考点02 牛顿第二定律（解析版）—高中物理

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一、牛顿第二定律的表达式
1．内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比、跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同．
2．表达式F＝kma，其中力F指的是物体所受的合力．
二、力的单位
1．力的国际单位：牛顿，简称牛，符号为N.
2．“牛顿”的定义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力叫作1 N，即
1 N＝1 kg·m/s2.
3．公式F＝kma中k的取值
(1)k的数值取决于F、m、a的单位的选取．
(2)在质量的单位取kg，加速度的单位取m/s2，力的单位取N时，F＝kma中的k＝1，此时牛顿第二定律可表示为F＝ma.
三、对牛顿第二定律的理解
(1)公式F＝ma中，若F是合力，加速度a为物体的实际加速度；若F是某一个力，加速度a为该力产生的加速度．
(2)a＝eq \f(F,m)是加速度的决定式，它揭示了物体产生加速度的原因及影响物体加速度的因素．
(3)F、m、a三个物理量的单位都为国际单位制单位时，才有公式F＝kma中k＝1，即F＝ma.
四、牛顿第二定律的四个性质
(1)因果性：力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度．
(2)矢量性：F＝ma是一个矢量式．物体的加速度方向由它受的合力方向决定，且总与合力的方向相同．
(3)瞬时性：加速度与合外力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失．
(4)独立性：作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和．
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1．应用牛顿第二定律解题的一般步骤
(1)确定研究对象．
(2)进行受力分析和运动状态分析，画出受力分析图，明确运动性质和运动过程．
(3)求出合力或加速度．
(4)根据牛顿第二定律列方程求解．
2．应用牛顿第二定律解题的方法
(1)矢量合成法：若物体只受两个力作用，应用平行四边形定则求这两个力的合力，物体所受合力的方向即加速度的方向．
(2)正交分解法：当物体受多个力作用时，常用正交分解法求物体所受的合外力．
①建立直角坐标系时，通常选取加速度的方向作为某一坐标轴的正方向(也就是不分解加速度)，将物体所受的力正交分解后，列出方程Fx＝ma，Fy＝0(或Fx＝0，Fy＝ma)．
②特殊情况下，若物体的受力都在两个互相垂直的方向上，也可将坐标轴建立在力的方向上，正交分解加速度a.根据牛顿第二定律eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fx＝max,Fy＝may))列方程求解．
合外力、加速度、速度的关系
1．力与加速度为因果关系：力是因，加速度是果．只要物体所受的合外力不为零，就会产生加速度．加速度与合外力方向是相同的，大小与合外力成正比(物体质量一定时)．
2．力与速度无因果关系：合外力方向与速度方向可以相同，可以相反，还可以有夹角．合外力方向与速度方向相同时，物体做加速运动，相反时物体做减速运动．
3．两个加速度公式的区别：
a＝eq \f(Δv,Δt)是加速度的定义式，是比值定义法定义的物理量，a与v、Δv、Δt均无关；a＝eq \f(F,m)是加速度的决定式，加速度由物体受到的合外力及其质量决定．
典例1(对牛顿第二定律的理解)(多选)下列对牛顿第二定律的理解正确的是( )
A．由F＝ma可知，m与a成反比
B．牛顿第二定律说明当物体有加速度时，物体才受到外力的作用
C．加速度的方向总跟合外力的方向一致
D．当合外力停止作用时，加速度随之消失
答案 CD
