2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何01真题赏析类型二圆锥曲线的方程与几何性质

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何01真题赏析类型二圆锥曲线的方程与几何性质，共4页。试卷主要包含了设椭圆C1，已知双曲线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.eq \r(6)
解析：由椭圆C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1可得a2＝2，b2＝1，所以c2＝eq \r(4－1)＝eq \r(3)，
所以椭圆C2的离心率为e2＝eq \f(\r(3),2)，
因为e2＝eq \r(3)e1，所以e1＝eq \f(1,2)，所以eq \f(c1,a1)＝eq \f(1,2)，
所以aeq \\al(2,1)＝4ceq \\al(2,1)＝4(aeq \\al(2,1)－beq \\al(2,1))＝4(aeq \\al(2,1)－1)，
所以a＝eq \f(2\r(3),3)或a＝－eq \f(2\r(3),3)(舍去)．
故选A.
答案：A
2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为________．
解析：法一 如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，
设A(x，y)，则eq \(F2A,\s\up6(→))＝(x－c，y)，eq \(F2B,\s\up6(→))＝(－c，n)，
又eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－c＝\f(2,3)c，,y＝－\f(2,3)n，))可得A(eq \f(5,3)c，
－eq \f(2,3)n)，
又eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，且eq \(F1A,\s\up6(→))＝(eq \f(8,3)c，－eq \f(2,3)n)，eq \(F1B,\s\up6(→))＝(c，n)，
则eq \(F1A,\s\up6(→))·eq \(F1B,\s\up6(→))＝eq \f(8,3)c2－eq \f(2,3)n2＝0，化简得n2＝4c2.
又点A在C上，
则eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(\f(4,9)n2,b2)＝1，整理可得eq \f(25c2,9a2)－eq \f(4n2,9b2)＝1，
代n2＝4c2，可得eq \f(25c2,a2)－eq \f(16c2,b2)＝9，即25e2－eq \f(16e2,e2－1)＝9，
解得e2＝eq \f(9,5)或eq \f(1,5)(舍去)，
故e＝eq \f(3\r(5),5).
法二 由eq \(FA,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(FB,\s\up6(→))，得eq \f(|\(F2A,\s\up6(→))|,|\(F2B,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3)，
设|eq \(F2A,\s\up6(→))|＝2t，|eq \(F2B,\s\up6(→))|＝3t，由对称性可得|eq \(F1B,\s\up6(→))|＝3t，
则|eq \(AF1,\s\up6(→))|＝2t＋2a，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝5t，
设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝eq \f(3t,5t)＝eq \f(3,5)，
所以cs θ＝eq \f(4,5)＝eq \f(2t＋2a,5t)，解得t＝a，
所以|eq \(AF1,\s\up6(→))|＝2t＋2a＝4a，|eq \(AF2,\s\up6(→))|＝2a，
在△AF1F2中，
由余弦定理可得cs θ＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,16a2)＝eq \f(4,5)，
即5c2＝9a2，即e＝eq \f(3\r(5),5).
答案：eq \f(3\r(5),5)
3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x＋m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(\r(2),3) C．－eq \f(\r(2),3) D．－eq \f(2,3)
解析：记直线y＝x＋m与x轴交于M(－m，0)，
椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左，右焦点分别为F1(－eq \r(2)，0)，
F2(eq \r(2)，0)，
由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
所以|－eq \r(2)－xM|＝2|eq \r(2)－xM|，解得xM＝eq \f(\r(2),3)或xM＝3eq \r(2)，
所以－m＝eq \f(\r(2),3)或－m＝3eq \r(2)，所以m＝－eq \f(\r(2),3)或m＝－3eq \r(2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)＋y2＝1，,y＝x＋m，))可得，4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
因为直线y＝x＋m与C相交，所以Δ>0，解得m20)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝eq \f(8,3)
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
解析：直线y＝－eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，可得eq \f(p,2)＝1，所以p＝2，
所以A正确；
抛物线方程为y2＝4x，与C交于M，N两点，
直线方程代入抛物线方程可得：3x2－10x＋3＝0，
xM＋xN＝eq \f(10,3)，
所以|MN|＝xM＋xN＋p＝eq \f(16,3)，所以B不正确；
M，N的中点的横坐标：eq \f(5,3)，中点到抛物线的准线的距离为：1＋eq \f(5,3)＝eq \f(8,3)，
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
3x2－10x＋3＝0，
不妨可得xM＝3，xN＝eq \f(1,3)，yM＝－2eq \r(3)，xN＝eq \f(2\r(3),3)，
|OM|＝eq \r(9＋12)＝eq \r(21)，|ON|＝eq \r(\f(1,9)＋\f(12,9))＝eq \f(\r(13),3)，
|MN|＝eq \f(16,3)，所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．
故选AC.
答案：AC
5．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cs ∠F1PF2＝eq \f(3,5)，则|PO|＝( )
A.eq \f(13,5) B.eq \f(\r(30),2) C.eq \f(19,5) D.eq \f(\r(35),2)
解析：椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1，F1，F2为两个焦点，c＝eq \r(3)，
O为原点，P为椭圆上一点，cs ∠F1PF2＝eq \f(3,5)，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m>n，
可得m＋n＝6，4c2＝m2＋n2－2mncs ∠F1PF2，
即12＝m2＋n2－eq \f(6,5)mn，可得mn＝eq \f(15,2)，m2＋n2＝21，
eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→)))，
可得|PO|2＝eq \f(1,4)(eq \(PF1,\s\up6(→))2＋eq \(PF2,\s\up6(→))2＋2eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)(m2＋n2＋2mncs ∠F1PF2)
＝eq \f(1,4)(m2＋n2＋eq \f(6,5)mn)
＝eq \f(1,4)(21＋eq \f(6,5)×eq \f(15,2))＝eq \f(15,2).
可得|PO|＝eq \f(\r(30),2).
故选B.
答案：B
6．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
解析：双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，
可得c＝eq \r(5)a，所以b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，
一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，圆的圆心(2，3)，半径为1，
圆的圆心到直线y＝2x的距离为：eq \f(|4－3|,\r(1＋4))＝eq \f(1,\r(5))，
所以|AB|＝2 eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(4\r(5),5).
故选D.
答案：D