【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数压轴题专题训练（含解析）

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(1)求抛物线解析式及B点坐标；
(2)的解集是________；
(3)若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．
2．如图，已知二次函数的图象过点，交轴坐标轴于点，交轴于点，

(1)填空：______，______；
(2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为，求的长：
(3)在同一坐标系中画出直线，并直接写出当在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
3．已知点，，，在二次函数的图象上，且满足．

(1)如图，若二次函数的图象经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，此时二次函数图象的顶点为点，求；
③在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，求出此时点、的坐标；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，点，在对称轴的异侧，则的取值范围为 ．
4．如已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点
(1)求二次函数的表达式及点坐标；
(2)点是二次函数图象上位于第三象限内的动点；求面积最大时点的坐标；
(3)点是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点的坐标．（不写求解过程）
5．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为点、点（点在点的左侧）．
(1)求、两点的坐标；
(2)利用函数图像，直接写出当取何值时，函数值？
(3)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(4)当取何值时，随的增大而减小？
6．如图，抛物线与直线的两个交点分别为，．
(1)求a，b，c的值；
(2)连接，求的面积；
(3)点P在y轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标．
7．如图，已知抛物线与x轴交于点和点A，与y轴交于点C，作直线．

(1)求a的值．
(2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值；
(3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值．
8．如图，抛物线与直线交于B、C两点，其中，抛物线与x轴另一交点坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线上直线上方一点，连接、，求四边形面积的最大值以及此时的点坐标；
(3)将抛物线向左平移个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，点E是新抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点F使得以B、C、E、F构成的四边形是菱形，若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．
9．如图1，已知抛物线与x 轴交于 A，B 两点(A在 B 的右侧)，交y轴于点 C．

(1)直接写出的中点 D 的坐标；
(2)直线(k，b为常数)过的中点，与抛物线交于E，F(E在 F的右侧)，若点E，A的水平距离与点 F，B的水平距离相等，求 k 的值；
(3)如图2，将抛物线向右平移得到过原点的抛物线，抛物线的对称轴为直线l，直线(m，n为常数，且)与抛物线有唯一公共点 P，且与直线l交于点 M，点 M关于x轴的对称点为N，于Q，求线段 的长．
10．已知抛物线经过点，与y轴交于点C．

(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，线段的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点G，使的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的值最小，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上找到一点Q，使是等腰三角形．请直接求出Q点坐标．
12．如图，已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，且与x轴交于A，B两点，C为第四象限抛物线上一动点，连接，作轴于D，设C点横坐标为m．

(1)求A、B两点坐标；
(2)求的最大值；
(3)当时，
①在抛物线上找一点N，使的内心在x轴上，求点N的坐标；
②M是抛物线对称轴上一动点，在①的条件下，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和两点，与y轴交于，对称轴为直线，连接，在直线上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，

(1)求抛物线与直线的函数解析式；
(2)设点M的坐标为，求的最大值；
(3)若点P在线段上运动，则是否存在这样的点P，使得与相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．
14．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点且，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一点M，连接，以M为旋转中心顺时针旋转后，点C的对应点恰好落在抛物线上，求点M坐标；
(3)如图2，点D是抛物线顶点，点P是抛物线上一点，连接交于H，当时，求点P的坐标．
15．如图1，抛物线与轴交于、两点且，与轴交于点．

(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一点，连接，以为旋转中心顺时针旋转后，点的对应点恰好落在抛物线上，求点坐标；
(3)如图2，点是抛物线顶点，点是抛物线上一点，连接，交于，当时，求点的坐标．
16．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线过点，点，点，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上方二次函数图象上一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在直线l上，求直线的解析式；
(3)若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
18．如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．