解析 虽然F＝ma，但m与a无关，因a是由m和F共同决定的，即a∝eq \f(F,m)，且a与F同时产生、同时消失、同时存在、同时改变；a与F的方向相同．综上所述，A、B错误，C、D正确．
典例2(对F＝ma及其变形公式的理解)(多选)下列对牛顿第二定律的表达式F＝ma及其变形公式的理解，正确的是( )
A．由F＝ma可知，物体所受的合外力与物体的质量和加速度成正比
B．由m＝eq \f(F,a)可知，物体的质量与其所受的合外力成正比，与其运动的加速度成反比
C．由a＝eq \f(F,m)可知，物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比
D．由m＝eq \f(F,a)可知，物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受到的合外力而求得
答案 CD
解析 牛顿第二定律的表达式F＝ma表明了各物理量之间的数量关系，即已知两个量，可求第三个量，作用在物体上的合外力，可由物体的质量和加速度计算，并不由它们决定，A错误；质量是物体本身的属性，由物体本身决定，与物体是否受力无关，B错误；由牛顿第二定律知加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，m可由其他两量求得，C、D正确．
典例3(合外力、加速度、速度的关系)在粗糙的水平面上，物体在水平推力的作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经过一段时间后，将水平推力逐渐减小到零(物体不停止)，在水平推力减小到零的过程中( )
A．物体的速度逐渐减小，加速度(大小)逐渐减小
B．物体的速度逐渐增大，加速度(大小)逐渐减小
C．物体的速度先增大后减小，加速度(大小)先增大后减小
D．物体的速度先增大后减小，加速度(大小)先减小后增大
答案 D
解析 物体水平方向受力如图所示，因为原来做匀加速直线运动，所以F>Ff，由于运动一段时间，所以物体已有一定的速度，当力F减小时包含以下三个过程：
①开始一段时间：F>Ff，由牛顿第二定律得a＝eq \f(F－Ff,m)，F减小，a减小，但a、v同向，故v增大；
②当F＝Ff时，即F合＝0，a＝0，速度达到最大；
③力F继续减小：F综上所述，a先减小后增大，v先增大后减小，选D.
典例4(牛顿第二定律的应用)如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，小球和车厢相对静止，小球的质量为1 kg，不计空气阻力．(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况；
(2)求悬线对小球的拉力大小．
答案 (1)7.5 m/s2，方向水平向右 车厢可能水平向右做匀加速直线运动或水平向左做匀减速直线运动
(2)12.5 N
解析 解法一 (矢量合成法)
(1)小球和车厢相对静止，它们的加速度相同．以小球为研究对象，对小球进行受力分析如图甲所示，小球所受合力为F合＝mgtan 37°.
由牛顿第二定律得小球的加速度大小为
a＝eq \f(F合,m)＝gtan 37°＝7.5 m/s2，方向水平向右．车厢的加速度与小球的加速度相同，车厢做水平向右的匀加速直线运动或水平向左的匀减速直线运动．
(2)由图甲可知，悬线对小球的拉力大小为FT＝eq \f(mg,cs 37°)＝12.5 N.
解法二(正交分解法)
(1)小球和车厢相对静止，它们的加速度相同．对小球受力分析，建立直角坐标系如图乙所示，正交分解各力，根据牛顿第二定律列方程得
x方向：FTx＝ma
y方向：FTy－mg＝0
即FTsin 37°＝ma
FTcs 37°－mg＝0
解得a＝eq \f(3,4)g＝7.5 m/s2
加速度方向水平向右．车厢的加速度与小球的加速度相同，车厢做水平向右的匀加速直线运动或水平向左的匀减速直线运动．
(2)由(1)中所列方程解得悬线对小球的拉力大小为
FT＝eq \f(mg,cs 37°)＝12.5 N.
