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专题03图形的翻折重难点专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版）
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一、单选题
1．下列说法中错误的是（ ）
A．轴对称图形只有一条对称轴
B．中心对称图形只有一个对称中心
C．成轴对称的两个图形只有一条对称轴
D．成中心对称的两个图形只有一个对称中心
【答案】A
【分析】
如果一个图形沿某条直线折叠，直线两侧的部分能完全重合，即为轴对称图形；两个图形沿某条直线折叠后能完全重合，即为成轴对称的两个图形；将某图形沿某点旋转180°后，能与原位置图形完全重合，即为中心对称图形；某图形绕某点旋转180°后能与另一图形完全重合，即为成中心对称的两个图形.
【详解】
解：圆是常见的轴对称图形，其有无数条对称轴，故A错误；B、C、D三个选项的说法均正确.
故选择A.
【点睛】
本题考查了轴对称图形、成轴对称的两个图形、中心对称图形以及成中心对称的两个图形的概念辨析，注意不要混淆.
2．如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可．
【详解】
作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，
与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
△PMN的最小周长为PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，即为线段P1P2的长，
连结OP1、OP2，则OP1=OP2=4，
又∵∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=4，
即△PMN的周长的最小值是4．
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称-最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．
3．下列图形中是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】
根据中心对称图形的定义和各图形的特点即可解决．
【详解】
只有第1个图形绕正五边形的中心旋转72°后与原图形重合，是旋转对称图形，
第2，3个图形绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．即第2，3是中心对称图形，第4个图形是轴对称图形，
故选C．
【点睛】
此题考查中心对称图形，解题关键在于识别图形.
4．从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的（ ）
A．1张B．2张C．3张D．4张
【答案】A
【分析】
根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色特点求解．
【详解】
旋转180∘以后，第2张与第3张，第4张，中间的图形相对位置改变，因而不是中心对称图形；
第1张是中心对称图形.
故选A.
【点睛】
此题考查中心对称图形，解题关键在于掌握图形的识别.
5．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，C点折叠后的点落在的延长线上，则的度数是（ ）
A．85°B．90°C．95°D．100°
【答案】B
【分析】
根据折叠的性质:对应角相等,对应的线段相等,可得．
【详解】
解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB,∠FMB′=∠FMC,
∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°,
∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°,
∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME,
∴∠EMF=90°,故选B．
【点睛】
本题主要考查图形翻折的性质,解决本题的关键是要熟练掌握图形翻折的性质.
6．如果一个正多边形绕着它的中心旋转后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】B
【分析】
根据旋转对称图形的概念判断出多边形的形状，然后根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．
【详解】
解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，
360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形，正12边形，正18边形，…
正六边形，正12边形，正18边形，…既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转对称图形，中心对称图形和轴对称图形的定义．奇数边的正多边形只是轴对称图形，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
7．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形的性质进行判断即可．
【详解】
根据中心对称图形和轴对称图形的性质进行判断
A. 属于中心对称图形，但不属于轴对称图形，错误；
B. 属于中心对称图形，也属于轴对称图形，正确；
C. 属于中心对称图形，但不属于轴对称图形，错误；
D. 既不属于中心对称图形，也不属于轴对称图形，错误；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的问题，掌握中心对称图形和轴对称图形的性质是解题的关键．
8．若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（ ）
A．∠1＝2∠2B．∠1＝3∠2
C．∠1+∠2＝180°D．∠1+2∠2＝180°
【答案】A
【分析】
由折叠可得，∠2=∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ABD=2∠2．
【详解】
解：如图，由折叠可得，∠2=∠ABC，
又∠2+∠ABC=∠ABD，
即：∠ABD=2∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABD（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠ABD=2∠2
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
9．下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A．线段B．矩形C．等腰梯形D．圆
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
A．线段是轴对称图形也是中心对称图形；
B．矩形是轴对称图形也是中心对称图形；
C．等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
D．圆是轴对称图形也是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB = AC = 5，BC=25，D为边AC上一点(点D与点A、C不重合)．将△ABC沿直线BD翻折，使点A落在点E处，联结CE．如果CE // AB，那么AD︰CD =______．
【答案】56．
【解析】
【分析】
作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,根据勾股定理求出BG和CG的值；易证△BCH∽△ABG，得出对应边成比例即可求出BH和CH的值；根据折叠可知AB=BE=5，得出EH及CE的值；根据FH// AB可求出FC；最后根据FC// AB即可求出答案.
【详解】
如图，作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,
∵AC=AB=5,
∴BG=CG=5,AG=52−(5)2=25
∵FH// AB
∴∠ABG=∠BCH
∵∠H=∠AGB=90°
∴△BCH∽△ABG
∴BHAG=BCAB=CHBG
∴BH25=255=CH5
∴BH=4,CH=2
由折叠得， AB=BE=5
∴EH=52−42=3,CE=3-2=1
∵FH// AB
∴∠F=∠ABD=∠EBD
∴EF=BE=5
∴FC=5+1=6
∵FC// AB
∴ADCD=ABFC=56
故答案为56.
【点睛】
本题考查了折叠的性质及相似三角形的判定及性质，作合适的辅助线是解题的关键.
12．如图所示，将长方形纸片ABCD进行折叠，∠FEH=70°，则∠BHE=_______.
【答案】70°
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得∠DEH=∠FEH=70°，再根据两直线平行，内错角相等即可求得答案.
【详解】
由题意得∠DEH=∠FEH=70°，
∵AD//BC，
∴∠BHE=∠DEH=70°，
故答案为：70°.
【点睛】
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质以及平行线的性质是解题的关键.
13．把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与___________重合，这个图形叫做________________，这个定点叫做_______________，旋转的角度叫做___________．旋转角α的范围是________________．
【答案】初始图形 旋转对称图形 旋转对称中心 旋转角 0°＜a＜360°
【解析】
【分析】
根据旋转定义和性质进行解答即可.
【详解】
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°,小于360°）.
故答案为：初始图形，旋转对称图形，旋转对称中心，旋转角，0°＜a＜360°.
【点睛】
此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握其性质定理.
14．把一个图形绕着一个定点旋转_________后，与初始图形重合，那么这个图形叫做________________，这个定点叫做__________________．
【答案】180° 中心对称图形 对称中心
【解析】
【分析】
利用中心对称图形的定义填空
【详解】
把一个图形绕着一个定点旋转180°，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心.
故答案为：180°，中心对称图形，对称中心.
【点睛】
此题考查中心对称图形的定义，解题关键在于掌握其定义.
15．观察下列图形，将其中旋转对称图形和中心对称图形所对应编号填入相应的横线上.
旋转对称图形____________，中心对称图形________________.
【答案】(1)、(2)、(3)、(4)、(6) (1)、(3)、(4)、(6)
【解析】
【分析】
根据旋转对称图形和中心对称图形的定义；仔细观察题中所给的6个图形，即可解答.
【详解】
旋转对称图形：(1)、(2)、(3)、(4)、(6)；中心对称图形：(1)、(3)、(4)、(6)，
故答案为：(1)、(2)、(3)、(4)、(6)； (1)、(3)、(4)、(6).
【点睛】
此题考查中心对称图形，旋转对称图形，解题关键在于掌握其定义.
16．写出一个轴对称图形但不是中心对称图形的四边形：__________________
【答案】等腰梯形（答案不唯一）
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，知符合条件的图形有等腰三角形，等腰梯形，角，射线，正五边形等．
【详解】
是轴对称图形但不是中心对称图形的，例如：等腰梯形，等腰三角形，角，射线，正五边形等．
故答案为：等腰梯形（答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，此题为开放性试题．注意：只要是有奇数条对称轴的图形一定不是中心对称图形．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PB+PE的最小值是________．
【答案】3．
【分析】
根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求解即可．
【详解】
∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处，
∴点C、E关于AD对称，
∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴AC=CD=，
BC=AC=×=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查轴对称确定最短路线问题，翻折变换的性质，解直角三角形，解题关键在于判断出PB+PE取得最小值时点P与点D重合．
18．如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE,将△ADE沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D处，如果∠DEA=，那么∠D1EC=_______度；
【答案】30
【分析】
利用翻折的性质求出∠DED1即可解答.