(1)求抛物线的解析式及点坐标；
(2)如图1，连接，在对称轴上找一点，且点在第一象限内，使得是以为底角的等腰三角形，求点的坐标；
(3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值．
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为，经过A点的直线交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)点M为直线上方抛物线上一点，求当四边形的面积最大时M点的坐标，及最大的面积．
(3)点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，是否存在点P，使得以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来；如果不存在，请说明理由．
20．抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______；
(2)连接，若，求点P的坐标；
(3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)； ．
(2)
(3)或或或．
【分析】（1）先根据已知条件确定A点、C点的坐标，然后再代入抛物线即可求解即可；然后令即可确定点B的坐标；
（2）根据抛物线与直线的交点坐标和函数图像即可解答；
（3）先设动点M的坐标，再根据两个三角形的面积关系列方程即可解答即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A，C两点，
∴，
∵抛物线经过A，C两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为．
当时，．解得．
所以B点坐标为．
答：抛物线解析式为；B点坐标为．
（2）解：观察图象可知：的解集是．
故答案为．
（3）解：设，
∵．
∴，
∴．
∴或，
∴或．
∴M点的坐标为或或或．
答：此时点M的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点等知识点，综合运用相关知识是解决本题的关键．
2．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入解析式，即可得出，进而令得出点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
（2）根据题意，得出的坐标，进而勾股定理即可求解．
（3）按照函数解析式运用描点法画出图象，观察二次函数与一次函数图象，找到一次函数值高于二次函数值的部分，其对应自变量即是x取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，
∴，
令，则
解得：，
∴，另一个交点坐标为，
∴，
故答案为：，．
（2）解：由（1）可得，
由，
令，则，
∴
∴
（3）解：，
当，当
过点画出一次函数，
一次函数与二次函数图象如图，

观察函数图象，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，勾股定理，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答关键．
3．(1)①；②；③，或，
(2)
【分析】（1）①把点代入解析式中，计算a值即可．
②根据，得到点，是对称点，得到，结合，确定点，的坐标分别求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
③根据最低点的纵坐标为，得到，求得，再分点，在对称轴左侧和右侧两种情况求解即可．
（2）根据二次函数得到顶点，判定函数最大值为2，结合最大值与最小值的差为4，确定函数的最小值为，根据函数的增减性分类计算即可．
【详解】（1）解：①二次函数的图象经过点，
，
．
二次函数的表达式为：．
答：二次函数的表达式为：．
②，
，关于抛物线的对称轴对称，
对称轴是直线，顶点为，且，

，
，解得，
，，，，
，，
，
答：值为．
③在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，
或，
当，在对称轴左侧时，
抛物线随的增大而增大，且，在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，
，，
当时，，
，；
当，在对称轴右侧时，

抛物线随的增大而减小，且，在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，
，，
当时，，
，．
综上，，或，．
答：，或，．
（2）二次函数，顶点为，函数的最大值为2，
当时，如图，

最大值与最小值的差为4，
，
设，的对称点为，，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
，，
根据题意得，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
解得；
当时，如图，

