2023-2024学年天津市新华中学高二上学期第二次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市新华中学高二上学期第二次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列an的前4项为：l，−12，13，−14，则数列an的通项公式可能为A. an=1n B. an=-1n C. an=(−1)nn D. an=(−1)n−1n2.已知椭圆C：x216+y29=1，过左焦点F1的直线交C于A，B两点，则△ABF2的周长为(    )A. 12 B. 16 C. 20 D. 323.已知点F是抛物线x2=2py(p>0)的焦点，点M(x0,1)在抛物线上，若|FM|=32，则该抛物线的方程为(    )A. x2=2y B. x2=32y C. x2=y D. x2=12y4.在数列an中，a1=-1，a2=-3，anan+2=-3，记数列an的前n项和为Sn，则S2023=(    )A. −3 B. −1 C. 0 D. 35.已知直线l过点(0,-4)，且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为条(    )A. 0 B. 1 C. 2 D. 36.已知数列an的前n项和为Sn，an+an+2=2an+1，且a1=13，a2=11，则当Sn取得最大值时，n=(    )A. 7 B. 8 C. 9 D. 107.已知an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，an+1=2Sn+2，则a4的值为(    )A. 3 B. 18 C. 54 D. 1528.过双曲线x23−y2=1的右焦点F，作倾斜角为60°的直线l，交双曲线的渐近线于点A、B，O为坐标原点，则△OAB的面积为(    )A. 3 B. 3 C. 3 32 D. 69.已知等差数列an的前n项和为Sn且满足S17>0，S18b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S△BCF2，则椭圆的离心率为          ．三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知数列an满足an+1=an+2n+2，a1=3．(1)证明：数列an−2n为等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn．17.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为 32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A(0,-1)，如果过点B0,35的直线与椭圆交于M，N两点(M,N点与A点不重合)，求证：△AMN为直角三角形．18.(本小题12分)已知等差数列an与正项等比数列bn满足a1=b1=3，且b3−a3，20，a5+b2既是等差数列，又是等比数列．(1)求数列an和bn的通项公式；(2)①令cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和Sn；②若对任意的n∈N*，不等式λSn≥nan+2恒成立，求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式【详解】正负相间用(−1)n−1表示，∴an=(−1)n−1n．故选D．【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．2.【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得△ABF2的周长为4a，从而可求得结果．【详解】由x216+y29=1，得a2=16，得a=4，所以△ABF2的周长为|AB|+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=16．故选：B3.【答案】A 【解析】【解析】根据抛物线的定义直接求出p即可．【详解】由抛物线的定义知，|FM|=1−(−p2)=32，解得p=1，所以抛物线方程为x2=2y，故选：A4.【答案】B 【解析】【分析】列出数列的前几项，即可得到数列的周期性，从而求解．【详解】因为a1=-1，a2=-3，anan+2=-3，所以a3=3，a4=1，a5=-1，a6=-3，a7=3，a8=1，⋯，所以an是以4为周期的周期数列，且a1+a2+a3+a4=0，a2021=a1=-1，a2022=a2=-3，a2023=a3=3，所以S2023=505a1+a2+a3+a4+a1+a2+a3=-1．故选：B5.【答案】D 【解析】【分析】根据直线与抛物线的位置关系判断．【详解】当直线l平行于x轴(即抛物线的)时，直线l与抛物线只有一个公共点，直线l与抛物线的轴不平行时，由于(0,-4)在抛物线的外部(与焦点在不同区域)，因此过点有的抛物线的切线有两条．综上，符合要求的直线l有3条．故选：D．6.【答案】A 【解析】【分析】由题意可得数列{an}为等差数列，求得数列{an}的通项公式为an=15−2n，进而得到当1≤n≤7,n∈N*时，an>0，当n≥8,n∈N*时，an0，当n≥8,n∈N*时，an0,S180，S18=9(a10+a9)0，⋯，S10a100，所以y1+y2=kx1+x2+65=651+4k2，y1y2=k2x1x2+35kx1+x2+925=-100k2−9251+4k2；因为A(0,-1)，所以AM⋅AN=x1,y1+1⋅x2,y2+1=x1x2+y1y2+y1+y2+1=-64k251+4k2−100k2−9251+4k2+651+4k2+1=0所以AM⊥AN，故△AMN为直角三角形得证． 【解析】(1)由2a=4,ca= 32,a2=b2+c2，分别求的a,b,c即可求得椭圆方程；(2)假设直线方程，并联立直线和椭圆方程得到两根之和两根之积，再由向量乘积等于零即可判定三角形为直角三角形．18.【答案】(1)因为b3−a3，20，a5+b2既是等差数列，又是等比数列，所以b3−a3=20=a5+b2，又a1=b1=3，设公差为d、公比为q(q>0)，则3q2−(3+2d)=20(3+4d)+3q=20，解得q=3d=2或q=-72d=558(舍去)，所以an=2n+1，bn=3n；(2)①由(1)可得cn=an⋅bn=(2n+1)×3n，所以Sn=3×31+5×32+7×33+⋯+(2n+1)×3n，3Sn=3×32+5×33+7×34+⋯+(2n+1)×3n+1，所以−2Sn=3×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−(2n+1)×3n+1=9+2×321−3n−11−3−(2n+1)×3n+1=3n+1−(2n+1)×3n+1=-2n×3n+1，所以Sn=n×3n+1；②因为对任意的n∈N*，不等式λSn≥nan+2恒成立，即对任意的n∈N*，不等式λ3n+1≥2n+3恒成立，所以对任意的n∈N*，不等式λ≥2n+33n+1恒成立，令cn=2n+33n+1(n∈N*)，则cn+1−cn=2n+53n+2−2n+33n+1=2n+5−6n−93n+2=−4n−43n+20)，根据等差(等比)数列通项公式得到方程组，求出d、q，即可得解；(2)①由(1)可得cn=(2n+1)×3n，利用错位相减法计算可得；②依题意可得对任意的n∈N*，不等式λ≥2n+33n+1恒成立，令cn=2n+33n+1(n∈N*)，利用作差法判断cn的单调性，即可求出cn的最大值，从而求出λ的取值范围．