单调递减；
时，单调递增；
【小问2详解】
由题意：，即，
若，不等式恒成立，若，即，
令，，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
故，故的取值范围为；
【小问3详解】
曲线与轴有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点，
不妨令，由（2）知，的取值范围为，
且由得，
同理得曲线与曲线共有两个不同的交点，，
下面证明这两条曲线还有一个交点，
令，
，
令，则，
，令，
则恒成立，则单调递增，
又，
令，得，
故存在，使得在上单调递减，在单调递增，
，
故有两个零点，
令，即有且只有两个极值点，
所以在上单调增，在上单调减，在上单调增，
又，若，
由得与题设矛盾，所以，
同理不可能在同一单调区间，，
故有，
所以在间存在唯一的使得，即两条曲线还有一个交点，
故曲线与曲线共有三个不同的交点.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先得出曲线与曲线共有两个不同的交点，，再通过构造函数去证明其除了这两个交点后还存在第三个交点.
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