最大值与最小值的差为4，
，
设，的对称点为，，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
，，
根据题意得，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
解得；
综上，的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的对称性，增减性，最值，面积问题，熟练掌握二次函数的性质和最值是解题的关键．
4．(1)二次函数的表达式为，点坐标为．
(2)
(3)在二次函数图象上是存在点．使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：，，．
【分析】（1）依题意，，在二次函数图像上，故将两点坐标代入，得到，由此得到二次函数的表达式为，令，解一元二次方程，得到点坐标为．
（2）连接，，由题意点到直线的距离取得最大，推出此时的面积最大，过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，则，推出，利用二次函数的性质求出结果；
（3）根据题意，分两种情况，是平行四边形的边或对角线进行求解．
【详解】（1）解：由题意，
将，代入中，
得，
解得，
二次函数的表达式为，
令，解一元二次方程，
得，，
故点坐标为．
（2）如图，连接，，
点到直线的距离最大时，的面积最大，
由，，知，
直线的解析式为，
过点作轴垂线，交于点，
设，则，
点在第三象限，
，，
，
当时，的面积最大，
此时，点坐标为
面积最大时点的坐标为．
（3）解：已知二次函数的表达式为，
∴对称轴为，
∵点在对称轴上，
∴点的横坐标为，
已知，，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
情况一：如图，当为平行四边形的对角线时，
点是二次函数图象对称轴上的点，点是二次函数图像上的点，
根据平行四边形的性质，点、点关于轴对称，点、点关于轴对称，
点在二次函数图像上顶点的位置，
故点的坐标为；
情况二：如图，当为平行四边形的边时，
点是二次函数图象对称轴上的点，点是二次函数图像上的点，
根据平行四边形的性质，点、点只能在轴上方，
且，，
对称轴，
点的横坐标为或，
将横坐标代入中，
点的纵坐标都为，
或；
综上，满足条件的点的坐标为，，．
【点睛】本题考查了二次函数与图形的综合问题，掌握抛物线与轴交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，熟练运用二次函数图象的性质，几何图形的判定和性质，数形结合思想是解答本题的关键．
5．(1)，
(2)
(3)，
(4)
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据其性质解题即可．
（1）令代入即可求出x的值，x的值分别是A、B两点的横坐标．
（2）根据图像可知∶是指x轴下方的图像，根据 A、B两点的坐标即可求出x的范围．
（3）根据顶点坐标公式求解即可．
（4）把抛物线化为顶点式就可以求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为点、点（点在点的左侧）．
∴，即，
∴，，
∴，．
（2）根据函数图像，结合（1）得到的点A，点B的坐标，
故当时，．
（3）由抛物线得出：，，，
∴ ，，
∴抛物线的顶点为：，对称轴为：．
（4）∵，
∴对称轴为：
∵，
∴抛物线开口向上．
∴当，随的增大而减小．
6．(1)，
(2)3
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设直线与y轴交于点C，先求出点C的坐标，再根据，即可求解；
（3）设点P的坐标为，可得，根据的面积是面积的2倍，可得，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
把，代入得：
，解得：；
（2）解：如图，设直线与y轴交于点C，
由（1）得：直线的解析式为，
当时，，
∴点，即，
∴；
（3）解：设点P的坐标为，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，即，
解得：或6，
∴点P的坐标为或．
7．(1)
(2)取得最大值为
(3)n的值为或
【分析】（1）把代入求出a的值即可；
（2）设，得出点的纵坐标为，求出直线的解析式为，得出，求出，根据二次函数的最值求出结果即可；
（3）分两种情况进行讨论，分别画出图象，求出n的值即可．
【详解】（1）解：∵拋物线与轴交于点，
∴，
解得：；
（2）解：二次函数解析式为：，
设，
∵轴，
点的纵坐标为，
把代入得，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，开口向下，
当时，取得最大值为；
（3）解：直线向下平移n个单位后的关系式为，
如图，当平移后的直线过点B时，直线与图像G有且只有三个交点，
把代入得：，
解得：；
原抛物线上方折叠到下方的抛物线解析式为：，
当平移后的直线与抛物线相切时，直线与图象G有且只有三个交点，
∴此时方程有两个相等的实数根，
即方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
综上分析可知，n的值为或．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，一次函数解析，二次函数的最值，一次函数图象的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
8．(1)
(2)四边形面积最大值为12；
(3)存在；或或或或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：抛物线过，，
，
解得：，
；
（2）解：过点作于点，交于，过点作于点．
是抛物线与轴交点，
，
解得：，
，

