《函数的概念与性质》复习题

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《第三章 函数的概念与性质》复习参考题复习巩固1．求下列函数的定义域：（1）；　　　　　（2）．2．已知函数，求：（1）f（a）＋1（a≠－1）； （2）f（a＋1）（a≠－2）．3．设，求证：（1）f（－x）＝f（x）； （2）＝－f（x）（x≠0）．4．已知函数f（x）＝4x2－kx－8在［5，20］上具有单调性，求实数k的取值范围．5．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性．6．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：（1）将利润P（单位：元）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入＝总成本＋利润）综合运用7．已知函数求f（1），f（－3），f（a＋1）的值．8．证明：（1）若f（x）＝ax＋b，则；（2）若g（x）＝x2＋ax＋b，则．9．（1）已知奇函数f（x）在［a，b］上单调递减，那么它在［－b，－a］上单调递增还是单调递减？（2）已知偶函数g（x）在［a，b］上单调递减，那么它在［－b，－a］上单调递增还是单调递减？10．某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）．（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元/（kW·h））的函数解析式；（收益＝实际电量×（实际电价－成本价））（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％？拓广探索11．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？12．试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象．13．如图，△OAB是边长为2 的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数y＝f（t）的解析式，并画出函数y＝f（t）的图象．14．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系．（1）根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式；（2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？答案1．（1）［2，＋∞）． （2）［4，5）（∪5，＋∞）．2．（1）． （2）．3．（1），即f（－x）＝f（x）．（2），即．4．这个二次函数的对称轴为x＝，函数f（x）＝4x2－kx－8在［5，20］上具有单调性，则≥20，或≤5，解得k≥160，或k≤40，即实数k的取值范围为（－∞，40］∪［160，＋∞）．5．f（x）＝．图象如图所示，函数既不是奇函数又不是偶函数，函数在（0，＋∞）上为减函数．6．（1）f（x）＝（2）当0≤x≤400时，f（x）＝（x－300）2＋25 000．所以，当x＝300时，f（x）有最大值25 000；当x＞400时，f（x）＝60 000－100x是减函数，f（x）＜25 000．所以，当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25 000元．7．f（1）＝1×（1＋4）＝5；f（－3）＝－3×（－3－4）＝21；f（a＋1）＝8．（1），所以．（2），因为，即，所以．9．（1）函数f（x）在［－b，－a］上单调递减．（2）函数g（x）在［－b，－a］上单调递减．10．（1）y＝（x－0.3），0.55≤x≤0.75．（2）依题意有×（x－0.3）≥［a（0.8－0.3）］×（1＋20％）且0.55≤x≤0.75．整理得，解得0.60≤x≤0.75，即当电价最低定为0.60元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．11．厂商希望的是甲曲线，客户希望的是乙曲线．12．设y＝f（x），定义域D＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．对于任意的x∈D，f（－x）＝＝f（x），所以函数为奇函数．设x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）．当x1，x2∈（0，＋∞）时，x1x2＞0．又因为x1＜x2，易得f（x1）＜f（x2）．根据单调性定义可得，y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当x1，x2∈（－∞，0）时，x1x2＞0．又因为x1＜x2，易得f（x1）＜f（x2）．根据单调性定义可得，y＝f（x）在（－∞，0）上单调递增．因此，y＝f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都单调递增．图略．13．解析式为图象如图所示．14．（1）由图可以看到这些点近似地在一条直线上，设这条直线为y＝kx＋b，代入两组数据（45，15），（50，0），解得所以y＝－3x＋150（x∈N）．经检验（30，60），（40，30）也在此直线上．所以所求函数解析式为y＝－3x＋150（x∈N）．（2）P＝y（x－30）＝－3（x－40）2＋300，当x＝40时，P有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润．x…30404550…y…6030150…