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专题04乘法公式重难点专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版）
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这是一份专题04乘法公式重难点专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版），文件包含专题04乘法公式重难点专练原卷版-七年级数学专题训练沪教版docx、专题04乘法公式重难点专练解析版-七年级数学专题训练沪教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2021·上海九年级专题练习）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
分别根据合并同类项的法则、积的乘方运算法则和完全平方公式逐项计算，进而可得答案．
【详解】
解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算正确，符合题意；
D、，故本选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、积的乘方和完全平方公式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
2．（2021·上海九年级专题练习）下列各式计算正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用完全平方公式、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式的法则分别计算得出即可．
【详解】
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（2021·上海七年级期末）下列各式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据完全平方公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、，故本选项正确；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、应为，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟记公式结构是解题的关键．
4．（2021·上海九年级专题练习）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．若S1＝S2，则a，b满足（ ）
A．2a＝5bB．2a＝3bC．a＝3bD．a＝2b
【答案】C
【分析】
先用含有a、b的代数式分别表示出S1和S2，再根据S1＝S2得到关于a、b的等式，整理即可．
【详解】
由题意得：
S2＝ab×4＝2ab，
S1＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2，
∵S1＝S2，
∴3S1＝5S2
∴3a2+3b2＝5×2ab，
∴3a2﹣10ab+3b2＝0，
∴（3a﹣b）（a﹣3b）＝0，
∴3a＝b（舍），或a＝3b．
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．
5．（2021·上海九年级专题练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先由计算出x2+=7，再由，按完全平方公式展开，代入数值即可．
【详解】
解：由
∴x2++2=9，
∴x2+=7，
则= x2+-2=7-2=5．
故选：B．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题关键是熟记公式的几个变形公式．
6．（2019·上海市市北中学七年级月考）已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解．
【详解】
∵，
∴，即4ab＝4，
解得，ab＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键．
7．（2020·全国八年级课时练习）已知a2﹣2a﹣1＝0，则a4﹣2a3﹣2a+1等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
∵ ，∴ ，原式= =
=
=2．
故选C．
二、填空题
8．（2020·上海市育才初级中学八年级期中）若为完全平方式，则表示的实数应该是_______．
【答案】16
【分析】
先根据乘积二倍确定出这两个数是x与4，再根据完全平方公式的结果列式求解即可．
【详解】
∵8x=，
∴这两个数是x与4，
∴=，
∴表示的实数应该是16，
故答案为：16．
【点睛】
此题考查完全平方公式，掌握完全平方公式以及各项之间的数量关系是解题的关键．
9．（2020·上海嘉烁教育培训有限公司七年级期末）计算：_____________.
【答案】
【分析】
根据平方差公式计算即可.
【详解】
；故答案为.
【点睛】
本题考查了整式的乘法解题的关键是熟练掌握平方差公式.
10．（2020·上海嘉定区·八年级期末）贾老师用四个大小、形状完全相同的小长方形围成了一个大正方形，如果大正方形的面积为3，且那么图中阴影部分的面积是___________．
【答案】
【分析】
由大正方形的面积为3可得，由可得的值，而阴影部分是边长为（m－n）的正方形，进一步即可求出其面积．
【详解】
解：由题意，得，
∵，∴，即，
阴影部分是边长为（m－n）的正方形，其面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景和代数式变形求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识、灵活应用整体思想是关键．
11．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）若，则 _______________．
【答案】11
【分析】
先利用差的完全平方公式逆运算进行整理，然后整体代入求值即可．
【详解】
解：
∵
∴
故答案为：11．
【点睛】
此题主要考查求代数式的值，解题的关键是将式子整理为能够整体代入的形式．
12．（2020·上海文来实验学校七年级期中）如果，且a、b互为倒数，则=_____________
【答案】
【分析】
先根据已知式子和倒数的定义可得，再利用完全平方公式进行变形运算即可得．
【详解】
由题意得：，
则，
，
，
，
，
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了倒数、完全平方公式，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题关键．
13．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）计算________________．
【答案】
【分析】
由完全平方公式、平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．
【详解】
解：
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式、以及积的乘方性质进行化简．
14．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）已知，则=_____________
【答案】14
【分析】
首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．
【详解】
解：∵
∴
又∵
∴
∴
即
故答案为：14．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．
15．（2020·上海八年级月考）若多项式，则的最小值是_________．
【答案】2017
【分析】
根据完全平方公式对原式进行变形，然后根据乘方的性质求解即可．
【详解】
=
=
∵，
∴P的最小值为2017
故答案为2017．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，和乘方的性质，熟记完全平方公式是本体的关键．
16．（2018·上海市姚连生中学七年级期中）计算：=_____.（结果中保留幂的形式）
【答案】216﹣1．
【分析】
观察式子，显然可用平方差公式简便计算，但要在（2+1）的前面拼凑因数（2﹣1），而2﹣1=1，不影响算式的结果．
【详解】
原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（24﹣1）（24+1）（28+1）
=（28﹣1）（28+1）
=216﹣1．
故答案为216﹣1．
【点睛】
通过观察式子的特点，注意凑成平方差公式可简便计算．
17．（2019·上海徐汇区·教院附中七年级月考）计算：____________.
【答案】2019.
【分析】
原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．
【详解】
解：∵
∴=
故答案是：2019.
