2024常熟高三上学期阶段性抽测二（12月）数学含答案

这是一份2024常熟高三上学期阶段性抽测二（12月）数学含答案，共12页。试卷主要包含了12，本卷共4页，包含单项选择题，5毫米黑色墨水的签字笔，已知，则，已知正数满足，则等内容，欢迎下载使用。

2023.12
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第12题）､填空题（第13题~第16题）､解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卷交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置.
3，请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠､破损.一律不准使用胶带纸､修正液､可擦洗的圆珠笔.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若复数，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知无穷数列，则“，使得”是“数列有最大项”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，圆交双曲线的左支于点，直线交双曲线的右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知正数满足，则（ ）
A. B. C.1 D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知四棱锥的高为2，侧棱长都相等，且各个顶点都在球的球面上，，，则下列说法正确的是（ ）
A.平面截球所得的截面面积为
B.四棱锥的侧棱长为
C.球的表面积为
D.到平面的距离为
11.已知等比数列的公比为，且，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.数列的前2023项和一定大于0
C.若，则
D.若，则一定小于0
12.已知函数，若关于的方程有6个不相等的实根，则实数的值可能为（ ）
A. B. C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的部分图象如图所示，则__________.
14.如图，在正方体中，和分别为底面和侧面的中心，则二面角的余弦值为__________.
15.已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴的交点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，设，若与相交于点，且，则的面积为__________.
16.已知定义在上的可导函数和满足：，且为奇函数，则导函数的图象关于__________对称（写出一种对称即可，不必考虑所有情况）；若，则__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知方程.
（1）若此方程表示圆，求实数的取值范围；
（2）若的值为（1）中能取到的最大整数，将得到的圆设为圆，设为圆上任意一点，求到直线的距离的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）设是边上的一点，且满足，求的面积的最小值.
19.（本小题满分12分）
如图所示，三棱台的底面为正三角形，平面，和分别为和的中点，是线段（含端点）上一动点.
（1）求证：平面；
（2）试问：是否存在，使得与平面的所成角为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知正项数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的上顶点为，设点轴上的两个动点和满足，且当位于椭圆的右焦点时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线和分别交椭圆于和两点，求证：直线经过定点.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求证：当时，；
（2）讨论函数在区间上的零点个数.
高三阶段性抽测二
数学参考答案
2023.12
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 14. 15. 16.或
四､解答题：本大题共6小题，共70分.
17.解：（1）若此方程表示圆，则，解得，
即实数的取值范围为；
（2）由（1）可知，此时圆，
即，
则圆心到直线的距离，
故圆与直线相离，
所以到直线的距离的取值范围为，
即.
18.解：（1）因为，由正弦定理，
得，
所以
，
因为，所以，即，
解得，又因为，所以；
（2）由和，可知，
因为，所以
，
又因为，所以，即
又，
所以，（当且仅当，即时取“=”），
所以，
所以的面积的最小值为.
19.解：（1）连结，设与交于，连结，
因为平面平面，所以，
又因为是中点，所以，
所以四边形为正方形，
所以是的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，
所以，
又因为平面平面，
所以平面；
（2）连结，正中，且平面，
以为正交基底建立空间直角坐标系，
则，
，
于是，
设，
即
设平面的一个法向量为，则，即，
取，则，得，
若与平面的所成角为，
则
，
整理得，此式无解，故不存在这样的.
20.解：（1）因为，所以，
相减得：，
因为，所以，
又因为，所以，即，也适合上式，
所以，即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以；
（2）
当为偶数时，设
，
所以
.
21.解：（1）因为椭圆的上顶点为，所以，
在当位于椭圆的右焦点时，Rt中，有，
即，所以，
于是，
所以椭圆的方程为；
（2）设，则，
因为，所以，即，
设直线和的斜率分别为和，
则（定值），
（法一）因为直线的方程为，则，化简得，
解得，于是，
同理可得，又由，整理得，
所以，
于是直线的方程为，化简得，
所以直线经过定点.
（法二）设直线的方程为，
因为椭圆方程为，即，所以，所以，
整理得，
于是，所以，
解得，
即直线的方程为，令，有，
所以直线经过定点.
22.解：（1）当时，，所以，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，，得证；
（2）由题意，，所以，
当时，因为，所以，所以在上单调递增；
.当时，因为，
所以在上单调递增，
且
①当即时，
对恒成立，
所以在上单调递增，结合1可知，在上单调递增，
因为，所以在区间上的零点个数为1；
②当即时，，使得，结合可知：
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
所以存在和，使得，
即在区间上的零点个数为2.
综上：当时，在区间上的零点个数为1；题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
A
C
B
D
A
题号
9
10
11
12
答案
AB
ACD
BCD
BD