还剩14页未读，
继续阅读
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期选科适应性调查限时训练（12月月考）数学试题（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期选科适应性调查限时训练（12月月考）数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={y|y=lg2x,x>1}，B={y|y=12x,x>1}，则A∩B=( )
A. {y|02.命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定是( )
A. ∀x∉Z，|x|∈NB. ∃x∈Z，|x|∈N
C. ∃x∈Z，|x|∉ND. ∀x∈Z，|x|∉N
3.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减的是( )
A. y=csxB. y=|sinx|C. y=csx2D. y=tanx
4.函数f(x)=2|x|+1x2+1−1的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5.设fx=ffx+5,x<102x−15,x≥10，则f9的值为
( )
A. 9B. 11C. 28D. 14
6.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48)( )
A. 第5代种子B. 第6代种子C. 第7代种子D. 第8代种子
7.已知函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，ℎ(x)=x3+x的零点分别为a，b，c，则( )
A. a8.已知函数fx的定义域是R，函数fx+1的图象的对称中心是−1,0，若对任意的x1，x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有x2fx1−x1fx2x1−x2>0成立，f1=1，则不等式fx−x>0的解集为
( )
A. −∞,−1∪1,+∞B. −1,1
C. −∞,−1∪0,1D. −1,0∪1,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合A={x|x2−5x+6=0}，B={x|ax−2=0}，且B∪A=A，则实数a的值为
( )
A. 0B. 1C. 23D. 32
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|13A. a>0
B. c<0
C. a+b>0
D. 关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|−311.已知sinα= 55，cs2β=725，α,β∈0,π2，则
( )
A. α<βB. α>2βC. β>π6D. α+β<π3
12.函数fx满足fx+f−x=2x2，f1+x−f1−x=8x，x∈R，则( )
A. f2=4B. f3+f1=18
C. y=fx−x2为奇函数D. fx+2+fx≥0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.tan7π4−sinπ6= ．
14.已知正数x，y满足x+y−xy+3=0，则xy的最小值为 ．
15.已知a>0且a≠1，函数f(x)=lgax,02.若函数f(x)存在最大值，则实数a的取值范围是 ．
16.如果cs5θ−sin5θ<7(sin3θ−cs3θ)，θ∈[0,2π)，则θ的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=a−22x+1.
(1)判断函数f(x)的单调性，并用单调性定义证明；
(2)若f(x)为奇函数，求满足f(2ax)18.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs4x−sin4x−2 3sinxcsx(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最大值与最小值的和．
19.(本小题12分)
某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数y=f(x)在一个周期内的图象;
(2)将y=f(x)的图形向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象，若y=g(x)的图象关于y轴对称，求θ的最小值．
20.(本小题12分)
某医院购入一种新型空气消毒剂，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的该消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随时间x(单位：小时)的变化关系为：当0≤x≤4时，y=168−x−1;当4(1)若一次喷洒2个单位的该消毒剂，则有效杀毒时间可达多久?
(2)若第一次喷洒2个单位的该消毒剂，6小时后第二次喷洒a(1≤a≤4)个单位的该消毒剂，要使第二次喷洒后的4小时内能够持续有效杀毒，试求a的最小值.(最后结果精确到0.1，参考数据： 2≈1.414)
21.(本小题12分)
已知函数g(x)= 3sin2x+2cs2x+m在区间[0,π2]上的最大值为3．
(1)求m的值;
(2)当x∈[−π2,π2]时，f(x)=12g(x)，对于给定的实数a，若方程|f(x)|=a有解，则记该方程所有解的和为Sa，求Sa的所有可能取值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+ln(x+2)+lna，g(x)=aex−ln(x+2)．
(1)当a=1时，解不等式f(x)(2)证明：当a≥1时，函数f(x)有唯一的零点x0，且g(x0)>0恒成立．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握指数函数和对数函数的性质与值域计算是解题的关键．
