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2024长沙长郡中学高一上学期选科适应性调研检测数学试题含解析
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这是一份2024长沙长郡中学高一上学期选科适应性调研检测数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了已知集合，则，命题“”的否定是，函数的部分图象大致为，设则的值为，已知函数的零点分别为，则，若集合，且，则实数的值为等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
得分__________
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
4.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.设则的值为（ ）
A.9 B.11 C.28 D.14
6.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：）
A.第8代种子 B.第7代种子
C.第6代种子 D.第5代种子
7.已知函数的零点分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.若集合，且，则实数的值为（ ）
A.0 B.1 C. D.
10.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.关于的不等式的解集为
11.已知，则（ ）
A. B. C. D.
12.函数满足，则（ ）
A. B.
C.为奇函数 D.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.__________.
14.已知正数满足，则的最小值为__________.
15.已知且，函数若函数存在最大值，则实数的取值范围是__________.
16.若且，则的取值范围为__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数.
（1）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（2）若为奇函数，求满足的的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最大值与最小值的和.
19.（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数在一个周期内的图象；
（2）将的图形向右平移个单位长度，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值.
20.（本小题满分12分）
某医院购入一种新型空气消毒剂，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的该消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随时间（单位：小时）的变化关系为：当时，；当时，.若多次喷洒（或一次喷洒多个单位），则某一时刻空气中该消毒剂的浓度为每次投放的消毒剂（或每个单位的消毒剂）在该时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中该消毒剂浓度不低于4（毫克/立方米）时，才能起到有效杀毒的作用.
（1）若一次喷洒2个单位的该消毒剂，则有效杀毒时间可达多久？
（2）若第一次喷洒2个单位的该消毒剂，6小时后第二次喷洒4）个单位的该消毒剂，要使第二次喷洒后的4小时内能够持续有效杀毒，试求的最小值.（最后结果精确到0.1，参考数据：1.414）
21.（本小题满分12分）
已知函数在区间上的最大值为3.
（1）求的值；
（2）当时，，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求的所有可能取值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）证明：当时，函数有唯一的零点，且恒成立.
长郡中学高一选科适应性调查限时训练
数学参考答案
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
4.A 【解析】函数的定义域为，因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C.D不满足；又，所以选项不满足，选项符合题意.故选A.
5.B 【解析】.故选B.
6.B 【解析】第代种子的数量为，由题意得，得.因为.故种子数量首次超过1000万粒的是第7代种子.故选B.
7.D 【解析】因为函数在定义域内都是增函数，
又，而中的，
令的大小版序为：，故选D.
8.D 【解析】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，
对任意的，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是上的奇函数可得是上的偶函数，所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即，所以；
当时，转化成，所以，
综上所述，不等式的解集为.故选D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.ABD 【解析】，
集合，集合，又，
当时，则，满足题意；
当时，若，满足题意；
若，则，满足题意；
或1或.故选：ABD.
10.BC 【解析】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得解得，故A错误，B正确，，故C正确，不等式变为，解得，故D错误，故选BC.
11.AC 【解析】因为，所以，又，所以，
所以，即，又函数在上单调递增，，
则，故A正确，C正确；
因为，所以，
又函数，在上单调递减，所以，故B不正确；
因为，所以.
所以，又，所以，故不正确.
故选：AC.
12.BCD 【解析】在等式中，令，可得，
在等式中，令，可得错；
在等式中，令，可得，①
在等式中，令，可得，②
①+②可得对；
令，其中，则，
即，故函数为奇函数，对；
因为，则，
又因为，
上述两个等式相加可得对.
故选：BCD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 【解析】.故答案为.
14.9 【解析】对于正数，有，当且仅当时取得等号，
故由得，即，
所以，故或（舍去），
故，即的最小值为9，当且仅当时取最小值，故答案为9.
15. 【解析】当时，函数不存在最大值，故，
当时，在区间上单调递增，所以此时；
当时，在区间上单调递减，所以此时，
若函数存在最大值，则，解得，又，所以的取值范围为，
故答案为.
16. 【解析】题设不等式等价于.
