考点06 匀变速直线运动常用的两个重要推论（解析版）—高中物理

这是一份考点06 匀变速直线运动常用的两个重要推论（解析版）—高中物理，共11页。


一、平均速度公式的推导与应用
方法一 解析法
在匀变速直线运动中，对于这段时间t，其中间时刻的瞬时速度＝v0＋eq \f(1,2)at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式可得eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋eq \f(1,2)at＝eq \f(2v0＋at,2)＝eq \f(v0＋v0＋at,2)＝eq \f(v0＋v,2)＝，即eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝.
方法二 图像法
0～t时间内的位移x＝eq \f(v0＋v,2)t
平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0＋v,2)
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线的长度，故＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \x\t(v).
二、
位移差公式Δx＝aT2
1．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx＝aT2.
2.推导：如图，x1＝v0T＋eq \f(1,2)aT2，x2＝v1T＋eq \f(1,2)aT2，所以Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2.
同理，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n.
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2总成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 线运动．
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝eq \f(Δx,T2).
1．平均速度公式：eq \x\t(v)＝＝eq \f(v0＋v,2)
(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半．
(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式＝eq \f(x,t)及eq \f(v0＋v,2)＝eq \x\t(v).
2．三个平均速度公式的比较
eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)适用于任何运动；
eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)及eq \x\t(v)＝仅适用于匀变速直线运动．
3.中点位置的瞬时速度公式：＝eq \r(\f(v02＋v2,2)).
(1)推导：如图所示，前一段位移－v02＝2a·eq \f(x,2)，后一段位移v2－＝2a·eq \f(x,2)，所以有＝eq \f(1,2)·(v02＋v2)，即有＝eq \r(\f(1,2)v02＋v2).
(2)适用条件：匀变速直线运动．
(3)中点位置的速度与中间时刻的速度的比较：对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即.
典例1某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上来，于是汽车立即做匀减速直线运动至停下，汽车从开出到停止共用时20 s，运动了50 m，求汽车在上述运动中的最大速度的大小．
答案 5 m/s
解析 由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，设最大速度为vm，则x1＝eq \f(vm,2)t1①
x2＝eq \f(vm,2)t2②由①＋②得x1＋x2＝eq \f(vm,2)(t1＋t2)解得vm＝eq \f(2x1＋x2,t1＋t2)＝5 m/s.
典例2(2022·山西大学附属中学月考)如图，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点．已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段时间相等，均为1 s，则( )
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点在C点的速度大小为9 m/s
D．质点在B点的速度大小为6 m/s
答案 A
解析 质点经过AB、BC、CD段时间相等，均为T＝1 s，由x3－x1＝2aT2得a＝eq \f(x3－x1,2T2)＝
eq \f(13－5,2×12) m/s2＝4 m/s2，故A正确，B错误；由x2－x1＝x3－x2得BC段长度x2＝9 m，vB＝eq \x\t(v)AC＝eq \f(x1＋x2,2T)＝eq \f(5＋9,2×1) m/s＝7 m/s，vC＝eq \x\t(v)BD＝eq \f(x2＋x3,2T)＝eq \f(9＋13,2×1) m/s＝11 m/s，故C、D错误．
1.(2023·江苏·高一期末)如图所示，假设“运－20”起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120 m的测试距离，用时分别为2 s和1 s，则“运－20”的加速度大小是( )
A．35 m/s2 B．40 m/s2
C．45 m/s2 D．50 m/s2
答案 B
解析 第一段的平均速度v1＝eq \f(x,t1)＝eq \f(120,2) m/s＝60 m/s第二段的平均速度v2＝eq \f(x,t2)＝eq \f(120,1) m/s＝120 m/s中间时刻的速度等于平均速度，则a＝eq \f(v2－v1,\f(t1＋t2,2))＝eq \f(120－60,1.5) m/s2＝40 m/s2故选B.