【详解】
解：由翻折的性质可有，∠D1EA =∠DEA =75°，
∴∠DED1=150°，
∴∠D1EC =180°-150°=30°，
故答案为：30．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及平角的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.
19．如图在长方形ABCD中，点E在边DC上，将△AED沿折痕AE翻折，使得点D落在边BC上的D₁处，如果∠DAE=18º，那么∠ED₁C=____________
【答案】54°.
【分析】
利用翻折不变性求出∠ED1C即可解决问题；
【详解】
解：∵∠EAD1=∠DAE=18º，
∴∠DAD1=∠EAD1+∠DAE=36º，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC.
∴∠AD1B=∠DAD1 =36º.
∵∠AD1E=∠ADB=90°，
∴∠ED₁C=180°-∠AD1E-∠AD1B
=180°-90°-36º
=54°.
故答案为：54°.
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及直角三角形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.
20．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是______.
【答案】等边三角形
【分析】
根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可．
【详解】
正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中、线段和平行四边形和正方形和长方形都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形；故答案为：等边三角形．
【点睛】
此题主要考查了旋转图形的性质，注意中心对称图形也属于旋转图形，但要按要求答题
21．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝9，如果将△BCD沿BD翻折与△BED重合，点C的对应点E落在边AB上，那么△AED的周长是_____．
【答案】11
【分析】
由翻折的性质可知：DC＝DE，BC＝EB，于是可得到AD+DE＝9，AE＝2，即可得出结果．
【详解】
由翻折的性质可知：DC＝DE，BC＝EB＝8，
∴AD+DE＝AD+DC＝AC＝9，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CB＝10﹣8＝2，
∴△ADE的周长＝9+2＝11，
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键
22．已知，在中，，是边上的高，将沿折叠，点落在直线上的点，，那么的长是______．
【答案】2或4
【分析】
根据题意画出图形，分点落在线段AB的延长线上和落在线段AB上两种情况解答．
【详解】
如图，若点落在线段AB的延长线上，
∵，
∴
∴
∴BD=
如图，若点落在线段AB上，
∵，
∴
∴
∴BD=
所以BD的长为2或4.
故答案为：2或4
【点睛】
本题考查的是翻折变换及线段的加减，注意分类讨论是解答本题的关键．
23．长为5，宽为的长方形纸片（），如图那样翻折，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（成为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样翻折，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；若在第3次操作后，剩下的图形为正方形，则的值为__________．
【答案】3或
【分析】
先根据题意可知：当＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a、宽为5-a，第二次操作时正方形的边长为5-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为5-a、2a-5，然后分别从5-a＞2a-5与5-a＜2a-5去分析且列出一元一次方程求解即可得出正确答案．
【详解】
解：由题意可知：
当＜a＜5时，
第一次操作后剩下的矩形的长为a、宽为5-a，
∴第二次操作时剪下正方形的边长为5-a，
第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为5-a、2a-5．
此时，分两种情况：
①如果5-a＞2a-5，则a＜，
即＜a＜，
那么第三次操作时正方形的边长为2a-5．
则2a-5=(5-a)-(2a-5)，
解得a=3；
②如果5-a＜2a-5，则a＞，
即＜a＜20，
那么第三次操作时正方形的边长为5-a．
则5-a=(2a-5)-(5-a)，
解得a=．
∴当n=3时，a的值为3或．
故答案为:3或．
【点睛】
本题考查的知识点有折叠的性质、矩形的性质、分类讨论思想、数形结合思想、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用．解题关键是 掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用以及注意折叠中的对应关系．
24．若点P(a,b)关于y轴的对称点是P1 ,而点P1关于x轴的对称点是P ,若点P的坐标为(-3,4),则a=_____,b=______
【答案】a=3 b=-4
【分析】
先求得P1的坐标,再根据点P1关于x轴的对称点是P,则即可求得a与b的值
【详解】
由于P1与P2关于x轴对称，P2的坐标为（-3，4），则P1的坐标为（-3，-4），
点P（a，b）关于y轴对称的点是P1，则P点的坐标为（3，-4），
则a=3，b=-4.
【点睛】
此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，难度不大
25．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．
【答案】5 种
【分析】
根据轴对称图形的性质分别得出即可．
【详解】
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1，3，7，6，5，选择的位置共有5处.
26．在线段、角、长方形、圆这四个图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是_________．
【答案】角
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可得．
【详解】
线段是轴对称图形，也是中心对称图形，
角是轴对称图形，不是中心对称图形，
长方形是轴对称图形，也是中心对称图形，
圆是轴对称图形，也是中心对称图形，
故答案为：角．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
27．如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与成轴对称．
【答案】5
【分析】
画出所有与成轴对称的三角形．
【详解】
解：如图所示：
和对称，
和对称，
和对称，
和对称，
和对称，
故答案是：5．
【点睛】
本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，点D为边AB上一点．将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，联结AE．如果AE // CD，那么BE =________．
【答案】（或4.8）
【解析】
【分析】
过D作DG⊥BC于G，依据折叠的性质即可得到CD垂直平分BE，再根据AE∥CD，得出CD＝BD＝2.5，进而得到BG＝1.5，再根据BC×DG＝CD×BF，即可得到BF的长，即可得出BE的长．
【详解】
解：如图所示，过D作DG⊥BC于G，
由折叠可得，CD垂直平分BE，
∴当CD∥AE时，∠AEB＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB+∠DEA＝90°，∠DBE+∠DAE＝90°，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
∴AD＝BD，
∴D是AB的中点，
∴Rt△ABC中，CD＝BD＝2.5，
∵DG⊥BC，
∴BG＝1.5，
∴Rt△BDG中，DG＝2，
∵BC×DG＝CD×BF，
∴BF＝ ＝，
∴BE＝2BF＝，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点在直线上，把沿着直线翻折，点落在点处，联结，如果直线与直线所构成的夹角为60°，那么点的坐标是____________
【答案】或或
【分析】
先由已知求出，得出，，分或两种情况，
当时，又分两种情况：延长PQ交OB于点N，则，，由折叠得出，求出，由勾股定理得出，，即可得出P点的坐标；，，，即可得出P点的坐标；
当时，Q点与A点重合，，，即可得出P点的坐标；
【详解】
解：，，，
，，，，
，
，
，
，
，
直线PQ与直线AB所构成的夹角为，
或，
当时，分两种情况：
如图1所示：延长PQ交OB于点N，则，
，即，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
点的坐标为：；
如图2所示：，，
，
点的坐标为：；
当时，如图3所示：Q点与A点重合，
由折叠得：，
，
点的坐标为：；
综上所述：P点的坐标为：或或．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数、坐标等知识，熟练掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质，并进行分类讨论是关键．
三、解答题
30．已知三角形和直线，画出三角形关于直线成轴对称的三角形.
【答案】.
【分析】
分别作出A、B、C三个点关于直线l的对称点A’、B’、C’，再顺次连接三个点即可得到其对称三角形.
【详解】
解：如下图所示，
【点睛】
本题考查了轴对称的作图，通过确定对称点从而确定轴对称三角形是解题关键.
31．如图是由5个同样的小正方形所组成的，请再补上一个同样的小正方形，使6个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，请至少画出三种方法．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
【详解】
如图所示：
．
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
32．计算：
【答案】a−b+2bc−c
【解析】
【分析】
将原式化为[a-（b-c）][a+（b-c）]，构造成平方差公式的形式，然后再适当运用完全平方公式计算．
【详解】
原式=[a−(b−c)][a+(b−c)]=a −(b−c) =a−b+2bc−c.
故答案为：a−b+2bc−c.
【点睛】
此题考查完全平方公式，平方差公式，解题关键在于掌握运算法则.
33．分解因式：
【答案】(x−3y+2)(x+3y−2).
【解析】
【分析】
把多项式分成两组得到原式=x-（9y-12y+4），把后面一组利用完全平方公式分解，然后再根据平方差分解因式即可．
【详解】
原式=x−(9y−12y+4)=x−(3y−2) =(x−3y+2)(x+3y−2)
故答案为：(x−3y+2)(x+3y−2).
【点睛】
此题考查因式分解-分组分解法，解题关键在于掌握运算法则.
34．分解因式：；
【答案】(x−6)(x+2).