【点睛】
此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
18．（2019·上海市宛平中学七年级期中）已知关于x的代数式是完全平方式，则____________
【答案】5或-7
【分析】
根据完全平方公式的特点，可以发现9的平方根是±3，进而确定a的值.
【详解】
解：=
∴-（a+1）x=2×（±3）x
解得a=5或a=-7
【点睛】
本题考查了完全平方公式的特点，即首平方、尾平方，二倍积在中央；另外9的算术平方根是±3是易错点
19．（2019·上海市宛平中学七年级期中）已知：则代数式的值为________;
【答案】-70
【分析】
先由求出xy的值，然后再对因式分解即可完成解答.
【详解】
解：∵
∴
∴xy=7
=
=
=7×（11-3×7）
=-70
【点睛】
本题考查了完全平方公式、因式分解和代数式求值，解题的关键是通过完全平方公式的变形以及因式分解寻求条件之间的关系.
20．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）已知求_________________。
【答案】47
【分析】
根据已知等式两边同时除以x，得到的值，然后利用完全平方公式求出的值，最后再利用完全平方公式求的值即可.
【详解】
∵，，
∴两边同时除以x得：，即，
∴，即，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查已知式子的值求代数式的值，熟练应用等式的基本性质及完全平方公式是解题的关键.
三、解答题
21．（2021·上海七年级期末）计算：．
【答案】
【分析】
利用乘法公式和整式的运算法则进行计算．
【详解】
解：原式．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则．
22．（2020·上海宝山区·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】
先将x－y看作一个整体，然后根据完全平方公式计算即可．
【详解】
解：
=
=．
【点睛】
此题考查的是整式的乘法，先将x－y看作一个整体，然后利用完全平方公式计算是解题关键．
23．（2021·上海宝山区·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】
先将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】
解：
=
=
=．
【点睛】
此题考查的是整式的乘法，解题关键是将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．
24．（2019·上海市罗阳中学）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【答案】（1）见解析；（2）62，推证过程见解析；（3）[n（n+1）]2
【分析】
（1）类比解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33＝62；
（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可．
【详解】
（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；
故答案为：62；
（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），
∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．
故答案为：[n（n+1）]2．
【点睛】
此题考查完全平方公式的几何背景，利用用几何直观推导13+23+33+…+n3的计算过程，通过几何图形之间的数量关系做出几何解释，得出规律，然后应用解决问题是解题关键．
25．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）已知求的值.
【答案】73
【分析】
把两边同时平方得 ，再把展开，将条件代入求值即可．
【详解】
∵
∴
∴
∴．
【点睛】
此题主要考查完全平方公式的运用，灵活进行公式变形是解题的关键．
26．（2021·上海九年级专题练习）观察点阵图中点与等式之间的关系，寻找规律．
①；
②；
③；
④；
…
按照你发现的规律解答下列问题：
（1）第⑥个等式是______；
（2）用含（为正整数）的等式表示第n个等式，并证明其正确性．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】
（1）接着第4个等式，写出第5个和第6个等式即可；
（2）根据前四个等式与n的关系，写出第n个等式，利用完全平方公式展开证明等式成立即可．
【详解】
解：（1）接着第4个等式，得：
第5个等式为：，
第6个等式为：，
故答案为：；
（2）,
证明：左边，右边，
∴左边右边，等式成立．
【点睛】
本题考查探究数字型变化规律、完全平方公式，认真观察，仔细思考，善用联想并借用公式证明是解决这类题的方法．
27．（2021·上海九年级专题练习）观察下列的点阵与等式的关系，并填空：
________，
（1）根据你发现的规律，在图的后面的横线上填上所对应的等式，并证明等式成立；
（2）根据等式性质，将上图所对应的前四个已知等式的左侧和右侧式子分别相加，等式依然成立，即：.经化简，变形后得到：，即，这种方法叫等式叠加法，如果将上图到所对应的（n-1）个等式进行叠加，经化简，变形后，可以得到：________．
【答案】（1），证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据已知点阵图形后的等式即可推出图的后面所对应的等式，利用乘法公式进行证明；
（2）根据题意将（n-1）个等式左右两边分别相加后化简即可求出结果.
【详解】
（1）根据题意知：
点阵图形后的等式为，
点阵图形后的等式为，
点阵图形后的等式为，
点阵图形后的等式为，
∴点阵图形后的等式为，
证明：；
（2）
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】
此题考查图形规律的探究，根据图形的规律得到代数式的表示结果的规律，由此解答其他问题，根据图形得到等式的计算规律是解题的关键.
