辽宁省大连市瓦房店市第三初级中学2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份辽宁省大连市瓦房店市第三初级中学2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．以上全对
3．如图，为的直径，、为的弦．若，则的度数是（ ）

A．55°B．60°C．65°D．70°
4．如图，在中，∥，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百步，一只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为800平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多（ ）步？
A．15B．12C．20D．6
7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A．34°B．36°C．38°D．40°
8．如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长是，制作50个这样的烟囱帽至少需要铁皮（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )
A．25°B．20°C．40°D．50°
10．如图，在矩形中，连接，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别交于点，交于点，若，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题13分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．已知函数，当 时，随的增大而减小．
13．如图，为了测量某古城墙的高度，数学兴趣小组根据光的反射定律，把一面镜子放在离古城墙（CD）16m的点P处，然后观测者沿着直线DP后退到点B处．这时恰好在镜子里看到城墙顶端C，并量得BP＝3m．已知观测者目高AB＝1.5m，那么该古城墙（CD）的高度是 m．
14．如图，点、、、在上，点在的内部，四边形为平行四边形，则 ．
15．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ = ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算
(1)．
(2)已知关于的方程，当该方程的一个根为1时，求的值及方程的另一根．
17．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，求截面圆中弦的长．
18．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，，将三角形绕点C按顺时针旋转得到，连接OD，OA
（1）求的度数；
（2）若，，求三角形ADO的面积．
19．如图，四边形中， ，且，E、F分别是、的中点，与交于点M．
(1)求证：；
(2)若，求BM．
20．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如下表所示：
(1)直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式 ；
(2)求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？
(3)销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图，是的直径，点是延长线上一点，切于，过点作（垂足为）交于，于，连．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
22．【发现问题】
某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米，与的数量变化有一定规律．
【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米与距喷水的柱子的水平距离米，与之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
【解决问题】
(1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)结合表中所给数据和所画出的图象，验证前面的抛物线形状的判断，并求出与之间的函数关系式；
(3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问游船在能否顺利通过？说明理由．
(4)如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1m，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留）
23．完成下列各题：
(1)【问题初探】在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点是下方一点，，交于点，求证：．
①如图2，小鹏同学从已知条件出发，得到，，利用一边一等角，以为目标三角形构造全等，得到如下解题思路：在上截取，连接，将线段与的关系，转化为与之间的数量关系．
②如图3，小亮同学仍然在一边一角的基础上，以为目标三角形构造全等，给出另一种解题思路：在的延长线上取点，使，连接，将与的关系转化为与之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
(2)【类比分析】李老师发现之前两名同学都运用了一边一等角，构造全等三角形，为了帮助学生更好地感悟一边一等角的构造思想，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图，中，是延长线上一点，且，以为边做，使，．求证：．
(3)【学以致用】如图3，在中，是上一点，，延长至，使，点在上，，，若，，求的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．C
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，先求出一元二次方程的判别式，即可确定根的情况，得到答案．
【详解】解：，
即，
方程有两个相等的实数根，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧上的圆周角相等，计算即可．
【详解】如图，连接,
∵为的直径，
∴
∵，
∴