【解析】
【分析】
因为-6×2=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
=(x−6)(x+2).
故答案为：(x−6)(x+2).
【点睛】
此题考查因式分解-十字相乘法等，解题关键在于掌握运算法则.
35．解方程：
【答案】x=0，x=2.
【解析】
【分析】
本题的最简公分母是（x+1）（x-1）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．
【详解】
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得
(x+1) −3(x−1) =2(x+1)(x−1)，
整理得x−2x=0，
解得x =0，x=2.
检验：当x=0或2时，(x+1)(x−1)≠0.
∴x=0或2均是原方程的根.
【点睛】
此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则.
36．用四块如图1所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，请你在图2，、图3、图4中各画一种拼法.要求：其中一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；一个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形.
【答案】图见解析
【分析】
轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
【详解】
解：如图所示：图2既是轴对称图形，又是中心对称图形；图3是轴对称图形，但不是中心对称图形；图4是中心对称图形，但不是轴对称图形.
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，注意两个概念的区别.
37．在直角坐标平面内，已知点的坐标，点位置如图所示，点与点关于原点对称。
（1）在图中描出点；写出图中点的坐标：______________，点的坐标：_______________；
（2）画出关于轴的对称图形，并求出四边形的面积。
【答案】（1）点位置见解析；B；C；（2）21
【分析】
（1）直接在图中描出点A，得出点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标写出C点坐标；
（2）描点得到△ABC，利用关于y轴对称的点的坐标特征得出A、B、C的对称点A′、B′、C′的位置，顺次连接得到△A'B'C'，然后通过计算三个三角形的面积去计算四边形A'B'C'C的面积．
【详解】
（1）如图，点为所作；B点坐标为（-2，3），C点坐标为（2，-3）；
（2）如图，△A'B'C'为所作，四边形A'B'C'C的面积=×3×5+×3×4+×5×3=21．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
38．如图，在梯形ABCD中，∠BCD=∠D=90º，上底AD=3，下底BC=，高CD=4，沿AC把梯形ABCD翻折，点D是恰好落在AB边上的点E处，求△BCE面积。
【答案】 .
【分析】
先根据梯形的面积计算公式求出梯形的面积，再根据三角形的面积计算公式求出三角形ACD的面积，然后根据折叠的性质，可得到三角形ACE的面积，三角形BCE的面积=梯形的面积-三角形ACD的面积-三角形ACE的面积，从而问题得解.
【详解】
解：∵△ACE是△ACD折叠得到，
∴∠AEC=∠D=90°，AE=AD=3,CE=CD=4.
∴△ACE的面积=△ACD的面积=43=6.
∵梯形ABCD的面积=
∴△BCE面积=梯形ABCD的面积-△ACE的面积-△ACD的面积
= -6-6
=
答：△BCE面积是 .
【点睛】
本题考查了梯形的面积计算和折叠的性质，把要求的三角形面积转化成求梯形面积再减其它三角形面积是解题的关键.
39．已知：AB、CD 是圆O 的两条直径，且∠AOD =α（0° < α < 90°），点P是扇形AOD内任意一点．点P将AB、CD所在直线依次轮流作为对称轴翻折，将点P关于AB对称的点记为点P1 ，点P1关CD 对称的点记为点P2，点 P2 关于AB 对称的点记为点P3，…．
（1）根据所给图中点P 的位置，分别画出点 P 1、P 1；（不写作图步骤，但要保留作图痕迹）
（2）分别联结OP、OP1、OP2，那么线段OP、OP1、OP2 之间的数量关系是：OP OP1 OP2（填空，不要求写出过程）；
（3）由（1）、（2）可知，点 P 绕点O旋转可以到达点P2的位置，如果 α=60°，OP= a，求线段 OP顺时针旋转到OP2 过程中扫过的面积；
（4）在 α 取某些特定值的时候，如果按照这样的方式翻折，总能得到一点Pn与点P 重合， 求当n =12，点 P12 与点P 第一次重合时 α 的值．（直接写出结果，不要求写出过程）
【答案】(1)见详解 (2)= = (3) (4)
【分析】
(1)见详解图；
(2)根据垂直平分线的性质可以知道都是相等的；
(3)根据转过的圆心角代入到扇形的面积公式，可以求出面积；
(4)根据题意可以得出答案,
【详解】
解：(1)如图所示：
(2)如图所示：相等；
(3)如上图所示：
设，则,
,
到所扫过的角度为：，
且其扫过的面积为扇形的面积，
；
(4)根据规律可得：
，
故与第一次重合时.
【点睛】
本题考查的是关于对称点的问题，解题关键在于对图形以及角度把握的准确与否.
40．如图O是正五边形ABCDE的中心，OA=1．
（1）△ODE绕着点 按 方向旋转 度，可以得到△OBC；
（2） △ODE沿 所在直线翻折，可以得到三角形 ．
【答案】（1）O，顺时针，144；(或逆时针 216);（2） OD，△ODC．（或OC，△OAB）
【分析】
（1）先计算出正五边形的每各内角的度数，然后找到旋转中心，按照顺时针或逆时针找到一条对应边，看对应边的夹角是多少即可.
（2）根据翻折的性质，图形沿某条直线翻折，翻折后与翻折前图形能够完全重合，依次解决即可.
【详解】
解：（1）正五边形的每各内角为360÷5=72，即72度，分两种情况讨论：
①△ODE绕着点O按顺时针方向旋转144度，即OE与OC重合，OD与OB,旋转角为∠DOB或∠EOC,可以得到△OBC；
②△ODE绕着点O按逆时针方向旋转216度，即OE与OC重合，OD与OB,可以得到△OBC；
(2)根据翻折的性质，翻折前后图形能够完全重合，即成轴对称，那条直线即为对称轴，可分两种情况：①故△ODE沿OD所在直线翻折，可以得到三角形ODC．
②故△ODE沿OC所在直线翻折，可以得到三角形OAB．
【点睛】
本题考查了旋转和翻折的相关性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转和翻折的相关性质，能够根据相关性质找到相对应的边和角.
41．如图，已知三角形、直线以及线段的延长线上一点．
（1）画出三角形关于直线对称的；
（2）画出三角形绕着点旋转后的；
【答案】（1）见解析． （2）见解析．
【分析】
（1）根据轴对称图形的性质进行作图即可；
（2）根据旋转的性质进行作图即可．
【详解】
（1）如图所示
（2）如图所示
【点睛】
本题考查了作图的问题，掌握轴对称图形的性质以及旋转的性质是解题的关键．
42．生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图的顺序进行(其中阴影部分表示纸条的反面):
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长厘米，分别回答下列问题:
（1）如图①、图②，如果长方形纸条的宽为厘米，并且开始折叠时厘米，那么在图②中，____厘米．
（2）如图②，如果长方形纸条的宽为厘米，现在不但要折成图②的形状，还希望纸条两端超出点的部分和相等，使图②． 是轴对称图形，______厘米．
（3）如图④，如果长方形纸条的宽为厘米，希望纸条两端超出点的部分和相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离(结果用表示) ．
【答案】（1）16； （2）11； （3）
【分析】
（1）观察图形，由折叠的性质可得，BE=纸条的长—宽—AM；
（2）根据折叠的性质可得，，BE=纸条的长—宽—AM，即可求出AM的长；
（3）根据轴对称的性质，由图可得，继而可得在开始折叠时起点M与点A的距离．
【详解】
（1）∵由折叠的性质可得，BE=纸条的长—宽—AM
∴图②中；
（2）∵，宽为4cm
∴BE=纸条的长—宽—AM
；
（3）∵图④为轴对称图形
∴
∴
即开始折叠时点M与点A的距离是厘米．
【点睛】
本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质是解题的关键．
43．如图，在的方格纸中，将向右平移4个单位长度得到,关于直线对称的图形为，将绕点旋转得.
