考点05 初速度为零的匀变速直线运动常用的结论（解析版）—高中物理

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初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n).
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n).
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))．
逆向思维法
匀减速直线运动可看成逆向的匀加速直线运动．特别是对于末速度为零的匀减速直线运动，采用逆向思维法后，速度时间关系式和位移时间关系式变为v＝at，x＝eq \f(1,2)at2，计算更为简便．
典例(2022·江苏省扬州中学月考)如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是( )
A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶2∶3∶4
B．通过各段所用的时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
D．下滑全程的平均速度eq \x\t(v)＝vC
答案 C
解析 物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝eq \r(x)，A错误；通过各段所用时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(2－eq \r(3))，B错误；由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故eq \x\t(v)＝vB，D错误．
1．(多选)一物体由静止开始做匀加速直线运动，第4 s内的位移是14 m，下列说法中正确的是( )
A．第5 s内的位移为18 m
B．前4 s内的位移为32 m
C．物体的加速度为4 m/s2
D．物体在前2 s内的平均速度为2 m/s
答案 ABC
解析 物体做初速度为零的匀加速直线运动，x1∶x2∶x3∶x4∶x5＝1∶3∶5∶7∶9，x5＝eq \f(9,7)x4＝18 m，故A正确；x1＝eq \f(1,7)x4＝2 m，x1＝eq \f(1,2)at12，解得a＝4 m/s2，故C正确；同理，x2＝6 m，x3＝10 m，前4 s内位移x＝x1＋x2＋x3＋x4＝32 m，故B正确；物体在前2 s内的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x1＋x2,t2)＝eq \f(2＋6,2) m/s＝4 m/s，故D错误．
2．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则( )
A．第3 s内的平均速度是3 m/s
B．第1 s内的位移是0.6 m
C．前3 s内的位移是6 m
D．第2 s内的平均速度是1.8 m/s
答案 ABD
解析 第3 s内的平均速度为：eq \x\t(v)3＝eq \f(3,1) m/s＝3 m/s，故A正确；由比例式关系xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5，xⅢ＝3 m．则xⅠ＝0.6 m，xⅡ＝1.8 m，前3 s内的位移x3＝xⅠ＋xⅡ＋xⅢ＝5.4 m，故B正确，C错误；第2 s内的平均速度eq \x\t(v)2＝eq \f(xⅡ,t)＝1.8 m/s，故D正确．
3．(2022·牡丹江一中高一阶段练习)如下图所示，在冰壶比赛中，一冰壶以速度v垂直进入四个相同矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，冰壶通过前三个矩形的时间为t，则冰壶通过第一个矩形区域所需要的时间为( )
A．t B．(eq \r(3)－eq \r(2))t
C．(2－eq \r(3))t D.eq \r(3)t
答案 C
解析 冰壶做匀减速运动至速度为零，运用逆向思维，把冰壶看作从E到A的初速度为零的匀加速直线运动，根据比例式关系可知，冰壶从开始通过连续相等时间内的位移比为1∶3，可知，从E到D的时间和从D到A的时间相等即为t，因为初速度为零的匀加速直线运动中通过连续四段相等位移的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(2－eq \r(3)) ，因此eq \f(tAB,tDE)＝2－eq \r(3)，tDE＝t，则冰壶通过第一个矩形的时间为(2－eq \r(3))t，故选C.
4．质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为( )
A．1∶4∶9 B．1∶3∶5
C．1∶8∶27 D．1∶2∶3
答案 C
解析 初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确．
5.(2020·广东化州市第一中学高一阶段练习)一个物体做初速度为零的匀加速直线运动，比较它在开始运动后第1 s内、第2 s内、第3 s内的运动，下列说法中错误的是( )
A．第1 s、第2 s、第3 s各段时间内最大速度之比是1∶2∶3
B．第1 s、第2 s、第3 s各段时间经历的位移大小之比是1∶3∶5
C．第1 s、第2 s、第3 s各段时间的平均速度之比是1∶3∶5
D．第1 s、第2 s、第3 s各段时间中间时刻的瞬时速度之比是1∶2∶3
答案 D
解析 由于物体做初速度为零的匀加速直线运动，所以其在第1 s、第2 s、第3 s各段时间内最大速度之比即为第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬时速度之比，根据匀变速直线运动的速度公式：v＝v0＋at，可得第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬时速度，即末速度之比为1∶2∶3，A说法正确，不符合题意；根据匀变速直线运动的位移公式：x＝v0t ＋eq \f(1,2)at2，得第1 s内、前2 s内、前3 s内位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，B说法正确，不符合题意；根据匀变速直线运动的平均速度公式：eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝，可得第1 s、第2 s、第3 s各段时间的平均速度之比等于各时间段内的位移之比，也是各时间段中间时刻的瞬时速度之比，由B中分析可知比值为1∶3∶5，C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意．
6.(多选)一颗子弹沿水平直线垂直穿过紧挨在一起的三块木板后速度刚好为零，设木板固定在地面上，子弹运动的加速度大小恒定，则下列说法正确的是( )
A．若子弹穿过每块木板的时间相等，则三块木板厚度之比为1∶2∶3
B．若子弹穿过每块木板的时间相等，则三块木板厚度之比为5∶3∶1
C．若三块木板厚度相等，则子弹穿过每块木板的时间之比为1∶1∶1
D．若三块木板厚度相等，则子弹穿过每块木板的时间之比为(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1
答案 BD