利用对数函数和指数函数的性质化简集合A，B，然后求交集即可．
【解答】
解：由对数函数的性质可得A={y|y=lg2x,x>1}={y|y>0}，
由指数函数的性质可得B={y|y=(12)x,x>1}={y|0所以A∩B={y|0故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，写出该命题的否定命题即可．
【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，
命题：∀x∈Z，|x|∈N，
则该命题的否定是：∃x∈Z，|x|∉N．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正余弦函数，正切函数的图象和性质，属于基础题．
由条件利用三角函数的周期性和单调性，分析各个选项即可得出结论．
【解答】解：在A中，y=csx的最小周期是2π，在区间(π2,π)上为减函数，不满足条件；
在B中，y=|sinx|的最小正周期是π，在区间(π2,π)上为减函数，满足条件；
在C中，y=csx2的最小正周期是4π，在区间(π2,π)上为减函数，不满足条件；
在D中，y=tanx的最小正周期是π，在区间(π2,π)上为增函数，不满足条件．
故选B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的图象的识别，属于基础题．
先用奇偶性排除C，D.再用f(1)=12>0，排除B．
【解答】
解：f(x)=2|x|+1x2+1−1的定义域为R，f(−x)=2|−x|+1(−x)2+1−1=2|x|+1x2+1−1=f(x)，
因此f(x)是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，选项C，D不满足;
又f(1)=12>0，所以选项B不满足，A符合题意．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值
代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值．
【解答】
解：f9=ff14=f2×14−15=f13=2×13−15=11．
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数函数的应用，对数式的化简求值，属中档题．
假设第x代超过1000万粒，可得指数不等式，解指数不等式可得答案．
【解答】
解：设第x代种子的数量为15x−1，由题意得15x−1≥107，得x≥lg15107+1．
因为lg15107+1=lg107lg15+1=7lg3+lg5+1=7lg3+1−lg2+1≈6.9，
故种子数量首次超过1000万粒的是第7代种子．
故选C．
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了函数的零点、指数函数、幂函数及对数函数的性质，属于基础题．
结合函数单调性，根据零点的定义列方程，确定各函数零点的正负情况，即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：由题意可得函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，ℎ(x)=x3+x在定义域内都是增函数，
又f(a)=ea+a=0⇒ea=−a>0⇒a<0，
而g(b)=lnb+b=0中的b>0，
令ℎ(c)=c3+c=c(c2+1)=0⇒c=0，
∴a，b，c的大小顺序为：a故选：D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的对称性，函数的奇偶性及函数的单调性，不等式求解，属于中档题．
由题可以判断函数f(x)的图象的对称中心是(0,0)，函数f(x)是奇函数，再由x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0可得f(x1)x1【解答】
解：函数f(x)的定义域是R，函数f(x+1)的图象的对称中心是(−1,0)，
所以函数f(x)的图象的对称中心是(0,0)，
所以函数f(x)是奇函数，f(1)=1，则f(−1)=−1．
对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0成立，
不妨令x1则x2f(x1)−x1f(x2)<0，即x2f(x1)又x1，x2∈(0,+∞)，故f(x1)x1令g(x)=f(x)x，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
且g(x)是偶函数，g(1)=f(1)1=f(−1)−1=g(−1)，
函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减．
不等式f(x)−x>0，显然x≠0，当x>0时，f(x)x>1=f(1)1，
即g(x)>g(1)，所以x>1;
当x<0时，f(x)x<1=f(−1)−1，即g(x)所以−1故原不等式的解集为(−1,0)∪(1,+∞)，
故选D．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查集合中参数的取值，考查并集的定义及运算，以及子集、空集的定义，属于基础题．
可以求出A={3,2}，根据B∪A=A即可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集，解之即可．
【解答】
解：∵B∪A=A，
∴B⊆A，
∵集合A={x|x2−5x+6=0}，集合B={x|ax−2=0}，
∴A={2,3}，∵B⊆A，
当B=⌀时，则a=0，满足题意;
当B≠⌀时，若2∈B，∴2a−2=0，a=1，满足题意，
若3∈B，则3a−2=0，∴a=23，满足题意．
∴a=0或1或23，
故选ABC．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，属于一般题．
由不等式的解集可得a<0，然后利用韦达定理可判断逐个判断即可．
【解答】
解：由不等式的解集可得a<0，且二次方程ax2+bx+c=0的根为13，1，