28．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）已知a－b＝3，ab＝1，求下列代数式的值
（1）； （2）．
【答案】（1）11；（2）13
【分析】
（1）把已知的式子a－b＝3两边平方后结合已知条件ab＝1解答即可；
（2）先把变形为的形式，再整体代入计算即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴=9+2ab=9+2×1=9+2=11；
（2）=．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形与求值，属于常考题型，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
29．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）利用多项式乘法法则计算：
（1）_______
（2）__________
利用上面计算的结果作为结论，以及自己所学的数学知识解决下列问题．
已知：，．计算下列各式：
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4) ；(5)
【分析】
(1)直接使用多项式乘法法则运算即可；
(2)直接使用多项式乘法法则运算即可；
(3)直接将等式两边平方即可求解；
(4)先求出ab的结果，然后再代入求解即可；
(5)先求出，然后再等式两边平方得到进而求解．
【详解】
解：(1)，
故答案为：；
(2)，
故答案为：；
(3)由，等式两边平方，得到：，
展开：，
故答案为：；
(4)由(3)知，
将代入，求得：，
由(1)得：，
故答案为：；
(5)由(4)知：
∴ ，
展开： ，将代入，即，
∴
展开：，将代入，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查多项式的乘法法则，完全平方公式等，关键是读懂题意，等式两边平方产生题干中要求的高次幂进而求解．
30．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】
先观察整理，利用多项式乘法公式展开，整理后利用平方差公式展开，，再把，合并同类项即可．
【详解】
，
=，
=，
=，
=9．
【点睛】
本题考查整式乘法中的混合计算问题，熟练掌握乘法公式，会用公式的特征，将多项式整理后用公式展开是解题关键．
31．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）计算：
【答案】．
【分析】
先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算即可得．
【详解】
原式，
，
．
【点睛】
本题考查了利用平方差公式、完全平方公式进行运算，熟记乘法公式是解题关键．
32．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）利用乘法公式计算：
【答案】12073．
【分析】
先将2003改写成2000与3的和的形式、2008改写成2000与8的和的形式、1992改写成2000与8的差的形式，再分别利用完全平方公式、平方差公式进行运算即可得．
【详解】
原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查了利用乘法公式进行运算，熟记公式是解题关键．
33．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）甲商店9月份的销售额是m万元，由于十一黄金周的假日效应，预计10月份的销售额增加的百分数是x，各种原因导致11月份销售额与10月份相比减少的百分数是x．
(1)10月份的销售额是多少万元?
(2)11月份的销售额比9月份的销售额减少了多少万元?
【答案】（1）万元；（2）减少了万元．
【分析】
（1）根据“10月份的销售额9月份的销售额（1增加的百分数）”即可得；
（2）先根据“11月份的销售额10月份的销售额（1减少的百分数）”求出11月份的销售额，再利用9月份的销售额减去11月份的销售额即可得．
【详解】
（1）由题意得：10月份的销售额为万元；
（2）11月份的销售额为万元，
则，
，
，
（万元），
答：11月份的销售额比9月份的销售额减少了万元．
【点睛】
本题考查了列代数式、整式的乘法与加减法的应用，依据题意，正确列出代数式是解题关键．
34．（2020·上海南洋中学）计算：；
【答案】
【分析】
先利用平方差公式运算，再利用完全平方公式运算即可解答．
【详解】
解：原式=
=
=．
【点睛】
本题考查平方差公式、完全平方公式，熟记公式是解答的关键．
35．（2020·上海南洋中学）先化简，再求值：，其中；
【答案】，0
【分析】
先利用完全平方公式、合并同类项运算化简括号内的式子，再利用平方差公式进行化简，最后代入数值即可解答．
【详解】
解：
，
当时，
原式=
=4﹣4
=0．
【点睛】
本题考查代数式的化简求值、完全平方公式、平方差公式、有理数混合运算，熟记公式和运算法则是解答的关键．
36．（2020·上海）计算：
【答案】．
【分析】
利用完全平方公式以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】
．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、多项式乘以多项式及合并同类项得相关知识，熟记完全平方公式是解答此题的关键．
37．（2020·上海七年级期末）计算：．
【答案】
【分析】
先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算即可得．
【详解】
解：原式=
=
=
【点睛】
本题考查了利用平方差公式、完全平方公式进行运算，熟记乘法公式是解题关键．
38．（2020·上海七年级期末）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、．
（1）用a，b表示的面积，并化简；
（2）如果点M是线段的中点，联结、、，
①用a，b表示的面积，并化简；
②比较的面积和的面积的大小．
【答案】（1）；（2）①，②．
【分析】
（1）延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出和即可．
（2）①同理延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出、和即可．
②用即可得到完全平方式，即可知，从而判断的面积大于的面积．
【详解】
（1）延长DC和EF交于点N，如图，
∴，
∵，．
∴．
（2）①如图，同样延长DC和EF交于点N．
∴．
根据题意可知NF=a-b．
∵M为AE中点，AE=a+b，
∴，
∴，
即，
整理得：．
②，即，
∵，
∴，即．
故的面积大于的面积．
．
【点睛】
本题考查正方形的性质，整式的混合运算以及完全平方式的运用．作出辅助线是解决本题的关键．
39．（2021·上海九年级专题练习）数学活动课上，张老师用图①中的张边长为的正方形、张边长为的正方形和张宽和长分别为与的长方形纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为___________________（用含，的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点为线段上的动点，分别以、为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【答案】（1），验证见解析；（2）需、两种纸片各张，种纸片张；（3）4
【分析】
（1）根据大正方形由1个A、1个B、2个C拼接而成，即可得到答案，然后将式子化简验证；
（2）将化简后即可判断出所需各种纸片的张数；
（3）设，则，根据可得到，然后利用（1）中的式子即可求出，阴影部分的面积为，从而得到阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）；
验证：
（2）
所需、两种纸片各张，种纸片张
（3）设，则
，
由于阴影部分的面积为，
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何应用问题，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
40．（2019·上海市川沙中学南校七年级期中）计算：(2x+y-3)(2x-y+3).