2.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程．假设该战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战斗机起飞前的运动时间为( )
A.eq \f(2x,v) B.eq \f(x,v) C.eq \f(x,2v) D.eq \f(x,4v)
答案 A
解析 由平均速度公式可知x＝eq \f(v,2)t，即t＝eq \f(2x,v)，故A正确，B、C、D错误．
3．一物体从固定斜面上某点由静止开始沿斜面做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经过9 s停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
答案 C
解析 设物体到达斜面底端时的速度为v，则物体在斜面上的平均速度eq \x\t(v)1＝eq \f(v,2)，在斜面上的位移x1＝eq \x\t(v)1t1＝eq \f(v,2)t1在水平地面上的平均速度eq \x\t(v)2＝eq \f(v,2)，在水平地面上的位移x2＝eq \x\t(v)2t2＝eq \f(v,2)t2所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故选C.
4.2019年6月6日，中国科考船“科学”号对马里亚纳海沟南侧系列海山进行考查，船上搭载的“发现”号遥控无人潜水器完成了本航次第10次下潜作业，“发现”号下潜深度可达
6 000 m以上，如图所示．潜水器完成作业后上浮，上浮过程初期可看作匀加速直线运动．今测得潜水器相继经过两段距离为8 m的路程，第一段用时4 s，第二段用时2 s，则其加速度大小是( )
A.eq \f(2,3) m/s2 B.eq \f(4,3) m/s2
C.eq \f(8,9) m/s2 D.eq \f(16,9) m/s2
答案 A
解析 根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于平均速度可知：v1＝eq \f(8,4) m/s＝2 m/s；v2＝eq \f(8,2) m/s＝4 m/s，再根据加速度的定义可知：a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(4－2,3) m/s2＝eq \f(2,3) m/s2.故选A.
5．(多选)(2022·大庆铁人中学高一阶段练习)物体做匀加速直线运动，在某一阶段的平均速度为eq \x\t(v)，下列说法中正确的是( )
A．若该阶段的初速度为v1，末速度为v2，则eq \x\t(v)＝eq \f(v1＋v2,2)
B．若该阶段前一半时间内的平均速度为eq \x\t(v)1，后一半时间内平均速度为eq \x\t(v)2，则eq \x\t(v)＝eq \f(\x\t(v)1＋\x\t(v)2,2)
C．若该阶段的中间时刻的速度为v，则v＝eq \x\t(v)
D．若经过该阶段前一半位移的平均速度为eq \x\t(v)1，后一半位移内平均速度为eq \x\t(v)2，则eq \x\t(v)＝eq \f(\x\t(v)1＋\x\t(v)2,2)
答案 ABC
解析 据匀变速直线运动推论，中间时刻的瞬时速度等于该段时间的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v1＋v2,2)，故A、C正确；设前一半时间和后一半时间均为t，前一半时间t通过的位移x1＝eq \x\t(v)1·t，后一半时间t通过的位移x2＝eq \x\t(v)2·t，全程的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x1＋x2,2t)＝eq \f(\x\t(v)1＋\x\t(v)2,2)，故B正确；设前一半位移和后一半位移均为x，通过前一半位移x所用的时间t1＝eq \f(x,\x\t(v)1)，通过后一半位移x所用的时间t2＝eq \f(x,\x\t(v)2)，全程的平均速度：eq \x\t(v)＝eq \f(2x,t1＋t2)＝eq \f(2\x\t(v)1\x\t(v)2,\x\t(v)1＋\x\t(v)2)，故D错误．
6．光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是( )
A．物体运动全过程中的平均速度是eq \f(L,t)
B．物体在eq \f(t,2)时的瞬时速度是eq \f(2L,t)
C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是eq \f(\r(2)L,t)
D．物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是eq \f(\r(2)t,2)
答案 B