1．关于牛顿第二定律，以下说法正确的是( )
A．由牛顿第二定律可知，加速度大的物体所受的合力一定大
B．牛顿第二定律说明了质量大的物体的加速度一定小
C．由F＝ma可知，物体所受到的合力与物体的质量成正比
D．对同一物体而言，物体的加速度与物体所受到的合力成正比，而且在任何情况下，加速度的方向始终与物体所受的合力方向一致
答案 D
解析 加速度是由合力和质量共同决定的，故加速度大的物体所受的合力不一定大，质量大的物体的加速度不一定小，选项A、B错误；物体所受到的合力与物体的质量无关，选项C错误；由牛顿第二定律可知，同一物体的加速度与物体所受的合力成正比，并且加速度的方向与合力方向一致，选项D正确．
2．由牛顿第二定律a＝eq \f(F,m)可知，无论怎样小的力都能使物体产生加速度，可是当用很小的力去推很重的桌子时，却推不动，这是因为( )
A．牛顿第二定律不适用于静止的物体
B．桌子的加速度很小，速度增量也很小，眼睛观察不到
C．推力小于桌子所受到的静摩擦力，加速度为负值
D．桌子所受的合力为零，加速度为零
答案 D
解析 牛顿第二定律的表达式a＝eq \f(F,m)中的力F是指合力，用很小的力推很重的桌子时，桌子不动，是因为推力与桌子所受到的静摩擦力的合力为零，牛顿第二定律同样适用于静止的物体，D正确，A、B、C错误．
3．(多选)(2022·临沂第三中学高一阶段练习)关于牛顿第二定律，下列说法正确的是( )
A．加速度与合力的关系是瞬时对应关系，即a与F同时产生、同时变化、同时消失
B．加速度的方向总是与合外力的方向相同
C．同一物体的运动速度变化越大，受到的合外力也越大
D．物体的质量与它所受的合外力成正比与它的加速度成反比
答案 AB
解析 加速度与力的关系是瞬时对应关系，即a与F同时产生，同时变化，同时消失，故A正确；根据牛顿第二定律得知，加速度的方向总是与合外力的方向相同，故B正确；速度变化大，加速度不一定大，则合外力不一定大，故C错误；质量是物体的固有属性，不随合外力、加速度的变化而变化，故D错误．
4.(2023·濮阳市·高一期末)为了节能，商场安装了智能电动扶梯，如图所示．无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯水平踏板上时，扶梯会先加速、再匀速运转．一顾客乘扶梯上楼，恰好经历了这两个过程．则下列说法中正确的是( )
A．在扶梯加速时，扶梯对顾客的摩擦力方向为水平向右
B．扶梯加速、匀速运转时，对顾客摩擦力方向都为水平向右
C．扶梯对顾客的弹力大小始终等于重力
D．顾客始终受到三个力的作用
答案 A
解析 在扶梯加速运转时，人受重力、支持力、向右的摩擦力以产生向右上方的加速度，当扶梯匀速运转时，人受到的合力为零，摩擦力为零，所以选项A正确．
5．如图所示，在与水平方向成θ角、大小为F的力作用下，质量为m的物块沿竖直墙壁加速下滑，已知物块与墙壁间的动摩擦因数为μ.则下滑过程中物块的加速度大小为(重力加速度为g)( )
A．a＝g－μg
B．a＝g－eq \f(μFcs θ,m)
C．a＝g－eq \f(μFsin θ,m)
D．a＝g－eq \f(Fsin θ＋μFcs θ,m)
答案 D
解析 将F分解可得，物块在垂直于墙壁方向上受到的压力为FN＝Fcs θ，则墙壁对物块的支持力为FN′＝FN＝Fcs θ；物块受到的滑动摩擦力为Ff＝μFN′＝μFcs θ；由牛顿第二定律，得mg－Fsin θ－Ff＝ma，得a＝g－eq \f(Fsin θ＋μFcs θ,m).
6．(多选)力F1单独作用在物体A上时产生的加速度a1大小为5 m/s2，力F2单独作用在物体A上时产生的加速度a2大小为2 m/s2，那么，力F1和F2同时作用在物体A上时产生的加速度a的大小可能是( )
A．5 m/s2 B．2 m/s2
C．8 m/s2 D．6 m/s2
答案 AD
解析 设物体A的质量为m，则F1＝ma1，F2＝ma2，当F1和F2同时作用在物体A上时，合力的大小范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即|ma1－ma2|≤ma≤ma1＋ma2，加速度的大小范围为3 m/s2≤a≤7 m/s2，故选A、D.