【答案】
【解析】
解：原式
41．（2019·上海七年级期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．
【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.
【解析】
【分析】
（1）①根据面积差可得结论；
②根据图形可以直接得结论；
（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．
【详解】
（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；
②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；
（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．
42．（2018·上海市民办新竹园中学七年级月考）已知：设
(1)求的值
(2)试写出三者之间的关系
(3)根据以上得出的结论，求
【答案】（1），，；（2）；（3）521.
【分析】
（1）首先求出，，然后将S3变形得，整体代入可求其值，同理可求和；
（2）观察（1）中的结果，总结规律可得；
（3）根据（2）中的规律，依次求解，可得.
【详解】
解：（1）∵，，
∵，
，
，
，
；
（2）∵，，，，，
∴，，，
总结规律可得：；
（3）∵，，
∴，
，
，
，
，
，
.
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意求出S2＝3，S3＝4，S4＝7，分析归纳出规律：．
43．（2019·上海市西延安中学七年级月考）已知 x 与 y 是互为相反数，且 ( x 2)2 ( y 1)2 4 ，求 x、y 的值.
【答案】，.
【分析】
根据平方差公式得到[（x＋2）＋（y＋1）][（x＋2）−（y＋1）]＝4，整理得到（x＋y＋3）（x−y+1）＝4，而x＋y＝0，则x−y＝，然后解方程组即可．
【详解】
解：∵（x＋2）2−（y＋1）2＝4，
∴[（x＋2）＋（y＋1）][（x＋2）−（y＋1）]＝4，即（x＋y＋3）（x−y+1）＝4，
∵x，y互为相反数，
∴x＋y＝0①，
∴x−y＝②，
令①+②得2x=
∴，
把代入①得
∴，.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟知a2−b2＝（a＋b）（a−b）．
44．（2019·上海市松江九峰实验学校七年级月考）已知，求和的值.
【答案】5；47
【分析】
把已知条件两边平方，利用完全平方公式展开，然后整理即可得到的值；与的值的过程同理可求的值.
【详解】
；
∵，
∴，即，
∴
【点睛】
本题考查了完全平方公式，利用互为倒数乘积是1是解题的关键，完全平方公式：．
45．（2019·上海市震旦外国语中学）阅读下面内容，并完成题目
通过计算容易得到下列算式: ，，，...
（1）填写计算结果_ __, _ __, _ __，
（2）观察以上各算式都是个位数字为5的数的平方数，可以看出规律，结果的末两位数字都是25，即是原来数字个位数字5的平方，前面的数字就是原来的数去掉5以后的数字乘以比它大1的结果，如: 就是再连着写25得到225，就是再连着写25得到625，就是再连着写25得到1225，...
如果记-一个个位数字是5的多位数为,试用所学知识计算并归纳解释上述规律
【答案】（1）4225，7225，11025；（2）100a（a+1）+25
【分析】
（1）先认真审题，观察已知中算式的计算过程，根据计算过程得出规律，即可得出答案；
（2）根据计算过程得出规律，即可得出答案.
【详解】
解：（1）通过计算，探索规律：
∵152=225可写成100×1×（1+1）+25，
252=625可写成100×2×（2+1）+25，
352=1225可写成100×3×（3+1）+25，…
∴652=4225可写成 100×6×（6+1）+25，
852=7225可写成100×8×（8+1）+25，
1052=11025可写成100×10×（10+1）+25；
（2）依据（1）的结果，归纳猜想得（10a+5）2=100a（a+1）+25，
故答案为（1）4225，7225，11025；（2）100a（a+1）+25.
【点睛】
本考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是能根据求出的结果和算式得出规律，题目比较好，有一定的难度．
46．（2019·上海徐汇区·教院附中七年级月考）已知求a的值.
【答案】.
【分析】
先对等式左边进行变形，使之符合平方差公式，而后计算出结果，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出a值.
【详解】
解：=
==
∵
∴
∴
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，熟悉公式特点并进行正确变形是解题关键.
47．（2019·上海市毓秀学校）已知：a-a-1=6，求下列代数式的值。
(1)a2+a-2
(2)(a+a-1)2
【答案】（1）38;（2）40.
【分析】
（1）根据完全平方公式即可求出答案；
（2）根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】
（1）∵a-a-1=6且（a-a-1）2=a2-2+a-2，
∴36=a2-2+a-2，
∴a2+a-2=38，
（2）∵(a+a-1)2=a2+2+a-2，
由（1）可知：a2+a-2=38，
∴(a+a-1)2=a2+2+a-2=38+2=40.
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
48．（2019·上海市西延安中学七年级期中）填空：已知多项式________是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）
【答案】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】
解：完全平方公式 ，分情况讨论：
（1）当相当于项时， ，可满足题意；
（2）当相当于项时，，可满足题意；
（3）当与相当于a与b，则需要求的是项，则，可满足题意.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
49．（2019·上海市宛平中学七年级期中）
【答案】
【分析】
先通过加括号，凑出平方差公式的形式并进行运算，然后在运用完全平方公式求解即可.
【详解】
解：
=
=
=
【点睛】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，解答的关键在于通过加括号凑出平方差公式的形式.
