专题1.8 二次函数与一元二次方程、不等式（5类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

专题1.8 二次函数与一元二次方程、不等式TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc26861" 【考点1：三个“二次”之间的关系】  PAGEREF _Toc26861 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc9136" 【考点2：解不含参的一元二次不等式】  PAGEREF _Toc9136 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc20784" 【考点3：解含参的一元二次不等式】  PAGEREF _Toc20784 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc17673" 【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】  PAGEREF _Toc17673 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc32197" 【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】  PAGEREF _Toc32197 \h 11【考点1：三个“二次”之间的关系】【知识点：三个“二次”之间的关系】1．（2022春•甘孜州期末）若不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}​，则a+b​＝（　　）A．﹣2​ B．0 C．1 D．2【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系解之．【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴方程ax2+bx﹣2＝0根为﹣2、1，则-ba=-1-2a=-2，解得，a＝1，b＝1，∴a+b＝2，故选：D．2．（2022春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜13}，则ax+b＞0的解集为（　　）A．(-∞，-16) B．(-∞，16) C．(-16，+∞) D．(16，+∞)【分析】利用根于系数的关系先求出a，b，再解不等式即可．【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜13}．则根据对应方程的韦达定理得到：(-12)+13=-ba(-12)×13=2a．解得a=-12b=-2，则解集为{x|x<-16}．故选：A．3．（2021秋•威宁县期末）已知不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|-12＜x＜13}，则a，b的值是（　　）A．﹣3，﹣6 B．﹣6，﹣1 C．6，3 D．3，6【分析】由题意，利用一元二次不等式的解法，韦达定理，求得a、b的值．【解答】解：不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|-12＜x＜13}，则-12，13为ax2+bx+1＝0的两个实数根，∴-12+13=-ba，-12×13=1a，求得a＝﹣6，b＝﹣1，故选：B．4．（2022春•双鸭山期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-2＜x＜4}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（　　）A．{x|x＜-12或x＞14} B．{x|-14＜x＜12} C．{x|x＜-14或x＞12} D．{x|-12＜x＜14}【分析】由已知结合二次方程与二次不等式的关系可得a，b，c的关系及范围，然后结合二次不等式的求法即可求解．【解答】解：由题意得a＜0-2+4=-ba-2×4=ca，所以b＝﹣2a＞0，c＝﹣8a＞0，所以不等式cx2﹣bx+a＝﹣8ax2+2ax+a＜0，即8x2﹣2x﹣1＜0，解得-14＜x＜12．故选：B．5．（2021秋•许昌期末）已知{x|a＜x＜b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，则4a+3b的最小值为（　　）A．52+26 B．5+26 C．72+23 D．7+23【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出a与b的关系式，再利用基本不等式求4a+3b的最小值．【解答】解：因为{x|a＜x＜b}是不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，所以a，b是方程nx2﹣2x+1＝0的两个实数根且n＞0，所以a+b=2n，ab=1n，所以a+bab=1b+1a=2，且a＞0，b＞0；所以4a+3b=12•（4a+3b）•（1a+1b）=12•（7+3ba+4ab）≥12（7+23ba⋅4ab）=12（7+43）=72+23，当且仅当3b＝2a时“＝”成立；所以4a+3b的最小值为72+23．故选：C．6．（2021秋•金水区校级期末）已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＜0的解集为{x|-13＜x＜12}，则不等式bx2+cx﹣a＞0的解集为（　　）A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞2或x＜﹣3} D．{x|﹣3＜x＜2}【分析】根据根与系数的关系得到a，b，c的关系，解不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：根据题意，因为不等式ax2﹣bx+c＜0的解集为{x|-13＜x＜12}，所以-13和12是方程ax2﹣bx+c＝0的两根且a＞0，则有ba=-13+12ca=-13×12，分析可得：b=a6，c=-a6，不等式bx2+cx﹣a＞0即ax2﹣ax﹣6a＞0，（a＞0），∴x2﹣x﹣6＞0，∴（x﹣3）（x+2）＞0，解得：x＞3或x＜﹣2，故不等式的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，故选：A．7．（2021秋•河南期末）已知方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和5，则不等式x2+px+q＞0的解集是 　{x|x＜﹣3或x＞5}　．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，写出该不等式的解集．【解答】解：因为方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和5，所以不等式x2+px+q＞0的解集是{x|x＜﹣3或x＞5}．