考点03 自由落体运动（解析版）—高中物理

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一、
自由落体运动
1．定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．
2．物体的下落可看作自由落体运动的条件：空气阻力的作用比较小，可以忽略．
二、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示．
2．方向：竖直向下．
3．大小
(1)在地球表面，g值随纬度的增大而逐渐增大．
(2)一般取值：g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2.
三、自由落体运动的规律
1．自由落体运动的性质：自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动．
2．匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动．
3．自由落体运动的速度、位移与时间的关系式：v＝gt，x＝eq \f(1,2)gt2.
一、
对自由落体运动的理解
1．自由落体运动的条件：
(1)从静止开始下落；
(2)下落过程中只受重力．
2．自由落体运动是一种理想化的运动模型，实际物体在空中下落时若空气阻力可以忽略，物体的运动可看成自由落体运动．
二、
对自由落体加速度的理解
1．自由落体加速度的方向
竖直向下
2．自由落体加速度的大小
(1)在同一地点，重力加速度都相同，与物体的质量、大小等因素均无关．
(2)与在地球上的纬度有关
①在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大．更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 ②赤道处重力加速度最小，两极处重力加速度最大，但差别不大．
(3)一般计算中g取9.8 m/s2，粗略计算中g取10 m/s2.
三、
自由落体运动的规律拓展
1．运动性质：初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动．
2.v－t图像是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，斜率k＝g.
3．自由落体运动的基本公式
匀变速直线运动规律eq \(――→,\s\up7(特例))自由落体运动规律
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(v＝v0＋at,x＝v0t＋\f(1,2)at2))eq \(――→,\s\up7(v0＝0),\s\d5(a＝g))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(v＝gt,x＝\f(1,2)gt2))
匀变速直线运动的一切推论公式，如速度位移公式、平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动．
典例1下列关于自由落体运动的说法正确的是( )
A．自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动
B．从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动
C．在空气中下落的雪花的运动是自由落体运动
D．只在重力作用下的运动必定是自由落体运动
答案 A
解析 自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，故A正确；从竖直上升的热气球吊篮中掉下来的物体具有向上的初速度，所以不是自由落体运动，故B错误；在空气中下落的雪花受到的空气阻力不能忽略不计，不是自由落体运动，故C错误；只在重力作用下但初速度不为零的运动不是自由落体运动，故D错误．
典例2(2022·永安一中月考)从离地面500 m处自由落下一个小球，不计空气阻力，取g＝
10 m/s2，求：
(1)小球落到地面需要的时间；
(2)开始下落后第1 s内的位移大小和最后1 s内的位移大小；
(3)下落时间为总时间一半时的位移大小．
答案 (1)10 s (2)5 m 95 m (3)125 m
解析 (1)小球做自由落体运动，根据x＝eq \f(1,2)gt2
可得t＝eq \r(\f(2x,g))＝eq \r(\f(2×500,10)) s＝10 s.
(2)第1 s内的位移
x1＝eq \f(1,2)gt12＝eq \f(1,2)×10×12 m＝5 m
前9 s内的位移
x9＝eq \f(1,2)gt92＝eq \f(1,2)×10×92 m＝405 m
最后1 s内的位移
Δx＝x－x9＝500 m－405 m＝95 m.
(3)t′＝eq \f(t,2)＝5 s
位移x5＝eq \f(1,2)gt′2＝eq \f(1,2)×10×52 m＝125 m.
1．关于自由落体加速度，下列说法正确的是( )
A．物体的质量越大，下落时加速度越大
B．在同一高度同时由静止释放一大一小两个金属球，二者同时着地，说明二者运动的加速度相同，这个加速度就是当地的自由落体加速度
C．北京的自由落体加速度比广东的稍小
D．以上说法都不对
答案 B
解析 自由落体运动是忽略空气阻力的运动，无论质量大小，下落时加速度都是g，选项A错误；在同一高度释放的金属球受到的空气阻力远小于金属球的重力，金属球做自由落体运动，故金属球运动的加速度为当地的自由落体加速度，选项B正确，D错误；北京的自由落体加速度比广东的大，选项C错误．
2．(多选)下列关于重力加速度的说法正确的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向
B．在地球上的不同地方，g的大小一般是不同的，但差别不大
C．在地球上同一地点，轻石块与重石块做自由落体运动的加速度是相同的
D．纬度越低的地方，重力加速度g值越小
答案 BCD
解析 重力加速度是矢量，方向总是竖直向下．地球上同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度都是相同的，地球上不同地方g的大小一般是不同的，但差别不大，纬度越低的地方，g值越小．故选B、C、D.
