广西来宾市第五中学202——-2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份广西来宾市第五中学202——-2024学年上学期八年级期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各式中是分式的是（ ）
A．y+B．C．D．
2．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3B．x＝3C．x≠3D．x＜3
3．（3分）新冠病毒由蛋白质外壳和单链核酸组成，直径大约在60～140纳米（1纳米＝0.0000001厘米）某冠状病毒的直径约0.0000135厘米．数据“0.0000135”用科学记数法表示为（ ）
A．1.35×10﹣6B．13.5×10﹣6
C．1.35×10﹣5D．0.135×10﹣4
4．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（a3）3＝a6B．a2•a5＝a10C．a4÷a2＝a2D．5a﹣2a＝3
5．（3分）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝﹣1C．a＝1D．a＝2
6．（3分）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
7．（3分）下列分式是最简分式的（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）下列命题中，是真命题的有（ ）
①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l3．
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接BD．若AC＝6，AD＝2（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．（3分）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点2，则△BCF的面积为（ ）
A．0.5cm2B．1cm2C．2cm2D．4cm2
11．（3分）已知am＝2，an＝3，则a4m﹣3n的值是（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）如图，C是线段AB上一点，且△ACD和△BCE都是等边三角形，BD相交于点O，AE，CE于M，N，连接MN，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；④∠AOB＝120°；其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
14．（2分）计算：（x2y）﹣2（xy﹣2）2＝ （结果不含负指数幂）
15．（2分）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕，若2⊕（2x﹣1），则x＝ ．
16．（2分）如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC，直角顶点C顶着桌面，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长度为 cm．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于点E，若BC＝3，则AE的长为 ．
18．（2分）如图，BE、CE分别为△ABC的内、外角平分线，BF、CF分别为△EBC的内、外角平分线，则∠BFC＝ 度．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（10分）计算：
（1）（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣|﹣3|+（﹣1）2023；
（2）．
20．（10分）解分式方程．
（1）；
（2）．
21．（8分）先化简，再求值：，其中a＝﹣5．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，已知∠BAC＝100°，∠C＝30°
23．（8分）如图，AB，DE交于点F，点C在线段AB上，且AC＝BE，连结CD，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠A＝40°，∠BCD＝60°，求∠CDE的度数．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝110°？请说明理由．
25．（10分）某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元
（1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？
（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？
26．（10分）数学课上，老师出示了如下框中的题目：
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你继续完成解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点D在直线BC上，AE＝5，求CD的长．
2023-2024学年广西来宾五中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是复核要求的）
1．（3分）下列各式中是分式的是（ ）
A．y+B．C．D．
【分析】根据分式的定义：如果两个整式A、B，其中B中含有字母，那么就叫做分式，据此求解即可．
【解答】解：选项A、B、D中代数式的分母中均不含有字母，而不是分式，因此是分式．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．
2．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3B．x＝3C．x≠3D．x＜3
【分析】直接利用分式有意义的条件，即分母不等于0，进而得出答案．
【解答】解：要使分式有意义，
解得：x≠7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．
3．（3分）新冠病毒由蛋白质外壳和单链核酸组成，直径大约在60～140纳米（1纳米＝0.0000001厘米）某冠状病毒的直径约0.0000135厘米．数据“0.0000135”用科学记数法表示为（ ）
A．1.35×10﹣6B．13.5×10﹣6
C．1.35×10﹣5D．0.135×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000135＝1.35×10﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（a3）3＝a6B．a2•a5＝a10C．a4÷a2＝a2D．5a﹣2a＝3
【分析】根据同底数幂的乘法与除法法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：A、（a3）3＝a8，原计算错误，不符合题意；
B、a2•a5＝a4，原计算错误，不符合题意；
C、a4÷a2＝a8，正确，符合题意；
D、5a﹣2a＝7a，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘除法、合并同类项及幂的乘方与积的乘方法则、熟知以上知识是解题的关键．
5．（3分）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝﹣1C．a＝1D．a＝2
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【解答】解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞5”是假命题的反例可以是：a＝﹣2，
∵（﹣2）3＞1，但是a＝﹣2＜8；
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
6．（3分）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＝8；
B、3+4＞2；
C、4+5＜10；
D、5+6＜9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．
7．（3分）下列分式是最简分式的（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，可得结果．
【解答】解：A．分子分母不能分解因式，是最简分式；
B.＝＝，所以不是最简分式；
C.＝，所以不是最简分式；
D.＝＝，所以不是最简分式；
故选：A．
【点评】本题主要考查了最简分式，先将分子分母因式分解是解答此题的关键．
8．（3分）下列命题中，是真命题的有（ ）