故答案为：{x|x＜﹣3或x＞5}．8．（2022春•赤峰期末）若关于x的不等式-12x2+2x-mx＞0的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝　1　．【分析】根据题意，分析可得方程-12x2+2x﹣mx＝0的两个根为0和2，将x＝2代入方程，计算可得答案．【解答】解：根据题意，关于x的不等式-12x2+2x-mx＞0的解集为{x|0＜x＜2}，则方程-12x2+2x﹣mx＝0的两个根为0和2，则有（-12）×4+4﹣2m＝0，解可得：m＝1；故答案为：1．9．（2022•和平区校级二模）已知不等式x2﹣8x+a（8﹣a）＜0的解集中恰有五个整数，则实数a的取值范围为 　　．【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x2﹣8x+a（8﹣a）＜0，∴（x﹣a）[x﹣（8﹣a）]＜0，当a＝4时，原不等式化为（x﹣4）2＜0，x∈∅，不符合题意；当a＞4时，不等式为8﹣a＜x＜a，其中解集中必有元素4，若五个整数是0，1，2，3，4时，可得-1≤8-a＜04＜a＜5，此时解集为空集，若五个整数是1，2，3，4，5时，0≤8-a＜15＜a≤61≤8-a＜2，此时解集为空集，若五个数为2，3，4，5，6时，1≤8-a＜26＜a≤7，解得6＜a≤7，若五个数为3，4，5，6，7时，2≤8-a＜37＜a≤8，此时解集为空集，右五个数为4，5，6，7，8时，3≤8-a＜48＜a＜9，此时解集为空集，当a＜4时，不等式的解集为a＜x＜8﹣a，其中解集中必有，若五个整数是0，1，2，3，4时，0≤a＜15＜8-a≤6，此时解集为空集，若五个数是1，2，3，4，5时，1≤8-a＜26＜a＜7，此时解集为空集，若五个数是2，3，4，5，6时，1≤a＜26＜8-a≤7，解得1≤a＜2，若五个数为3，4，5，6，7时，2≤a＜37＜8-a＜8，此时解集为空集，若五个数为4，5，6，7，8时，3≤8-a＜48＜a≤9，此时解集为空集，故答案为：．【考点2：解不含参的一元二次不等式】【知识点：解不含参的一元二次不等式】1．（2022春•凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　）A．{x|-23≤x≤1} B．{x|-1≤x≤23} C．{x|x≤-23或x≥1} D．{x|x≤-1或x≥23}【分析】根据题意，由一元二次不等式的解法分析的答案．【解答】解：根据题意，3x2﹣x﹣2≥0即（3x+2）（x﹣1）≥0，解可得：x≥1或x≤-23，即不等式的解集为{x|x≤-23或x≥1}，故选：C．2．（2022春•昭阳区校级期末）已知不等式﹣x2﹣x+6＞0，则该不等式的解集是（　　）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2或x＞3} C．{x|x＜﹣3或x＞2} D．{x|﹣3＜x＜2}【分析】一元二次不等式求解即可．【解答】解：﹣x2﹣x+6＞0，即x2+x﹣6＜0，因式分解为：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，则该不等式的解集为{x|﹣3＜x＜2}．故选：D．3．（2021秋•阳春市校级月考）解下列不等式．（1）﹣x2+2x﹣3＜0；（2）﹣3x2+5x﹣2＞0．【分析】（1）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）2+2＞0，结合二次函数的性质分析可得答案；（2）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x-23）＜0，解可得答案．【解答】解：（1）根据题意，﹣x2+2x﹣3＜0⇒x2﹣2x+3＞0⇔（x﹣1）2+2＞0，又由（x﹣1）2+2≥2，则不等式的解集为R；（2）根据题意，﹣3x2+5x﹣2＞0⇔3x2﹣5x+2＜0⇔（x﹣1）（x-23）＜0，解可得：23＜x＜1，即不等式的解集为{x|23＜x＜1}．【考点3：解含参的一元二次不等式】【知识点：解含参的一元二次不等式】①二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；②当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系；③确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．1．（2021秋•南阳期末）设m+n＞0，则关于x的不等式（m﹣x）（n+x）＞0的解集是（　　）A．{x|x＜﹣n或x＞m} B．{x|﹣n＜x＜m} C．{x|x＜﹣m或x＞n} D．{x|﹣m＜x＜n}【分析】将不等式进行等价转化为（x﹣m）（x+n）＜0，然后求出不等式的解集．【解答】解：原不等式可化为（x﹣m）（x+n）＜0，由m+n＞0，可知m＞﹣n，所以原不等式的解集为{x|﹣n＜x＜m}．故选：B．2．（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．【分析】对于二次项含参的一元二次不等式，需要对二次项系数a是否为零进行讨论，进而求解即可．【解答】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化简可得（ax+1）（x﹣2）≥0．由于二次项系数含参，故进行如下讨论：①当a＝0时，原不等式化简为：x﹣2≥0，解得x≥2．②当a＜0时，不等式为：（ax+1）（x﹣2）≥0．解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的两根分别为为x1=-1a，x2＝2．则：当a=-12时，解为：x＝2．当-12＜a＜0时，-1a＞2，解为；2≤x≤-1a．当a＜-12时，-1a＜2，解为：-1a≤x≤2．综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥2}．当a=-12时，解集为{x|x＝2}．当-12＜a＜0时，解集为：{x|2≤x≤-1a}．当a＜-12时，解集为：{x|-1a≤x≤2}．3．（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．【分析】（1）由题意可是1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，利用韦达定理得以方程组，解得即可；（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．【解答】解：（1）∵关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，∴1+b=31×b=2a2，解得b=2a=±1．