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适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题5统计与概率第2讲概率随机变量及其分布课件
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这是一份适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题5统计与概率第2讲概率随机变量及其分布课件，共54页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识•精要梳理，关键能力•学案突破，概率的计算公式，概率之和等于1，对点练1，命题角度1条件概率，对点练2，ABD等内容，欢迎下载使用。
(2)互斥事件的概率计算公式:P(A∪B)=P(A)+P(B).(3)对立事件的概率计算公式:P(B)=1-P(A).
对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件
误区警示要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).
2.两种特殊分布(1)超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
名师点析1.超几何分布的模型是不放回抽样,要注意明确其中参数M,N,n的含义.2.二项分布的条件是独立性与重复性.
3.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),可用表格表示.
名师点析1.离散型随机变量的分布列的两个性质:(1)pi≥0(i=1,2,…,n);(2)p1+p2+…+pn=1.
[例1-1] (2023·广西模拟)某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯(如图所示),其中有2头LED灯出现故障.假设每头LED灯出现故障都是等可能的,则这2头出现故障的LED灯相邻(横向相邻或纵向相邻)的概率为( )
[例1-2] (2023·广东深圳一模)安排5名大学生到三家企业实习,每名大学生只去一家企业,每家企业至少安排1名大学生,则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为( )
规律方法古典概型求解的关键点(1)解答古典概型问题,关键是正确求出样本空间Ω包含的样本点个数和事件A包含的样本点个数,常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求样本点个数时,要准确理解样本点的构成.
(1)甲、乙两人进行扑克牌积分比赛.比赛规则为:甲、乙两人先各抽三张扑克牌,每局比赛双方同时各出一张牌,牌大者得2分,牌小者得0分,牌一样大两人各得1分,每张牌只能出一次,共比赛三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛结束后甲得4分的概率为( )
(2)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数列中(其中n为非零自然数),数列{6n-1}中的合数叫阴性合数,其中的素数叫阴性素数;数列{6n+1}中的合数叫阳性合数,其中的素数叫阳性素数.则从30以内的素数中任意取出两个,恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是 .
解析 30以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个.其中阴性素数有5,11,17,23,29共5个,阳性素数有7,13,19共3个.
[例2-2] (2023·北京丰台一模)从-2,-1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数,记“两数之积为正数”为事件A,“两数均为负数”为事件B,则P(B|A)= .
规律方法条件概率的3种求法
(1)现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子,将它们叠成一叠,在已知黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下,黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为( )
(2)(2023·广东六校联考)某公司在某地区对商品A进行调查,随机调查了100位购买商品A的顾客的性别,其中男性顾客18位.已知该地区商品A的购买率为10%,该地区女性人口占该地区总人口的46%.从该地区中任选一人,若此人是男性,则此人购买商品A的概率为 .
解析 设从该地区中任选一人,此人是男性为事件B,此人购买商品A为事件C,则该地区男性人口占该地区总人口的1-46%=54%,
命题角度2 相互独立事件的概率[例2-3] (2023·新高考Ⅱ,12)(多选题)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则下列说法正确的是( )A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
解析 设事件“发送0,收到0”为事件A0,设事件“发送0,收到1”为事件A1,设事件“发送1,收到0”为事件B0,设事件“发送1,收到1”为事件B1.由题知,P(A0)=1-α,P(A1)=α,P(B0)=β,P(B1)=1-β,且事件A0,A1,B0,B1相互独立.对于选项A,所求事件为B1A0B1,所以P(B1A0B1)=P(B1)P(A0)P(B1)=(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)·(1-β)2,所以A正确;对于选项B,所求事件为B1B0B1,所以P(B1B0B1)=P(B1)P(B0)P(B1)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,所以B正确;对于选项C,所求事件为B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1,又P(B1B1B1)=P(B1)P(B1)P(B1)=(1-β)3,所以P(B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1)=(1-β)3+3β(1-β)2,所以C错误;
对于选项D,采用三次传输,事件为A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0,所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)=3α(1-α)2+(1-α)3.采用单次传输,P(A0)=1-α.所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)-P(A0)=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)=(1-α)[3α(1-α)+(1-α)2-1]=(1-α)(α-2α2)=α(1-α)(1-2α).因为0<α<0.5,所以α(1-α)(1-2α)>0.所以发送0,采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率,所以选项D正确.故选ABD.
[例2-4]甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18 解析 前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是P=0.108+0.072=0.18.
规律方法求相互独立事件和n重伯努利试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的“和”事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的“积”事件,然后用概率公式求解.(2)注意辨别n重伯努利试验的基本特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.
