专题06 有理数的乘方及混合运算(含科学记数法)之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18588" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18588 \h 1
\l "_Tc32737" 【考点一 有理数幂的概念理解】 PAGEREF _Tc32737 \h 1
\l "_Tc13690" 【考点二 有理数的乘方运算】 PAGEREF _Tc13690 \h 2
\l "_Tc8165" 【考点三 程序流程图与有理数计算】 PAGEREF _Tc8165 \h 4
\l "_Tc9906" 【考点四 含乘方的有理数混合运算】 PAGEREF _Tc9906 \h 5
\l "_Tc18706" 【考点五 乘方的应用】 PAGEREF _Tc18706 \h 6
\l "_Tc25291" 【考点六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 PAGEREF _Tc25291 \h 7
\l "_Tc25477" 【过关检测】 PAGEREF _Tc25477 \h 8
【典型例题】
【考点一 有理数幂的概念理解】
例题：（2023·浙江·七年级假期作业）代数式可以表示为（ ）
A．B．C．D．n2
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.
【详解】解：代数式可以表示为；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.
【变式训练】
1.（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）表示的意义是( )
A．与相乘B．与相加C．个相乘D．个相加
【答案】C
【分析】根据幂的意义分析即可求解．
【详解】解：表示的意义是个相乘，
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的意义，掌握幂的意义是解题的关键．
2.（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）在中，底数是 ，指数是 ；
【答案】 4
【分析】根据幂的相关概念解答即可．
【详解】解：在中，底数是，指数是4，
故答案为：，4．
【点睛】本题考查了幂的概念，,一般地中a叫做底数，n叫做指数，正确理解定义是解题的关键．
【考点二 有理数的乘方运算】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)； (2)； (3)
【答案】(1)8
(2)
(3)
【分析】（1）根据乘方计算法则计算即可；
（2）根据乘方法则计算；
（3）根据乘方法则计算．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）．
【点睛】此题考查了有理数乘方计算法则：n个相同因数的乘法等于这个数的n次幂，同时可以逆用．
【变式训练】
1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)625
(2)
(3)0.027
【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案；
（2）先计算2的立方，即可得出答案；
（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键．
2.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．
【答案】(1)
(2)2.25
(3)
(4)
(5)8
【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．
【考点三 程序流程图与有理数计算】
例题：（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ．
【答案】0
【分析】按照程序流程图，把代入求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ．
【答案】4
【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可．
【详解】解：输入的值为1时，由图可得：；
输入可得：；
∴输出的值应为4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键．
2.（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ．
【答案】5
【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可．
【详解】解：把代入得：，
由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将输入，得：
，满足大于3的要求；
则输出结果是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
【考点四 含乘方的有理数混合运算】
例题：（2022秋·陕西西安·七年级西安市东方中学校考期末）计算：
【答案】
【分析】按照先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算：
【答案】
【分析】根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
2.（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】原式．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
3.（2022秋·广东深圳·七年级校考阶段练习）混合运算：
(1)． (2)．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；
（2）先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法运算定律的应用．
【考点五 乘方的应用】
例题：（2023·全国·七年级假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？

【答案】第次后可拉出根面条．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
答：这样捏合到第6次后可拉出根面条．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义．
【变式训练】
1.（2023·全国·七年级假期作业）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：

(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？
(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？
【答案】(1)16
(2)3
【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案；
（2）根据题意，得到规律，设经过个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞，
经过2小时后，可分裂成16个细胞；
（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞；
第2个30分钟分裂成4个，即个；
…
依此类推，第个30分钟分裂为个细胞；
，解得，
经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞．
【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键．
【考点六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】
例题：（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式训练】
1.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有人，将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于年4月日至日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】根据乘方的定义以及乘法法则解决此题．
【详解】解：A、因为，，所以和不相等，故A不符合题意；
B、因为，，所以和相等，故B符合题意．
C、因为，，所以和不相等，故C不符合题意．
D、因为，，所以和不相等，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查乘方以及乘法，熟练掌握乘方的定义以及有理数的乘法法则是解决本题的关键．
2．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次．其中，万用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：万．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（ ）
甲： 乙：
丙： 丁：
A．甲和丙B．只有乙C．只有丙D．乙和丁
【答案】C
【分析】据甲乙丙丁的式子计算出正确的结果，从而解答本题即可．
【详解】解：，故甲的做法是错误的；
，故乙的做法是错误的；
，故丙的做法正确；
，故丁的做法错误．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
4．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列数或式子：，，，0，在数轴上所对应的点一定在原点右边的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】在原点右边的数即正数，所以先根据有理数乘方的定义化简各数，继而可得答案．
【详解】解：，，，0，，
∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正确理解题意，依据数轴上原点右边的数表示正数，左边的数表示负数及有理数的乘方运算法则即可解决．
5．（2023·全国·七年级假期作业）如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（ ）