（1）在方格纸中画出、和；
（2）在、和中，哪两个三角形成轴对称？
（3）在、和中，哪两个三角形成中心对称？
【答案】（1）见解析；（2）和；（3）△ABC和
【分析】
（1）根据平移的性质、轴对称的性质以及旋转的性质画图即可；
（2）根据轴对称的定义，观察图形解答即可；
（3）根据中心对称的定义，观察图形解答即可；
【详解】
（1）如图，、和即为所求；
（2）根据轴对称的定义，和成轴对称；
（3）根据中心对称的定义，△ABC和成中心对称；
【点睛】
本题考查了平移作图、轴对称作图、旋转作图，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、旋转的性质以及中心对称的定义是解答本题的关键．
44．在直角坐标平面内，点A1、B1、C1的坐标如图所示．
（1）请写出点A1、B1、C1的坐标：
点A1的坐标是 ；
点B1的坐标是 ；
点C1的坐标是 ．
（2）将点A1绕原点逆时针旋转90°得到点A，则点A的坐标是 ．
（3）若点B1与点B关于原点对称，则点B的坐标是 ．
（4）将C1沿x轴翻折得到点C，则点C的坐标是 ．
（5）分别联结AB、BC、AC，得到△ABC，则△ABC的面积是 ．
【答案】（1）（3，0）；（﹣5，﹣3）；（3，2）；（2）（0，3）；（3）（5，3）；（4）（3，﹣2）；（5）．
【分析】
（1）根据在坐标系所处的位置即可得到点的坐标；
（2）根据旋转的性质即可求得点A的坐标；
（3）根据中心对称的性质即可求得点B的坐标；
（4）根据轴对称的性质即可求得点C的坐标；
（5）以AB为底，利用三角形的面积公式即可得到△ABC的面积．
【详解】
解：（1）在直角坐标平面内，点A1、B1、C1的坐标如图所示：
点A1的坐标是（3，0）；点B1的坐标是 （﹣5，﹣3）；点C1的坐标是 （3，2），
故答案为：（3，0）；（﹣5，﹣3）；（3，2）；
（2）将点A1绕原点逆时针旋转90°得到点A，则点A的坐标是（0，3），
故答案为：（0，3）；
（3）若点B1与点B关于原点对称，则点B的坐标是（5，3），
故答案为：（5，3）；
（4）将C1沿x轴翻折得到点C，则点C的坐标是（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）；
（5）分别连接AB、BC、AC，得到△ABC，则△ABC的面积是：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化-旋转，轴对称，中心对称，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
45．如图，已知的三个顶点在小方格顶点上（小方格的边长为1个单位长度），按下列要求画出图形和回答问题：
（1）在图中画出：绕点C按顺时针方向旋转后的图形；
（2）在图中画出：（1）中的关于直线MN的轴对称的图形；
（3）在（2）中的可以用原通过怎样的一次运动得到的？请你完整地描述这次运动的过程．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）将沿着翻折一次可得到．
【分析】
（1）先根据旋转的定义画出点，再顺次连接即可得；
（2）先根据轴对称的定义画出点，再顺次连接即可得；
（3）先根据旋转和轴对称的性质可得，，与重合，再根据翻折的定义即可得．
【详解】
（1）先根据旋转的定义画出点，再顺次连接即可得，如图所示：
（2）先根据轴对称的定义画出点，再顺次连接即可得，如图所示：
（3）由旋转和轴对称的性质得：，，与重合，
则将沿着翻折一次即可得到．
【点睛】
本题考查了画旋转图形、画轴对称图形、图形的翻折，熟练掌握图形的运动是解题关键．
46．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）若，．
①请画出平面直角坐标系，并作出关于轴对称的；
②在轴上取一点，使得最短，则坐标是______；
（2）作出线段的中点；
（3）点是格点，且，则点有_____个．
【答案】（1）①见解析，②；（2）见解析；（3）3
【分析】
（1）①分别找到A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，连接A A1、B B1、C C1即可得；
②根据直角坐标系和点，，确定点A（3,5），找到点A1（﹣3,5）关于x轴的对称点（﹣3，﹣5），连接交x轴于点P，求出直线的解析式，令y=0，即可求出点P的坐标；
（2）根据尺规作图求线段中点的方法即可求得点Q的坐标；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点的的距离相等即可求解．
【详解】
（1）如图所示：
②∵点，，
∴点A（3,5），
∴点A1（﹣3,5）B1、（﹣1,4）
∴点A1（﹣3,5）关于x轴的对称点（﹣3，﹣5），
连接交x轴于点P，
∴直线的解析式：，
令y=0，
即可求出点P的坐标（，0）；
（2）分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作圆，交于M、N两点，连接MN交BC于点Q，点Q即为所求点；
（3）∵
∴M在BC的线段垂直平分线上，
∵点是格点，
∴如图所示：共有3个符合题意的点
【点睛】
本题主要考查作图—轴对称图形、线段中点，涉及到最短路线问题、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识．
47．如图Z字形图形的顶点，在小方格顶点上，小方格的边长为一个单位长度。按下列要求画出图形。
（1）画出Z字形图形，关于对角线MN对称的图形；
（2）画出Z字形图形关于点O对称的图形，所画出的图形还可以用原Z字形图形通过怎样的运动得到？请你完整地描述其具体的运动过程.
【答案】（1）图形见详解；（2）图形见详解，所画出的图形还可以用原Z字形图形向右平移6个单位长度得到.
【分析】
（1）根据轴对称画出图形即可.
（2）根据中心对称画出图形，由图形可知所画出的图形是由原图形向由平移得到的.
【详解】
如图：
如图，所画出的图形还可以用原Z字形图形向右平移6个单位长度得到.
【点睛】
此题考察轴对称、中心对称图形的画法，掌握两个对称的性质即可解答.
48．如图，已知三角形纸片，将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边交于点．
（1）画出直线；
（2）若点关于直线的对称点为点，请画出点；
（3）在（2）的条件下，联结，如果的面积为2，的面积为，那么的面积等于 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12
【分析】
（1）画出线段AC的垂直平分线即为直线DE；
（2）作出点B关于直线DE的对称点F即可；
（3）先求得S△AEC=8，＝2，再求得＝＝和 ＝＝，再代入S△AEC的面积即可求得．
【详解】
（1）直线DE如图所示：
（2）点F如图所：
（3）连接AE，如图所示：
由对折可得：S△AED=S△DEC,S△BDE=S△DEF，
∴S△AEC=8，＝2，
设△BED中BE边上的高为h，
，即，则2BE=EC，
设△AEC中EC边上的高为h'，则：
，
∴．
【点睛】
考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
49．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．
（1）当，时，求线段FD的长度；
（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；
（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．
【答案】（1）4；（2）图见解析，或；（3）=
【分析】
（1）根据折叠的性质可得AF=AB=6，从而求出结论；
（2）根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出FD和DG，根据题意列出方程即可求出结论；
（3）过点H作HM⊥EF于M，根据用a和b表示出S△HFE和S四边形ABCD，结合已知等式即可求出结论．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得AF=AB=6
∵
∴FD=AD－AF=4；
（2）若点G落在线段FD上时，如下图所示
由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FD－FG=10－2x
∵
∴
解得：；
若点G落在线段FD的延长线上时，如下图所示
由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FG－FD=2x－10
∵
∴
解得：；
综上：或；
（3）如下图所示，过点H作HM⊥EF于M
∴HM=FD，
由题意可知：AF=AB=b，EF=AB=b，
∴FD=AD－AF=a－b
∴HM=a－b
∴S△HFE=EF·HM=b（a－b），S四边形ABCD=AD·AB=ab
∵
∴
整理可得：
∴=．
【点睛】
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握折叠的性质是解题关键．
50．如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在处，顶点D落在处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边与边重合，若，求_______，_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边落在内部，若，设，，求与之间的数量关系，并直接写出，的取值范围．
【答案】（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°
【分析】
（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=∠A′BD=60°；
（2）由折叠的性质得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的关系，再结合BD在∠1内部，可得各自的范围．
【详解】
解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，
∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，
∴∠2=∠DBE=∠A′BD=60°，
∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．
（2）由折叠的性质可得：
∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，
∴∠A′BD=180°-∠ABC-∠1=100°，
∵∠A′BD=∠DBD′-∠A′BD′，∠A′BD′=α，
∴2β-α=100°，
∴α=2β-100°，
∵BD在∠1内部，
∴0°＜α＜40°，
∴0°＜2β-100°＜40°，
∴50°＜β＜70°．
【点睛】
本题考查翻折变换，平角的性质等知识，解题的关键是利用法则不变性解决问题，属于基础题，中考常考题型．
一、单选题
1．下列说法中错误的是（ ）
A．轴对称图形只有一条对称轴
B．中心对称图形只有一个对称中心
C．成轴对称的两个图形只有一条对称轴
D．成中心对称的两个图形只有一个对称中心
【答案】A
【分析】
如果一个图形沿某条直线折叠，直线两侧的部分能完全重合，即为轴对称图形；两个图形沿某条直线折叠后能完全重合，即为成轴对称的两个图形；将某图形沿某点旋转180°后，能与原位置图形完全重合，即为中心对称图形；某图形绕某点旋转180°后能与另一图形完全重合，即为成中心对称的两个图形.