所以13+1=−ba，13×1=ca，即ba=−43，ca=13
因为a<0，可得b>0，c<0，a+b=a−43a=−13a>0，
故A错误，BC正确；
不等式cx2+bx+a>0可化为13x2−43x+1<0，解得111.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查三角恒等变换与三角函数单调性的应用，属于中档题．
根据平方公式、二倍角公式、和差角公式，结合正弦函数与余弦函数的单调性，逐项判断即可．
【解答】
解：因为cs2β=1−2sin2β=725，所以sin2β=925，又β∈0,π2，所以sinβ=35，
所以sinα<12则α<π6<β，故 A正确，C正确；
因为α∈0,π2，所以csα= 1−sin2α=2 55>cs2β=725，
又函数y=csx，在0,π上单调递减，所以α<2β，故 B不正确；
因为β∈0,π2，sinβ=35，所以csβ= 1−sin2β=45，
所以cs (α+β)=cs αcs β−sin αsin β
=2 55×45− 55×35= 55又α+β∈0,π，所以α+β>π3，故 D不正确．
故选：AC．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数及其应用，函数奇偶性判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
利用赋值法可判断AB选项；令gx=fx−x2，利用函数奇偶性的定义可判断C选项；根据已知条件推导出fx+2−f−x=8x+8，再结合fx+f−x=2x2以及等式的可加性可判断D选项．
【解答】
解：在等式fx+f−x=2x2中，令x=0，可得f0=0，
在等式f1+x−f1−x=8x中，令x=1，可得f2=f0+8=8，A错；
在等式fx+f−x=2x2中，令x=1，可得f1+f−1=2，①
在等式f1+x−f1−x=8x中，令x=2，可得f3−f−1=16，②，
①+②可得f3+f1=18，B对；
令gx=fx−x2，其中x∈R，则gx+g−x=fx+f−x−2x2=0，
即g−x=−gx，故函数y=fx−x2为奇函数，C对；
因为f1+x−f1−x=8x，则fx+2−f1−x+1=fx+2−f−x=8x+1=8x+8，
又因为fx+f−x=2x2，
上述两个等式相加可得fx+2+fx=2x2+8x+8=2x+22≥0，D对．
故选：BCD．
13.【答案】−32
【解析】【分析】
本题考查诱导公式和特殊角的三角函数值
根据诱导公式和特殊角的函数值计算可得结果．
【解答】
解：tan7π4−sinπ6=tanπ+3π4−12=tan3π4−12=−1−12=−32．
故答案为：−32．
14.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查的是利用基本不等式求最值．
因为x+y≥2 xy，故由x+y−xy+3=0得xy−3=x+y≥2 xy，即xy−3≥2 xy，即可得出答案．
【解答】
解：对于正数x，y，有x+y≥2 xy，当且仅当x=y时取得等号，
故由x+y−xy+3=0得xy−3=x+y≥2 xy，即xy−3≥2 xy，
所以( xy−3)( xy+1)≥0，故 xy≥3或 xy≤−1(舍去)，
故xy≥9，即xy的最小值为9，当且仅当x=y=3时取最小值，
故答案为9．
15.【答案】1,4
【解析】【分析】
本题考查分段函数单调性与最值，属于中档题；
分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合 fx 存在最大值即可
【解答】解：当 01 ，
当 0所以此时 fx∈−∞,lga2 ；
当 x>2 时， fx=1x 在区间 2,+∞ 上单调递减，所以此时 fx∈0,12 ，
若函数 fx 存在最大值，则 lga2≥12 ，解得 a≤4 ，又 a>1 ，
所以 a 的取值范围为 1,4
故答案为： 1,4
16.【答案】(π4,5π4)
【解析】【分析】
此题考查了利用导数研究函数的单调性，熟练掌握基本关系是解本题的关键．属于中档题．
先将不等式cs5θ−sin5θ<7(sin3θ−cs3θ)变形得：sin5θ+7sin3θ>cs5θ+7cs3θ，然后构造函数f(x)=x5+7x3，，将原不等式转化成f(sinθ)>f(csθ)，利用导数研究函数f(x)的单调性可得sinθ>csθ，在θ∈[0,2π)上求出θ的取值范围即可．
【解答】
解：已知不等式cs5θ−sin5θ<7(sin3θ−cs3θ)变形得：
sin5θ+7sin3θ>cs5θ+7cs3θ，
设f(x)=x5+7x3，
∵f′(x)=5x4+21x2=x2(5x2+21)>0，
∴f(x)是(−∞,+∞)上的增函数，
∴原不等式变形为f(sinθ)>f(csθ)，
∴sinθ>csθ，
又∵θ∈[0,2π)，
∴π4<θ<5π4，
则θ的取值范围是：(π4,5π4)
故答案为：(π4,5π4).
17.【答案】解：(1)函数f(x)=a−22x+1为R上的增函数，
证明如下：任取x1、x2∈R且x1>x2，
则2x1>2x2>0，
所以f(x1)−f(x2)=(a−22x1+1)−(a−22x2+1)=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)=a−22x+1为R上的增函数．
(2)若函数f(x)为奇函数，则f(−x)+f(x)=0，
即2a−(22−x+1+22x+1)=0，
则a=2x2x(2−x+1)+12x+1=2x+12x+1=1，
因为函数f(x)为R上的增函数，
由f(2ax)因此，满足f(2ax)【解析】本题考查了函数的性质，函数单调性的证明与应用，属于较难题．
(1)根据单调性的定义进行判断，可知函数f(x)的单调性；
(2)根据函数的奇偶性求出a，再由函数的单调性列不等式求解即可．
18.【答案】解：(1)f(x)=cs4x−sin4x−2 3sinxcsx
=(cs2x−sin2x)(cs2x+sin2x)− 3sin2x
=cs2x− 3sin2x=2cs(2x+π3)，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=−2，f(x)max=1，