①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l3．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据平行线的性质、对顶角、平行线的判定判断即可．
【解答】解：①两直线平行，同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内1∥l2，直线l6∥l3，那么l1∥l3；是真命题；④同一平面内1⊥l2，直线l4⊥l3，那么l1∥l5．是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接BD．若AC＝6，AD＝2（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴BD＝CD＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线；并掌握线段垂直平分线的性质是关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点2，则△BCF的面积为（ ）
A．0.5cm2B．1cm2C．2cm2D．4cm2
【分析】连接CE，由点D为BC的中点，根据等高的两三角形面积的比等于底边的比得到S△ADC＝S△ABC，S△EDC＝S△EBC，同理由点E为AD的中点得到S△EDC＝S△ADC，
则S△EBC＝2S△EDC＝S△ABC，然后利用F点为BE的中点得到S△BCF＝S△EBC＝×S△ABC，再把△ABC的面积为8cm2代入计算即可．
【解答】解：连接CE，如图，
∵点D为BC的中点，
∴S△ADC＝S△ABC，S△EDC＝S△EBC，
∵点E为AD的中点，
∴S△EDC＝S△ADC，
∴S△EDC＝S△ABC，
∴S△EBC＝5S△EDC＝S△ABC，
∵F点为BE的中点，
∴S△BCF＝S△EBC＝×S△ABC＝××8＝2（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高德积的一半；等底等高的两三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比．
11．（3分）已知am＝2，an＝3，则a4m﹣3n的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：当am＝2，an＝3时，
a5m﹣3n
＝a4m÷a2n
＝（am）4÷（an）3
＝74÷37
＝16÷27
＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12．（3分）如图，C是线段AB上一点，且△ACD和△BCE都是等边三角形，BD相交于点O，AE，CE于M，N，连接MN，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；④∠AOB＝120°；其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】证△ACE≌△DCB（SAS），得AE＝BD，①正确；证△ACM≌△DCN（ASA），得CM＝CN；②正确；证△MCN为等边三角形，得∠MNC＝60°，则∠MNC＝∠ECB＝60°，证出MN∥AB，③正确；由全等三角形的性质和三角形的外角性质得∠AOB＝120°，④正确．
【解答】解：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD（①正确），∠CAM＝∠CDN，
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM＝CN；②正确；
∵CM＝CN，∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠MNC＝60°，
∴∠MNC＝∠ECB＝60°，
∴MN∥AB，③正确；
∵∠AOD＝∠CAM+∠CBD＝∠CDN+∠CBD＝∠ACD＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝120°，④正确；
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定、角平分线的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果…，那么…”的形式为 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 ．
【分析】首先找出原命题中的条件及结论，然后写成“如果…，那么…”的形式即可．
【解答】解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．
【点评】此题主要考查学生对命题的理解及运用能力．
14．（2分）计算：（x2y）﹣2（xy﹣2）2＝ （结果不含负指数幂）
【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝x﹣4y﹣2•x7y﹣4
＝x﹣2y﹣3
＝．
故答案为：
【点评】本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于所对应的正整数指数幂的倒数．
15．（2分）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕，若2⊕（2x﹣1），则x＝ 1.5 ．
【分析】按照定义的新运算可得﹣＝0，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：∵2⊕（2x﹣7）＝0，
∴﹣＝0，
2﹣（6x﹣1）＝0，
解得：x＝5.5，
检验：当x＝1.2时，2（2x﹣7）≠0，
∴x＝1.8是原方程的根，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（2分）如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC，直角顶点C顶着桌面，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长度为 8 cm．
【分析】利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AD＝CE，CD＝BE，进而可求解．
【解答】解：∵∠CEB＝∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CED（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵AD＝5，CE＝3，
∴DE＝CD+CE＝BD+CE＝6+5＝8（cm）．
故答案为：8．
【点评】本题考查了全等三角形判定及性质的应用；通过三角形全等，对应线段相等，对线段长度进行转化．本题的关键是证明△ADC≌△CED，利用全等三角形的性质进行等量代换求解．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于点E，若BC＝3，则AE的长为 2 ．
【分析】由△BDC的周长为7，AD＝DB，BC＝3，推出AB＝AC＝4，由AD＝DB，DE⊥AB，利用等腰三角形的性质得AE＝BE＝AB＝2．
【解答】解：∵△BDC的周长为7，
∴BD+BC+CD＝7，
∵AD＝DB，
∴AD+BC+CD＝AC+BC＝5，
∵BC＝3，
∴AC＝4，
∵AB＝AC，
∴AB＝8，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝6，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查考了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解答此题的关键．
18．（2分）如图，BE、CE分别为△ABC的内、外角平分线，BF、CF分别为△EBC的内、外角平分线，则∠BFC＝ 14 度．
【分析】根据角平分线的性质，由CE平分∠ACD，BE平分∠ABC得∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，进而推断出∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A．同理可得∠BFC＝∠E，从而解决此题．
【解答】解：∵CE平分∠ACD，BE平分∠ABC，
∴∠ECD＝∠ACD∠ABC，
又∵∠ECD＝∠E+∠EBC，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣＝56＝28°．
同理可证：∠BFC＝＝14°．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查角平分线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（10分）计算：
（1）（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣|﹣3|+（﹣1）2023；
