福建省龙岩市上杭县紫金中学2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份福建省龙岩市上杭县紫金中学2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．5，6，10C．1，1，3D．3，4，9
4．正五边形的内角和是（ ）
A．B．C．D．
5．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则图中∠1的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（ ）
A．B．C．D．1
7．如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．AD＝AED．BD＝CE
8．小明在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取：（2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP，则射线OP为∠AOB的平分线，小明这种画法的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
B．角及夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
C．一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等
9．如图，和均为等腰三角形，且．当三点共线时，的度数为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．计算：（1） ； （2） ．
12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
13．若，则的值是 ．
14．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ．

15．如图，点P是等边内一点，， °
16．在等腰中，，点F在线段上，点E是在线段上，满足，则的面积= ．
三、解答题
17．计算：
(1)．
(2)．
18．如图，点A、F、C、D在同一条直线上．AB∥DE，∠B=∠E，AF=DC．求证：BC=EF．

19．如图所示，在中，D是BC边上一点，，，，求的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，有一个以格点为顶点的．

(1)画出关于y轴对称的；
(2)在y轴上求作点P，使的值最小，并直接写出的值．
21．热爱数学的小明在家中发现了一根铁丝，他先把该铁丝做成如图甲的长方形，再把该铁丝做成如图乙的长方形，它们的边长如图所示，问：哪个长方形面积大？大多少？
22．如图，在中，点P为边上一点．

(1)尺规作图：请在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，，，求证：是等边三角形．
23．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”． 例如，在中，若∠，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”．
(1)在中，若，则△DEF为“_______倍角三角形”．
(2)如图，在中，的角平分线相交于点D，若为“3倍角三角形”，请求出的度数．
24．如图，在平面直角坐标系中，将一个直角的顶点放在点处，直角的两边分别交两坐标轴于两点，平分，交于点P，连接．
(1)求的度数；
(2)判断的形状，并证明你的结论．
25．探究性试题
(1)【发现问题】如图1， 为等边三角形，点 D 、E在边上，，将线段绕点 C 顺时针旋转得到线段，连接．
① 求的度数；
② 求证：；
(2)【解决问题】如图 2， 是一个三角形的余料．小张同学量得， 他在边上取了 D、E 两点，并量得，求这三个三角形的面积之比．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别；利用轴对称的概念判断即可，轴对称图形是沿着一条直线对折后两边可以重合的图形．
【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，再判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，能求出每个式子的值是解此题的关键．
3．B
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A.，不能组成三角形；
B.，能组成三角形；
C.，不能组成三角形；
D.，不能组成三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．
4．B
【分析】n边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】（5﹣2）×180°=540°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
5．B
【分析】根据平行线的性质，可得，再利用三角形的外角性质即可求出结论．
【详解】解：如图所示：与相交于点G，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
6．B
【分析】根据，计算求解即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
7．B
【分析】根据全等三角形的性质和判定即可求解．
【详解】解：选项A，∠B＝∠C 利用 ASA 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
选项B，BE＝CD 不能说明 △ABE≌△ACD ，说法错误，故此选项正确；
选项C,AD＝AE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
选项D，BD＝CE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
故选B.
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，熟悉掌握判定方法是解题关键.
8．D
【分析】A．此选项所说是角平分线的性质，本题是要求证OP为∠AOB的平分线，此选项错误．
B．由题意可知，OP＝OP，，不是“边角边”判定，且不能证明全等，此选项错误．
C．此选项所说为角平分线的判定，本题由题意不能直接使用角平分线的判定，可间接证后可使用角平分线的判定，不符合题意．
D．题意可知，，，可用判定，可证得，此选项正确．利用斜边直角边判定两直角三角形全等．
【详解】解：在和中
平分．
故选D
【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9．B
【分析】由等腰三角形的性质可求，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】解：，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，证明是本题的关键．
10．D
【分析】在BC上取BF=BD，通过SAS证△BDP≌△BFP，ASA证△CPF≌△CPE，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H通过AAS证△DPG≌EPH即可判断各结论．
【详解】解：∵△ABC的两条角平分线BE和CD交于P，∠BAC=60°
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)＝60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°，故①正确；
∴∠BPD=60°，
在BC上取BF=BD，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
在△BDP和△BFP中，
，
∴△BDP≌△BFP（SAS），
∴∠BPD=∠BPF=60°，
∵∠BPC=120°，
∴∠FPC=∠EPC=60°，