故选A．
4．D
【分析】首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】解：∵DE∥BC，AD＝2，AB＝3，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该矩形田地的长为x步，则该矩形田地的宽为步，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该矩形田地的长为x步，则该矩形田地的宽为步，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴该矩形田地的长为40步，则该矩形田地的宽为20步，
∴它的长比宽多步，
故选C．
7．C
【分析】根据旋转的性质求出和的度数，计算出的度数．
【详解】解：由题意得，，，又，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了圆锥求面积的实际应用，根据圆锥的侧面展开是一个扇形，而扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积等于圆锥的侧面积求出一个烟囱帽的面积，再乘以数量即可求解．解答本题的关键在于掌握圆锥与扇形相等量之间的转化．
【详解】一个圆锥的侧面积为（），
∴50个烟囱需要铁皮的面积为：．
故选：D．
9．C
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【详解】如图，连接OA．
∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°．
∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
10．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的画法，矩形的性质，勾股定理，连接，由为的垂直平分线，则可得，由线段的比和勾股定理可得的长，再设，利用勾股定理列方程求解即可得到的长，利用勾股定理构建方程是解题的关键．
【详解】解：连接，
由题意可知，为的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故选：．
11．（-2，1）
【详解】解：点（2，―1）关于原点对称的点的坐标是（―2，1）．
故答案为（―2，1）．
12．
【分析】由函数解析式可确定出其开口方向及对称轴，再利用函数的增减性可求得答案．
【详解】解：由抛物线的解析式可得抛物线开口向下，且对称轴为，
当时，随的增大而减小．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．8
【分析】先证明△CPD∽△APB，继而得到，代入求解即可．
【详解】解：由题意知∠CPD＝∠APB，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴△CPD∽△APB，
∴，
∴，
∴CD＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是找出相似的三角形．
14．60
【分析】由“平行四边形的对角相等”推知，然后根据“圆内接四边形的对角互补”求得，最后由圆周角定理、等量代换求得.
【详解】如图，在平行四边形中，，
点、、、在上，
，
又，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆周角定理、平行四边形的性质，解题时，借用了圆内接四边形的性质.
15．或
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；由相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴，
①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴，
∴，
∴x=，
∴AQ=．
②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．
∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA，
∴，
∴，
∴y=．
综上所述，满足条件的AQ的值为或．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
16．(1)，
(2)的值为，方程的另一根为．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
（1）利用因式分解解答即可；
（2）设方程的另一根为，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【详解】（1）方程变形得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
（2）设方程的另一根为，
，
解得：，
把代入方程得，
解得：，
∴的值为，方程的另一根为．
17．
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得到，根据线段之间的关系得到，再由勾股定理得到，则．
【详解】解：由题意得：，
∴，，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
18．（1）60°；（2）3
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）根据条件先判断出△AOD为直角三角形，进而结合旋转的性质即可计算面积．
【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=60°，∴∠DCO=60°，
∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°；
（2）由旋转的性质得：AD=OB=2，∠ADC=∠BOC=150°，
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=3．
∵∠ADC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，则△AOD为直角三角形，
∴S△AOD=．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，得出△ODC为等边三角形是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得四边形是平行四边形，从而得到，即可求证；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求出相似比，即可求得线段的长．
【详解】（1）证明：，E是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）解：，F是的中点，
，
，
，
，
又 ，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
20．(1)
(2)元或元
(3)当销售单价为60时，利润最大，最大利润为1200元
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可；
（3）设总利润为，求出与的解析式，利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设，
由题意，得：，解得：，
∴；
（2）解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∴销售单价定为元或元时，当天的销售利润是1050元；
（3）解：设总利润为，由题意，得：
；
∵，对称轴为直线：，
∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∵销售过程中要求走出的商品数不少于60件，
∴，
即，
∴，
∴当时，利润最大为：；
答：销售单价定为元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．根据题意，正确的列出一元二次方程和二次函数关系式，是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，，先证明，再证明，问题得证；
（2）连接，先证明四边形OAFC为菱形，再证明、是等边三角形，即有，结合含角的直角三角形的性质，即可作答．
【详解】（1）如图，连接，，
∵切于C，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）连接，如图，
∵，，且，
∴四边形为菱形，
又，的半径为2，
∴，
∴是等边三角形，
同理是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，添加合理的辅助线，理解切线的性质，是解答本题的关键．
22．(1)图形见解析
(2)
(3)不能正常通过
(4)公园至少需要准备米的护栏
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）根据表格数据对应描点画图即可；
（2）根据表格数据和图象的对称性可得答案；
（3）根据二次函数的图象和性质可得答案；
（4）先利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再求出落水点距离喷头的水平距离，进而求得圆形护栏的半径，根据圆的周长公式即可求解．
【详解】（1）解：描点、连线、图象如图；
；
（2）解：该函数是二次函数，由和可知，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴水柱最高点距离湖面的高度是米；
由图象可得，顶点，
设二次函数的关系式为，
把代入可得，
∴；
将和代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上，
所以可以确认该函数是二次函数；
（3）解：游船宽带2.4米，在抛物线的正下方通过，令，
代入抛物线得，
由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，
∴，
∴，
∴不能正常通过；
（4）解：当时，即，
解得（舍去）或，
∴圆的半径为（米），
∴至少需要准备栏杆（米），
∴公园至少需要准备米的护栏．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）在线段上截取，利用平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得，进而可，再根据判定，即可求解；
（2）过点A作，利用证明，则有，进而证明，即可求解；
（3）在CB上取一点T，使得，则有，进而推出，再证明，即可得，由，可怎么，根据相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，在线段上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，（）
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图2，过点A作，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）法1：如图3，思路分析：由已知，，，由一边一等角，可CB上取一点T，使得．
∴
①，，，，
，
∴．
②∵，，，
∴（ASA），
∴
∴
③∵，
∴，
∴，
∴，
∴
法2与法3如图4和图5，自己分析和研究．本题尚有其他方法，可根据情况自主给分．

【点睛】本题考查了三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是能正确作出辅助线．
销售单价x（元/件）
55
60
70
…
销售量y（件）
70
40
…
（米）
…
0
1
2
3
4
…
（米）
…
2
2
…