新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第25讲 三角形面积问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一．解答题（共19小题）
1．已知焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 上存在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
（3）若与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 轴于定点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为定值，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到两个焦点的距离和为10，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程，求得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为9；
（3）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，比值为定值，此时点 SKIPIF 1 < 0 ，为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2．如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆外一点，不过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 平分．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 面积最大值时的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解答】解：（1）由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
左焦点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆上点的最远距离为3，
即使 SKIPIF 1 < 0 ，可解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 （4分）
（2）易得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （6分）
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
根据韦达定理可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （8分）
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 丨 SKIPIF 1 < 0 丨 SKIPIF 1 < 0 丨 SKIPIF 1 < 0 丨，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （10分）
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （12分）
3．如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其左焦点到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，不过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 平分．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【解答】解：（1）设椭圆的左焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
此时三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长是短轴长的2倍， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由条件知 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）依题意当 SKIPIF 1 < 0 轴不合题意，故设直线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ．得 SKIPIF 1 < 0 ，
当△ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等号成立，且满足△ SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时， SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在该抛物线上且位于 SKIPIF 1 < 0 轴的两侧， SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．
（1）求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 面积之和的最小值．
【解答】解：（1）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，①，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线上可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 或1（舍去），
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
根据韦达定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 位于 SKIPIF 1 < 0 轴的两侧，不妨设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的上方，则 SKIPIF 1 < 0 ，又焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，取“ SKIPIF 1 < 0 ”号，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 面积之和的最小值是3，
6．如图，已知点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴左侧（不含 SKIPIF 1 < 0 轴）一点，点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，且抛物线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点均在 SKIPIF 1 < 0 上，证明： SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在该抛物线上且位于 SKIPIF 1 < 0 轴的两侧， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 最小值．
【解答】解：（1）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点在抛物线上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
即 SKIPIF 1 < 0 ，的两个不同的实数根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴．
（2）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 位于 SKIPIF 1 < 0 轴的两侧，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为6．
7．如图，已知点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴左侧（不含 SKIPIF 1 < 0 轴）一点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点均在 SKIPIF 1 < 0 上．
（Ⅰ）设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 是半椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点均在 SKIPIF 1 < 0 上，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴；
（另解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴）
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 是半椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，可得 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
可令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值2，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为左、右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）若直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方时，求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）若直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 轴时，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由直线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 纵坐标 SKIPIF 1 < 0 ；
由直线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入根与系数的关系，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 存在直线 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 满足题意．
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过右焦点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为1的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 的任意直线，且直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求△ SKIPIF 1 < 0 内切圆面积的最大值．
【解答】解：（1）设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
上述两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
△ SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
△ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由于函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，△ SKIPIF 1 < 0 的面积取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
设△ SKIPIF 1 < 0 的内切圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
当△ SKIPIF 1 < 0 的面积取到最大值时，其内切圆的半径 SKIPIF 1 < 0 取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，△ SKIPIF 1 < 0 内切圆面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且△ SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，交该椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解答】解：（1）依题意，显然当 SKIPIF 1 < 0 在短轴端点时，△ SKIPIF 1 < 0 的面积最大为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又由离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方时，求点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）若直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积满足 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组可解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）存在直线 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积满足 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 （斜率不存在时不满足题意），
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由直线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 纵坐标 SKIPIF 1 < 0 ．
由直线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 纵坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入根与系数的关系式，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
存在直线 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 满足题意．
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，椭圆离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若△ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解答】解：（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，该直线 SKIPIF 1 < 0 的方程设为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
△ SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是坐标平面内一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，问：在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标和 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此所求椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）动直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
假设在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，满足题设，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由假设得对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因此，在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过这个点，
点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 这时，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，上式等号成立．因此， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆右焦点的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，△ SKIPIF 1 < 0 的周长为8， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为过椭圆右焦点的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，△ SKIPIF 1 < 0 的周长为8，
则由椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）值， SKIPIF 1 < 0 ，
则可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
原点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上有一点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的值；
（Ⅱ）如图，设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，过弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与抛物线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．试判断 SKIPIF 1 < 0 的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 由抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，可得焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线上的点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，△ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线准线与到点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）如图，设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，过弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线准线与到点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线的焦点与到点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）联立直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，△ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
17．如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 内的一部分，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且位于第一象限， SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅰ）求证：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上；
（ⅱ）直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及取得最大值时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【解答】解：（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 点的切线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上；
SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 式，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，
由条件知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）依题意当 SKIPIF 1 < 0 轴不合题意，
故设直线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当△ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等号成立，且满足△ SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，
SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
19．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其右焦点到椭圆 SKIPIF 1 < 0 外一点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，不过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为2．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）求 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）因为线段 SKIPIF 1 < 0 的长等于椭圆短轴的长，要使三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 能构成三角形，直线 SKIPIF 1 < 0 不过原点 SKIPIF 1 < 0 ，则弦 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，故可设直线 SKIPIF 1 < 0 程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，并整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又△ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．