2023-2024学年北京市朝阳区重点中学八年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年北京市朝阳区重点中学八年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.十二边形的内角和为(    )

A.  B.  C.  D. 无法计算

3.如图，和相交于点，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.下列判定两直角三角形全等的方法，错误的是(    )

A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一直角边对应相等
C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一锐角对应相等

6.根据下列已知条件，能画出唯一的的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

7.下列是真命题的是(    )

A. 对顶角相等 B. 两边和一角对应相等的两个三角形全等
C. 三角形的外角大于内角 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等

8.如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，，若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.如图所示的网格是正方形网格，点，，，均在格点上，则 ______ 填“”，“”或“”．

10.赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条即图中的，两根木条，这其中的数学原理______．


 

11.如图是由射线、、、组成的平面图形，则 ______

12.如图，在中，，，，平分则的度数为______ ．

13.如图，已知是的中线，且，，则和的周长之差为______ ，和的面积之差为______ ．

14.如图，已知，若以“”为依据证明≌，还需要添加的条件是______ ．

15.甲乙两位同学进行一种数学游戏游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件点，，分别是点，，的对应点某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．

上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是______ 填写所有正确结论的序号．
若第轮甲添加，则乙获胜；
若甲想获胜，第轮可以添加条件；
若乙想获胜，可修改第轮添加条件为．

16.如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若点到直线、的距离分别是、，则称有序实数对是点的“距离坐标”特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为下列说法：
“距离坐标”是的点只有点；
“距离坐标”是的点只有个；
“距离坐标”是的点共有个；
正确的有______ 填序号．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知：如图，点是线段上一点，，，求证：．

18.本小题分

如图，在中，，，的平分线交于点．
尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法
求的度数．

19.本小题分
如图，在中，，是边上的两点，有下面四个关系式：，，，．

请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．
已知：
求证：
证明：

20.本小题分
在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程．

21.本小题分

如图，已知，，，，与相交于点．
求证：；
求证：．

22.本小题分

课上，老师提出了这样一个问题：
已知：如图，，请你再添加一个条件，使得≌．
同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______ ，并完成证明
若添加的条件是，证明：≌．

23.本小题分
如图，在中，点在边上，连接，是中边上的高线，延长交于点设，．
当时，的度数为______ ；
求的度数用含、的式子表示；
若，求的值．

24.本小题分
【提出问题】
我们已经知道了三角形全等的判定方法和直角三角形全等的判定方法，请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究．
【探索研究】
已知：在和中，，，．
如图，当时，根据______，可知≌；

如图，当时，请用直尺和圆规作作出，通过作图，可知与______全等．填“一定”或“不一定”

如图，当时，与是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反例．

【归纳总结】
如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是______
时，这两个三角形一定全等．填序号
锐角；直角；钝角．

25.本小题分

阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法如图：
延长到使得；
再连接，把、、集中在中；利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是______ ．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
请写出图中与的位置关系并证明；
思考：已知，如图，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：作的是边上的高，作的不是三角形的高，作的是边上的高，所以都不是的边上的高，而作的是过顶点且与垂直的线，是边上的高线，符合题意．
故选：．
根据高线的定义即可得出结论．
本题考查的是三角形的高的定义，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：．
故选C．
根据多边形的内角和公式，列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形内角和公式是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、与不一定相等，故A不符合题意；
B、，不一定等于，故B不符合题意；
C、对顶角相等，因此，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：．
由对顶角的性质，三角形外角的性质，即可判断．
本题考查对顶角，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
要判定≌，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定≌，而添加后则不能．
【解答】
解：添加，根据，能判定≌，故A选项不符合题意；
B.添加，根据，能判定≌，故B选项不符合题意；
C.添加，根据，能判定≌，故C选项不符合题意；
D.添加时，不能判定≌，故D选项符合题意；
故选D．

5.【答案】 

【解析】解：、可利用判定两直角三角形全等，故此选项不合题意；
B、可利用判定两直角三角形全等，故此选项不合题意；
C、不能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意；
D、可利用判定两直角三角形全等，故此选项不合题意；
故选：．
结合四个选项所给的条件和全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6.【答案】 

【解析】解：、，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
B、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
D、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．

7.【答案】 

【解析】解：、对顶角相等，是真命题，符合题意；
B、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、三角形的外角不一定大于内角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：．
根据对顶角相等、全等三角形的判定、三角形的外角的概念、平行线的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8.【答案】 

【解析】解：当时，，是直角三角形，的形状，大小是唯一确定的；
当时，如图，有两种情况；

当时，的形状，大小是唯一确定的．
或．
故选：．
分情况讨论，结合图形，即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定，关键是分情况讨论．

9.【答案】 

【解析】解：由图可得：与都是直角三角形，
，，
，
，
．
故答案为：．
由题意可得与都是直角三角形，则可求得相应的面积，再比较即可．
本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式并灵活运用．