【详解】
解：圆是常见的轴对称图形，其有无数条对称轴，故A错误；B、C、D三个选项的说法均正确.
故选择A.
【点睛】
本题考查了轴对称图形、成轴对称的两个图形、中心对称图形以及成中心对称的两个图形的概念辨析，注意不要混淆.
2．如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可．
【详解】
作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，
与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
△PMN的最小周长为PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，即为线段P1P2的长，
连结OP1、OP2，则OP1=OP2=4，
又∵∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=4，
即△PMN的周长的最小值是4．
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称-最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．
3．下列图形中是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】
根据中心对称图形的定义和各图形的特点即可解决．
【详解】
只有第1个图形绕正五边形的中心旋转72°后与原图形重合，是旋转对称图形，
第2，3个图形绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．即第2，3是中心对称图形，第4个图形是轴对称图形，
故选C．
【点睛】
此题考查中心对称图形，解题关键在于识别图形.
4．从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的（ ）
A．1张B．2张C．3张D．4张
【答案】A
【分析】
根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色特点求解．
【详解】
旋转180∘以后，第2张与第3张，第4张，中间的图形相对位置改变，因而不是中心对称图形；
第1张是中心对称图形.
故选A.
【点睛】
此题考查中心对称图形，解题关键在于掌握图形的识别.
5．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，C点折叠后的点落在的延长线上，则的度数是（ ）
A．85°B．90°C．95°D．100°
【答案】B
【分析】
根据折叠的性质:对应角相等,对应的线段相等,可得．
【详解】
解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB,∠FMB′=∠FMC,
∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°,
∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°,
∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME,
∴∠EMF=90°,故选B．
【点睛】
本题主要考查图形翻折的性质,解决本题的关键是要熟练掌握图形翻折的性质.
6．如果一个正多边形绕着它的中心旋转后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】B
【分析】
根据旋转对称图形的概念判断出多边形的形状，然后根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．
【详解】
解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，
360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形，正12边形，正18边形，…
正六边形，正12边形，正18边形，…既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转对称图形，中心对称图形和轴对称图形的定义．奇数边的正多边形只是轴对称图形，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
7．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形的性质进行判断即可．
【详解】
根据中心对称图形和轴对称图形的性质进行判断
A. 属于中心对称图形，但不属于轴对称图形，错误；
B. 属于中心对称图形，也属于轴对称图形，正确；
C. 属于中心对称图形，但不属于轴对称图形，错误；
D. 既不属于中心对称图形，也不属于轴对称图形，错误；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的问题，掌握中心对称图形和轴对称图形的性质是解题的关键．
8．若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（ ）
A．∠1＝2∠2B．∠1＝3∠2
C．∠1+∠2＝180°D．∠1+2∠2＝180°
【答案】A
【分析】
由折叠可得，∠2=∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ABD=2∠2．
【详解】
解：如图，由折叠可得，∠2=∠ABC，
又∠2+∠ABC=∠ABD，
即：∠ABD=2∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABD（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠ABD=2∠2
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
9．下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A．线段B．矩形C．等腰梯形D．圆
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
A．线段是轴对称图形也是中心对称图形；
B．矩形是轴对称图形也是中心对称图形；
C．等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
D．圆是轴对称图形也是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB = AC = 5，BC=25，D为边AC上一点(点D与点A、C不重合)．将△ABC沿直线BD翻折，使点A落在点E处，联结CE．如果CE // AB，那么AD︰CD =______．
【答案】56．
【解析】
【分析】
作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,根据勾股定理求出BG和CG的值；易证△BCH∽△ABG，得出对应边成比例即可求出BH和CH的值；根据折叠可知AB=BE=5，得出EH及CE的值；根据FH// AB可求出FC；最后根据FC// AB即可求出答案.
【详解】
如图，作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,
∵AC=AB=5,
∴BG=CG=5,AG=52−(5)2=25
∵FH// AB
∴∠ABG=∠BCH
∵∠H=∠AGB=90°
∴△BCH∽△ABG
∴BHAG=BCAB=CHBG
∴BH25=255=CH5
∴BH=4,CH=2
由折叠得， AB=BE=5
∴EH=52−42=3,CE=3-2=1
∵FH// AB
∴∠F=∠ABD=∠EBD
∴EF=BE=5
∴FC=5+1=6
∵FC// AB
∴ADCD=ABFC=56
故答案为56.
【点睛】
本题考查了折叠的性质及相似三角形的判定及性质，作合适的辅助线是解题的关键.
12．如图所示，将长方形纸片ABCD进行折叠，∠FEH=70°，则∠BHE=_______.
【答案】70°
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得∠DEH=∠FEH=70°，再根据两直线平行，内错角相等即可求得答案.
【详解】
由题意得∠DEH=∠FEH=70°，
∵AD//BC，
∴∠BHE=∠DEH=70°，
故答案为：70°.
【点睛】
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质以及平行线的性质是解题的关键.
13．把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与___________重合，这个图形叫做________________，这个定点叫做_______________，旋转的角度叫做___________．旋转角α的范围是________________．
【答案】初始图形 旋转对称图形 旋转对称中心 旋转角 0°＜a＜360°
【解析】
【分析】
根据旋转定义和性质进行解答即可.
【详解】
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°,小于360°）.
故答案为：初始图形，旋转对称图形，旋转对称中心，旋转角，0°＜a＜360°.
【点睛】
此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握其性质定理.
14．把一个图形绕着一个定点旋转_________后，与初始图形重合，那么这个图形叫做________________，这个定点叫做__________________．
【答案】180° 中心对称图形 对称中心
【解析】
【分析】
利用中心对称图形的定义填空
【详解】
把一个图形绕着一个定点旋转180°，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心.
故答案为：180°，中心对称图形，对称中心.
【点睛】
此题考查中心对称图形的定义，解题关键在于掌握其定义.
15．观察下列图形，将其中旋转对称图形和中心对称图形所对应编号填入相应的横线上.
旋转对称图形____________，中心对称图形________________.
【答案】(1)、(2)、(3)、(4)、(6) (1)、(3)、(4)、(6)
【解析】
【分析】
根据旋转对称图形和中心对称图形的定义；仔细观察题中所给的6个图形，即可解答.
【详解】
旋转对称图形：(1)、(2)、(3)、(4)、(6)；中心对称图形：(1)、(3)、(4)、(6)，
故答案为：(1)、(2)、(3)、(4)、(6)； (1)、(3)、(4)、(6).
【点睛】
此题考查中心对称图形，旋转对称图形，解题关键在于掌握其定义.
16．写出一个轴对称图形但不是中心对称图形的四边形：__________________
【答案】等腰梯形（答案不唯一）
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，知符合条件的图形有等腰三角形，等腰梯形，角，射线，正五边形等．
【详解】
是轴对称图形但不是中心对称图形的，例如：等腰梯形，等腰三角形，角，射线，正五边形等．
故答案为：等腰梯形（答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，此题为开放性试题．注意：只要是有奇数条对称轴的图形一定不是中心对称图形．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PB+PE的最小值是________．
【答案】3．
【分析】
根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求解即可．
【详解】
∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处，
∴点C、E关于AD对称，
∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴AC=CD=，
BC=AC=×=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查轴对称确定最短路线问题，翻折变换的性质，解直角三角形，解题关键在于判断出PB+PE取得最小值时点P与点D重合．
18．如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE,将△ADE沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D处，如果∠DEA=，那么∠D1EC=_______度；
【答案】30
【分析】
利用翻折的性质求出∠DED1即可解答.