3．(多选)下图中可以表示物体做自由落体运动的是( )
答案 BC
解析 自由落体运动的速度公式为v＝gt，可知t＝0时v＝0，且v与t成正比，故A错误，B正确．自由落体运动的加速度恒为g，故C正确．由自由落体运动的位移公式x＝eq \f(1,2)gt2可知，x与t2成正比关系，故D错误．
4．在某静止的塔吊顶上操作工人不小心掉落一串钥匙，忽略空气对钥匙的作用力，2 s末钥匙落地，重力加速度g＝10 m/s2，则塔吊顶离地面的高度约为( )
A．20 m B．25 m
C．40 m D．45 m
答案 A
解析 忽略空气对钥匙的作用力，钥匙做自由落体运动，由自由落体运动位移公式，解得钥匙在2 s内下落的高度，即塔吊顶离地面的高度约为h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×22 m＝20 m，A正确，B、C、D错误．
5．物体从某一高度自由落下，到达地面时的速度与在一半高度时的速度之比是( )
A.eq \r(2)∶2 B.eq \r(2)∶1
C．2∶1 D．4∶1
答案 B
解析 由v2＝2gh得v＝eq \r(2gh)，所以v1∶v2＝eq \r(2)∶1，故选B.
6．(2022·霍林郭勒市第一中学高二阶段练习)一物体从H高处自由下落，经时间t落地，则当它下落eq \f(t,2)时，离地面的高度为( )
A.eq \f(H,2) B.eq \f(H,4)
C.eq \f(3,4)H D.eq \f(\r(3),2)H
答案 C
解析 根据自由落体运动规律有H＝eq \f(1,2)gt2，当物体下落eq \f(t,2)时，离地面的高度为h＝H－eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2)))2＝eq \f(3,8)gt2＝eq \f(3,4)H，故选C.
7.(2022·安徽省宣城中学高一阶段练习)人从发现情况到采取相应行动所用的时间叫反应时间．如图，同学甲两个手指捏住刻度尺一端，刻度尺零刻度线一端靠近地面，由于刻度尺零刻度处有破损，同学乙在刻度尺5 cm刻度处做握尺准备，且手的任何部位都与刻度尺不接触．当乙看到甲放手时，立即握住刻度尺，发现所握处刻度值为45 cm，g取10 m/s2，则同学乙的反应时间约为( )
A．0.2 s B．0.3 s C．0.4 s D．0.5 s
答案 B
解析 依题意，同学乙的反应时间内刻度尺做自由落体运动，下落的高度为h＝45 cm－5 cm＝40 cm＝0.40 m，根据自由落体运动公式，有h＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×0.4,10)) s≈0.3 s，故选B.
8．(2021·无锡市高一上期末质量抽检)某物体做自由落体运动，g取10 m/s2，则( )
A．第2 s内的平均速度为10 m/s
B．第3 s内的位移为45 m
C．后一秒内的位移总比前一秒内的位移多5 m
D．后一秒内的平均速度总比前一秒内的平均速度大10 m/s
答案 D
解析 由平均速度公式知第2 s内的平均速度eq \x\t(v)2＝v1.5＝g×1.5 s＝15 m/s，选项A错误；由位移比关系可知x1∶x3＝1∶5，x1＝eq \f(1,2)gt2＝5 m，所以第3 s内的位移为25 m，选项B错误；由Δx＝gt2得，后一秒位移比前一秒位移多10 m，选项C错误；平均速度等于时间中点的瞬时速度，那么前一秒的中间时刻与后一秒的中间时刻的时间差为1 s，即后一秒内的平均速度总比前一秒内的平均速度大10 m/s，选项D正确．
9．(2022·北京新学道临川学校月考)从某一高度相隔1 s释放两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，则在空中任一时刻( )
A．甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差越来越大
B．甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变
C．甲、乙两球距离越来越大，但甲、乙两球速度之差保持不变
D．甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差越来越小
答案 C
解析 根据Δx＝eq \f(1,2)g(t＋1 s)2－eq \f(1,2)gt2＝gt＋eq \f(1,2)g知，t增大，甲、乙两球的距离越来越大，根据Δv＝g(t＋1 s)－gt＝g知，甲、乙两球的速度之差保持不变，故C正确．
10．一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为1 kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第5 s内的位移是18 m，则( )
A．小球在第2 s末的速度是20 m/s
B．该星球上的重力加速度为4 m/s2
C．小球在第5 s内的平均速度是3.6 m/s