对点练3(2022·全国甲,理19)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与均值.
解 (1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为
=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.
(2)依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,所以P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列为
均值E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
命题角度3 全概率公式[例2-5] (2023·辽宁鞍山模拟)某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品,三种产品的生产比例如图所示,且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个,则选到绑带式口罩的概率为( )
解析 由题图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%,20%,10%,记事件A1,A2,A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,所以P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1.又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%,记事件B为“选到绑带式口罩”,则P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.
[例2-6] (2023·湖北七市(州)一调)现有甲、乙两个口袋,其中甲口袋内装有三个1号球,两个2号球和一个3号球;乙口袋内装有两个1号球,一个2号球,一个3号球.第一次从甲口袋中任取1个球,将取出的球放入乙口袋中,第二次从乙口袋中任取一个球,则第二次取到2号球的概率为 .
解析 记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i号球,i=1,2,3.依题意A1,A2,A3两两互斥,其和为Ω,
增分技巧应用全概率公式求概率的步骤(1)根据题意找出完备事件组,即满足全概率公式的Ω的一个划分A1,A2,A3,…,An;(2)用Ai(i=1,2,3,…,n)来表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.
对点练4(2023·广东梅州二模)有一批同规格的产品,由甲、乙、丙三家工厂生产,其中甲、乙、丙工厂分别生产3 000件、3 000件、4 000件,而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%,5%,5%,现从这批产品中任取一件,则(1)取到次品的概率为 ; (2)若取到的是次品,则其来自甲厂的概率为 .
解析 设任取一件产品来自甲厂为事件A1、来自乙厂为事件A2、来自丙厂为事件A3,则彼此互斥,且A1∪A2∪A3=Ω,
命题角度1 超几何分布[例3-1]为了解学生对食堂用餐满意度情况,某兴趣小组按性别采用分层随机抽样的方法,从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分,满分为100分.调查结果显示:最低分为51分,最高分为100分.随后,兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图,图表如下:
男生评分结果的频数分布表
女生评分结果的频率分布直方图
为了便于研究,兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”,二者的对应关系如下表所示.
(1)求a的值;(2)为进一步改善食堂状况,从评分在[50,70)的男生中随机抽取3人进行座谈,记这3人中对食堂“不满意”的人数为X,求X的分布列;(3)以调查结果的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取一名学生,求其对食堂“比较满意”的概率.
解 (1)因为(0.005+a+0.020+0.040+0.020)×10=1,所以a=0.015.(2)依题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为:
(3)设事件A=“随机抽取一名学生,对食堂‘比较满意’”.因为样本人数为200,其中男生共有80人,所以样本中女生共有120人.由频率分布直方图可知,女生对食堂“比较满意”的人数共有120×0.020×10=24,由频数分布表,可知男生对食堂“比较满意”的共有16人.
规律方法求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.
对点练5某中学高一(1)班举行知识竞赛.这次竞赛前21名同学的成绩排序如下:男生 203,204,209,212,216,218,218,222,227,228,229,235,237,238.女生 200+x(0≤x≤9,且x∈Z),212,216,221,228,230,236.已知前7名女生的平均得分为221分.(1)①求x的值;②如果在竞赛成绩高于205分的学生中按性别分层随机抽样抽取6人,再从这6人中任选3人作为下周班会中心发言人,求这3人中有女生的概率.(2)如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会,用X表示4人中成绩超过235分的人数,求X的分布列和均值.
命题角度2 二项分布[例3-2]动车和快速公交(BRT)的出现,方便了人们的出行,并且带动了我国经济的巨大发展.根据统计,2022年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多,为了调查乘客对出行方式的满意度,研究人员随机抽取了500名乘客进行调查,所得情况统计如下所示.
(1)若从样本中任取1人,求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率;(2)记满意为10分,一般为5分,不满意为0分,根据表中数据,计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差;(3)以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率,若从所有乘客中随机抽取4人,记年龄在30~50岁的乘客人数为X,求X的分布列及均值.
规律方法破解有关二项分布的“四关”
对点练6(2023·陕西汉中二模)“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此,某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况,调查数据表明,参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人,并将这200人按年龄(单位:岁)分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这200人的平均年龄(每一组用该组区间的中点值作为代表);(2)现在要从年龄在第1,2组的人员中用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率;(3)用频率估计概率,从所有参与生态文明建设关注调查的人员(假设人数很多,各人是否关注生态文明建设互不影响)中任意选出3人,设这3人中关注生态文明建设的人数为X,求随机变量X的分布列及均值.