【详解】
解：由翻折的性质可有，∠D1EA =∠DEA =75°，
∴∠DED1=150°，
∴∠D1EC =180°-150°=30°，
故答案为：30．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及平角的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.
19．如图在长方形ABCD中，点E在边DC上，将△AED沿折痕AE翻折，使得点D落在边BC上的D₁处，如果∠DAE=18º，那么∠ED₁C=____________
【答案】54°.
【分析】
利用翻折不变性求出∠ED1C即可解决问题；
【详解】
解：∵∠EAD1=∠DAE=18º，
∴∠DAD1=∠EAD1+∠DAE=36º，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC.
∴∠AD1B=∠DAD1 =36º.
∵∠AD1E=∠ADB=90°，
∴∠ED₁C=180°-∠AD1E-∠AD1B
=180°-90°-36º
=54°.
故答案为：54°.
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及直角三角形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.
20．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是______.
【答案】等边三角形
【分析】
根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可．
【详解】
正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中、线段和平行四边形和正方形和长方形都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形；故答案为：等边三角形．
【点睛】
此题主要考查了旋转图形的性质，注意中心对称图形也属于旋转图形，但要按要求答题
21．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝9，如果将△BCD沿BD翻折与△BED重合，点C的对应点E落在边AB上，那么△AED的周长是_____．
【答案】11
【分析】
由翻折的性质可知：DC＝DE，BC＝EB，于是可得到AD+DE＝9，AE＝2，即可得出结果．
【详解】
由翻折的性质可知：DC＝DE，BC＝EB＝8，
∴AD+DE＝AD+DC＝AC＝9，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CB＝10﹣8＝2，
∴△ADE的周长＝9+2＝11，
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键
22．已知，在中，，是边上的高，将沿折叠，点落在直线上的点，，那么的长是______．
【答案】2或4
【分析】
根据题意画出图形，分点落在线段AB的延长线上和落在线段AB上两种情况解答．
【详解】
如图，若点落在线段AB的延长线上，
∵，
∴
∴
∴BD=
如图，若点落在线段AB上，
∵，
∴
∴
∴BD=
所以BD的长为2或4.
故答案为：2或4
【点睛】
本题考查的是翻折变换及线段的加减，注意分类讨论是解答本题的关键．
23．长为5，宽为的长方形纸片（），如图那样翻折，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（成为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样翻折，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；若在第3次操作后，剩下的图形为正方形，则的值为__________．
【答案】3或
【分析】
先根据题意可知：当＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a、宽为5-a，第二次操作时正方形的边长为5-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为5-a、2a-5，然后分别从5-a＞2a-5与5-a＜2a-5去分析且列出一元一次方程求解即可得出正确答案．
【详解】
解：由题意可知：
当＜a＜5时，
第一次操作后剩下的矩形的长为a、宽为5-a，
∴第二次操作时剪下正方形的边长为5-a，
第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为5-a、2a-5．
此时，分两种情况：
①如果5-a＞2a-5，则a＜，
即＜a＜，
那么第三次操作时正方形的边长为2a-5．
则2a-5=(5-a)-(2a-5)，
解得a=3；
②如果5-a＜2a-5，则a＞，
即＜a＜20，
那么第三次操作时正方形的边长为5-a．
则5-a=(2a-5)-(5-a)，
解得a=．
∴当n=3时，a的值为3或．
故答案为:3或．
【点睛】
本题考查的知识点有折叠的性质、矩形的性质、分类讨论思想、数形结合思想、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用．解题关键是 掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用以及注意折叠中的对应关系．
24．若点P(a,b)关于y轴的对称点是P1 ,而点P1关于x轴的对称点是P ,若点P的坐标为(-3,4),则a=_____,b=______
【答案】a=3 b=-4
【分析】
先求得P1的坐标,再根据点P1关于x轴的对称点是P,则即可求得a与b的值
【详解】
由于P1与P2关于x轴对称，P2的坐标为（-3，4），则P1的坐标为（-3，-4），
点P（a，b）关于y轴对称的点是P1，则P点的坐标为（3，-4），
则a=3，b=-4.
【点睛】
此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，难度不大
25．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．
【答案】5 种
【分析】
根据轴对称图形的性质分别得出即可．
【详解】
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1，3，7，6，5，选择的位置共有5处.
26．在线段、角、长方形、圆这四个图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是_________．
【答案】角
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可得．
【详解】
线段是轴对称图形，也是中心对称图形，
角是轴对称图形，不是中心对称图形，
长方形是轴对称图形，也是中心对称图形，
圆是轴对称图形，也是中心对称图形，
故答案为：角．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
27．如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与成轴对称．
【答案】5
【分析】
画出所有与成轴对称的三角形．
【详解】
解：如图所示：
和对称，
和对称，
和对称，
和对称，
和对称，
故答案是：5．
【点睛】
本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，点D为边AB上一点．将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，联结AE．如果AE // CD，那么BE =________．
【答案】（或4.8）
【解析】
【分析】
过D作DG⊥BC于G，依据折叠的性质即可得到CD垂直平分BE，再根据AE∥CD，得出CD＝BD＝2.5，进而得到BG＝1.5，再根据BC×DG＝CD×BF，即可得到BF的长，即可得出BE的长．
【详解】
解：如图所示，过D作DG⊥BC于G，
由折叠可得，CD垂直平分BE，
∴当CD∥AE时，∠AEB＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB+∠DEA＝90°，∠DBE+∠DAE＝90°，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
∴AD＝BD，
∴D是AB的中点，
∴Rt△ABC中，CD＝BD＝2.5，
∵DG⊥BC，
∴BG＝1.5，
∴Rt△BDG中，DG＝2，
∵BC×DG＝CD×BF，
∴BF＝ ＝，
∴BE＝2BF＝，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点在直线上，把沿着直线翻折，点落在点处，联结，如果直线与直线所构成的夹角为60°，那么点的坐标是____________
【答案】或或
【分析】
先由已知求出，得出，，分或两种情况，
当时，又分两种情况：延长PQ交OB于点N，则，，由折叠得出，求出，由勾股定理得出，，即可得出P点的坐标；，，，即可得出P点的坐标；
当时，Q点与A点重合，，，即可得出P点的坐标；
【详解】
解：，，，
，，，，
，
，
，
，
，
直线PQ与直线AB所构成的夹角为，
或，
当时，分两种情况：
如图1所示：延长PQ交OB于点N，则，
，即，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
点的坐标为：；
如图2所示：，，
，
点的坐标为：；
当时，如图3所示：Q点与A点重合，
由折叠得：，
，
点的坐标为：；
综上所述：P点的坐标为：或或．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数、坐标等知识，熟练掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质，并进行分类讨论是关键．
三、解答题
30．已知三角形和直线，画出三角形关于直线成轴对称的三角形.
【答案】.
【分析】
分别作出A、B、C三个点关于直线l的对称点A’、B’、C’，再顺次连接三个点即可得到其对称三角形.
【详解】
解：如下图所示，
【点睛】
本题考查了轴对称的作图，通过确定对称点从而确定轴对称三角形是解题关键.
31．如图是由5个同样的小正方形所组成的，请再补上一个同样的小正方形，使6个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，请至少画出三种方法．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
【详解】
如图所示：
．
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
32．计算：
【答案】a−b+2bc−c
【解析】
【分析】
将原式化为[a-（b-c）][a+（b-c）]，构造成平方差公式的形式，然后再适当运用完全平方公式计算．
【详解】
原式=[a−(b−c)][a+(b−c)]=a −(b−c) =a−b+2bc−c.
故答案为：a−b+2bc−c.
【点睛】
此题考查完全平方公式，平方差公式，解题关键在于掌握运算法则.
33．分解因式：
【答案】(x−3y+2)(x+3y−2).
【解析】
【分析】
把多项式分成两组得到原式=x-（9y-12y+4），把后面一组利用完全平方公式分解，然后再根据平方差分解因式即可．
【详解】
原式=x−(9y−12y+4)=x−(3y−2) =(x−3y+2)(x+3y−2)
故答案为：(x−3y+2)(x+3y−2).
【点睛】
此题考查因式分解-分组分解法，解题关键在于掌握运算法则.
34．分解因式：；
【答案】(x−6)(x+2).
【解析】
【分析】
因为-6×2=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
=(x−6)(x+2).