设是上的增函数，所以，.
故.
又因为，知的取值范围是.故答案为.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.【解析】（1）函数为上的增函数，理由如下：
任取且，则，
所以，，即，
所以，函数为上的增函数.
（2）若函数为奇函数，则，即，
则，
因为函数为上的增函数，由得，解得.
因此，满足的的取值范围是.
18.【解析】（1）
，
的最小正周期.
（2）当时，，
故的最大值与最小值的和为-1.
19.【解析】（1）
由表中数据可得，，所以，则，
当时，，则，所以.
（2）由题意可得，，
因为的图象关于轴对称，则，
解得且，
所以当时，.
20.【解析】（1）一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为
当时，，即；
当时，，即，则当时，能起到有效杀毒的作用，
故若一次唝酒2个单位的该消-毒剂，有效杀毒时间可达3小时20分钟.
（2）由题知，第一次喷洒的2个单位消毒剂，经6小时后，其浓度为4毫克/立方米，且接下来4个小时的浓度为，第二次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度为，
故接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为，
令，则，因为，所以当时，
接下来4个小时内空气中该消静剂的总浓度最小，为，
要符合题意，则，即，解得，
又，则，故的最小值为.
21.【解析】（1），
因为，所以，所以，则.
（2）由（1）知，则；
当，则，
所以当时函数单调遥减，时函数单调递增，当时函数单调递减，
又，
，则可得函数的图象如下：
对于给定的实数，若方程有解，则当时，方程的根为，此时；当时，方程的两根关于直线对称，此时；
当时，方程的根有三个，关于直线对称，此时；
当，方程有四个根，关于直线对称，关于直线对称，
此时；
当时，方程的根有三个，，此时；
综上，的所有可能取值为.
22.【解析】（1）当时，，由可得，
解得，即，故不等式的解为.
（2）因为与均为增函数，所以在上单调递增，
当时，，
所以存在唯一的，使得，即函数有唯一零点，
所以，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当且时等号成立.
当时，由知，即，所以等号不成立，0
0
2
0
-2
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
A
B
B
D
D
题号
9
10
11
12
答案
ABD
BC
AC
BCD
0
0
2
0
-2
0
时量：120分钟 满分：150分
得分__________
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
4.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.设则的值为（ ）
A.9 B.11 C.28 D.14
6.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：）
A.第8代种子 B.第7代种子
C.第6代种子 D.第5代种子
7.已知函数的零点分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.若集合，且，则实数的值为（ ）
A.0 B.1 C. D.
10.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.关于的不等式的解集为
11.已知，则（ ）
A. B. C. D.
12.函数满足，则（ ）
A. B.
C.为奇函数 D.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.__________.
14.已知正数满足，则的最小值为__________.
15.已知且，函数若函数存在最大值，则实数的取值范围是__________.
16.若且，则的取值范围为__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数.
（1）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（2）若为奇函数，求满足的的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最大值与最小值的和.
19.（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数在一个周期内的图象；
（2）将的图形向右平移个单位长度，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值.
20.（本小题满分12分）
某医院购入一种新型空气消毒剂，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的该消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随时间（单位：小时）的变化关系为：当时，；当时，.若多次喷洒（或一次喷洒多个单位），则某一时刻空气中该消毒剂的浓度为每次投放的消毒剂（或每个单位的消毒剂）在该时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中该消毒剂浓度不低于4（毫克/立方米）时，才能起到有效杀毒的作用.
（1）若一次喷洒2个单位的该消毒剂，则有效杀毒时间可达多久？
（2）若第一次喷洒2个单位的该消毒剂，6小时后第二次喷洒4）个单位的该消毒剂，要使第二次喷洒后的4小时内能够持续有效杀毒，试求的最小值.（最后结果精确到0.1，参考数据：1.414）
21.（本小题满分12分）
已知函数在区间上的最大值为3.
（1）求的值；
（2）当时，，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求的所有可能取值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）证明：当时，函数有唯一的零点，且恒成立.
长郡中学高一选科适应性调查限时训练
数学参考答案
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
4.A 【解析】函数的定义域为，因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C.D不满足；又，所以选项不满足，选项符合题意.故选A.