故f(x)的最大值与最小值的和为−1．
【解析】(1)由已知先求出f(x)=2cs(2x+π3)，由此能求出函数f(x)的最小正周期．
(2)由x∈[0,π2]，得到2x+π3∈[π3,4π3]，由此能求出f(x)的最大值和最小值．
本题考查函数的最小正周期的求法，考查函数的最小值和最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．
19.【答案】解：(1)表格补充如下：
由表中数据可得，A=2，T4=7π12−π3，所以T=π，则ω=2ππ=2，
当x=π3时，ωx+φ=π2，则φ=−π6，所以fx=2sin2x−π6．
作图如下：
(2)由题意可得，gx=2sin2x−θ−π6=2sin2x−2θ−π6，
因为y=gx的图像关于y轴对称，
则−2θ−π6=π2+kπ，k∈Z，
解得θ=−π3−kπ2，k∈Z，
且θ>0，所以当k=−1时，θmin=π6．
【解析】本题考查了三角函数五点法作图，函数的解析式，三角函数的最值，属于基础题．
(1)根据表格，分别求得A,ω,φ，即可得到函数f(x)的解析式，从而得到其函数图像；
(2)根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得θ的最小值．
20.【答案】解：(1)一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为f(x)=2y=328−x−2,0≤x≤410−x,4当0≤x≤4时，328−x−2≥4，即83≤x≤4;当4则当83≤x≤6时，能起到有效杀毒的作用，
故若一次喷洒2个单位的该消毒剂，有效杀毒时间可达103小时;
(2)由题知，第一次喷洒的2个单位消毒剂，经6小时后，其浓度为4毫克/立方米，且接下来4个小时的浓度为y1=4−x，第二次喷洒a(1≤a≤4)个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度为y2=16a8−x−a，
故接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为m=y1+y2=4−x+16a8−x−a(0≤x≤4)，
令t=8−x∈[4,8]，则m=t+16at−a−4(4≤t≤8)，因为4 a∈[4,8]，
所以当t=4 a时，接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度m最小，为8 a−a−4，
要符合题意，则8 a−a−4≥4，即a−8 a+8≤0，解得24−16 2≤a≤24+16 2，
又1≤a≤4，则24−16 2≤a≤4，故a的最小值为24−16 2≈1.4．
【解析】本题考查不等式在实际问题中的应用，属于中档题．
(1)利用已知可得：一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为f(x)=2y=328−x−2,0≤x≤410−x,4(2)4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为m=y1+y2=4−x+16a8−x−a(0≤x≤4)，然后求出最值．
21.【答案】解：(1)g(x)= 3sin2x+1+cs2x+m=2sin(2x+π6)+m+1，
因为x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，所以g(x)max=2+m+1=3，则m=0．
(2)由(1)知g(x)=2sin(2x+π6)+1，则f(x)=sin(2x+π6)+12;
当x∈[−π2,π2]，则2x+π6∈[−5π6,7π6]，
所以当x∈[−π2,−π3]时函数单调递减，x∈[−π3,π6]时函数单调递增，当x∈[π6,π2]时函数单调递减，
又f(−π2)=sin(−5π6)+12=0，f(π2)=sin7π6+12=0，f(−π6)=sin(−π6)+12=0，
f(−π3)=sin(−π2)+12=−12，f(π6)=sinπ2+12=32，则可得函数y=|f(x)|的图象如下：
对于给定的实数a，若方程|f(x)|=a有解，则当a=32时，方程的根为x=π6，此时Sa=π6;
当a∈(12,32)时，方程的两根关于直线x=π6对称，此时Sa=π3;
当a=12时，方程的根有三个，x1=−π3，x2，x3关于直线x=π6对称，此时Sa=−π3+π3=0;
当a∈(0,12)，方程有四个根，x1，x2关于直线x=−π3对称，x3，x4关于直线x=π6对称，
此时Sa=−2π3+π3=−π3;
当a=0时，方程的根有三个，x1=−π2，x2=−π6，x3=π2，此时Sa=−π2−π6+π2=−π6;
综上，Sa的所有可能取值为−π3，−π6，0，π6，π3．
【解析】本题考查的是二倍角公式，辅助角公式，正弦型函数的性质．
(1)根据三角恒等变换化简函数fx ，利用正弦型函数的性质求得最大值，即可得m 的值，从而得函数fx 的解析式；
(2)根据x∈−π2,π2 ，确定函数fx 的单调性及取值情况，作出函数y=fx 的图象，根据方程的根与函数对称性分类讨论得所有Sa 取值即可．
22.【答案】【小问1详解】
当a=1时，f(x)=x+ln(x+2)，由f(x)解得0故不等式的解为(−2,e−2)．
【小问2详解】
因为y=x与y=ln(x+2)均为增函数，
所以f(x)在(−2,+∞)上单调递增，
当a≥1时，f(0)=ln2+lna>0，
f(1a−2)=1a−2+ln1a+lna=1a−2≤1−2=−1<0，
所以存在唯一的x0∈(1a−2,0)，使得f(x0)=0，
即函数f(x)有唯一零点x0，
所以x0+ln(x0+2)+lna=0，即x0+lna=−ln(x0+2)，
所以ex0+lna=e−ln(x0+2)，即aex0=1x0+2，
所以g(x0)=αex0−ln(x0+2)=1x0+2+x0+lna=1x0+2+x0+2−2+lna，
因为x0>1a−2，所以x0+2>1a>0，
所以g(x0)≥2 1x0+2⋅(x0+2)−2+lna=lna≥0，
当且仅当x0=−1与a=1时等号成立．
当x0=−1时，由x0+lna=−ln(x0+2)知lna=1，即a=e，所以等号不成立，