50．（2019·上海七年级期中）利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198
【分析】
（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；
（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；
（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
【详解】
解：（1）
=
=
=
=，
故答案为：，；
（2）
=
=
=6；
（3）
=
=
=
=14；
（4）
=
=
=
=198
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．
一、单选题
1．（2021·上海九年级专题练习）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
分别根据合并同类项的法则、积的乘方运算法则和完全平方公式逐项计算，进而可得答案．
【详解】
解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算正确，符合题意；
D、，故本选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、积的乘方和完全平方公式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
2．（2021·上海九年级专题练习）下列各式计算正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用完全平方公式、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式的法则分别计算得出即可．
【详解】
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（2021·上海七年级期末）下列各式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据完全平方公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、，故本选项正确；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、应为，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟记公式结构是解题的关键．
4．（2021·上海九年级专题练习）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．若S1＝S2，则a，b满足（ ）
A．2a＝5bB．2a＝3bC．a＝3bD．a＝2b
【答案】C
【分析】
先用含有a、b的代数式分别表示出S1和S2，再根据S1＝S2得到关于a、b的等式，整理即可．
【详解】
由题意得：
S2＝ab×4＝2ab，
S1＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2，
∵S1＝S2，
∴3S1＝5S2
∴3a2+3b2＝5×2ab，
∴3a2﹣10ab+3b2＝0，
∴（3a﹣b）（a﹣3b）＝0，
∴3a＝b（舍），或a＝3b．
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．
5．（2021·上海九年级专题练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先由计算出x2+=7，再由，按完全平方公式展开，代入数值即可．
【详解】
解：由
∴x2++2=9，
∴x2+=7，
则= x2+-2=7-2=5．
故选：B．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题关键是熟记公式的几个变形公式．
6．（2019·上海市市北中学七年级月考）已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解．
【详解】
∵，
∴，即4ab＝4，
解得，ab＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键．
7．（2020·全国八年级课时练习）已知a2﹣2a﹣1＝0，则a4﹣2a3﹣2a+1等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
∵ ，∴ ，原式= =
=
=2．
故选C．
二、填空题
8．（2020·上海市育才初级中学八年级期中）若为完全平方式，则表示的实数应该是_______．
【答案】16
【分析】
先根据乘积二倍确定出这两个数是x与4，再根据完全平方公式的结果列式求解即可．
【详解】
∵8x=，
∴这两个数是x与4，
∴=，
∴表示的实数应该是16，
故答案为：16．
【点睛】
此题考查完全平方公式，掌握完全平方公式以及各项之间的数量关系是解题的关键．
9．（2020·上海嘉烁教育培训有限公司七年级期末）计算：_____________.
【答案】
【分析】
根据平方差公式计算即可.
【详解】
；故答案为.
【点睛】
本题考查了整式的乘法解题的关键是熟练掌握平方差公式.
10．（2020·上海嘉定区·八年级期末）贾老师用四个大小、形状完全相同的小长方形围成了一个大正方形，如果大正方形的面积为3，且那么图中阴影部分的面积是___________．
【答案】
【分析】
由大正方形的面积为3可得，由可得的值，而阴影部分是边长为（m－n）的正方形，进一步即可求出其面积．
【详解】
解：由题意，得，
∵，∴，即，
阴影部分是边长为（m－n）的正方形，其面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景和代数式变形求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识、灵活应用整体思想是关键．
11．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）若，则 _______________．
【答案】11
【分析】
先利用差的完全平方公式逆运算进行整理，然后整体代入求值即可．
【详解】
解：
∵
∴
故答案为：11．
【点睛】
此题主要考查求代数式的值，解题的关键是将式子整理为能够整体代入的形式．
12．（2020·上海文来实验学校七年级期中）如果，且a、b互为倒数，则=_____________
【答案】
【分析】
先根据已知式子和倒数的定义可得，再利用完全平方公式进行变形运算即可得．
【详解】
由题意得：，
则，
，
，
，
，
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了倒数、完全平方公式，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题关键．
13．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）计算________________．
【答案】
【分析】
由完全平方公式、平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．
【详解】
解：
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式、以及积的乘方性质进行化简．
14．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）已知，则=_____________
【答案】14
【分析】
首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．
【详解】
解：∵
∴
又∵
∴
∴
即
故答案为：14．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式的应用，正确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．
15．（2020·上海八年级月考）若多项式，则的最小值是_________．
【答案】2017
【分析】
根据完全平方公式对原式进行变形，然后根据乘方的性质求解即可．
【详解】
=
=
∵，
∴P的最小值为2017
故答案为2017．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，和乘方的性质，熟记完全平方公式是本体的关键．
16．（2018·上海市姚连生中学七年级期中）计算：=_____.（结果中保留幂的形式）
【答案】216﹣1．
【分析】
观察式子，显然可用平方差公式简便计算，但要在（2+1）的前面拼凑因数（2﹣1），而2﹣1=1，不影响算式的结果．
【详解】
原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（24﹣1）（24+1）（28+1）
=（28﹣1）（28+1）
=216﹣1．
故答案为216﹣1．
【点睛】
通过观察式子的特点，注意凑成平方差公式可简便计算．
17．（2019·上海徐汇区·教院附中七年级月考）计算：____________.
【答案】2019.
【分析】
原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．
【详解】
解：∵
∴=
故答案是：2019.
【点睛】
此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
18．（2019·上海市宛平中学七年级期中）已知关于x的代数式是完全平方式，则____________
【答案】5或-7
【分析】
根据完全平方公式的特点，可以发现9的平方根是±3，进而确定a的值.
