2023-2024学年江西省南昌市立德朝阳中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年江西省南昌市立德朝阳中学八年级（上）月考数学试卷（10月份），共24页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形（ ）
A．2B．3C．5D．6
2．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．甲、乙、丙
3．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．5
4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
5．如图，已知AB＝AC，AB＝5，以A，B两点为圆心AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则△BDC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，则点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称 ．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是 ．
9．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
10．点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80°，则∠CGE＝ ．
11．如图，AC，BD在AB的同侧，BD＝8，AB＝8，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 ．
12．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，用t（s）表示移动的时间 时，△POQ是等腰三角形．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
14．（6分）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，画出BC边的垂直平分线n．
15．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
16．（6分）如图：在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，并证明你的结论．
17．（6分）如图，四边形ABCD中，AD＝4，∠A＝30°，∠B＝90°，求CD的长．
四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点D作AC的垂线，垂足为F，连接CE．
（1）说明：AE＝CE＝BE；
（2）若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．
19．（8分）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，设点P的运动时间t（s），当t为何值时
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）若P为BC边中点，则PE，PF（写出推理过程）？
（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？
五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），并证明．
22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．
如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．
（1）∠ABO的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”）智慧三角形；
（2）若∠OAC＝20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；
（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．
六、（本大题共12分）
23．（12分）在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°
（1）如图1，求证：△BCD为等腰三角形；
（2）如图2，若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，在AC上截取AH＝AB，求证：BD+AD＝BE+AB；
（3）如图3，若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2），请写出正确的结论，并说明理由．
2023-2024学年江西省南昌市立德朝阳中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
解：图中三角形的个数是5个，
故选：C．
2．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．甲、乙、丙
【答案】C
解：由图形可知，甲有一边一角，
乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，
丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，
根据全等三角形的判定得，乙丙正确．
故选：C．
3．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．5
【答案】B
解：当2为腰时，三边为2，4，5，由三角形三边关系定理可知，
当5为腰时，三边为4，5，2，周长为：8+5+2＝12，
故选：B．
4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【答案】D
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
5．如图，已知AB＝AC，AB＝5，以A，B两点为圆心AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则△BDC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【答案】A
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝2．
故选：A．
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，则点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称 7 ．
【答案】见试题解答内容
解：∵点A（x，﹣4）与点B（3，
∴x＝4，y＝4，
∴x+y＝7，
故答案为：4．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是 3 ．
【答案】见试题解答内容
解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，
∴CD＝DE＝1，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝5，
∴BC＝BD+CD＝1+2＝2，
故答案为：3．
9．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝ 2a﹣2b ．
【答案】见试题解答内容
解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c＞b，b+c＞a，
∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）＝a﹣b+c﹣b﹣c+a＝8a﹣2b，
故答案为：2a﹣6b．
10．点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80°，则∠CGE＝ 80° ．
【答案】见试题解答内容
解：由翻折可得∠B1＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠B1＝60°，
∵∠AFD＝∠GFB6，
∴△ADF∽△B1GF，
∴∠ADF＝∠B1GF，
∵∠CGE＝∠FGB7，
∴∠CGE＝∠ADF＝80°．
故答案为：80°
11．如图，AC，BD在AB的同侧，BD＝8，AB＝8，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 14 ．
【答案】见试题解答内容
解：如图，作点A关于CM的对称点A′，连接CA'、MB'、B'D，
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
故答案为14．
12．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，用t（s）表示移动的时间 或10 时，△POQ是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即10﹣2t＝t，
解得，t＝s；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣5）＝t，
解得，t＝10s
故填或10．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析．A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）．
解：（1）A1（0，6），B1（2，6），C1（1，4），
；
（2）A2（6，7），B2（4，7），C2（5，8），
．
14．（6分）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，画出BC边的垂直平分线n．
【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答．
解：（1）如图，对称轴m即为所求；
（2）BC边的垂直平分线n即为所求．
15．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