∴△CPF≌△CPE（ASA），
∴CE=CF，
∴BC=BD+CE，故⑤正确；
作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，
∵∠BAC=60°，
∴∠GPH=120°，
∵∠DPE=∠BPC=120°，
∴∠DPG=∠EPH，
∴△DPG≌EPH（AAS）
∴PG=PH，PD=PE，故③正确；
∴AD-DG=AE+EH，
∴AD-AE=2DG，故④不正确；
∴AP是角平分线，
∴P到AB、AC的距离相等，
∴S△ABP：S△ACP=AB：AC，
故②正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．
【分析】（1）本题主要考查了整式的加减运算，直接合并同类项即可，掌握合并同类项的运算法则是解题的关键；
（2）本题主要考查了整式的乘法运算，利用整式乘法运算法则计算即可；掌握整式乘法运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）；
（2）．
故答案为，．
12．
【分析】根据关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题的关键．
13．
【分析】根据同底数幂除法的逆用即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．
14．##度
【分析】先根据多边形的内角和共求出六边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补即可求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数．
【详解】解：∵图中六边形为正六边形，
∴，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正多边形的内角和公式，正多边形的外角与内角的互补，熟记正多边形的内角和公式是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟记相关结论得出是解题关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
16．33
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角等知识点，如图：过C作,垂足为C，交延长线于点G，连接，先证可得、,再根据三角形外角的性质结合已知条件可得，然后运用三角形的面积公式即可解答；正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图：过C作,垂足为C，交延长线于点G，连接，
∵,
∴,
∴，
∴，
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，,
∴.
∴,,
∵,
∴
∵，
∴,
∴的面积为：．
故答案为33．
17．(1)0
(2)
【分析】（1）先计算同底数幂的乘方、幂的乘方运算，再合并即可；
（2）先计算单项式与多项式的乘法运算，再合并即可．
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝．
【点睛】此题考查的是整式的乘法，同底数幂的乘方、幂的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
18．答案见解析
【详解】先利用AAS证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D．
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC
∴AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC=EF．
19．
【分析】设，则，根据外角的性质得，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，．
设，则．
∵是的一个外角，
∴，
∴．
又∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
20．(1)见解析
(2)图见解析；
【分析】（1）点关于y轴对称的点的坐标为：，同理可得：，，依次连接，即可求解．
（2）连接交y轴于p，根据垂直平分线的性质可得，的值最小就是，进而可确定P的位置，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：由图得：，，，
点关于y轴对称的点的坐标为：，
同理可得：，，依次连接，
如图所示，即为所求：

（2）连接交y轴于p，如图：

轴是线段的垂直平分线，
，
，
则此时有最小值，
点P即为所求，
根据勾股定理得：
，，，
，
是直角三角形，
．
【点睛】本题考查了作图——轴对称图形、勾股定理的逆定理、垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形的性质及垂直平分线的性质是解题的关键．
21．甲长方形面积大，大3
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，多项式乘多项式、整式的减法运算等知识点，设乙长方形的长为x，根据铁丝长度不变列出方程求出乙长方形的长，分别求出甲，乙长方形的面积，然后求差即可．掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．
【详解】解：设乙长方形的长为x，
则，
解得：，
∴甲长方形的面积为：，
乙长方形的面积为：，
∴，
∴甲长方形面积大，大3．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用利用同位角相等两条直线平行作，则即为所求；
（2）利用等边对等角得到，利用平行线得到，再根据三角形的内角和得到，即可得到结论．
【详解】（1）)如图所示:

利用同位角相等两条直线平行作则即为所求.
（2）
，
∵
，
∴，
，
为等边三角形.
【点睛】本题考查平行线的作图，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
23．(1)2
(2)
【分析】（1）本题主要考查了三角形内角和定理以及“n倍角三角形”，根据三角形内角和定理求出，再根据n倍角三角形的定义判断即可；灵活利用三角形内角和定理是解题的关键；
（2）本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理及“n倍角三角形”，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，再根据n倍角三角形的定义分情况讨论即可．掌握分类讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）解：在中，，则，
∴，
∴为“2倍角三角形” ．
故答案为：2．
（2）解：∵，
∴，
∵的角平分线相交于点D，
∴，
∴，
∴，
∵为“3倍角三角形”，
∴或，
当时，，
当时，，则．
综上所述，的度数为．
24．(1)
(2)是等腰三角形,证明见解析
【分析】（1）分别过M作，即，易证，可得，即是等腰直角三角形；最后根据等腰直角三角形的性质即可解答；
（2）先根据已知条件可得、，再根据三角形外角的性质、角的和差可得，即，最后运用等角对等边即可解答．
【详解】（1）解：如图，分别过M作，即，
∵将一个直角的顶点放在点处，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形，即．
（2）解：是等腰三角形，证明如下：
∵将一个直角的顶点放在点处，
∴，
由（1）可得，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、坐标与图形、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键
25．(1)①；②见解析；
(2)
【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，再证明可得到；②先说明，由SAS证明,
然后运用全等三角形的性质即可解答；
(2)把绕点C顺时针旋转得到，则可得，得到、，是含角的直角三角形即可解答．
【详解】（1）解:①∵是等边三角形，
.∴
∵线段绕点 C 顺时针旋转得到线段，
∴，
∴
.在和中，，
∴.，
.∴；
故答案为：；
②证明：∵，
∴，.
∴，
在和中，，
∴,
∴．
（2）解：如图：把绕点C顺时针旋转得到，则
∵，
∴.，
.∴.
∵，.
∴，.∴.
∵，
∴，
∴,，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．