，
解得：，
直线
设，
，
，
则，
当时，四边形面积有最大值12，
此时，点，
四边形面积最大值为12，的坐标为；
（3）解：存在，理由：
平移后的抛物线表达式为：，
故设点，点，点、点，
当为对角线时，由中点坐标公式和得：
，
解得：，
即点的坐标为：；
当或为对角线时，由中点坐标公式和或得：
或，
解得：或或，
故点的坐标为：或或或，
综上，点的坐标为：或或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线方程，四边形的面积、二次函数的平移问题、菱形、中点坐标公式等知识点，利用待定系数法求解方，根据要求几个未知数就得建立几个等式求解，利用分割的思想求四边形的面积、根据“左加右减”解决二次函数平移问题，根据中点坐标公式建立等式求解，使用分类讨论的思想是求解本题的关键．
9．(1)
(2)0或2或
(3)
【分析】（1）分别求出C、A的坐标，再由中点坐标公式求出D点坐标即可；
（2）由，得到，，根据题意可得，再分别求出k的值即可；
（3）根据题意先求出平移后的函数的函数解析式为，则可得，，又由有两个相等的实数根，可得，P（，），Q（，），即可求．
【详解】（1）令，则，
∴．
令，则，
解得或，
∴，，
∴的中点；
（2）∵直线过的中点，
∴，
∴，
∴
∵，
整理得，，
∴，．
∵点E，A的水平距离与点F，B的水平距离相等，
∴，
∴或，
∴时，
则，
时，，
解得或，
综上所述：k的值为0或2或；
（3）∵抛物线向右平移得到过原点的抛物线，
设向右平移h个单位长度，
∴平移后的函数的函数解析式为．
∵抛物线经过原点，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵点M关于x轴的对称点为N，
∴．
∵有两个相等的实数根，
∴x，，
∴P（，），
∵，
∴Q（，），
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根与系数的关系等，理解水平距离与横坐标之间的关系是解题的关键．
10．(1)抛物线解析式为
(2)点P的坐标为
(3)
【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；
（2）连接，由，可得出关于P点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标；
（3）连接交直线于点G，此时，的周长最小．求出直线的解析式，再由，求出点E的坐标，求出直线的解析式，则由两直线的交点可求得G点坐标．
【详解】（1）∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）如图1，连接，设点，其中，四边形的面积为S，

对于，当时，，
∴，
∴
，
，
，
．
∵，开口向下，S有最大值，
∴当时，四边形的面积最大，
此时，，即．
因此当四边形的面积最大时，点P的坐标为．
（3），
∴顶点的坐标为．
如图2，连接交直线于点G，此时，的周长最小．

设直线的解析式为，且过点，
∴，
∴直线的解析式为y3．
在中，2．
∵D为的中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,点为的中点，
∴
设直线的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为y．
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题．理解坐标与图形性质；会运用数形结合思想解决数学问题
11．(1)
(2)
(3)或或或；
【分析】（1）先求出A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接，利用对称性可得当三点共线时，最小，即最小，求出直线解析式为，在中，当时，，由此即可得到答案；
（3）设点Q的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时， 三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴；

（3）解：设点Q的坐标为，
∵，
∴，，
，
当时，则，
解得，
∴点Q的坐标为或；
当时，则，
解得，
∴点Q的坐标为；
当时，则，
解得或（舍去，此时三点共线），
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，则，即可求解；
（2）设，由，即可求解；
（3）①作点C关于x轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交于点N，由图形的对称性可知N为所求的点，即可求解；
②当时，列出等式即可求解；当时，同理可解．
【详解】（1）解：（1）∵抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，
∴，
即抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点A、B的坐标分别为：；
（2）解：设点，则，，
∴，
即的最大值为：；
（3）解：当时，点；
①作点C关于x轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交于点N，