7.如图所示，在卸货过程中，自动卸货车静止在水平地面上，车厢倾角θ＝37°时，货箱正沿车厢下滑，已知货箱与车厢间的动摩擦因数为0.5，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，则货箱下滑的加速度大小为( )
A．2 m/s2 B．4 m/s2 C．6 m/s2 D．8 m/s2
答案 A
解析 对货箱受力分析，由牛顿第二定律可得mgsin θ－μmgcs θ＝ma，即加速度为a＝gsin θ－μgcs θ，解得a＝2 m/s2，A正确．
8.如图所示，有一辆载满西瓜的汽车在水平路面上匀速前进．突然发现意外情况，紧急刹车做匀减速直线运动，加速度大小为a，则中间一质量为m的西瓜A受到其他西瓜对它的作用力的大小是(重力加速度为g)( )
A．meq \r(g2－a2) B．ma
C．meq \r(g2＋a2) D．m(g＋a)
答案 C
解析 西瓜与汽车具有相同的加速度a，对西瓜A受力分析如图所示，F表示周围其他西瓜对A的作用力，则由牛顿第二定律得：eq \r(F2－mg2)＝ma，解得：F＝meq \r(g2＋a2)，故C对，A、B、D错．
9.如图所示，A、B两物体叠放在一起，以相同的初速度上抛(不计空气阻力)．下列说法正确的是( )
A．在上升和下降过程中A对B的压力一定为零
B．上升过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
C．下降过程中A对B的压力大于A物体受到的重力
D．在上升和下降过程中A对B的压力等于A物体受到的重力
答案 A
解析 以A、B整体为研究对象：在上升和下降过程中仅受重力，由牛顿第二定律知加速度大小为g，方向竖直向下．再以A为研究对象：因加速度大小为g，方向竖直向下，由牛顿第二定律知A所受合力为A的重力，所以A仅受重力作用，即A和B之间没有作用力，故选A.
10.三个完全相同的物块1、2、3放在水平桌面上，它们与桌面间的动摩擦因数均相同．现用大小相同的外力F沿图所示方向分别作用在1和2上，用eq \f(1,2)F的外力沿水平方向作用在3上，使三者都做加速运动，分别用a1、a2、a3表示物块1、2、3的加速度，则( )
A．a1＝a2＝a3 B．a1＝a2，a2>a3
C．a1>a2，a2a2，a2>a3
答案 C
解析 对物块1，由牛顿第二定律得Fcs 60°－Ff＝ma1，即eq \f(F,2)－μ(mg－Fsin 60°)＝ma1，对物块2，由牛顿第二定律得Fcs 60°－Ff′＝ma2，即eq \f(F,2)－μ(mg＋Fsin 60°)＝ma2，对物块3，由牛顿第二定律得eq \f(1,2)F－Ff″＝ma3，即eq \f(F,2)－μmg＝ma3，比较得a1>a3>a2，所以C正确．
11.质量为40 kg的物体放在水平面上，某人用绳子沿着与水平方向成37°斜向上的方向拉着物体向右前进，绳子的拉力为200 N，已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6.
(1)求此时物体的加速度；
(2)若在拉的过程中突然松手，求松手后的运动过程中物体的加速度．
答案 (1)0.5 m/s2，方向水平向右 (2)5 m/s2，方向水平向左
解析 (1)在拉力作用下，物体受力如图甲：由牛顿第二定律得：
Fcs 37°－μ(mg－Fsin 37°)＝ma1，
解得a1＝0.5 m/s2，方向水平向右；
(2)松手后，物体受力如图乙：
由牛顿第二定律得：
μmg＝ma2，解得a2＝5 m/s2，方向水平向左．
12.如图所示，一个物体从固定斜面的顶端由静止开始下滑，斜面倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2.
(1)若斜面光滑，则物体下滑过程的加速度是多大？
(2)若斜面不光滑，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),6)，物体下滑过程的加速度又是多大？
答案 (1)5 m/s2 (2)2.5 m/s2
解析 (1)若斜面光滑，物体只受重力和斜面的支持力，重力沿斜面向下的分力为物体受到的合外力．
根据牛顿第二定律得：mgsin θ＝ma1
所以a1＝gsin θ＝10×eq \f(1,2) m/s2＝5 m/s2
(2)若斜面不光滑，物体受重力、支持力和摩擦力，重力沿斜面向下的分力和摩擦力的合力为物体受到的合外力，根据牛顿第二定律得
mgsin θ－Ff＝ma2
FN＝mgcs θ
Ff＝μFN
联立解得：a2＝gsin θ－μgcs θ＝2.5 m/s2.