16．（6分）如图：在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
解：△ABC是等边三角形．
∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°．
∵BE⊥CE，AE＝CE，
∴AB＝BC．
∴△ABC是等边三角形．
17．（6分）如图，四边形ABCD中，AD＝4，∠A＝30°，∠B＝90°，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
解：延长AD、BC交于E，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝60°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD＝CE＝DE＝x，
∵AD＝4，BC＝1，
∴8（1+x）＝x+4，
解得；x＝4，
∴CD＝2．
四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点D作AC的垂线，垂足为F，连接CE．
（1）说明：AE＝CE＝BE；
（2）若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．
【答案】见试题解答内容
解：（1）∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，
∴DF垂直平分线段AC，
∴AE＝EC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠CAE+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠B，
∴CE＝EB，
∴AE＝CE＝BE．
（2）连接PA，PB．
∵DA⊥AB，
∴∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴BC＝AE＝EB＝CE＝6．
∴AB＝12，
∵DE垂直平分AC，
∴PC＝AP，
∴PB+PC＝PB+PA，
∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，B，A共线时最小，
∴当点P与点E共点时，PB+PC的值最小．
19．（8分）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，设点P的运动时间t（s），当t为何值时
【答案】见试题解答内容
解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝8﹣t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ＝，
即t＝（3﹣t），
当∠BPQ＝90°时，BP＝，
∴3﹣t＝t，
∴t＝2（秒），
答：当t＝3秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）若P为BC边中点，则PE，PF（写出推理过程）？
（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？
【答案】（1）CD＝PE+PF，理由见解答；
（2）（1）中关系还成立，理由见解答．
【解答】解（1）CD＝PE+PF，
理由：如图1，连接PA，
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E
∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF，
又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC
∴AB×CD＝AC×PF，
∵AB＝AC
∴CD＝PE+PF；
（2）（1）中关系还成立，
理由：连接PA，
∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E
∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF，
又∵S△ABC＝S△PAB+S△PA
∴AB×CD＝AC×PF，
∵AB＝AC
∴CD＝PE+PF．
五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，
∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°，
又∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE＝CG，
（2）解：BE＝CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC，
又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中，，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE＝CM．
22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．
如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．
（1）∠ABO的度数为 30 °，△AOB 是 （填“是”或“不是”）智慧三角形；
（2）若∠OAC＝20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；
（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】见试题解答内容
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∵∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
（2）∠AOC＝60°，∠OAC＝20°，
∴∠AOC＝3∠OAC，
∴△AOC为“智慧三角形”；
（3）∵△ABC为“智慧三角形”，
①当点C在线段OB上时，∵∠ABO＝30°，
∴∠BAC+∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，
Ⅰ、当∠ABC＝4∠BAC时，
∴∠OAC＝80°，
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴∠ACB＝10°
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴∠BAC+2∠BAC＝150°，
∴∠BAC＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝5∠ABC时，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°﹣60°＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴∠BAC＝90°，
∴∠OAC＝0°，
Ⅵ、当∠BAC＝5∠ACB时，
∴3∠ACB+∠ACB＝150°，
∴∠ACB＝37.5°，
∴此种情况不存在，
②当点C在线段OB的延长线上时，
∵∠ACO＝30°，
∴∠ABC＝150°，
∴∠ACB+∠BAC＝30°，
Ⅰ、当∠ACB＝4∠BAC时，
∴3∠BAC+∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝7.3°，
∴∠OAC＝90°+∠BAC＝97.5°，
Ⅱ、当∠BAC＝3∠BCA时，
∴5∠BCA+∠BCA＝30°，
∴∠BCA＝7.5°，
∴∠BAC＝5∠BCA＝22.5°，
∴∠OAC＝90°+22.5°＝112.7°
当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或0°或30°或97.7°或112.5°．
六、（本大题共12分）
23．（12分）在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°
（1）如图1，求证：△BCD为等腰三角形；
（2）如图2，若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，在AC上截取AH＝AB，求证：BD+AD＝BE+AB；
（3）如图3，若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2），请写出正确的结论，并说明理由．
【答案】（1）（2）证明见解析部分；
（3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE﹣AB，证明见解析部分．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°．
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
即BD＝CD，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）证明：由（1）得：△BCD为等腰三角形，
∴BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠EAH，
在△ABE和△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，
∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°．
∴EH＝HC，
∴AB+BE＝AH+HC＝AC，
∴BD+AD＝AB+BE．
（3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE﹣AB，
理由：如图3，在BE上截取BF＝AB，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AFB＝∠BAF＝35°
∴∠BAC＝75°，
∴∠HAB＝105°．
∵AE平分∠HAB，
∴，
∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.6°，
∴AF＝EF．
∵∠AFC＝∠C＝35°，
∴AF＝AC＝EF，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．
∴BD+AD＝BE﹣AB．