解析 物体运动全过程的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(L,t)，A正确；eq \f(t,2)时，物体的瞬时速度等于全程的平均速度eq \f(L,t)，B错误；若末速度为v，则eq \f(v,2)＝eq \f(L,t)，v＝eq \f(2L,t)，物体运动到斜面中点的瞬时速度＝eq \r(\f(02＋v2,2))＝eq \r(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2L,t)))2,2))＝eq \f(\r(2)L,t)，C正确；设物体加速度为a，到达斜面中点用时t′，则L＝eq \f(1,2)at2，eq \f(L,2)＝eq \f(1,2)·at′2，所以t′＝eq \f(\r(2),2)t，D正确．
7.(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是( )
A．物体的加速度为20 m/s2
B．物体的加速度为25 m/s2
C．CD＝4 m
D．CD＝5 m
答案 BC
解析 由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2，可得： a＝eq \f(BC－AB,T2)＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误．
8．(多选)(2021·濮阳一高高一期中)一个从A点出发做匀变速直线运动的物体，在两段连续相等的时间间隔内通过的位移分别是AB＝12 m和BC＝32 m，已知连续相等的时间间隔为2 s，下列说法正确的是( )
A．物体的初速度为1 m/s
B．物体的加速度为3 m/s2
C．物体的初速度为3 m/s
D．物体的加速度为5 m/s2
答案 AD
解析 根据Δx＝aT2，可得a＝eq \f(BC－AB,T2)＝5 m/s2根据位移时间公式可得AB＝vAT＋eq \f(1,2)aT2 ，vA＝1 m/s，故A、D正确，B、C错误．
9．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( )
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
答案 B
解析 轿车车身总长为4.5 m，则题图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝eq \f(x2－x1,T2)＝eq \f(21－12,22) m/s2＝2.25 m/s2，故选B.
10.(2022·山西大学附属中学月考)如图，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点．已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段时间相等，均为1 s，则( )
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点在C点的速度大小为9 m/s
D．质点在B点的速度大小为6 m/s
答案 A
解析 质点经过AB、BC、CD段时间相等，均为T＝1 s，由x3－x1＝2aT2得a＝eq \f(x3－x1,2T2)＝
eq \f(13－5,2×12) m/s2＝4 m/s2，故A正确，B错误；由x2－x1＝x3－x2得BC段长度x2＝9 m，vB＝eq \x\t(v)AC＝eq \f(x1＋x2,2T)＝eq \f(5＋9,2×1) m/s＝7 m/s，vC＝eq \x\t(v)BD＝eq \f(x2＋x3,2T)＝eq \f(9＋13,2×1) m/s＝11 m/s，故C、D错误．
11.(2023·云南大理·期末质量监测)飞机起飞时从静止开始沿平直轨道向前滑行，经过位移s后离地起飞，该过程视为匀加速直线运动。飞机通过前位移的平均速度大小为，通过后位移的平均速度大小为，则与的比值满足( )
A．B．C．D．
答案 C
解析 设经过位移中点时的瞬时速度为v，末速度为有,解得则,所以.故选C.
12.(2023·安徽马鞍山·高一校考)一辆汽车在公路上沿直线运动，前一半位移的平均速度为，后一半位移的平均速度为，如果汽车全程的平均速度是24km/h，那么等于( )
A．25km/hB．35km/hC．30km/hD．24km/h
答案 C
解析 设前一般位移所用时间为，由平均速度公式解得设后一般位移所用时间为，由平均速度公式解得则汽车全程的平均速度为由以上各式解得,故C正确，ABD 错误.故选C.
13.(2023·河南南阳·高一统考期末)一辆汽车做匀加速直线运动，从A到B速度增量为，位移为x1，从B到C速度增量为，运动的位移为x2，若从C到D（图中未标出）速度增量也为，则汽车从C点运动到D点的位移为( )
A．B．C．D．
答案 B
解析 由加速度的定义式可知，B到C的时间是A到B时间的2倍，设A到B的时间为t，则B到C的时间为2t，C到D的时间也为2t，AB段中间时刻的速度BC段中间时刻的速度则加速度为其中联立解得设C到D的距离为x3，据推论可得联立解得,故选B.