5.B 【解析】.故选B.
6.B 【解析】第代种子的数量为，由题意得，得.因为.故种子数量首次超过1000万粒的是第7代种子.故选B.
7.D 【解析】因为函数在定义域内都是增函数，
又，而中的，
令的大小版序为：，故选D.
8.D 【解析】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，
对任意的，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是上的奇函数可得是上的偶函数，所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即，所以；
当时，转化成，所以，
综上所述，不等式的解集为.故选D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.ABD 【解析】，
集合，集合，又，
当时，则，满足题意；
当时，若，满足题意；
若，则，满足题意；
或1或.故选：ABD.
10.BC 【解析】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得解得，故A错误，B正确，，故C正确，不等式变为，解得，故D错误，故选BC.
11.AC 【解析】因为，所以，又，所以，
所以，即，又函数在上单调递增，，
则，故A正确，C正确；
因为，所以，
又函数，在上单调递减，所以，故B不正确；
因为，所以.
所以，又，所以，故不正确.
故选：AC.
12.BCD 【解析】在等式中，令，可得，
在等式中，令，可得错；
在等式中，令，可得，①
在等式中，令，可得，②
①+②可得对；
令，其中，则，
即，故函数为奇函数，对；
因为，则，
又因为，
上述两个等式相加可得对.
故选：BCD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 【解析】.故答案为.
14.9 【解析】对于正数，有，当且仅当时取得等号，
故由得，即，
所以，故或（舍去），
故，即的最小值为9，当且仅当时取最小值，故答案为9.
15. 【解析】当时，函数不存在最大值，故，
当时，在区间上单调递增，所以此时；
当时，在区间上单调递减，所以此时，
若函数存在最大值，则，解得，又，所以的取值范围为，
故答案为.
16. 【解析】题设不等式等价于.
设是上的增函数，所以，.
故.
又因为，知的取值范围是.故答案为.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.【解析】（1）函数为上的增函数，理由如下：
任取且，则，
所以，，即，
所以，函数为上的增函数.
（2）若函数为奇函数，则，即，
则，
因为函数为上的增函数，由得，解得.
因此，满足的的取值范围是.
18.【解析】（1）
，
的最小正周期.
（2）当时，，
故的最大值与最小值的和为-1.
19.【解析】（1）
由表中数据可得，，所以，则，
当时，，则，所以.
（2）由题意可得，，
因为的图象关于轴对称，则，
解得且，
所以当时，.
20.【解析】（1）一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为
当时，，即；
当时，，即，则当时，能起到有效杀毒的作用，
故若一次唝酒2个单位的该消-毒剂，有效杀毒时间可达3小时20分钟.
（2）由题知，第一次喷洒的2个单位消毒剂，经6小时后，其浓度为4毫克/立方米，且接下来4个小时的浓度为，第二次喷洒个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度为，
故接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为，
令，则，因为，所以当时，
接下来4个小时内空气中该消静剂的总浓度最小，为，
要符合题意，则，即，解得，
又，则，故的最小值为.
21.【解析】（1），
因为，所以，所以，则.
（2）由（1）知，则；
当，则，
所以当时函数单调遥减，时函数单调递增，当时函数单调递减，
又，
，则可得函数的图象如下：
对于给定的实数，若方程有解，则当时，方程的根为，此时；当时，方程的两根关于直线对称，此时；
当时，方程的根有三个，关于直线对称，此时；
当，方程有四个根，关于直线对称，关于直线对称，
此时；
当时，方程的根有三个，，此时；
综上，的所有可能取值为.
22.【解析】（1）当时，，由可得，
解得，即，故不等式的解为.
（2）因为与均为增函数，所以在上单调递增，
当时，，
所以存在唯一的，使得，即函数有唯一零点，
所以，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当且时等号成立.
当时，由知，即，所以等号不成立，0
0
2
0
-2
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
A
B
B
D
D
题号
9
10
11
12
答案
ABD
BC
AC
BCD
0
0
2
0
-2
0
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