四川省泸县第四中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸县第四中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据偶次根式要求被开方式大于等于零，求得集合，之后求交集得到结果.
【详解】由，解得，所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有偶次根式有意义的条件，集合的运算，属于基础题目.
2. 已知命题，那么是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，直接判断即可.
【详解】命题，为存在量词命题，其否定为全称量词命题，
所以命题的否定为：,.
故选：B.
3. 不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法可求得解集.
【详解】由可得，即，解得或.
因此，原不等式的解集为.
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
4. 设，且，则（ ）
A. B. 7C. 17D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据f(x)＝ax3＋bx－5，可得g(x)＝f(x)＋5＝ax3＋bx为奇函数，根据f(－7)＝7，求出g(－7)的值，再根据奇函数的性质，求出g(7)的值，进而得到f(7)的值．
【详解】令g(x)＝f(x)＋5＝ax3＋bx，
∵g(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－ax3－bx＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，
∵f(－7)＝7，∴g(－7)＝f(－7)＋5＝12，
又∵g(－7)＝－g(7)，∴g(7)＝－12，
又∵g(7)＝f(7)＋5，∴f(7)＝－17，
故选：D．
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定函数的奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项后得结论．
【详解】函数定义域是，，函数为偶函数，排除AB，
又时，，排除D.
故选：C．
6. 已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得答案.
【详解】由对数函数和指数函数的性质可得，
，
又，则，，
故.
故选：A．
7. 已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可.
【详解】令
由题可知：
则，即
故选：C
8. 已知函数满足，若函数的图像与的图像有4个交点，分别为，，，，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 2a
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得两个函数都关于对称，则可判断交点也关于对称，即可列出式子求出结果.
详解】函数满足，关于对称，
也关于对称，
两个函数的交点关于对称，
不妨设和，和对称，
，则，
.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题的关键是通过关系式或函数解析式判断出函数图象都关于对称，继而利用交点对称求出结果.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】AC选项，不满足偶函数；BD满足偶函数，且根据解析式得到函数在. 单调递增.
【详解】A选项，，故不是偶函数，A错误；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，且在单调递增，满足要求，B正确；
C选项，定义域为R，且，故为奇函数，不合要求，C错误；
D选项，定义域为R，且，故为偶函数，且当时，单调递增，满足要求，D正确.
故选：BD
10. 设，若，则实数的值可以为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先求集合A，然后根据集合间的关系分类讨论计算即可.
【详解】由题，得，因为，所以，
当时，无解，此时，满足题意；
当时，得，所以或，解得或，
综上，实数的值可以为.
故选：ABD
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 函数的最小值为2
C. 若，则D. 函数有最小值2
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，直接利用基本不等式，即可判断A正确；
B选项，将原式化为，利用基本不等式，即可判断B错；
C选项，根据题中条件，得到，展开后利用基本不等式，即可判断C正确；
D选项，根据基本不等式直接计算，结合等号成立的条件，即可判断D错.
【详解】对于A，因为，所以，，所有由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，易知，因为，在上单调递增，所以，所以函数的最小值为，B错误；
对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，而，故D错误
故选：AC.
【点睛】易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12. 已知函数，下列关于函数的结论正确的为（ ）
A. 在定义域内有三个零点B. 函数的值域为
C. 在定义域内为周期函数D. 图象是中心对称图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】将函数变形为，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC，由零点存在定理结合单调性可判断A，由可求出函数的对称点，即可判断D.
【详解】解：由题意知，，
定义域为，
，
所以函数在定义域上单调递增，C不正确；
当时，，则上有一个零点，
当时，，所以在上有一个零点，
当时，，所以在上有一个零点，
当，，所以在定义域内函数有三个零点，A正确；
当，时，，当时，，
又函数在递增，且在上有一个零点，则值域为R，B正确；
，
所以，所以函数图象关于对称，D正确；
故选:ABD.