13.如图，质量为m＝5 kg的小球穿在斜杆上，斜杆与水平方向的夹角为θ＝37°，球恰好能在杆上匀速向下滑动．若球受一大小为F＝200 N的水平推力作用，可使小球沿杆向上加速滑动，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)
(1)小球与斜杆间的动摩擦因数μ的大小；
(2)小球沿杆向上加速滑动时的加速度大小．
答案 (1)0.75 (2)2 m/s2
解析 (1)小球匀速向下滑动时，受力分析如图甲，由平衡条件得，平行于杆方向：mgsin θ＝Ff1
垂直于杆方向：FN1＝mgcs θ
又Ff1＝μFN1，联立解得：μ＝0.75
(2)水平推力F作用后，对小球受力分析，如图乙，
平行于杆方向：Fcs θ－mgsin θ－Ff2＝ma
垂直于杆方向：FN2＝Fsin θ＋mgcs θ
又Ff2＝μFN2，联立解得a＝2 m/s2.
14.如图所示，电梯与水平面夹角为30°，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的eq \f(6,5)倍，已知重力加速度为g，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？
答案 eq \f(\r(3),5)
解析 对人进行受力分析：受重力mg、支持力FN、摩擦力Ff(摩擦力的方向一定与接触面平行，由加速度的方向可推知Ff水平向右)建立直角坐标系：取水平向右(即Ff方向)为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，此时只需分解加速度，其中ax＝acs 30°，ay＝asin 30°(如图所示)
由牛顿第二定律得
x方向：Ff＝macs 30°
y方向：FN－mg＝masin 30°
由牛顿第三定律知FN＝eq \f(6,5)mg，联立解得eq \f(Ff,mg)＝eq \f(\r(3),5).
15.(多选)(2023·湖南·统考高考真题)如图，光滑水平地面上有一质量为2m的小车在水平推力F的作用下加速运动.车厢内有质量均为m的A、B两小球，两球用轻杆相连，A球靠在光滑左壁上，B球处在车厢水平底面上，且与底面的动摩擦因数为μ，杆与竖直方向的夹角为θ，杆与车厢始终保持相对静止假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.下列说法正确的是( )
A．若B球受到的摩擦力为零，则
B．若推力向左，且，则的最大值为
C．若推力向左，且，则的最大值为
D．若推力向右，且，则的范围为
答案 CD
解析 A．设杆的弹力为N，对小球A：竖直方向受力平衡，则杆水平方向的分力与竖直方向的分力满足，竖直方向，则；若B球受到的摩擦力为零，对B根据牛顿第二定律可得，可得，对小球A、B和小车整体根据牛顿第二定律.A错误；B．若推力向左，根据牛顿第二定律可知加速度向左，小球A所受向左的合力的最大值为,对小球B，由于，小球B受到向左的合力,则对小球A，根据牛顿第二定律可得
对系统整体根据牛顿第二定律,解得.B错误；C．若推力向左，根据牛顿第二定律可知加速度向左，小球A向左方向的加速度由杆对小球A的水平分力提供，小球A所受向左的合力的最大值为,小球B所受向左的合力的最大值
由于可知
则对小球B，根据牛顿第二定律对系统根据牛顿第二定律联立可得的最大值为.C正确；D．若推力向右，根据牛顿第二定律可知系统整体加速度向右，由于小球A可以受到左壁向右的支持力，理论上向右的合力可以无限大，因此只需要讨论小球B即可，当小球B所受的摩擦力向左时，小球B向右的合力最小，此时,当小球所受摩擦力向右时，小球B向右的合力最大，此时,对小球B根据牛顿第二定律,,对系统根据牛顿第二定律,代入小球B所受合力分范围可得的范围为.D正确.故选CD.