【详解】
解：=
∴-（a+1）x=2×（±3）x
解得a=5或a=-7
【点睛】
本题考查了完全平方公式的特点，即首平方、尾平方，二倍积在中央；另外9的算术平方根是±3是易错点
19．（2019·上海市宛平中学七年级期中）已知：则代数式的值为________;
【答案】-70
【分析】
先由求出xy的值，然后再对因式分解即可完成解答.
【详解】
解：∵
∴
∴xy=7
=
=
=7×（11-3×7）
=-70
【点睛】
本题考查了完全平方公式、因式分解和代数式求值，解题的关键是通过完全平方公式的变形以及因式分解寻求条件之间的关系.
20．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）已知求_________________。
【答案】47
【分析】
根据已知等式两边同时除以x，得到的值，然后利用完全平方公式求出的值，最后再利用完全平方公式求的值即可.
【详解】
∵，，
∴两边同时除以x得：，即，
∴，即，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查已知式子的值求代数式的值，熟练应用等式的基本性质及完全平方公式是解题的关键.
三、解答题
21．（2021·上海七年级期末）计算：．
【答案】
【分析】
利用乘法公式和整式的运算法则进行计算．
【详解】
解：原式．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则．
22．（2020·上海宝山区·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】
先将x－y看作一个整体，然后根据完全平方公式计算即可．
【详解】
解：
=
=．
【点睛】
此题考查的是整式的乘法，先将x－y看作一个整体，然后利用完全平方公式计算是解题关键．
23．（2021·上海宝山区·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】
先将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】
解：
=
=
=．
【点睛】
此题考查的是整式的乘法，解题关键是将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．
24．（2019·上海市罗阳中学）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【答案】（1）见解析；（2）62，推证过程见解析；（3）[n（n+1）]2
【分析】
（1）类比解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33＝62；
（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可．
【详解】
（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；
故答案为：62；
（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），
∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．
故答案为：[n（n+1）]2．
【点睛】
此题考查完全平方公式的几何背景，利用用几何直观推导13+23+33+…+n3的计算过程，通过几何图形之间的数量关系做出几何解释，得出规律，然后应用解决问题是解题关键．
25．（2019·上海民办行知二中实验学校七年级月考）已知求的值.
【答案】73
【分析】
把两边同时平方得 ，再把展开，将条件代入求值即可．
【详解】
∵
∴
∴
∴．
【点睛】
此题主要考查完全平方公式的运用，灵活进行公式变形是解题的关键．
26．（2021·上海九年级专题练习）观察点阵图中点与等式之间的关系，寻找规律．
①；
②；
③；
④；
…
按照你发现的规律解答下列问题：
（1）第⑥个等式是______；
（2）用含（为正整数）的等式表示第n个等式，并证明其正确性．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】
（1）接着第4个等式，写出第5个和第6个等式即可；
（2）根据前四个等式与n的关系，写出第n个等式，利用完全平方公式展开证明等式成立即可．
【详解】
解：（1）接着第4个等式，得：
第5个等式为：，
第6个等式为：，
故答案为：；
（2）,
证明：左边，右边，
∴左边右边，等式成立．
【点睛】
本题考查探究数字型变化规律、完全平方公式，认真观察，仔细思考，善用联想并借用公式证明是解决这类题的方法．
27．（2021·上海九年级专题练习）观察下列的点阵与等式的关系，并填空：
________，
（1）根据你发现的规律，在图的后面的横线上填上所对应的等式，并证明等式成立；
（2）根据等式性质，将上图所对应的前四个已知等式的左侧和右侧式子分别相加，等式依然成立，即：.经化简，变形后得到：，即，这种方法叫等式叠加法，如果将上图到所对应的（n-1）个等式进行叠加，经化简，变形后，可以得到：________．
【答案】（1），证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据已知点阵图形后的等式即可推出图的后面所对应的等式，利用乘法公式进行证明；
（2）根据题意将（n-1）个等式左右两边分别相加后化简即可求出结果.
【详解】
（1）根据题意知：
点阵图形后的等式为，
点阵图形后的等式为，
点阵图形后的等式为，
点阵图形后的等式为，
∴点阵图形后的等式为，
证明：；
（2）
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】
此题考查图形规律的探究，根据图形的规律得到代数式的表示结果的规律，由此解答其他问题，根据图形得到等式的计算规律是解题的关键.