（2）关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R），即ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x1=3a，x2=-1，∴①当a＞0时，3a＞-1，∴原不等式的解集为{x|x＞3a或x＜﹣1}；②当﹣3＜a＜0时，3a＜-1，∴原不等式的解集为{x|3a＜x＜﹣1}；③当a＝﹣3时，3a=-1，∴原不等式的解集为∅；④当a＜﹣3时，3a＞-1，∴原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3a}．4．（2021秋•罗庄区校级月考）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．（1）当a＝2时，解关于x的不等式；（2）当a＞0时，解关于x的不等式．【分析】（1）将不等式化为（2x+1）（x﹣1）＜0即可求得结果；（2）将不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，当a＞0时，不等式变为(x-1)(x+1-1a)＜0，计算（x﹣1）（ax+a﹣1）＝0的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集．【解答】解：（1）当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，∴不等式的解集为{x|-12＜x＜1}；（2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，当a＞0时，(x-1)(x+1-1a)＜0，(x-1)(x+1-1a)=0的根为：x1=1，x2=1a-1，①当0＜a＜12时，1＜1a-1，∴不等式解集为{x|1＜x＜1a-1}，②当a=12时，1=1a-1，不等式解集为∅，③当a＞12时，1＞1a-1，∴不等式解集为{x|1a-1＜x＜1}，综上，当0＜a＜12时，不等式解集为{x|1＜x＜1a-1}，当a=12时，不等式解集为∅，当a＞12时，不等式解集为{x|1a-1＜x＜1}．．【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】【知识点：一元二次不等式存在性或恒成立问题】方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题.1．（2022春•吉安期末）若关于x的不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）A．[﹣2，0] B．（﹣2，0] C．（﹣2，0） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）【分析】当a＝0时，不等式成立；当a≠0时，不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，等价于a＜0，Δ=(-2a)2-4a×(-2)＜0，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：关于x的不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，当a＝0时，不等式成立；当a≠0时，不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，等价于a＜0，Δ=(-2a)2-4a×(-2)＜0，∴﹣2＜a＜0．综上，实数a的取值范围为（﹣2，0]．故选：B．2．（2021秋•廊坊期末）关于x的一元二次不等式2x2-kx+38＞0对于一切实数x都成立，则实数k满足（　　）A．{k|k＜3} B．{k|k＜-3} C．{k|-3＜k＜3} D．{k|k＞3}【分析】利用判别式Δ＜0，即可求出实数k的取值范围．【解答】解：因为一元二次不等式2x2-kx+38＞0对于一切实数x都成立，所以Δ＝（﹣k）2﹣4×2×38＜0，解得-3＜k＜3，所以实数k的取值范围是{k|-3＜k＜3}．故选：C．3．（2022春•南充期末）不等式（a﹣2）x2+4（a﹣2）x﹣12＜0的解集为R，则实数a的取值范围是（　　）A． B． C． D．【分析】当a＝2时，原不等式为﹣12＜0满足夹角为R；当a≠2时，根据一元二次不等式解法可求得a范围，最后可求得正确选项．【解答】解：当a＝2时，原不等式为﹣12＜0满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a-2＜0[4(a-2)]2-4(a-2)×(-12)＜0，解得-112，解得x<-40或x>30．由1200x2+120x>10，解得x<-50或x>40．由于x>0，从而可得：x甲>30km/h，x乙>40km/h．因为该弯道限速35km/h知，乙车超过限速．故选：B．(本小题12.0分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为10(a-3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【解析】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，以及一元二次不等式的解法，属于中档题．(1)根据题意可列出10(1000-x)(1+0.2x%)≥10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案．(2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．【答案】解：(1)由题意得：10(1000-x)(1+0.2x%)≥10×1000，即x2-500x≤0，又x>0，所以00，所以00，得10-5125时，不等式ax⩾25×8+50+16(x2-600)+15x有解，等价于当x>25时，a⩾150x+16x+15有解，由于150x+16x⩾2150x×16x=10，当且仅当150x=x6，即x=30时等号成立，所以a≥10.2．答：当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． (本小题12.0分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25-x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润=累计收入+销售收入-总支出)【解析】本题考查了根据实际问题选择函数类型，一元二次不等式的应用以及基本不等式求最值，属于中档题．(1)求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；(2)利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．【答案】解：解：(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x-6x+xx-12×2-50=25x-[6x+x(x-1)]-50=-x2+20x-50(00，可得10-520，所以0x2}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}