所以g(x0)>0．
【解析】本题主要考查利用对数函数性质解不等式，考查函数零点问题，考查基本不等式的应用及不等式的证明，属于较难题，
(1)由对数型函数的单调性直接求解即可；
(2)由f(x)在(−2,+∞)上单调递增，利用零点存在性定理可知存在唯一的x0∈(1a−2,0)，
由x0+lna=−ln(x0+2)化简后可得g(x0)=1x0+2+x0+lna，利用均值不等式及等号成立条件即可得证．
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
7π12
f(x)
0
2
0
−2
0
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
fx
0
2
0
−2
0
1.已知集合A={y|y=lg2x,x>1}，B={y|y=12x,x>1}，则A∩B=( )
A. {y|0
A. ∀x∉Z，|x|∈NB. ∃x∈Z，|x|∈N
C. ∃x∈Z，|x|∉ND. ∀x∈Z，|x|∉N
3.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减的是( )
A. y=csxB. y=|sinx|C. y=csx2D. y=tanx
4.函数f(x)=2|x|+1x2+1−1的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5.设fx=ffx+5,x<102x−15,x≥10，则f9的值为
( )
A. 9B. 11C. 28D. 14
6.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48)( )
A. 第5代种子B. 第6代种子C. 第7代种子D. 第8代种子
7.已知函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，ℎ(x)=x3+x的零点分别为a，b，c，则( )
A. a
( )
A. −∞,−1∪1,+∞B. −1,1
C. −∞,−1∪0,1D. −1,0∪1,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合A={x|x2−5x+6=0}，B={x|ax−2=0}，且B∪A=A，则实数a的值为
( )
A. 0B. 1C. 23D. 32
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|13
B. c<0
C. a+b>0
D. 关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|−3
( )
A. α<βB. α>2βC. β>π6D. α+β<π3
12.函数fx满足fx+f−x=2x2，f1+x−f1−x=8x，x∈R，则( )
A. f2=4B. f3+f1=18
C. y=fx−x2为奇函数D. fx+2+fx≥0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.tan7π4−sinπ6= ．
14.已知正数x，y满足x+y−xy+3=0，则xy的最小值为 ．
15.已知a>0且a≠1，函数f(x)=lgax,0
16.如果cs5θ−sin5θ<7(sin3θ−cs3θ)，θ∈[0,2π)，则θ的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=a−22x+1.
(1)判断函数f(x)的单调性，并用单调性定义证明；
(2)若f(x)为奇函数，求满足f(2ax)
已知函数f(x)=cs4x−sin4x−2 3sinxcsx(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最大值与最小值的和．
19.(本小题12分)
某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数y=f(x)在一个周期内的图象;
(2)将y=f(x)的图形向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象，若y=g(x)的图象关于y轴对称，求θ的最小值．
20.(本小题12分)
某医院购入一种新型空气消毒剂，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的该消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随时间x(单位：小时)的变化关系为：当0≤x≤4时，y=168−x−1;当4
(2)若第一次喷洒2个单位的该消毒剂，6小时后第二次喷洒a(1≤a≤4)个单位的该消毒剂，要使第二次喷洒后的4小时内能够持续有效杀毒，试求a的最小值.(最后结果精确到0.1，参考数据： 2≈1.414)
21.(本小题12分)
已知函数g(x)= 3sin2x+2cs2x+m在区间[0,π2]上的最大值为3．
(1)求m的值;
(2)当x∈[−π2,π2]时，f(x)=12g(x)，对于给定的实数a，若方程|f(x)|=a有解，则记该方程所有解的和为Sa，求Sa的所有可能取值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+ln(x+2)+lna，g(x)=aex−ln(x+2)．
(1)当a=1时，解不等式f(x)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握指数函数和对数函数的性质与值域计算是解题的关键．
利用对数函数和指数函数的性质化简集合A，B，然后求交集即可．
【解答】
解：由对数函数的性质可得A={y|y=lg2x,x>1}={y|y>0}，
由指数函数的性质可得B={y|y=(12)x,x>1}={y|0
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，写出该命题的否定命题即可．
【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，
命题：∀x∈Z，|x|∈N，