设过点A、的直线解析式为：，
则有：，
解得：，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得：（不合题意的值已舍去），
∴；
②存在,
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴设点，
由点A、M、N的坐标得，，，
当时，即，
解得：，
即点M的坐标为：；
当时，则，
解得：，
即点M的坐标为：，
综上，点M的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，第二问中三角形的内角到三边的距离是相等的，可考虑作关于x轴的对称图形，此方法比较简洁，当题目中出现相等的角时，一般要考虑它们的三角函数值相等；第三问注意有两种情况，不要出现遗漏．
13．(1)，
(2)
(3)P点的坐标为或
【分析】（1）先根据二次函数的性质求得，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）由题意，，，求得，由，结合二次函数的性质求解即可；
（3）分，两种情况，利用相似三角形的判定与性质和坐标与图形性质求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵抛物线的对称轴为直线
∴，则
∴
将点，代入，
∴，
解得
∴
设直线的解析式为
将点，代入，
得，解得，
∴；
（2）解：∵点M的坐标为，轴，
∴，，
∴，
∴，
∵当点P在射线上或射线上时，没有最大值，
∴点P在线段上，
∴，
又，
∴，有最大值是；
（3）解：存在这样的点P，使得与相似，理由如下：
∵，，
∴与相似时有两种情况：

①当时，，
过点N作轴交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，，,
∴，
∴，经检验，是分式方程的解，
∴；
②当时，，则轴，
∴N点纵坐标为，
∴，
∴或（舍去），
∴，
综上所述：P点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，分类讨论和添加辅助线构造相似三角形求解是解答的关键．
14．(1)抛物线对称轴为直线；抛物线解析式为
(2)或
(3)
【分析】（1）由公式可得抛物线对称轴为直线，又，可得，，再用待定系数法即得抛物线解析式为；
（2）过M作轴交y轴于K，过作于T'，设，得，证明，有，可得，代入知，即可解得或；
（3）过C作交延长线于K，过K作轴于R，过H作轴于W，求出抛物线顶点，直线解析式为，设H，则，证明，即得，，故，代入可解得，从而直线解析式为，联立，即可解得P的坐标为．
【详解】（1）抛物线对称轴为直线，
∵，
∴，
把代入得：
，
解得，
∴抛物线对称轴为直线，解析式为；
（2）过M作轴交y轴于K，过作于T'，如图：

设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
解得或，
∴或；
（3）过C作交延长线于K，过K作轴于R，过H作轴于W，如图：

∵，
∴抛物线顶点，
由得直线解析式为，
设，则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
解得，
∴，
由得直线解析式为，
联立，解得或，
∴P的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．(1)抛物线的对称轴为，解析式为
(2)或
(3)
【分析】（1）根据抛物线、、，计算求出抛物线的对称轴和解析式即可；
（2）设，过作轴于，过作于，利用证明，得出，，表示出，代入中，得到方程求解，即可得出点的坐标；
（3）延长交轴于点，连接、，根据点、、的坐标，得出、、的长，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，推出，证明，则根据，计算得出点的坐标，设直线的解析式为，把、代入求出完整解析式，和抛物线解析式联立得，计算得出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为，，
∴，，
∴，，
∴把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，
如图，过作轴于，过作于，

又∵连接，以为旋转中心顺时针旋转后，点的对应点恰好落在抛物线上，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∴把代入中，
得：，
解得：，，
∴点坐标为或；
（3）解：如图，延长交轴于点，连接、，