解析 将子弹的运动看成沿相反方向的初速度为0的匀加速直线运动，则位移公式x＝eq \f(1,2)at2，若子弹穿过每块木板时间相等，三块木板厚度之比为5∶3∶1，故A项错误，B项正确；若三块木板厚度相等，由位移公式x＝eq \f(1,2)at2，穿过三块、后边两块、最后一块的时间之比为eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，则子弹穿过每块木板时间之比为(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故C项错误，D项正确．
7.(2021·赣州市赣县第三中学高一期中)在2021年全国跳水冠军赛10米台的比赛中，张家齐和陈芋汐顺利夺冠．若将她们入水后向下的运动视为匀减速直线运动，该运动过程的时间为t.张家齐入水后第一个eq \f(t,4)时间内的位移为x1，最后一个eq \f(t,4)时间内的位移为x2，则eq \f(x1,x2)等于( )
A．1∶7 B．7∶1 C．3∶1 D．8∶1
答案 B
解析 将运动员入水后的运动逆过来可看作初速度为零的匀加速直线运动，根据初速度等于零的匀加速直线运动规律可知，连续相等时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶7…，所以有eq \f(x1,x2)＝7∶1，故A、C、D错误，B正确．
8.(多选)(2023·广安高一·期末)水球可以挡住高速运动的子弹．实验证实：如图所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)( )
A．子弹在每个水球中运动时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1
B．子弹穿过每个水球的时间之比t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1
C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
答案 BD
解析 把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3).则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，故C错误，D正确．子弹从右向左，通过每个水球的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故B正确，A错误．
9．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2.以下说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶eq \r(2)
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶eq \r(2)
答案 B
解析 由初速度为零的匀变速直线运动的比例关系知x1∶x2＝1∶3，由x＝eq \f(1,2)at2知，走完1 m与走完2 m所用时间之比为t1∶t2＝1∶eq \r(2)，又v＝at，可得v1∶v2＝1∶eq \r(2)，B正确．
10．(2023·豫南·期末联考)质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内三段位移之比为( )
A．1∶4∶25 B．2∶8∶7
C．1∶3∶9 D．2∶2∶1
答案 C
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以质点在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内的三段位移之比为1∶3∶9，因此选C.
11．(多选)如图所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是( )
A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2
B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶eq \r(2)
C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶eq \r(2)
D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(eq \r(2)＋1)∶1
答案 BD
解析 方法一 根据匀变速直线运动的速度位移公式：v2＝2ax，解得：v＝eq \r(2ax)，因为经过B、C两点的位移比为1∶2，则通过B、C两点的速度之比为1∶eq \r(2)，故B正确，A错误；设AB段、BC段的长度为L，所经历的时间分别为t1、t2，根据匀变速直线运动的位移时间公式：L＝eq \f(1,2)ateq \\al(12,)和2L＝eq \f(1,2)a(t1＋t2)2，联立可得：eq \f(t1,t2)＝eq \f(\r(2)＋1,1)，故D正确，C错误．
方法二 比例关系：
初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))，所以滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)＝(eq \r(2)＋1)∶1，D正确，C错误；通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)，A错误，B正确．
12.(多选)(2021·莆田一中高一期中)如图所示，港珠澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续梁桥，标记为a、b、c、d、e，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t.( )
A．通过bc段的时间也为t
B．通过ae段的时间为2t
C．汽车通过b、c、d、e的速度之比为1∶2∶3∶4
D．汽车通过b、c、d、e的速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
答案 BD
解析 根据初速度为零的匀加速直线运动规律可知，通过连续相同的位移所用的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))…(eq \r(n)－eq \r(n－1))，通过ab段的时间为t，可得出通过bc时间为(eq \r(2)－1)t，通过ae段的时间为tae＝t＋(eq \r(2)－1)t＋(eq \r(3)－eq \r(2))t＋(2－eq \r(3))t＝2t，故A错误，B正确；根据初速度为零的匀加速直线运动规律可知，汽车通过b、c、d、e的速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，故C错误，D正确．
13.(2022·丽水市高二期末)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕，其中滑雪是冬奥会中的一个比赛大项，如图所示，某滑雪运动员以某一初速度冲上斜面做匀减速直线运动．到达顶端时的速度为零．已知运动员在前四分之三位移中的平均速度大小为v，则运动员整个过程的平均速度为( )
A.eq \f(v,2) B.eq \f(\r(2)v,2) C.eq \f(v,3) D.eq \f(2,3)v
答案 D
解析 将运动员的匀减速运动看作是反向的初速度为零且加速度大小不变的匀加速运动，根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系可知运动员在前四分之三位移和最后四分之一位移所经历的时间相等，均设为t，则由题意可知，v＝eq \f(\f(3,4)s,t)＝eq \f(3s,4t).运动员整个过程的平均速度为v′＝eq \f(s,2t)＝eq \f(2,3)v，故选D.