则该命题的否定是：∃x∈Z，|x|∉N．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正余弦函数，正切函数的图象和性质，属于基础题．
由条件利用三角函数的周期性和单调性，分析各个选项即可得出结论．
【解答】解：在A中，y=csx的最小周期是2π，在区间(π2,π)上为减函数，不满足条件；
在B中，y=|sinx|的最小正周期是π，在区间(π2,π)上为减函数，满足条件；
在C中，y=csx2的最小正周期是4π，在区间(π2,π)上为减函数，不满足条件；
在D中，y=tanx的最小正周期是π，在区间(π2,π)上为增函数，不满足条件．
故选B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的图象的识别，属于基础题．
先用奇偶性排除C，D.再用f(1)=12>0，排除B．
【解答】
解：f(x)=2|x|+1x2+1−1的定义域为R，f(−x)=2|−x|+1(−x)2+1−1=2|x|+1x2+1−1=f(x)，
因此f(x)是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，选项C，D不满足;
又f(1)=12>0，所以选项B不满足，A符合题意．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值
代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值．
【解答】
解：f9=ff14=f2×14−15=f13=2×13−15=11．
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数函数的应用，对数式的化简求值，属中档题．
假设第x代超过1000万粒，可得指数不等式，解指数不等式可得答案．
【解答】
解：设第x代种子的数量为15x−1，由题意得15x−1≥107，得x≥lg15107+1．
因为lg15107+1=lg107lg15+1=7lg3+lg5+1=7lg3+1−lg2+1≈6.9，
故种子数量首次超过1000万粒的是第7代种子．
故选C．
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了函数的零点、指数函数、幂函数及对数函数的性质，属于基础题．
结合函数单调性，根据零点的定义列方程，确定各函数零点的正负情况，即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：由题意可得函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，ℎ(x)=x3+x在定义域内都是增函数，
又f(a)=ea+a=0⇒ea=−a>0⇒a<0，
而g(b)=lnb+b=0中的b>0，
令ℎ(c)=c3+c=c(c2+1)=0⇒c=0，
∴a，b，c的大小顺序为：a
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的对称性，函数的奇偶性及函数的单调性，不等式求解，属于中档题．
由题可以判断函数f(x)的图象的对称中心是(0,0)，函数f(x)是奇函数，再由x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0可得f(x1)x1
解：函数f(x)的定义域是R，函数f(x+1)的图象的对称中心是(−1,0)，
所以函数f(x)的图象的对称中心是(0,0)，
所以函数f(x)是奇函数，f(1)=1，则f(−1)=−1．
对任意的x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0成立，
不妨令x1
且g(x)是偶函数，g(1)=f(1)1=f(−1)−1=g(−1)，
函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减．
不等式f(x)−x>0，显然x≠0，当x>0时，f(x)x>1=f(1)1，
即g(x)>g(1)，所以x>1;
当x<0时，f(x)x<1=f(−1)−1，即g(x)
故选D．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查集合中参数的取值，考查并集的定义及运算，以及子集、空集的定义，属于基础题．
可以求出A={3,2}，根据B∪A=A即可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集，解之即可．
【解答】
解：∵B∪A=A，
∴B⊆A，
∵集合A={x|x2−5x+6=0}，集合B={x|ax−2=0}，
∴A={2,3}，∵B⊆A，
当B=⌀时，则a=0，满足题意;
当B≠⌀时，若2∈B，∴2a−2=0，a=1，满足题意，
若3∈B，则3a−2=0，∴a=23，满足题意．
∴a=0或1或23，
故选ABC．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，属于一般题．
由不等式的解集可得a<0，然后利用韦达定理可判断逐个判断即可．
【解答】
解：由不等式的解集可得a<0，且二次方程ax2+bx+c=0的根为13，1，
所以13+1=−ba，13×1=ca，即ba=−43，ca=13
因为a<0，可得b>0，c<0，a+b=a−43a=−13a>0，
故A错误，BC正确；
不等式cx2+bx+a>0可化为13x2−43x+1<0，解得1
【解析】【分析】
本题主要考查三角恒等变换与三角函数单调性的应用，属于中档题．
根据平方公式、二倍角公式、和差角公式，结合正弦函数与余弦函数的单调性，逐项判断即可．
【解答】
解：因为cs2β=1−2sin2β=725，所以sin2β=925，又β∈0,π2，所以sinβ=35，
所以sinα<12
因为α∈0,π2，所以csα= 1−sin2α=2 55>cs2β=725，
又函数y=csx，在0,π上单调递减，所以α<2β，故 B不正确；
因为β∈0,π2，sinβ=35，所以csβ= 1−sin2β=45，
所以cs (α+β)=cs αcs β−sin αsin β