28．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）已知a－b＝3，ab＝1，求下列代数式的值
（1）； （2）．
【答案】（1）11；（2）13
【分析】
（1）把已知的式子a－b＝3两边平方后结合已知条件ab＝1解答即可；
（2）先把变形为的形式，再整体代入计算即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴=9+2ab=9+2×1=9+2=11；
（2）=．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形与求值，属于常考题型，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
29．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）利用多项式乘法法则计算：
（1）_______
（2）__________
利用上面计算的结果作为结论，以及自己所学的数学知识解决下列问题．
已知：，．计算下列各式：
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4) ；(5)
【分析】
(1)直接使用多项式乘法法则运算即可；
(2)直接使用多项式乘法法则运算即可；
(3)直接将等式两边平方即可求解；
(4)先求出ab的结果，然后再代入求解即可；
(5)先求出，然后再等式两边平方得到进而求解．
【详解】
解：(1)，
故答案为：；
(2)，
故答案为：；
(3)由，等式两边平方，得到：，
展开：，
故答案为：；
(4)由(3)知，
将代入，求得：，
由(1)得：，
故答案为：；
(5)由(4)知：
∴ ，
展开： ，将代入，即，
∴
展开：，将代入，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查多项式的乘法法则，完全平方公式等，关键是读懂题意，等式两边平方产生题干中要求的高次幂进而求解．
30．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】
先观察整理，利用多项式乘法公式展开，整理后利用平方差公式展开，，再把，合并同类项即可．
【详解】
，
=，
=，
=，
=9．
【点睛】
本题考查整式乘法中的混合计算问题，熟练掌握乘法公式，会用公式的特征，将多项式整理后用公式展开是解题关键．
31．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）计算：
【答案】．
【分析】
先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算即可得．
【详解】
原式，
，
．
【点睛】
本题考查了利用平方差公式、完全平方公式进行运算，熟记乘法公式是解题关键．
32．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）利用乘法公式计算：
【答案】12073．
【分析】
先将2003改写成2000与3的和的形式、2008改写成2000与8的和的形式、1992改写成2000与8的差的形式，再分别利用完全平方公式、平方差公式进行运算即可得．
【详解】
原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查了利用乘法公式进行运算，熟记公式是解题关键．
33．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）甲商店9月份的销售额是m万元，由于十一黄金周的假日效应，预计10月份的销售额增加的百分数是x，各种原因导致11月份销售额与10月份相比减少的百分数是x．
(1)10月份的销售额是多少万元?
(2)11月份的销售额比9月份的销售额减少了多少万元?
【答案】（1）万元；（2）减少了万元．
【分析】
（1）根据“10月份的销售额9月份的销售额（1增加的百分数）”即可得；
（2）先根据“11月份的销售额10月份的销售额（1减少的百分数）”求出11月份的销售额，再利用9月份的销售额减去11月份的销售额即可得．
【详解】
（1）由题意得：10月份的销售额为万元；
（2）11月份的销售额为万元，
则，
，
，
（万元），
答：11月份的销售额比9月份的销售额减少了万元．
【点睛】
本题考查了列代数式、整式的乘法与加减法的应用，依据题意，正确列出代数式是解题关键．
34．（2020·上海南洋中学）计算：；
【答案】
【分析】
先利用平方差公式运算，再利用完全平方公式运算即可解答．
【详解】
解：原式=
=
=．
【点睛】
本题考查平方差公式、完全平方公式，熟记公式是解答的关键．
35．（2020·上海南洋中学）先化简，再求值：，其中；
【答案】，0
【分析】
先利用完全平方公式、合并同类项运算化简括号内的式子，再利用平方差公式进行化简，最后代入数值即可解答．
【详解】
解：
，
当时，
原式=
=4﹣4
=0．
【点睛】
本题考查代数式的化简求值、完全平方公式、平方差公式、有理数混合运算，熟记公式和运算法则是解答的关键．
36．（2020·上海）计算：
【答案】．
【分析】
利用完全平方公式以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】
．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、多项式乘以多项式及合并同类项得相关知识，熟记完全平方公式是解答此题的关键．
37．（2020·上海七年级期末）计算：．
【答案】
【分析】
先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算即可得．
【详解】
解：原式=
=
=
【点睛】
本题考查了利用平方差公式、完全平方公式进行运算，熟记乘法公式是解题关键．
38．（2020·上海七年级期末）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、．
（1）用a，b表示的面积，并化简；
（2）如果点M是线段的中点，联结、、，
①用a，b表示的面积，并化简；
②比较的面积和的面积的大小．
【答案】（1）；（2）①，②．
【分析】
（1）延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出和即可．
（2）①同理延长DC和EF交于点N，根据图可知，求出、和即可．
②用即可得到完全平方式，即可知，从而判断的面积大于的面积．
【详解】
（1）延长DC和EF交于点N，如图，
∴，
∵，．
∴．
（2）①如图，同样延长DC和EF交于点N．
∴．
根据题意可知NF=a-b．
∵M为AE中点，AE=a+b，
∴，
∴，
即，
整理得：．
②，即，
∵，
∴，即．
故的面积大于的面积．
．
【点睛】
本题考查正方形的性质，整式的混合运算以及完全平方式的运用．作出辅助线是解决本题的关键．
39．（2021·上海九年级专题练习）数学活动课上，张老师用图①中的张边长为的正方形、张边长为的正方形和张宽和长分别为与的长方形纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为___________________（用含，的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点为线段上的动点，分别以、为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【答案】（1），验证见解析；（2）需、两种纸片各张，种纸片张；（3）4
【分析】
（1）根据大正方形由1个A、1个B、2个C拼接而成，即可得到答案，然后将式子化简验证；
（2）将化简后即可判断出所需各种纸片的张数；
（3）设，则，根据可得到，然后利用（1）中的式子即可求出，阴影部分的面积为，从而得到阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）；
验证：
（2）
所需、两种纸片各张，种纸片张
（3）设，则
，
由于阴影部分的面积为，
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何应用问题，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
40．（2019·上海市川沙中学南校七年级期中）计算：(2x+y-3)(2x-y+3).
【答案】
【解析】
解：原式
41．（2019·上海七年级期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．
【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.