A．1.5小时B．2小时C．3小时D．4小时
【答案】B
【分析】根据题意30分钟由一个分裂成2个，依次计算即可．
【详解】解：第一次：30分钟变成2个；
第二次：1小时变成个；
第三次：1.5小时变成个；
第四次：2小时变成个；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点．
二、填空题
6．（2022秋·七年级单元测试）计算： ， ．
【答案】
【分析】直接根据乘方运算法则求解即可．
【详解】解：；
；
故答案为：；．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，掌握基本的运算法则是解题关键．
7．（2023春·福建福州·八年级统考期末）数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
8．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为 .
【答案】4
【分析】把代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y的值．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴输出y的值为4．
故答案为：4
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中给出的计算程序的含义．
9．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）我们常用十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如表示的数为），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 ．
【答案】67
【分析】根据七进制列式计算即可得．
【详解】解：因为七进制是满七进一，
所以孩子自出生后的天数是
，
故答案为：67．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解七进制是解题关键．
10．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）字母表示一个有理数，下列关于的运算：
① ② ③ ④
其中一定成立的有 （把你认为正确的序号都填上）．
【答案】①②/②①
【分析】根据幂的意义，绝对值的意义分别判断即可．
【详解】解：①，故正确；
②，故正确；
③，故错误；
④当时，；当时，，故错误；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值，体现了分类讨论的思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．
三、解答题
11．（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键．
12．（2023春·上海嘉定·六年级统考期末）计算：
【答案】
【分析】先根据平方运算、绝对值运算、计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、计算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
13．（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)．
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数的乘法运算，加减法运算，乘法分配律即可求解；
（2）根据含有乘方的有理数运算法则即可求解；
（3）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解；
（4）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则，有理数混合运算法则是解题的关键．
14．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来：，，，，
【答案】数轴见解析，
【分析】首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再用小于号连接即可．
【详解】解：，，，，
如图所示：
∴．
【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小以及绝对值化简和乘方运算，关键是掌握在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大．
15．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题
(1)计算：
(2)认真阅读材料，解决问题：
计算：
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；
解：原式的倒数是：
故原式．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：
【答案】(1)5；
(2)
【分析】（1）先计算乘方，去绝对值符号，再结合乘法分配律进行有理数的加减运算即可计算求值；
（2）根据题目中所给方法，将除法转换成乘法再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式的倒数是：
，
故原式．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，绝对值，乘法分配律，熟练掌握相关运算法则与运算律是解题关键．
16．（2023·浙江·七年级假期作业）规定:.
(1)求的值；
(2)若，求x的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据原式将、代入即可求解；
（2）将，代入等式，即可求解x的值．
【详解】（1）原式；
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．
17．（2023·浙江·七年级假期作业）已知与互为相反数，与互为倒数．
(1) ； ．
(2)当时，求的值
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据相反数、倒数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数，相乘等于1的两个数互为倒数；
（2）根据绝对值以及平方的非负性，求得的值，进而根据有理数的乘方进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵与互为相反数，与互为倒数．
∴
故答案为：；．
（2）由题（1）可知，
由绝对值的非负性、平方数的非负性得：
解得：
将和的值代入得：，
【点睛】本题考查了相反数、倒数的定义，非负性以及有理数的乘方运算．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键．
18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式：
①与；
②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）
【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；
（2）根据（1）的结果即可得到答案；
（3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想；
（4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）①，
；
②，
；
（2）；
（3），理由如下：
；
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．