解 (1)由小矩形面积和等于1可得(0.01+0.015+a+0.03+0.01)×10=1,解得a=0.035.所以平均年龄为(20×0.01+30×0.015+40×0.035+50×0.030+60×0.010)×10=41.5(岁).
(2)互斥事件的概率计算公式:P(A∪B)=P(A)+P(B).(3)对立事件的概率计算公式:P(B)=1-P(A).
对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件
误区警示要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).
2.两种特殊分布(1)超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
名师点析1.超几何分布的模型是不放回抽样,要注意明确其中参数M,N,n的含义.2.二项分布的条件是独立性与重复性.
3.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),可用表格表示.
名师点析1.离散型随机变量的分布列的两个性质:(1)pi≥0(i=1,2,…,n);(2)p1+p2+…+pn=1.
[例1-1] (2023·广西模拟)某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯(如图所示),其中有2头LED灯出现故障.假设每头LED灯出现故障都是等可能的,则这2头出现故障的LED灯相邻(横向相邻或纵向相邻)的概率为( )
[例1-2] (2023·广东深圳一模)安排5名大学生到三家企业实习,每名大学生只去一家企业,每家企业至少安排1名大学生,则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为( )
规律方法古典概型求解的关键点(1)解答古典概型问题,关键是正确求出样本空间Ω包含的样本点个数和事件A包含的样本点个数,常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求样本点个数时,要准确理解样本点的构成.
(1)甲、乙两人进行扑克牌积分比赛.比赛规则为:甲、乙两人先各抽三张扑克牌,每局比赛双方同时各出一张牌,牌大者得2分,牌小者得0分,牌一样大两人各得1分,每张牌只能出一次,共比赛三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛结束后甲得4分的概率为( )
(2)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数列中(其中n为非零自然数),数列{6n-1}中的合数叫阴性合数,其中的素数叫阴性素数;数列{6n+1}中的合数叫阳性合数,其中的素数叫阳性素数.则从30以内的素数中任意取出两个,恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是 .
解析 30以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个.其中阴性素数有5,11,17,23,29共5个,阳性素数有7,13,19共3个.
[例2-2] (2023·北京丰台一模)从-2,-1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数,记“两数之积为正数”为事件A,“两数均为负数”为事件B,则P(B|A)= .
规律方法条件概率的3种求法
(1)现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子,将它们叠成一叠,在已知黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下,黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为( )
(2)(2023·广东六校联考)某公司在某地区对商品A进行调查,随机调查了100位购买商品A的顾客的性别,其中男性顾客18位.已知该地区商品A的购买率为10%,该地区女性人口占该地区总人口的46%.从该地区中任选一人,若此人是男性,则此人购买商品A的概率为 .
解析 设从该地区中任选一人,此人是男性为事件B,此人购买商品A为事件C,则该地区男性人口占该地区总人口的1-46%=54%,
命题角度2 相互独立事件的概率[例2-3] (2023·新高考Ⅱ,12)(多选题)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则下列说法正确的是( )A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
解析 设事件“发送0,收到0”为事件A0,设事件“发送0,收到1”为事件A1,设事件“发送1,收到0”为事件B0,设事件“发送1,收到1”为事件B1.由题知,P(A0)=1-α,P(A1)=α,P(B0)=β,P(B1)=1-β,且事件A0,A1,B0,B1相互独立.对于选项A,所求事件为B1A0B1,所以P(B1A0B1)=P(B1)P(A0)P(B1)=(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)·(1-β)2,所以A正确;对于选项B,所求事件为B1B0B1,所以P(B1B0B1)=P(B1)P(B0)P(B1)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,所以B正确;对于选项C,所求事件为B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1,又P(B1B1B1)=P(B1)P(B1)P(B1)=(1-β)3,所以P(B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1)=(1-β)3+3β(1-β)2,所以C错误;
对于选项D,采用三次传输,事件为A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0,所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)=3α(1-α)2+(1-α)3.采用单次传输,P(A0)=1-α.所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)-P(A0)=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)=(1-α)[3α(1-α)+(1-α)2-1]=(1-α)(α-2α2)=α(1-α)(1-2α).因为0<α<0.5,所以α(1-α)(1-2α)>0.所以发送0,采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率,所以选项D正确.故选ABD.
[例2-4]甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18 解析 前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是P=0.108+0.072=0.18.
规律方法求相互独立事件和n重伯努利试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的“和”事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的“积”事件,然后用概率公式求解.(2)注意辨别n重伯努利试验的基本特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.
对点练3(2022·全国甲,理19)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与均值.
解 (1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为
=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.