10.【答案】三角形的稳定性 

【解析】【分析】
本题考查了三角形的稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】
解：赵师傅这样做是利用了三角形的稳定性，可以防止门框变形．
故答案为三角形的稳定性．

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，为四边形的外角，
则，
故答案为：．
根据多边形的外角和即可求得答案．
本题考查多边形的外角和，结合图形得出，，，为四边形的外角是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
在中，，
平分．
，
．
故答案为：．
先求出，，再求出即可解答．
本题考查三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握以上知识是解题．

13.【答案】   

【解析】解：为中线，
，
与的周长之差，
，，
与的周长之差．
又，
，即和的面积之差为．
故答案为：；．
根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差面积之差等于．
本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：添加条件．
理由：在≌中，
，
≌．
故答案为：．
根据题意，对顶角，若以“”为依据证明≌，还需添加一个边的信息且该边与夹角相邻，据此解题．
本题考查三角形的判定，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解：若第轮甲添加，根据即可判定≌，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意；
若第轮甲添加条件，由于含的直角三角形直角边等于斜边的一半，满足，能判定≌，则甲失败，乙获胜，故说法错误，不符合题意；
若乙第轮添加条件为，则第轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定≌，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意；
故答案为：．
根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

16.【答案】 

【解析】解：如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，
若、分别是到直线和的距离，则称有序非负数实数对、是点的“距离坐标”．
已知常数，，给出下列两个个结论：
若，则“距离坐标”为、的点有且仅有个．
若，且；
，，则“距离坐标”为的点有且仅有个；故“距离坐标”是的点只有点是正确的；
，，则“距离坐标”为的点有且仅有个；故“距离坐标”是的点有个是错误的；
得出是与距离是的点是与之平行的两条直线，与的距离是的也是与之平行的两条直线，这四条直线共有个交点．所以是正确的．
正确的有：．
故答案为：．
根据是点的“距离坐标”，得出若，则“距离坐标”为、的点有且仅有个．若，且，则“距离坐标”为、的点有且仅有个，进而得出解集从而确定答案．
此题主要考查了角平分线的性质，有分类讨论的思想方法，又有创新意识，解题时需要注意．这是一个好题，注意变形去掉，又该怎样解是解决问题的关键．

17.【答案】证明：

在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行线的性质可得，由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．

18.【答案】解：如图，即为所求；

，，
，
平分，平分，
，，
． 

【解析】根据角平分线的作法即可作的平分线交于点；
根据内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，，再利用外角的性质求解．
本题考查了作图基本作图，三角形内角和定理和外角的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．

19.【答案】解：已知：，，
求证：，，
证明：，
，
，，，
≌，
，；
也可以或或或证明方法类似． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．
已知：，，求证：，；由“”可证≌，可得，．

20.【答案】解：能用甲、乙同学添加辅助线的方法完成证明，
甲的方法，证明如下：
如图，作的平分线交于点，

则，
在和中，
，
≌，
；
乙的方法，证明如下
如图，过作于点，

则，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
甲同学的方法证≌，乙同学的方法≌，即可得出结论．

21.【答案】证明：，，
．
，即．
在和中，
，
≌．
．
由知：≌，
．
，
．
．
，
．
在中，
．
． 

【解析】利用说明≌得结论；
先利用全等三角形的性质说明，再利用三角形内角和定理说明得结论．
本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．

22.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加的条件是，
证明：在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一；

证明：连接，

在和中，
，
≌，
，
，，，
，
在和中，
，
≌．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可；
连接，根据全等三角形的判定定理推出≌，根据全等三角形的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理证明即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．

23.【答案】 

【解析】解：是中边上的高线，
，
，
，
，
故答案为：；
是中边上的高线，
，
，
，
，
，，
，
；
由知，，；
，
，
．
根据垂直的定义得到，根据内角和定理得到，根据角的和差即可得到结论；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
由知，，；根据列方程即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．

24.【答案】；
不一定；
结论：≌．
理由：如图中，作交的延长线于，作交的延长线于．

，
，
，，
≌，
，
，
≌，
，
，，
≌．
 

【解析】解：在和中，
，
≌，
故答案为．
如图中，通过作图，可知与不一定全等．

见答案．
由中的结论可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是直角或钝角，
故答案为．
根据即可判断；
画出图形，可知两个三角形不一定全等．
结论：≌如图中，作交的延长线于，作交的延长线于利用次全等解决问题即可；
利用中结论即可解决问题；
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

25.【答案】 

【解析】解：延长到使得，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
，
故答案为：；

，
理由：由知，≌，
，
；

，，
理由：如图，延长到使得，连接，
由知，≌，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，．
先判断出，进而得出≌，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论；
由知，≌，得出，即可得出结论；
同的方法得出≌，，，进而判断出，进而判断出≌，得出，，即可得出结论．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，三角形三边关系，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．