14.一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，求：
(1)质点在第2 s内的位移大小；
(2)质点在第3 s末的速度大小；
(3)质点的加速度大小．
答案 (1)1.5 m (2)2.25 m/s (3)0.5 m/s2
解析 (1)由x3－x2＝x4－x3可知，第2 s内的位移大小x2＝1.5 m；
(2)第3 s末的瞬时速度等于2～4 s内的平均速度，所以v3＝eq \f(x3＋x4,2T)＝2.25 m/s；
(3)由Δx＝aT2，得a＝eq \f(x4－x3,T2)＝0.5 m/s2.
15.从斜面上某一位置每隔0.1 s静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm.求：
(1)小球的加速度的大小；
(2)拍摄时小球在B点时的速度的大小；
(3)拍摄时C、D间的距离xCD；
(4)A点的上方滚动的小球还有几个．
答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2个
解析 (1)由推论Δx＝aT2可知，小球加速度为
a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(xBC－xAB,T2)＝eq \f(20－15×10－2,0.12) m/s2＝5 m/s2.
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即
vB＝eq \f(xAC,2T)＝eq \f(20＋15×10－2,2×0.1) m/s＝1.75 m/s.
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，
所以xCD－xBC＝xBC－xAB，
得xCD＝0.25 m.
(4)设A点处小球的速度为vA，
由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s，
所以A点处小球的运动时间为tA＝eq \f(vA,a)＝0.25 s，
所以在A点的上方滚动的小球还有2个．
16.(多选)(2023·陕西·高一校考期中)如图所示，从斜面上某一位置先后由静止释放四个小球，相邻两小球释放的时间间隔为0.1s，某时刻拍下的照片记录了各小球的位置，测出，，。则( )
A．照片上小球A所处的位置，不是每个小球的释放点
B．C点小球速度是A、D点小球速度之和的一半
C．B点小球的速度大小为1.5m/s
D．所有小球的加速度大小为
答案 AD
解析 ACD．根据，其中则小球的加速度为
a=5m/s2B点的速度等于AC段的平均速度，则有A点小球的速度为
可知小球不是从A点释放，故AD正确，C错误；B．C点是BD段的中间时刻，根据平均速度的推论知，C点小球的速度等于B、D点两球速度之和的一半，故B错误.故选AD.
17.(多选)(2023·全国·专题)如图(a)所示，某同学用智能手机拍摄物块从台阶旁的斜坡上自由滑下的过程，物块运动过程中的五个位置A、B、C、D、E及对应的时刻如图(b)所示。已知斜坡是由长为的地砖拼接而成，且A、C、E三个位置物块的下边缘刚好与砖缝平齐。下列说法正确的是( )
A．物块在由A运动至E的时间为
B．位置A与位置D间的距离为
C．物块在位置D时的速度大小为
D．物块下滑的加速度大小为
答案 CD
解析 A．由图（b）中各个位置对应时刻可知，相邻位置的时间间隔，故AE的时间间隔为，选项A错误；D．而段与段的时间间隔为
又解得选项D正确；C．物块在位置D时速度选项C正确；B．由得物块在A位置速度，则位置A、D间距离为选项B错误.故选CD.
18.(多选)(2023·四川·高一校考期中)如图，一长为L的长方形木块可在倾角为的斜面上以加速度a匀加速下滑，1、2两点间的距离大于L。木块经过1、2两点所用时间分别为和，则下列说法正确的是( )
A．木块通过点2的平均速度为
B．1、2两点间的距离是
C．木块前端从点1到点2所用时间为
D．木块前端从点1到点2所用时间为
答案 AD
解析 CD．设P端通过1后时刻速度为，通过2后时刻速度为，由匀变速运动平均速度的推论有，木块前端P从点1到点2所用时间,D正确，C错误；A．木块通过点2的时间为，经历的位移为L，则木块通过点2平均速度为，A正确；B．木块前端经过点1的速度
木块前端经过点2的速度,1、2两点间的距离
B错误.故选AD.