∵抛物线的对称轴为，解析式为，
∴顶点纵坐标，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为，
把、代入得：，
解得：，
∴，
∴，
解得：，
当时，，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，结合全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式等知识点，综合性较强，熟练掌握知识点、作辅助线、数形结合是解题的关键．
16．(1)
(2)的最大值为，
(3)存在，或或或
【分析】（1）待定系数法求抛物线表达式即可；
（2）设的解析式为，待定系数法解得的解析式为；设，则，其中，，由二次函数的图象与性质求解作答即可；
（3）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可．
【详解】（1）解：将和代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设的解析式为，
将和代入得，，
解得，，
∴的解析式为；
点在抛物线上，轴交于点，
设，则，其中，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
此时点的坐标是；
（3）解：由题意知，，
∴平移后函数解析式为，
联立得，
解得，，
∴；
∵为原抛物线对称轴上的一点，
∴设，，
由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：
①当以为边，时，则，为对角线，
∴，，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∵，为对角线，
∴，的中点坐标相同，
∴，
解得，，
∴；
当以为边，当时，则，为对角线，
同理，即，
解得，，
∴，
∵，的中点坐标相同，
∴，
解得，，
∴；
②当以为对角线，时，，为对角线，
∴，，，
由勾股定理得，，即，整理得，，
解得，或，
∴，
当时，
∵，中点相同，
∴，
解得，，
∴；
当时，
∵，中点相同，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，存在点，且或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与线段综合，二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质并分类讨论是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)是定值，值为8
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）由题意知，抛物线对称轴直线，如图1，连接交于，由翻折的性质可知，，为的中点，设，则，，，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），即，则，设直线的解析式为，将，代入，计算求解，然后作答即可；
（3）设，直线的解析式为，将代入得，，解得，，则的解析式为，当时，，则，即，同理可得，，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：将，点，点代入得，
，
解得，，
∴；
（2）解：由题意知，抛物线对称轴直线，
如图1，连接交于，
由翻折的性质可知，，为的中点，
设，则，，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，则，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，，
∴；
（3）解：设，直线的解析式为，
将代入得，
，
解得，，
∴的解析式为，
当时，，
则，即，
同理可得，直线的解析式为，
当时，，
则，即，
∴，
∴的值为定值，定值为8．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键．
18．(1)抛物线表达式为；
(2)点的坐标为或
(3)当时，的最大值是
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，令，求出点坐标；
（2）分，两种情况进行讨论求解；
（3）设，将转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：对称轴为直线，
，，
把代入抛物线表达式，可得：，
抛物线表达式为；
把代入，得，
；
（2）∵对称轴为直线，，
∴设点的坐标为，，
∴，，，
①当时，即，解得；
②当时，同理可得（舍去负值）；
故点的坐标为或；

（3）设，
设，把代入，把代入得，
解得：，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，

过点作于点，则：，
，
，
故当时，的最大值是．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
19．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式
(2)当四边形的面积最大时M点的坐标为，最大的面积为
(3)存在，满足条件的点P的坐标为，，，，并把求其中一个点P的坐标的过程写出来见解析
【分析】（1）根据点B和D的坐标求出二次函数解析式，然后求出点A的坐标，然后运用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）设，过点M作轴，交于点N，则，然后根据列出二次函数，求最值即可；
③分以，为对角线；以，为对角线；以，为对角线三种情况讨论即可．
【详解】（1）解∶∵抛物线经过，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当，则，
解得，，
∴，
设直线的解析式，
则，
解得，
∴直线的解析式；
（2）解：设，过点M作轴，交于点N，则，

∴，
∴
，
∴当时，S有最大值为，
此时M点的坐标为，
∴当M点的坐标为，四边形的面积最大，最大面积为；
（3）解：设，，
①以，为对角线时，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得或（舍去），
∴；
②以，为对角线时，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得或，
∴或；
③以，为对角线时，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得或（舍去），
∴
综上，点P的坐标为，，，时，以A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形等，根据题意列出关于四边形的面积的表达式，运用分类讨论思想解答是解（2）、（3）问的关键．
20．(1)，，
(2)点P的坐标为
(3)点P的坐标为
【分析】（1）令，则，令，则，所以或，由此可得结论；
（2）连接，设，则，列出方程求出m的值，进而可以解决问题；
（3）在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立方程组即可解决问题．
【详解】（1）解：令，则，
令，则，
解得：或，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图，连接，

设，
P是第一象限内抛物线上的一点，
，
则，
，
，
，
，
，即，
解得：或（舍去），
当时，，
∴点P的坐标为；
（3）解：存在点P使得，理由如下：
如图2，在的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，

在中，
，
，
，
，
轴，
，
，
．
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立：，
解得：（舍去）或，
∴点P的坐标为．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数，面积问题，角度的存在性等相关内容，解本题（3）的关键是正确画出辅助线，确定点P的坐标．