故答案为：(x−6)(x+2).
【点睛】
此题考查因式分解-十字相乘法等，解题关键在于掌握运算法则.
35．解方程：
【答案】x=0，x=2.
【解析】
【分析】
本题的最简公分母是（x+1）（x-1）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．
【详解】
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得
(x+1) −3(x−1) =2(x+1)(x−1)，
整理得x−2x=0，
解得x =0，x=2.
检验：当x=0或2时，(x+1)(x−1)≠0.
∴x=0或2均是原方程的根.
【点睛】
此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则.
36．用四块如图1所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，请你在图2，、图3、图4中各画一种拼法.要求：其中一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；一个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形.
【答案】图见解析
【分析】
轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
【详解】
解：如图所示：图2既是轴对称图形，又是中心对称图形；图3是轴对称图形，但不是中心对称图形；图4是中心对称图形，但不是轴对称图形.
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，注意两个概念的区别.
37．在直角坐标平面内，已知点的坐标，点位置如图所示，点与点关于原点对称。
（1）在图中描出点；写出图中点的坐标：______________，点的坐标：_______________；
（2）画出关于轴的对称图形，并求出四边形的面积。
【答案】（1）点位置见解析；B；C；（2）21
【分析】
（1）直接在图中描出点A，得出点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标写出C点坐标；
（2）描点得到△ABC，利用关于y轴对称的点的坐标特征得出A、B、C的对称点A′、B′、C′的位置，顺次连接得到△A'B'C'，然后通过计算三个三角形的面积去计算四边形A'B'C'C的面积．
【详解】
（1）如图，点为所作；B点坐标为（-2，3），C点坐标为（2，-3）；
（2）如图，△A'B'C'为所作，四边形A'B'C'C的面积=×3×5+×3×4+×5×3=21．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
38．如图，在梯形ABCD中，∠BCD=∠D=90º，上底AD=3，下底BC=，高CD=4，沿AC把梯形ABCD翻折，点D是恰好落在AB边上的点E处，求△BCE面积。
【答案】 .
【分析】
先根据梯形的面积计算公式求出梯形的面积，再根据三角形的面积计算公式求出三角形ACD的面积，然后根据折叠的性质，可得到三角形ACE的面积，三角形BCE的面积=梯形的面积-三角形ACD的面积-三角形ACE的面积，从而问题得解.
【详解】
解：∵△ACE是△ACD折叠得到，
∴∠AEC=∠D=90°，AE=AD=3,CE=CD=4.
∴△ACE的面积=△ACD的面积=43=6.
∵梯形ABCD的面积=
∴△BCE面积=梯形ABCD的面积-△ACE的面积-△ACD的面积
= -6-6
=
答：△BCE面积是 .
【点睛】
本题考查了梯形的面积计算和折叠的性质，把要求的三角形面积转化成求梯形面积再减其它三角形面积是解题的关键.
39．已知：AB、CD 是圆O 的两条直径，且∠AOD =α（0° < α < 90°），点P是扇形AOD内任意一点．点P将AB、CD所在直线依次轮流作为对称轴翻折，将点P关于AB对称的点记为点P1 ，点P1关CD 对称的点记为点P2，点 P2 关于AB 对称的点记为点P3，…．
（1）根据所给图中点P 的位置，分别画出点 P 1、P 1；（不写作图步骤，但要保留作图痕迹）
（2）分别联结OP、OP1、OP2，那么线段OP、OP1、OP2 之间的数量关系是：OP OP1 OP2（填空，不要求写出过程）；
（3）由（1）、（2）可知，点 P 绕点O旋转可以到达点P2的位置，如果 α=60°，OP= a，求线段 OP顺时针旋转到OP2 过程中扫过的面积；
（4）在 α 取某些特定值的时候，如果按照这样的方式翻折，总能得到一点Pn与点P 重合， 求当n =12，点 P12 与点P 第一次重合时 α 的值．（直接写出结果，不要求写出过程）
【答案】(1)见详解 (2)= = (3) (4)
【分析】
(1)见详解图；
(2)根据垂直平分线的性质可以知道都是相等的；
(3)根据转过的圆心角代入到扇形的面积公式，可以求出面积；
(4)根据题意可以得出答案,
【详解】
解：(1)如图所示：
(2)如图所示：相等；
(3)如上图所示：
设，则,
,
到所扫过的角度为：，
且其扫过的面积为扇形的面积，
；
(4)根据规律可得：
，
故与第一次重合时.
【点睛】
本题考查的是关于对称点的问题，解题关键在于对图形以及角度把握的准确与否.
40．如图O是正五边形ABCDE的中心，OA=1．
（1）△ODE绕着点 按 方向旋转 度，可以得到△OBC；
（2） △ODE沿 所在直线翻折，可以得到三角形 ．
【答案】（1）O，顺时针，144；(或逆时针 216);（2） OD，△ODC．（或OC，△OAB）
【分析】
（1）先计算出正五边形的每各内角的度数，然后找到旋转中心，按照顺时针或逆时针找到一条对应边，看对应边的夹角是多少即可.
（2）根据翻折的性质，图形沿某条直线翻折，翻折后与翻折前图形能够完全重合，依次解决即可.
【详解】
解：（1）正五边形的每各内角为360÷5=72，即72度，分两种情况讨论：
①△ODE绕着点O按顺时针方向旋转144度，即OE与OC重合，OD与OB,旋转角为∠DOB或∠EOC,可以得到△OBC；
②△ODE绕着点O按逆时针方向旋转216度，即OE与OC重合，OD与OB,可以得到△OBC；
(2)根据翻折的性质，翻折前后图形能够完全重合，即成轴对称，那条直线即为对称轴，可分两种情况：①故△ODE沿OD所在直线翻折，可以得到三角形ODC．
②故△ODE沿OC所在直线翻折，可以得到三角形OAB．
【点睛】
本题考查了旋转和翻折的相关性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转和翻折的相关性质，能够根据相关性质找到相对应的边和角.
41．如图，已知三角形、直线以及线段的延长线上一点．
（1）画出三角形关于直线对称的；
（2）画出三角形绕着点旋转后的；
【答案】（1）见解析． （2）见解析．
【分析】
（1）根据轴对称图形的性质进行作图即可；
（2）根据旋转的性质进行作图即可．
【详解】
（1）如图所示
（2）如图所示
【点睛】
本题考查了作图的问题，掌握轴对称图形的性质以及旋转的性质是解题的关键．
42．生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图的顺序进行(其中阴影部分表示纸条的反面):
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长厘米，分别回答下列问题:
（1）如图①、图②，如果长方形纸条的宽为厘米，并且开始折叠时厘米，那么在图②中，____厘米．
（2）如图②，如果长方形纸条的宽为厘米，现在不但要折成图②的形状，还希望纸条两端超出点的部分和相等，使图②． 是轴对称图形，______厘米．
（3）如图④，如果长方形纸条的宽为厘米，希望纸条两端超出点的部分和相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离(结果用表示) ．
【答案】（1）16； （2）11； （3）
【分析】
（1）观察图形，由折叠的性质可得，BE=纸条的长—宽—AM；
（2）根据折叠的性质可得，，BE=纸条的长—宽—AM，即可求出AM的长；
（3）根据轴对称的性质，由图可得，继而可得在开始折叠时起点M与点A的距离．
【详解】
（1）∵由折叠的性质可得，BE=纸条的长—宽—AM
∴图②中；
（2）∵，宽为4cm
∴BE=纸条的长—宽—AM
；
（3）∵图④为轴对称图形
∴
∴
即开始折叠时点M与点A的距离是厘米．
【点睛】
本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质是解题的关键．
43．如图，在的方格纸中，将向右平移4个单位长度得到,关于直线对称的图形为，将绕点旋转得.