14．(多选)(2022·高邮市临泽中学月考)水球可以挡住高速运动的子弹．中央电视台《国家地理频道》实验证实：如图所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹可视为在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)( )
A．子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1
B．子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1
C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
答案 BD
解析 把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，故C错误，D正确．子弹从右向左通过每个水球的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故B正确，A错误．
15．(2021·渭南市瑞泉中学高一期中)如图所示，木块A、B、C并排固定在水平地面上，三木块的厚度比为5∶3∶1，子弹以300 m/s的水平速度射入木块A，子弹在木块中运动时加速度恒定，子弹可视为质点且刚好射穿木块C.下列说法正确的是( )
A．子弹刚好射出木块A时的速度为100 m/s
B．子弹在木块A中的运动时间大于在木块B中的运动时间
C．子弹在木块B和C中的运动时间相等
D．子弹在木块A中的平均速度是在木块C中平均速度的2倍
答案 C
解析 子弹的末速度为0，把正方向的匀减速运动看成反方向加速度不变的匀加速运动，则在相等时间内的位移比为1∶3∶5，故子弹在三个木块中的运动时间相等，则由v＝at，可得子弹射出木块A时的速度与子弹的初速度之比为2∶3，故子弹射出木块A时的速度为
200 m/s，故A、B错误，C正确；根据eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)，子弹在木块A中的平均速度是子弹在木块C中平均速度的5倍，故D错误．
16．一观察者站在第一节车厢前端保持静止，当列车从静止开始做匀加速运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)
B．每节车厢经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶n
C．在相等时间内经过观察者的车厢数之比是1∶22∶32∶…∶n2
D．在相等时间内经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…∶n
答案 A
解析 设一节车厢的长度为L，列车的加速度为a，一节车厢通过有v12＝2aL，n节车厢通过有vn2＝2anL，解得vn＝eq \r(n)v1；则每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)，A项正确；由公式x＝eq \f(1,2)at2知，n节车厢经过观察者的时间tn＝eq \r(\f(2nL,a))＝eq \r(n)·eq \r(\f(2L,a))，(n－1)节车厢经过观察者的时间tn－1＝eq \r(\f(2n－1L,a))＝eq \r(n－1)·eq \r(\f(2L,a))，则第n节车厢通过的时间为tn－tn－1＝(eq \r(n)－eq \r(n－1))eq \r(\f(2L,a))，故每节车厢经过观察者的时间之比是1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))，B项错误；根据初速度为零的匀加速直线运动在连续相等时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，得在相等时间内经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)，C、D项错误．
17．(2023·广东东莞·校考期末)一辆汽车以速度v0在平直的路面上行驶，某时刻司机突然发现前方有一警示牌，于是他立即刹车。汽车刹车后第1s内的位移大小为24m，第4s内的位移大小为1m，若将汽车刹车后的运动看作加速度大小为a的匀变速直线运动，忽略司机的反应时间和制动系统的响应时间，则( )
A．B．C．v0＝24m/sD．v0＝28m/s
答案 D
解析 AB．假设汽车第4s末停止运动，则第1s内、第2s内、第3s内、第4s内的位移之比为7：5：3：1，第1s内与第4s内的位移之比为7：1，如果汽车在第4s末未停止运动，则第1s内与第4s内的位移之比小于7：1，根据题意，第1s内与第4s内的位移之比为24：1，说明汽车在第4s末前停止运动，设汽车在第4s内的运动时间为t0，由逆向思维，根据位移公式得,解得,AB错误；CD．汽车的初速度为,C错误，D正确.故选D.
18．(多选)(2023·全国)子弹垂直射入叠在一起的厚度相同，材质相同的木板，穿过第20块木板后速度恰好变为0，可以把子弹视为质点，已知子弹在第一块木板中运动的时间是t，认为子弹在木板中运动的加速度都相同，则( )
A．子弹穿过最后一块木板所用的时间是t
B．子弹穿过前15块木板所用的时间是t
C．子弹穿过第15块所用的时间是
D．子弹穿过最后4块所用的时间是t
答案 BD
解析 A．子弹做匀减速运动穿过第20块木板后速度变为0，运用逆向思维法，子弹反向做初速度为零的匀加速直线运动，设每块木板的厚度为s，则有当n=20时，有穿过第1块木板后n=19，有联立可得
则穿过第1块木板所用的时间为,故A错误；B．穿过前15块木板后n=5，有可得,子弹穿过前15块木板所用的时间是
故B正确；C．子弹穿过第15块所用的时间是故C错误；D．子弹穿过最后4块所用的时间由
可得故D正确；故选BD.