=2 55×45− 55×35= 55
故选：AC．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数及其应用，函数奇偶性判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
利用赋值法可判断AB选项；令gx=fx−x2，利用函数奇偶性的定义可判断C选项；根据已知条件推导出fx+2−f−x=8x+8，再结合fx+f−x=2x2以及等式的可加性可判断D选项．
【解答】
解：在等式fx+f−x=2x2中，令x=0，可得f0=0，
在等式f1+x−f1−x=8x中，令x=1，可得f2=f0+8=8，A错；
在等式fx+f−x=2x2中，令x=1，可得f1+f−1=2，①
在等式f1+x−f1−x=8x中，令x=2，可得f3−f−1=16，②，
①+②可得f3+f1=18，B对；
令gx=fx−x2，其中x∈R，则gx+g−x=fx+f−x−2x2=0，
即g−x=−gx，故函数y=fx−x2为奇函数，C对；
因为f1+x−f1−x=8x，则fx+2−f1−x+1=fx+2−f−x=8x+1=8x+8，
又因为fx+f−x=2x2，
上述两个等式相加可得fx+2+fx=2x2+8x+8=2x+22≥0，D对．
故选：BCD．
13.【答案】−32
【解析】【分析】
本题考查诱导公式和特殊角的三角函数值
根据诱导公式和特殊角的函数值计算可得结果．
【解答】
解：tan7π4−sinπ6=tanπ+3π4−12=tan3π4−12=−1−12=−32．
故答案为：−32．
14.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查的是利用基本不等式求最值．
因为x+y≥2 xy，故由x+y−xy+3=0得xy−3=x+y≥2 xy，即xy−3≥2 xy，即可得出答案．
【解答】
解：对于正数x，y，有x+y≥2 xy，当且仅当x=y时取得等号，
故由x+y−xy+3=0得xy−3=x+y≥2 xy，即xy−3≥2 xy，
所以( xy−3)( xy+1)≥0，故 xy≥3或 xy≤−1(舍去)，
故xy≥9，即xy的最小值为9，当且仅当x=y=3时取最小值，
故答案为9．
15.【答案】1,4
【解析】【分析】
本题考查分段函数单调性与最值，属于中档题；
分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合 fx 存在最大值即可
【解答】解：当 0
当 0
当 x>2 时， fx=1x 在区间 2,+∞ 上单调递减，所以此时 fx∈0,12 ，
若函数 fx 存在最大值，则 lga2≥12 ，解得 a≤4 ，又 a>1 ，
所以 a 的取值范围为 1,4
故答案为： 1,4
16.【答案】(π4,5π4)
【解析】【分析】
此题考查了利用导数研究函数的单调性，熟练掌握基本关系是解本题的关键．属于中档题．
先将不等式cs5θ−sin5θ<7(sin3θ−cs3θ)变形得：sin5θ+7sin3θ>cs5θ+7cs3θ，然后构造函数f(x)=x5+7x3，，将原不等式转化成f(sinθ)>f(csθ)，利用导数研究函数f(x)的单调性可得sinθ>csθ，在θ∈[0,2π)上求出θ的取值范围即可．
【解答】
解：已知不等式cs5θ−sin5θ<7(sin3θ−cs3θ)变形得：
sin5θ+7sin3θ>cs5θ+7cs3θ，
设f(x)=x5+7x3，
∵f′(x)=5x4+21x2=x2(5x2+21)>0，
∴f(x)是(−∞,+∞)上的增函数，
∴原不等式变形为f(sinθ)>f(csθ)，
∴sinθ>csθ，
又∵θ∈[0,2π)，
∴π4<θ<5π4，
则θ的取值范围是：(π4,5π4)
故答案为：(π4,5π4).
17.【答案】解：(1)函数f(x)=a−22x+1为R上的增函数，
证明如下：任取x1、x2∈R且x1>x2，
则2x1>2x2>0，
所以f(x1)−f(x2)=(a−22x1+1)−(a−22x2+1)=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)=a−22x+1为R上的增函数．
(2)若函数f(x)为奇函数，则f(−x)+f(x)=0，
即2a−(22−x+1+22x+1)=0，
则a=2x2x(2−x+1)+12x+1=2x+12x+1=1，
因为函数f(x)为R上的增函数，
由f(2ax)
(1)根据单调性的定义进行判断，可知函数f(x)的单调性；
(2)根据函数的奇偶性求出a，再由函数的单调性列不等式求解即可．
18.【答案】解：(1)f(x)=cs4x−sin4x−2 3sinxcsx
=(cs2x−sin2x)(cs2x+sin2x)− 3sin2x
=cs2x− 3sin2x=2cs(2x+π3)，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=−2，f(x)max=1，
故f(x)的最大值与最小值的和为−1．
【解析】(1)由已知先求出f(x)=2cs(2x+π3)，由此能求出函数f(x)的最小正周期．
(2)由x∈[0,π2]，得到2x+π3∈[π3,4π3]，由此能求出f(x)的最大值和最小值．
本题考查函数的最小正周期的求法，考查函数的最小值和最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．
19.【答案】解：(1)表格补充如下：
由表中数据可得，A=2，T4=7π12−π3，所以T=π，则ω=2ππ=2，
当x=π3时，ωx+φ=π2，则φ=−π6，所以fx=2sin2x−π6．
作图如下：
(2)由题意可得，gx=2sin2x−θ−π6=2sin2x−2θ−π6，
因为y=gx的图像关于y轴对称，
则−2θ−π6=π2+kπ，k∈Z，
解得θ=−π3−kπ2，k∈Z，
且θ>0，所以当k=−1时，θmin=π6．
【解析】本题考查了三角函数五点法作图，函数的解析式，三角函数的最值，属于基础题．
(1)根据表格，分别求得A,ω,φ，即可得到函数f(x)的解析式，从而得到其函数图像；
(2)根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得θ的最小值．