（1）在方格纸中画出、和；
（2）在、和中，哪两个三角形成轴对称？
（3）在、和中，哪两个三角形成中心对称？
【答案】（1）见解析；（2）和；（3）△ABC和
【分析】
（1）根据平移的性质、轴对称的性质以及旋转的性质画图即可；
（2）根据轴对称的定义，观察图形解答即可；
（3）根据中心对称的定义，观察图形解答即可；
【详解】
（1）如图，、和即为所求；
（2）根据轴对称的定义，和成轴对称；
（3）根据中心对称的定义，△ABC和成中心对称；
【点睛】
本题考查了平移作图、轴对称作图、旋转作图，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、旋转的性质以及中心对称的定义是解答本题的关键．
44．在直角坐标平面内，点A1、B1、C1的坐标如图所示．
（1）请写出点A1、B1、C1的坐标：
点A1的坐标是 ；
点B1的坐标是 ；
点C1的坐标是 ．
（2）将点A1绕原点逆时针旋转90°得到点A，则点A的坐标是 ．
（3）若点B1与点B关于原点对称，则点B的坐标是 ．
（4）将C1沿x轴翻折得到点C，则点C的坐标是 ．
（5）分别联结AB、BC、AC，得到△ABC，则△ABC的面积是 ．
【答案】（1）（3，0）；（﹣5，﹣3）；（3，2）；（2）（0，3）；（3）（5，3）；（4）（3，﹣2）；（5）．
【分析】
（1）根据在坐标系所处的位置即可得到点的坐标；
（2）根据旋转的性质即可求得点A的坐标；
（3）根据中心对称的性质即可求得点B的坐标；
（4）根据轴对称的性质即可求得点C的坐标；
（5）以AB为底，利用三角形的面积公式即可得到△ABC的面积．
【详解】
解：（1）在直角坐标平面内，点A1、B1、C1的坐标如图所示：
点A1的坐标是（3，0）；点B1的坐标是 （﹣5，﹣3）；点C1的坐标是 （3，2），
故答案为：（3，0）；（﹣5，﹣3）；（3，2）；
（2）将点A1绕原点逆时针旋转90°得到点A，则点A的坐标是（0，3），
故答案为：（0，3）；
（3）若点B1与点B关于原点对称，则点B的坐标是（5，3），
故答案为：（5，3）；
（4）将C1沿x轴翻折得到点C，则点C的坐标是（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）；
（5）分别连接AB、BC、AC，得到△ABC，则△ABC的面积是：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化-旋转，轴对称，中心对称，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
45．如图，已知的三个顶点在小方格顶点上（小方格的边长为1个单位长度），按下列要求画出图形和回答问题：
（1）在图中画出：绕点C按顺时针方向旋转后的图形；
（2）在图中画出：（1）中的关于直线MN的轴对称的图形；
（3）在（2）中的可以用原通过怎样的一次运动得到的？请你完整地描述这次运动的过程．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）将沿着翻折一次可得到．
【分析】
（1）先根据旋转的定义画出点，再顺次连接即可得；
（2）先根据轴对称的定义画出点，再顺次连接即可得；
（3）先根据旋转和轴对称的性质可得，，与重合，再根据翻折的定义即可得．
【详解】
（1）先根据旋转的定义画出点，再顺次连接即可得，如图所示：
（2）先根据轴对称的定义画出点，再顺次连接即可得，如图所示：
（3）由旋转和轴对称的性质得：，，与重合，
则将沿着翻折一次即可得到．
【点睛】
本题考查了画旋转图形、画轴对称图形、图形的翻折，熟练掌握图形的运动是解题关键．
46．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）若，．
①请画出平面直角坐标系，并作出关于轴对称的；
②在轴上取一点，使得最短，则坐标是______；
（2）作出线段的中点；
（3）点是格点，且，则点有_____个．
【答案】（1）①见解析，②；（2）见解析；（3）3
【分析】
（1）①分别找到A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，连接A A1、B B1、C C1即可得；
②根据直角坐标系和点，，确定点A（3,5），找到点A1（﹣3,5）关于x轴的对称点（﹣3，﹣5），连接交x轴于点P，求出直线的解析式，令y=0，即可求出点P的坐标；
（2）根据尺规作图求线段中点的方法即可求得点Q的坐标；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点的的距离相等即可求解．
【详解】
（1）如图所示：
②∵点，，
∴点A（3,5），
∴点A1（﹣3,5）B1、（﹣1,4）
∴点A1（﹣3,5）关于x轴的对称点（﹣3，﹣5），
连接交x轴于点P，
∴直线的解析式：，
令y=0，
即可求出点P的坐标（，0）；
（2）分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作圆，交于M、N两点，连接MN交BC于点Q，点Q即为所求点；
（3）∵
∴M在BC的线段垂直平分线上，
∵点是格点，
∴如图所示：共有3个符合题意的点
【点睛】
本题主要考查作图—轴对称图形、线段中点，涉及到最短路线问题、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识．
47．如图Z字形图形的顶点，在小方格顶点上，小方格的边长为一个单位长度。按下列要求画出图形。
（1）画出Z字形图形，关于对角线MN对称的图形；
（2）画出Z字形图形关于点O对称的图形，所画出的图形还可以用原Z字形图形通过怎样的运动得到？请你完整地描述其具体的运动过程.
【答案】（1）图形见详解；（2）图形见详解，所画出的图形还可以用原Z字形图形向右平移6个单位长度得到.
【分析】
（1）根据轴对称画出图形即可.
（2）根据中心对称画出图形，由图形可知所画出的图形是由原图形向由平移得到的.
【详解】
如图：
如图，所画出的图形还可以用原Z字形图形向右平移6个单位长度得到.
【点睛】
此题考察轴对称、中心对称图形的画法，掌握两个对称的性质即可解答.
48．如图，已知三角形纸片，将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边交于点．
（1）画出直线；
（2）若点关于直线的对称点为点，请画出点；
（3）在（2）的条件下，联结，如果的面积为2，的面积为，那么的面积等于 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12
【分析】
（1）画出线段AC的垂直平分线即为直线DE；
（2）作出点B关于直线DE的对称点F即可；
（3）先求得S△AEC=8，＝2，再求得＝＝和 ＝＝，再代入S△AEC的面积即可求得．
【详解】
（1）直线DE如图所示：
（2）点F如图所：
（3）连接AE，如图所示：
由对折可得：S△AED=S△DEC,S△BDE=S△DEF，
∴S△AEC=8，＝2，
设△BED中BE边上的高为h，
，即，则2BE=EC，
设△AEC中EC边上的高为h'，则：
，
∴．
【点睛】
考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
49．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．
（1）当，时，求线段FD的长度；
（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；
（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．
【答案】（1）4；（2）图见解析，或；（3）=
【分析】
（1）根据折叠的性质可得AF=AB=6，从而求出结论；
（2）根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出FD和DG，根据题意列出方程即可求出结论；
（3）过点H作HM⊥EF于M，根据用a和b表示出S△HFE和S四边形ABCD，结合已知等式即可求出结论．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得AF=AB=6
∵
∴FD=AD－AF=4；
（2）若点G落在线段FD上时，如下图所示
由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FD－FG=10－2x
∵
∴
解得：；
若点G落在线段FD的延长线上时，如下图所示
由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FG－FD=2x－10
∵
∴
解得：；
综上：或；
（3）如下图所示，过点H作HM⊥EF于M
∴HM=FD，
由题意可知：AF=AB=b，EF=AB=b，
∴FD=AD－AF=a－b
∴HM=a－b
∴S△HFE=EF·HM=b（a－b），S四边形ABCD=AD·AB=ab
∵
∴
整理可得：
∴=．
【点睛】
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握折叠的性质是解题关键．
50．如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在处，顶点D落在处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边与边重合，若，求_______，_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边落在内部，若，设，，求与之间的数量关系，并直接写出，的取值范围．
【答案】（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°
【分析】
（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=∠A′BD=60°；
（2）由折叠的性质得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的关系，再结合BD在∠1内部，可得各自的范围．
【详解】
解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，
∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，
∴∠2=∠DBE=∠A′BD=60°，
∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．
（2）由折叠的性质可得：
∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，
∴∠A′BD=180°-∠ABC-∠1=100°，
∵∠A′BD=∠DBD′-∠A′BD′，∠A′BD′=α，
∴2β-α=100°，
∴α=2β-100°，
∵BD在∠1内部，
∴0°＜α＜40°，
∴0°＜2β-100°＜40°，
∴50°＜β＜70°．
【点睛】
本题考查翻折变换，平角的性质等知识，解题的关键是利用法则不变性解决问题，属于基础题，中考常考题型．
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