安徽省芜湖市无为襄安中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案

这是一份安徽省芜湖市无为襄安中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案，共20页。试卷主要包含了 下列方程，是一元二次方程的是， 用配方法解一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握定义进行判断是解题的关键．含有一个未知数，含有未知数的项的最高次数是2，这样的整式方程是一元二次方程．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将一个图形沿着一条直线翻折，直线两边完全重合，则该图形是轴对称图形；一个图形绕一点旋转后与自身完全重合的图形是中心对称图形，根据定义判断．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，正确掌握定义是解题的关键．
3. 用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x﹣2）2＝n的形式，则n的值是（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】方程配方得到结果，即可确定出n的值．
【详解】解：x2﹣4x﹣2＝0，
移项得：x2﹣4x＝2，
配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6，
则n＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接关键二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
【详解】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为：
故选：B
【点睛】本题考查是二次函数的平移，掌握其平移规律是关键，需注意：二次函数平移时必须化成顶点式.
5. 一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，若平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“每次下调后的价格上次价格（1降价的百分率）”列方程即可得．
【详解】由题意，第一次降价后的价格为，
第二次降价后的价格为，
则可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．
6. 若点和关于原点对称，则在第几象限（ ）
A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答得出a，b的值，再利用点的坐标特点确定所在象限即可．
【详解】∵点A（a-2，3）和（-1，b+2）关于原点对称，
∴a-2=1，-3=b+2，
∴a=3，b=-5，
∴点（a，b）即（3，-5）在第四象限．
故选C．
【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系以及确定点的位置，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
7. 如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上，若，则CD的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2AB=4，再根据旋转的性质得AD=AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD=AB=2，然后计算BC−BD即可．
【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，
∴BC=2AB=4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD=AB，
而∠B=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC−BD=4−2=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8. 函数 图象上有三个点分别为，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二次函数的抛物线开口向上，对称轴为，根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．
【详解】解：∵二次函数的解析式（a＞0），
∴该二次函数抛物线开口向上，且对称轴为x＝，
∵，，C（，）为（a＞0）的图象上三个点，，，，
则三点横坐标与对称轴的距离由远及近顺序为：
C（，）、、，
∴三点纵坐标的大小关系为：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
9. 二次函数，的图像与x轴交点的横坐标为m、n，且，则a，b，m，n的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出二次函数与的图像，观察图像即可得到答案．
【详解】解：二次函数与x轴交点的横坐标为a、b，将其图像往下平移2个单位长度可得二次函数的图像，如图所示，
观察图像，可知：，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数图像，依照题意画出图像，利用数形结合解决问题是解题的关键．
10. 若点D为等边内一点，且，，，则此等边三角形ABC的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，利用旋转的性质得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理推出，在中，由勾股定理，即可求等边的面积．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，如下图：
由旋转的性质知，，，，
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，由勾股定理得，，
，
又等边的面积，
等边的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形、勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质，及作出适当的辅助线进行求解．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义把m代入方程中即可得解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 已知，关于原点对称，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据点（a，b）关于原点对称的点是（-a，-b）列出方程，解出x，y的值代入x+y计算即可．
【详解】解：，关于原点对称，
，，
解得：，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标、解一元一次方程，熟知点（a，b）关于原点对称的点是（-a，-b）是解题的关键．
13. α，β为关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值为 _____．
【答案】11
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得出，再根据是一元二次方程的一个根，得出，将原代数式进行适当的变形即可代入计算其值．
【详解】根据一元二次方程根与系数的关系，得：，
∴
∵是一元二次方程的一个根，
∴
∴
故答案为：11．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系与代数式化简求值，解题的关键是对代数式进行适当的变形．
14. 已知关于的二次函数．
（1）若点，在抛物线上，则______（用“”、“”或“”填空）；
（2），是抛物线上的任意两个点，若对于且，都有，则的取值范围为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意求出二次函数的对称轴，然后根据二次函数的对称性求解即可；
（2）根据题意分别当和时两种情况讨论，判断出此时和的大小即可求解．
【详解】（1）∵，
∴抛物线得对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）当时，此时，都有，符合题意；
当时，令时，，不符合题意．
综上所述，．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图像和系数问题，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和系数关系，二次函数的性质．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15. 解下列一元二次方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法或配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：；