20.【答案】解：(1)一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为f(x)=2y=328−x−2,0≤x≤410−x,4
故若一次喷洒2个单位的该消毒剂，有效杀毒时间可达103小时;
(2)由题知，第一次喷洒的2个单位消毒剂，经6小时后，其浓度为4毫克/立方米，且接下来4个小时的浓度为y1=4−x，第二次喷洒a(1≤a≤4)个单位该消毒剂，接下来4个小时的浓度为y2=16a8−x−a，
故接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度为m=y1+y2=4−x+16a8−x−a(0≤x≤4)，
令t=8−x∈[4,8]，则m=t+16at−a−4(4≤t≤8)，因为4 a∈[4,8]，
所以当t=4 a时，接下来4个小时内空气中该消毒剂的总浓度m最小，为8 a−a−4，
要符合题意，则8 a−a−4≥4，即a−8 a+8≤0，解得24−16 2≤a≤24+16 2，
又1≤a≤4，则24−16 2≤a≤4，故a的最小值为24−16 2≈1.4．
【解析】本题考查不等式在实际问题中的应用，属于中档题．
(1)利用已知可得：一次喷洒2个单位的该消毒剂，其浓度为f(x)=2y=328−x−2,0≤x≤410−x,4
21.【答案】解：(1)g(x)= 3sin2x+1+cs2x+m=2sin(2x+π6)+m+1，
因为x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，所以g(x)max=2+m+1=3，则m=0．
(2)由(1)知g(x)=2sin(2x+π6)+1，则f(x)=sin(2x+π6)+12;
当x∈[−π2,π2]，则2x+π6∈[−5π6,7π6]，
所以当x∈[−π2,−π3]时函数单调递减，x∈[−π3,π6]时函数单调递增，当x∈[π6,π2]时函数单调递减，
又f(−π2)=sin(−5π6)+12=0，f(π2)=sin7π6+12=0，f(−π6)=sin(−π6)+12=0，
f(−π3)=sin(−π2)+12=−12，f(π6)=sinπ2+12=32，则可得函数y=|f(x)|的图象如下：
对于给定的实数a，若方程|f(x)|=a有解，则当a=32时，方程的根为x=π6，此时Sa=π6;
当a∈(12,32)时，方程的两根关于直线x=π6对称，此时Sa=π3;
当a=12时，方程的根有三个，x1=−π3，x2，x3关于直线x=π6对称，此时Sa=−π3+π3=0;
当a∈(0,12)，方程有四个根，x1，x2关于直线x=−π3对称，x3，x4关于直线x=π6对称，
此时Sa=−2π3+π3=−π3;
当a=0时，方程的根有三个，x1=−π2，x2=−π6，x3=π2，此时Sa=−π2−π6+π2=−π6;
综上，Sa的所有可能取值为−π3，−π6，0，π6，π3．
【解析】本题考查的是二倍角公式，辅助角公式，正弦型函数的性质．
(1)根据三角恒等变换化简函数fx ，利用正弦型函数的性质求得最大值，即可得m 的值，从而得函数fx 的解析式；
(2)根据x∈−π2,π2 ，确定函数fx 的单调性及取值情况，作出函数y=fx 的图象，根据方程的根与函数对称性分类讨论得所有Sa 取值即可．
22.【答案】【小问1详解】
当a=1时，f(x)=x+ln(x+2)，由f(x)
【小问2详解】
因为y=x与y=ln(x+2)均为增函数，
所以f(x)在(−2,+∞)上单调递增，
当a≥1时，f(0)=ln2+lna>0，
f(1a−2)=1a−2+ln1a+lna=1a−2≤1−2=−1<0，
所以存在唯一的x0∈(1a−2,0)，使得f(x0)=0，
即函数f(x)有唯一零点x0，
所以x0+ln(x0+2)+lna=0，即x0+lna=−ln(x0+2)，
所以ex0+lna=e−ln(x0+2)，即aex0=1x0+2，
所以g(x0)=αex0−ln(x0+2)=1x0+2+x0+lna=1x0+2+x0+2−2+lna，
因为x0>1a−2，所以x0+2>1a>0，
所以g(x0)≥2 1x0+2⋅(x0+2)−2+lna=lna≥0，
当且仅当x0=−1与a=1时等号成立．
当x0=−1时，由x0+lna=−ln(x0+2)知lna=1，即a=e，所以等号不成立，
所以g(x0)>0．
【解析】本题主要考查利用对数函数性质解不等式，考查函数零点问题，考查基本不等式的应用及不等式的证明，属于较难题，
(1)由对数型函数的单调性直接求解即可；
(2)由f(x)在(−2,+∞)上单调递增，利用零点存在性定理可知存在唯一的x0∈(1a−2,0)，
由x0+lna=−ln(x0+2)化简后可得g(x0)=1x0+2+x0+lna，利用均值不等式及等号成立条件即可得证．
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
7π12
f(x)
0
2
0
−2
0
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
fx
0
2
0
−2
0
相关试卷
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）： 这是一份湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题原卷版docx、湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期期末适应性考数学试题： 这是一份湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期期末适应性考数学试题，共20页。
2024长沙长郡中学高一上学期选科适应性调研检测数学试题含解析： 这是一份2024长沙长郡中学高一上学期选科适应性调研检测数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了已知集合，则，命题“”的否定是，函数的部分图象大致为，设则的值为，已知函数的零点分别为，则，若集合，且，则实数的值为等内容，欢迎下载使用。