【解析】
【分析】
（1）①根据面积差可得结论；
②根据图形可以直接得结论；
（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．
【详解】
（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；
②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；
（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．
42．（2018·上海市民办新竹园中学七年级月考）已知：设
(1)求的值
(2)试写出三者之间的关系
(3)根据以上得出的结论，求
【答案】（1），，；（2）；（3）521.
【分析】
（1）首先求出，，然后将S3变形得，整体代入可求其值，同理可求和；
（2）观察（1）中的结果，总结规律可得；
（3）根据（2）中的规律，依次求解，可得.
【详解】
解：（1）∵，，
∵，
，
，
，
；
（2）∵，，，，，
∴，，，
总结规律可得：；
（3）∵，，
∴，
，
，
，
，
，
.
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意求出S2＝3，S3＝4，S4＝7，分析归纳出规律：．
43．（2019·上海市西延安中学七年级月考）已知 x 与 y 是互为相反数，且 ( x 2)2 ( y 1)2 4 ，求 x、y 的值.
【答案】，.
【分析】
根据平方差公式得到[（x＋2）＋（y＋1）][（x＋2）−（y＋1）]＝4，整理得到（x＋y＋3）（x−y+1）＝4，而x＋y＝0，则x−y＝，然后解方程组即可．
【详解】
解：∵（x＋2）2−（y＋1）2＝4，
∴[（x＋2）＋（y＋1）][（x＋2）−（y＋1）]＝4，即（x＋y＋3）（x−y+1）＝4，
∵x，y互为相反数，
∴x＋y＝0①，
∴x−y＝②，
令①+②得2x=
∴，
把代入①得
∴，.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟知a2−b2＝（a＋b）（a−b）．
44．（2019·上海市松江九峰实验学校七年级月考）已知，求和的值.
【答案】5；47
【分析】
把已知条件两边平方，利用完全平方公式展开，然后整理即可得到的值；与的值的过程同理可求的值.
【详解】
；
∵，
∴，即，
∴
【点睛】
本题考查了完全平方公式，利用互为倒数乘积是1是解题的关键，完全平方公式：．
45．（2019·上海市震旦外国语中学）阅读下面内容，并完成题目
通过计算容易得到下列算式: ，，，...
（1）填写计算结果_ __, _ __, _ __，
（2）观察以上各算式都是个位数字为5的数的平方数，可以看出规律，结果的末两位数字都是25，即是原来数字个位数字5的平方，前面的数字就是原来的数去掉5以后的数字乘以比它大1的结果，如: 就是再连着写25得到225，就是再连着写25得到625，就是再连着写25得到1225，...
如果记-一个个位数字是5的多位数为,试用所学知识计算并归纳解释上述规律
【答案】（1）4225，7225，11025；（2）100a（a+1）+25
【分析】
（1）先认真审题，观察已知中算式的计算过程，根据计算过程得出规律，即可得出答案；
（2）根据计算过程得出规律，即可得出答案.
【详解】
解：（1）通过计算，探索规律：
∵152=225可写成100×1×（1+1）+25，
252=625可写成100×2×（2+1）+25，
352=1225可写成100×3×（3+1）+25，…
∴652=4225可写成 100×6×（6+1）+25，
852=7225可写成100×8×（8+1）+25，
1052=11025可写成100×10×（10+1）+25；
（2）依据（1）的结果，归纳猜想得（10a+5）2=100a（a+1）+25，
故答案为（1）4225，7225，11025；（2）100a（a+1）+25.
【点睛】
本考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是能根据求出的结果和算式得出规律，题目比较好，有一定的难度．
46．（2019·上海徐汇区·教院附中七年级月考）已知求a的值.
【答案】.
【分析】
先对等式左边进行变形，使之符合平方差公式，而后计算出结果，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出a值.
【详解】
解：=
==
∵
∴
∴
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，熟悉公式特点并进行正确变形是解题关键.
47．（2019·上海市毓秀学校）已知：a-a-1=6，求下列代数式的值。
(1)a2+a-2
(2)(a+a-1)2
【答案】（1）38;（2）40.
【分析】
（1）根据完全平方公式即可求出答案；
（2）根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】
（1）∵a-a-1=6且（a-a-1）2=a2-2+a-2，
∴36=a2-2+a-2，
∴a2+a-2=38，
（2）∵(a+a-1)2=a2+2+a-2，
由（1）可知：a2+a-2=38，
∴(a+a-1)2=a2+2+a-2=38+2=40.
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
48．（2019·上海市西延安中学七年级期中）填空：已知多项式________是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）
【答案】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】
解：完全平方公式 ，分情况讨论：
（1）当相当于项时， ，可满足题意；
（2）当相当于项时，，可满足题意；
（3）当与相当于a与b，则需要求的是项，则，可满足题意.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
49．（2019·上海市宛平中学七年级期中）
【答案】
【分析】
先通过加括号，凑出平方差公式的形式并进行运算，然后在运用完全平方公式求解即可.
【详解】
解：
=
=
=
【点睛】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，解答的关键在于通过加括号凑出平方差公式的形式.
50．（2019·上海七年级期中）利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198
【分析】
（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；
（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；
（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
【详解】
解：（1）
=
=
=
=，
故答案为：，；
（2）
=
=
=6；
（3）
=
=
=
=14；
（4）
=
=
=
=198
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．
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