【小问2详解】
解：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
∴，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握运用因式分解法、配方法、公式法等方法求解一元二次方程是解题的关键．
16. 如图，在的方格纸中，有，请分别按要求作图．
（1）在图1中，找到一格点，使得与阴影部分组成的新图形为轴对称，但非中心对称图形（作出一个即可）；
（2）在图2中，找到一格点，使得与阴影部分组成的新图形为中心对称，但非轴对称图形（作出一个即可）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）结合轴对称和中心对称图形的性质，取格点，连接，即可．
（2）结合轴对称和中心对称图形的性质，以，为边，作平行四边形即可．
【小问1详解】
解：如图1所示．
【小问2详解】
解：如图2所示．
【点睛】本题考查轴对称、中心对称图形的性质，熟练掌握轴对称和中心对称图形的性质是解答本题的关键．
17. 已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一根．
【答案】（1）见解析 （2），另一个根为．
【解析】
【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可；
（2）把代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∵无论k取何值，，
∴ ，即，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：把代入原方程得，，
∴，
∴原方程化为程，即，
解得：，，
∴另一个根为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
18. 据某社区核酸检测点统计：该检测点7月份使用核酸采样管约1.5万支，9月份使用核酸采样管约2.16万支．求该核酸检测点使用核酸采样管的月平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】设月平均增长率是x，列出方程，解出未知数的值即可．
【详解】解：设月平均增长率是x，
则由题意得方程：，
解得，（不合题意舍去），
答：月平均增长率是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，为增长率问题，若增长率为x，增长前为a，增长后为b，增长次数为n，则有，根据题意列出方程是解答本题的关键．
19. 已知当时，二次函数有最大值5，且图象过点，求：
（1）抛物线的解析式；
（2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
【答案】（1）y＝-8（x−1）2+5；（2）与x轴的交点坐标（1+，0），（1-，0），与y轴的交点坐标．
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标设抛物线顶点式解析式y＝a（x−1）2+5，然后把点（0，−3）代入求出a的值，即可得解；
（2）令y＝0，解关于x的一元二次方程，令x=0，求出y=-3，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵当时，二次函数有最大值5，
∴设抛物线解析式为y＝a（x−1）2+5，
∵抛物线经过点，
∴a（0−1）2+5＝−3，
解得a＝-8，
所以，该抛物线解析式为y＝-8（x−1）2+5；
（2）令y＝0，则-8（x−1）2+5＝0，
解得：x−1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1-，
令x=0，则y=-8（0−1）2+5=-3
所以，该抛物线与x轴的交点坐标（1+，0），（1-，0），与y轴的交点坐标．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点坐标问题，根据顶点坐标，利用顶点式解析式求解更加简便．
20. 如图，在菱形中，，点E在对角线上，将线段绕点C顺时针旋转，得到，连接．
（1）求证：．
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质可得，根据旋转的性质可得，再利用及线段绕点C顺时针旋转，可得，然后利用判定；
（2）由（1）可得，四边形的面积等于的面积，在中以为底构造直角三角形利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出的高，然后求出的面积，即四边形的面积．
【小问1详解】
证明：∵线段绕点C顺时针旋转，得到，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：过点D作垂直的延长线于点G．如图所示，
∵，
∴，，
在中，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质等，解题的关键是构造直角三角形利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出的长．
21. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】面积的最大值为，点P坐标为
【解析】
【分析】建立面积的与点P的坐标的函数关系式，即可求解．
【详解】解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
把点B坐标代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设P的横坐标是，则P的坐标是，
过点P作y轴的平行线交于M，则，

∴，
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大值是，
当时，，
∴点P坐标为．
【点睛】本题考查二次函数与面积问题．根据题意，利用“铅锤高法”建立面积的与点P的坐标的函数关系式是解题关键．
22. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为元/件．试营销阶段发现：当销售单价为元时，每天的销售量为件；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．
（1）写出每天所得销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；并求当x为多少时，有最大值，最大值是多少？
（2）商场的营销部结合上述情况，提出了甲、乙两种营销方案：方案甲：该文具的销售单价高于进价且不超过元；方案乙：每天销售量不少于件，且每件文具的利润至少为元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【答案】（1），有最大值，当时，最大值为；
（2）甲方案最大利润最高．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出函数关系式，再通过配方即可求解；
（2）根据二次函数在自变量取值范围内最值问题即可求解．
【小问1详解】
由题意得：，
，
，
∵，
∴有最大值，当时，最大值为；
【小问2详解】
甲方案最大利润最高，理由如下：
甲方案：，把代入函数表达式，
最大值为，
乙方案：，
解得：，
当时，有最大值为，
∵，
∴甲方案最大利润最高．
【点睛】此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型，注意在自变量的取值范围内求最值．
23. 已知和都是等腰直角三角形，．
（1）如图1，连接，，求证：；
（2）将绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在边上时，求证：；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②或
【解析】
【分析】(1)证明△AMO≌△BNO即可；
(2)①连接BN，证明△AMO≌△BNO，得到∠A=∠OBN=45°，进而得到∠MBN=90°，且△OMN为等腰直角三角形，再在△BNM中使用勾股定理即可证明；
②分两种情况分别画出图形即可求解．
【详解】解：(1)∵和都是等腰直角三角形，
∴，
又，
,
∴，
∴，
∴；
(2)①连接BN，如下图所示：
∴，
，
且，
∴，
∴，，
∴，
且为等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理可知：
，且
∴；
②分类讨论：
情况一：如下图2所示，设AO与NB交于点C，过O点作OH⊥AM于H点，
,为等腰直角三角形，
∴,
在中，,
∴；
情况二：如下图3所示，过O点作OH⊥AM于H点，
,为等腰直角三角形，
∴,
在中，,
∴；
故或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．