D．小球在前5 s内的位移是100 m
答案 B
解析 自由落体运动第1 s内，第2 s内，第3 s内，第4 s内，第5 s内位移之比为x1∶x2∶x3∶x4∶x5＝1∶3∶5∶7∶9，设前5 s的位移为x，则x5＝eq \f(9,25)x＝18 m，解得x＝50 m，由匀变速直线运动的位移公式x＝eq \f(1,2)gt2，解得重力加速度为g＝4 m/s2，小球在第2 s末的速度为v2＝gt2＝8 m/s，B正确，A、D错误；小球在第5 s内的平均速度为eq \x\t(v)5＝eq \f(x5,t5)＝18 m/s，C错误．
11.一小球从距地面某一高度处自由下落，落地时速度大小为20 m/s，不计空气阻力，自由落体加速度g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．小球落地时间为1 s
B．小球开始下落时距离地面的高度为10 m
C．小球在下落过程中的平均速度大小为20 m/s
D．小球在下落的最后1 s内的位移大小为15 m
答案 D
解析 小球落地时间为t＝eq \f(v,g)＝eq \f(20,10) s＝2 s，选项A错误；小球开始下落时距离地面的高度为h＝eq \f(v2,2g)＝20 m，选项B错误；小球在下落过程中的平均速度大小为eq \x\t(v)＝eq \f(h,t)＝10 m/s，选项C错误；小球在下落的最后1 s内的位移大小为h′＝h－eq \f(1,2)gt12＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(1,2)×10×12)) m＝15 m，选项D正确．
12．(多选)甲、乙两物体，m甲＝2m乙，甲从2H高处自由落下，1 s后乙从H(H>1 m)高处自由落下，不计空气阻力，在两物体落地之前，正确的说法是( )
A．同一时刻甲的速度大
B．同一时刻两物体的速度相同
C．各自下落1 m时，两物体速度相同
D．落地之前甲和乙的高度之差不断增大
答案 AC
解析 因为甲、乙物体都做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，甲任意时刻的速度为：v＝gt，乙任意时刻的速度v′＝g(t－1)，所以两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度大于乙的速度，故A正确，B错误；各自下落1 m时，根据速度时间关系公式，有：v2＝2gh，故v＝eq \r(2gh)＝eq \r(2×10×1) m/s＝2eq \r(5) m/s，两物体速度相同，C正确；1 s后，相对于乙物体，甲向下做匀速直线运动，若甲自由下落1 s时甲在乙的上方，则落地之前甲和乙的高度差先减小后增大，若甲自由下落1 s时甲在乙的下方，则落地之前甲和乙的高度之差不断增大，由于不知道题目中H的具体数值，故D错误．
13.(2022·新乡·模拟)某同学在墙前连续拍照时，恰好有一小白色重物从墙前的某一高度处由静止落下，拍摄到重物下落过程中的一张照片如图1所示．由于重物的运动，导致它在照片上留下了一条模糊的径迹．已知每层砖的平均厚度为6.0 cm，这个照相机的曝光时间为2.0×10－2 s，g取10 m/s2，则( )
A．重物下落到A位置时的速度约为60 m/s
B．重物下落到A位置时的速度约为12 m/s
C．重物下落到A位置所需的时间约为0.6 s
D．重物下落到A位置所需的时间约为1.2 s
答案 C
解析 由题图可以看出，在曝光的时间内，重物下降了大约两层砖的厚度，即12 cm(0.12 m)，曝光时间为2.0×10－2 s，所以AB段的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(0.12,2.0×10－2) m/s＝6 m/s.由于曝光时间极短，故重物下落到A位置时的速度约为6 m/s，由v＝gt可得重物下降到A位置所需的时间约为t＝eq \f(v,g)＝eq \f(6,10) s＝0.6 s，故C正确，A、B、D错误．
14．一个物体从45 m高处自由下落(空气阻力不计，g＝10 m/s2)，求：
(1)物体下落所用的时间；
(2)前2 s内物体的平均速度大小；
(3)最后1 s内物体下落的位移大小．
答案 (1)3 s (2)10 m/s (3)25 m
解析 (1)根据h＝eq \f(1,2)gt2得：
t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(90,10))s＝3 s；
(2)前2 s内物体的位移h1＝eq \f(1,2)gt12＝eq \f(1,2)×10×22 m＝20 m，
平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(h1,t1)＝eq \f(20,2) m/s＝10 m/s；
(3)最后1 s内下落的位移为总的位移减去前2 s内的位移，前2 s内的位移为：h1＝20 m
所以最后1 s内的位移为Δh＝h－h1＝45 m－20 m＝25 m.