（2）．
【分析】（1）先计算乘方，绝对值，再计算加减；
（2）先通分，再计算减法即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1﹣3﹣1
＝﹣1；
（2）原式＝﹣
＝
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算和分式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解分式方程．
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可．
（2）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可．
【解答】解：（1），
方程两边同时乘以3x（x﹣4），
得：3x＝x﹣2，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣1时，3x（x﹣7）≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根．
（2），
方程两边同时乘以（x+7）（x﹣1），
得：（x+1）5﹣4＝x2﹣2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
21．（8分）先化简，再求值：，其中a＝﹣5．
【分析】此题需先把除法转化成乘法，再把分式的分子和分母因式分解，最后约分把a的值代入即可．
【解答】解：原式＝
＝；
把a＝﹣5代入原式＝＝3．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，已知∠BAC＝100°，∠C＝30°
【分析】先根据三角形内角和定理，计算出∠B，再利用角平分线的定义，得到∠BAE＝∠BAC，由AD是△ABC的高，得到∠BAD＝90°﹣∠B，然后根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD求解．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，∠C＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°．
【点评】本题主要考查了三角形高线、角平分线以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．本题也可以根据∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE求解．
23．（8分）如图，AB，DE交于点F，点C在线段AB上，且AC＝BE，连结CD，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠A＝40°，∠BCD＝60°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据AD∥BE，可得∠A＝∠B，即可得证△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）根据全等三角形的性质，可得CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，根据三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠A+∠ADC，根据等腰三角形的性质即可求出∠CDE的度数
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：∵△ADC≌△BCE，
∴CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，
∵∠BCD＝∠A+∠ADC＝60°，
∴∠ADC＝20°＝∠BCE，
∴∠ECD＝60°+20°＝80°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
∴∠CDE＝50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝110°？请说明理由．
【分析】（1）根据AB＝AC可得∠B＝∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题．
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF＝∠BDE，于是得到∠DEF＝∠B，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，DE＝EF，由（2）知，∠DEF＝∠B，求出∠DEF即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
∵，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴∠DEF＝∠B，
又∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝65°，
∴∠DEF＝65°；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE＝EF，
由（2）知，∠DEF＝∠B，
∵∠EDF+∠EFD＝110°，
∴∠DEF＝70°，
∴∠B＝∠DEF＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（10分）某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元
（1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？
（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？
【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量＝2000元购买的数量×3．
（2）根据盈利＝总售价﹣总进价，进而求出即可．
【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价为x元．
依题意，得，
整理，得20（x+7）＝21x，
解得x＝80．
检验：当 x＝80时，x（x+4）≠0．
答：第一批购进书包的单价为80元，
（2）＝300+1050＝1350   
答：商店共盈利1350元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系．
26．（10分）数学课上，老师出示了如下框中的题目：
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你继续完成解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点D在直线BC上，AE＝5，求CD的长．
【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD＝8，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD＝2．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴AE＝EB，∠ECB＝，
∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∵∠ABC＝∠D+∠DEB，
∴∠BED＝60°﹣30°＝30°，
∴∠D＝∠BED＝30°，
∴BD＝BE，
∴BD＝AE．
故答案为：＝．
（2）AE与DB的大小关系是：AE＝DB，理由：
过E作EF∥BC交AC于F，如图，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝BD，
故答案为：＝．
（3）解：CD＝7或3，
理由是：分为两种情况：
①过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝3，AE＝2，
∴BE＝2
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴EN∥AM，
∴，
∴NB＝1，
∴CN＝BN+BC＝1+2＝4，
∴CD＝2CN＝8；
②如图2，作AM⊥BC于M，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AM∥EN，
∴＝，
∴，
∴MN＝，
∴CN＝MN﹣CM＝＝8，
∴CD＝2CN＝2，
∴CD＝3或2．
【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD＝EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，如图，试确定线段AE与DB的大小关系
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，如图，试确定线段AE与DB的大小关系