【点睛】结论点睛:
1、与图象关于x轴对称；
2、与图象关于y轴对称；
3、与图象关于轴对称；
4、与图象关于轴对称；
5、与图象关于轴对称.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则__________；
【答案】
【解析】
【分析】利用指数式化对数式的方法求解即可.
【详解】根据对数定义，，则
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式互化，属于基础题.
14. 已知是上奇函数，当时，，则的值是____．
【答案】
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性求得正确结论.
【详解】依题意是奇函数，
所以.
故答案为：
15. 设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，方程在内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；
【详解】作出函数的大致图象，
令，因为恰有6个不同的实数解，
所以在区间上有2个不同的实数解，
，
解得，
实数的取值范围为．
故答案为：．
16. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由在，上单调递减，可求，，对任意，，总存在，，使得成立，可得，结合二次函数的性质可求
【详解】在，上先减后增
故当时，函数有最小值（1），当时，函数有最大值（3）
故，，
在，上单调递减，故，，
对任意，，总存在，，使得成立，
，
，
解可得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，或.
（1）求；
（2）若，实数的取值范围.
【答案】（1）或，；（2）.
【解析】
【分析】（1）按求并集、补集的运算求解即可；（2）因为，所以有，求解即可.
【详解】（1）∵，或，
∴或，又，
∴；
（2），且，则需，解得，
故实数的取值范围为.
18. 已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求、的值；
（2）若，解不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知、是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值；
（2）将所求不等式变形为，对、的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：原不等式可化为，
由题知，、是方程的两根，
由根与系数的关系得，解得.
【小问2详解】
解：当时，所以原不等式化为，
当时，即时，解原不等式可得；
当时，即时，原不等式即为，解得；
当时，即时，解得，
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求m的值，并出函数的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意首先可以求出，然后根据当时，，且，，从而即可得解，要注意检验.
（2）首先根据二次函数单调性、奇偶性得到的单调性，从而将不等式等价变形为，解不等式组即可得解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
，得，
因为时，，
当时，，且，
函数是定义在上的奇函数，
，
经检验当时，是奇函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
因为时，，所以在上单调递增，
函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，
由，
，
，解得，
即实数a的取值范围.
20. 某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报后立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁森林损失费为60元.
（1）设派名消防员前去救火，用分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）
【答案】20. 与的函数关系式为，的取值范围为
21. 27
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接得出，从而可求出的取值范围；
（2）根据题意得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
由题意知，，即，
易知，所以与的函数关系式为，的取值范围为.
【小问2详解】
设总损失为，则，
当且仅当，即时，有最小值,
所以应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少.
21. 已知函数.
（1）用定义证明是上的增函数.
（2）是否存在m，使得对任意的恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；
（2）令，转化为成立，然后利用二次函数的性质求得的最小值即可.
【小问1详解】
证明：设，
则.
因为，所以，所以.
因为，
所以，即，
则是上的增函数.
【小问2详解】
设，则.
因为，所以.
设，其图象的对称轴方程为.
当时，，即，
解得或，则符合题意；
当时，，即，
解得，则不符合题意；
当时，，即，
解得或，则符合题意.
综上，存在，使得对任意的，恒成立.
22. 已知函数（且）是偶函数.
（1）求的值;
（2）判断函数在的单调性，并用定义证明；
（3）若，且 对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）在上单调递增，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义列方程求解即可；
（2）根据函数单调性的定义判断证明即可；
（3）由函数的单调性和偶函数的性质将将转化为，令，则进一步转化为在时恒成立，然后求出的最大值即可.
【小问1详解】
因为函数（且）是偶函数，
所以，即，
所以，
所以，
因为不一定为零，
所以
【小问2详解】
由（1）得，则在上单调递增，理由如下：
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即，
所以在上单调递增；
【小问3详解】
当时，因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为为偶函数，
所以由，
所以，即，
所以，
令，则，
所以，
所以在时恒成立，
所以，
令，
所以当时，取得最大值，
所以，
所以，且，
所以且，
即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查利用函数单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，解题的关键是利用偶函数的性质和单调性将问题转化为恒成立，从而利用换元法可求得结果，属于较难题.