(2)依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,所以P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列为
均值E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
命题角度3 全概率公式[例2-5] (2023·辽宁鞍山模拟)某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品,三种产品的生产比例如图所示,且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个,则选到绑带式口罩的概率为( )
解析 由题图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%,20%,10%,记事件A1,A2,A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,所以P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1.又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%,记事件B为“选到绑带式口罩”,则P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.
[例2-6] (2023·湖北七市(州)一调)现有甲、乙两个口袋,其中甲口袋内装有三个1号球,两个2号球和一个3号球;乙口袋内装有两个1号球,一个2号球,一个3号球.第一次从甲口袋中任取1个球,将取出的球放入乙口袋中,第二次从乙口袋中任取一个球,则第二次取到2号球的概率为 .
解析 记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i号球,i=1,2,3.依题意A1,A2,A3两两互斥,其和为Ω,
增分技巧应用全概率公式求概率的步骤(1)根据题意找出完备事件组,即满足全概率公式的Ω的一个划分A1,A2,A3,…,An;(2)用Ai(i=1,2,3,…,n)来表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.
对点练4(2023·广东梅州二模)有一批同规格的产品,由甲、乙、丙三家工厂生产,其中甲、乙、丙工厂分别生产3 000件、3 000件、4 000件,而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%,5%,5%,现从这批产品中任取一件,则(1)取到次品的概率为 ; (2)若取到的是次品,则其来自甲厂的概率为 .
解析 设任取一件产品来自甲厂为事件A1、来自乙厂为事件A2、来自丙厂为事件A3,则彼此互斥,且A1∪A2∪A3=Ω,
命题角度1 超几何分布[例3-1]为了解学生对食堂用餐满意度情况,某兴趣小组按性别采用分层随机抽样的方法,从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分,满分为100分.调查结果显示:最低分为51分,最高分为100分.随后,兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图,图表如下:
男生评分结果的频数分布表
女生评分结果的频率分布直方图
为了便于研究,兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”,二者的对应关系如下表所示.
(1)求a的值;(2)为进一步改善食堂状况,从评分在[50,70)的男生中随机抽取3人进行座谈,记这3人中对食堂“不满意”的人数为X,求X的分布列;(3)以调查结果的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取一名学生,求其对食堂“比较满意”的概率.
解 (1)因为(0.005+a+0.020+0.040+0.020)×10=1,所以a=0.015.(2)依题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为:
(3)设事件A=“随机抽取一名学生,对食堂‘比较满意’”.因为样本人数为200,其中男生共有80人,所以样本中女生共有120人.由频率分布直方图可知,女生对食堂“比较满意”的人数共有120×0.020×10=24,由频数分布表,可知男生对食堂“比较满意”的共有16人.
规律方法求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.
对点练5某中学高一(1)班举行知识竞赛.这次竞赛前21名同学的成绩排序如下:男生 203,204,209,212,216,218,218,222,227,228,229,235,237,238.女生 200+x(0≤x≤9,且x∈Z),212,216,221,228,230,236.已知前7名女生的平均得分为221分.(1)①求x的值;②如果在竞赛成绩高于205分的学生中按性别分层随机抽样抽取6人,再从这6人中任选3人作为下周班会中心发言人,求这3人中有女生的概率.(2)如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会,用X表示4人中成绩超过235分的人数,求X的分布列和均值.
命题角度2 二项分布[例3-2]动车和快速公交(BRT)的出现,方便了人们的出行,并且带动了我国经济的巨大发展.根据统计,2022年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多,为了调查乘客对出行方式的满意度,研究人员随机抽取了500名乘客进行调查,所得情况统计如下所示.
(1)若从样本中任取1人,求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率;(2)记满意为10分,一般为5分,不满意为0分,根据表中数据,计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差;(3)以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率,若从所有乘客中随机抽取4人,记年龄在30~50岁的乘客人数为X,求X的分布列及均值.
规律方法破解有关二项分布的“四关”
对点练6(2023·陕西汉中二模)“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此,某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况,调查数据表明,参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人,并将这200人按年龄(单位:岁)分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这200人的平均年龄(每一组用该组区间的中点值作为代表);(2)现在要从年龄在第1,2组的人员中用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率;(3)用频率估计概率,从所有参与生态文明建设关注调查的人员(假设人数很多,各人是否关注生态文明建设互不影响)中任意选出3人,设这3人中关注生态文明建设的人数为X,求随机变量X的分布列及均值.
解 (1)由小矩形面积和等于1可得(0.01+0.015+a+0.03+0.01)×10=1,解得a=0.035.所以平均年龄为(20×0.01+30×0.015+40×0.035+50×0.030+60×0.010)×10=41.5(岁).
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