15.(2023·奉新一中高一期末)如图所示，直杆长l1＝0.5 m，圆筒高l2＝3.7 m．直杆位于圆筒正上方H＝0.8 m处．直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒(g取
10 m/s2)，求：
(1)直杆下端刚到圆筒上端的时间；
(2)直杆穿越圆筒所用的时间．
答案 (1)0.4 s (2)0.6 s
解析 (1)设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1，上端离开圆筒下端的时间为t2，根据自由落体运动规律有H＝eq \f(1,2)gteq \\al(12,)，解得t1＝eq \r(\f(2×0.8,10)) s＝0.4 s.
(2)根据自由落体运动规律有l1＋H＋l2＝eq \f(1,2)gteq \\al(22,)，解得t2＝eq \r(\f(2×0.5＋0.8＋3.7,10)) s＝1 s，
则直杆穿越圆筒所用的时间t＝t2－t1＝0.6 s.
16.(多选)(2023·济宁市期中)小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图1中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d.根据图中的信息，下列判断正确的是( )
A．位置1是小球释放的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
C．小球下落的加速度为eq \f(d,T2)
D．小球在位置3的速度为eq \f(7d,2T)
答案 BCD
解析 小球做自由落体运动，从静止开始运动的连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7…，而题图中位移之比为2∶3∶4∶5…，故位置1不是小球释放的初始位置，选项A错误，B正确．由a＝eq \f(Δx,T2)得a＝eq \f(d,T2)，选项C正确．小球在位置3的速度v3＝eq \f(3d＋4d,2T)＝eq \f(7d,2T)，选项D正确．
17.(多选)(2023·太原·高一期中)如图所示，在一个水平桌面上方有三个金属小球a、b、c，高度分别为h1、h2、h3，且h1∶h2∶h3＝3∶2∶1.若先后由静止依次释放小球a、b、c，三小球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则( )
A．三小球到达桌面时的速度大小之比是3∶2∶1
B．三小球运动时间之比为eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
C．小球b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D．小球b与a开始下落的时间差大于c与b开始下落的时间差
答案 BC
解析 由v2＝2gh，得v＝eq \r(2gh)，则三小球落到桌面时的速度大小之比v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，A错误；又由h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，则三小球运动时间之比t1∶t2∶t3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，B正确；设小球b与a开始下落的时间差为Δt1，小球c与b开始下落的时间差为Δt2，则由B选项的分析可得Δt1∶Δt2＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)，比值小于1，因此小球b与a开始下落的时间差小于小球c与b开始下落的时间差，C正确，D错误．
18.(2023·全国·高一期中)如图所示，有一空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度为H（已知量），筒的轴线竖直.圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球，现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的，小球碰地后的反弹速率为落地速率的，它们与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向.已知圆筒第一次反弹后再次落下，它的底端与小球同时到达地面（在此之前小球未碰过地），此时立即锁住圆筒让它停止运动，小球则继续多次弹跳，重力加速度为g，不计空气阻力，求:
(1)圆筒第一次落地弹起后相对于地面上升的最大高度hmax；
(2)小球从释放到第一次落地所经历的时间t以及圆筒的长度L；
(3)在筒壁上距筒底处装有一个光电计数器，小球每次经过该处计数器就会计数一次，请问，光电计数器的示数最终稳定为几次?
答案 (1)；(2)，；(3)9次
解析 (1)圆筒第一次落地做自由落体运动，有
圆筒第一次落地弹起后到最高点做匀减速运动，可视为初速度为零的匀加速运动，有
联立解得
(2)根据可得圆筒第一次落地的时间
圆筒第一次弹起后到最高点的时间
圆筒第一次弹起后到落地时小球同时到达地面，所以小球从释放到第一次落地所经历的时间
可知小球下落的高度
则圆筒的高度
(3)小球第一次落地时的速度
小球能到达筒壁上距筒底处的速度
设小球最后到达距筒底处与地共碰撞n次，小球每次碰地后的反弹速率为落地速率的，则有
解得n=4次
则光电计数器的示数最终稳定为2n+1=9次