2024大同云冈区汇林中学高一上学期11月期中考试数学试题含解析

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1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题（每题4分，共48分）
1. 下列命题正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项.
【详解】A选项，时，，但，A选项错误；
B选项，时，，但，B选项错误；
C选项，时，，但，C选项错误；
D选项，，，，
所以，D选项正确.
故选：D
2. 如图，在中，，于点，下列结论错误的有（ ）个
①图中只有两对相似三角形；
②；
③若，，则

A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个
【答案】A
【解析】
【分析】由图中的三个直角三角形判断相似，面积法证明等式，射影定理和勾股定理求边长.
【详解】在中，，于点，则有，故①错误；
由，得，故②正确；
由射影定理得，，解得，
在中，，故③正确；
故选：A.
3. 用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先分析中有1个或者3个元素，即方程有一个根或者三个根，分析方程的根的情况，可得到可取的值，即可得答案.
【详解】集合，，
根据集合的新定义知：中有1个或者3个元素，
当中有1个元素时，有一个解，可得；
当中有3个元素时，易知，有三个解，
其中的两个为：，
当有一个解时，令，可得；
当有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件，
此时，显然不等于0，
所以或，解得或，
综上所述，设实数a的所有可能取值为，
所以构成集合S元素个数为5，即.
故选：C
4. 已知命题，命题，，若是成立的必要不充分条件，则区间可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由命题q中的a的范围，再由是成立的必要不充分条件，得选项.
【详解】命题，，则，
所以，解得或，
又是成立的必要不充分条件，所以，
所以区间可以为，
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
5. 如图，已知R是实数集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. [0，1]B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先通过解分式不等式求解集合，然后再通过Venn图确定集合运算，进而求解即可
【详解】由，解得：，即.
Venn图中阴影部分表示的是.
故选：B
6. 若全集，集合A满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的运算可得答案.
【详解】因为，，
所以，
故选：C
7. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数在上单调递增求得的取值范围，再根据充分必要条件的概念判断即可.
【详解】解：由函数在上单调递增，得得．
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B.
8. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可.
【详解】.
故选：B
9. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.
【详解】解：因为，且，
，故符合题意的只有A.
故选：A
10. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设出幂函数的解析式，利用给定点求出解析式即可计算作答.
【详解】依题意，设，则有，解得，于是得，
所以.
故选：C
11. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
12. 已知是上的增函数，、、、则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小，再由单调性比较a、b、c大小.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，
因为在R上单调递减，所以，
所以，
是上的增函数，故
故选：A
二、填空题（共22分）
13. 若关于的不等式无解，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由关于的不等式无解，可得，求出的最大值，进而可求出实数的取值范围.
【详解】因为关于不等式无解，所以，
令，二次函数开口向下，对称轴时，取得最大值，最大值，
所以，解得或.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，若恒成立，则；若存在解，则；若无解，则.
14. 已知集合，则的子集个数为____________．
【答案】8
【解析】
【分析】首先求出，然后可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以的子集个数为8．
故答案为：8
15. 已知函数的图象与直线有四个交点，则a的取信范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可.
【详解】，函数图象如下图所示：
当时，，
当时，。
所以要想函数的图象与直线有四个交点，
只需，
故答案为：
16. 已知函数且在上恒成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式在上恒成立，按照分段函数，分段处理，结合参变分离求最值即可得实数a的取值范围.
【详解】解：在上恒成立，
则当时，恒成立，所以，又，即，
故当时，，所以；
当时，恒成立，所以，
又
当且仅当，即时，等号成立，所以，所以；
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.
17. 命题，否定为______.
【答案】，
【解析】
【分析】含有量词的命题的否定，全称量词改为存在量词，否定结论.
【详解】因为含有量词的命题的否定，全称量词改为存在量词，否定结论，
所以命题，的否定为，，
故答案为：，.
三、解答题（本题共5小题，每题16分，共80分）
18. 已知集合，．
（1）当时，求集合；
（2）若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）选①，；选②，
【解析】
【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.
（2）选择条件后，根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，求集合，
.
【小问2详解】
若选择条件①，，
当时，，解得，
当时，
由可得或，
解得或，
综上取值范围是.
若选择条件②，则集合是集合的子集，
当时，，解得，
当时，有，
解得，
综上的取值范围是.
19.
（1）已知函数是定义域上的函数，且，，求函数的解析式，判断函数在上的单调性并用定义证明在上的单调性；
（2）已知，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
【答案】（1）；函数在上单调递减，在上单调递增；证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）先求出函数解析式，然后利用单调性的定义证明即可；
（2）根据两个正数根得到，再根据根与系数的关系得到，换元，整理化简利用均值不等式计算得到最值.
【小问1详解】
因为，，所以，解得，
所以，
函数在上单调递减，在上单调递增；证明如下：
设，且，，
当时，所以，，，
所以，即，所以函数上单调递减；
当时，所以，，所以，
即，所以函数在上单调递增.
【小问2详解】
因为函数有两个不相等的不动点、，
所以有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，所以，，
所以.
令，，
当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为6.
20. 已知不等式组的解集为，集合．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式组，解集即为解集A；
（2）由，得，列出不等式组，解得a的取值范围.
【小问1详解】
解：由，得，得，
所以．
【小问2详解】
解：由，得，所以，
得，故的取值范围为．
21. 为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元．
（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？
（2）求小李承包的土地的年平均利润的最大值．
【答案】（1）第年
（2）最大为万元
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，设小李承包的土地到第年的利润为万元，求出函数的解析式，然后解不等式，可得出结论；
（2）设年平均利润为万元，可得出，利用基本不等式求出的最大值及其对应的值，即可得出结论.
【小问1详解】
由题意得，解得，所以．
设小李承包的土地到第年的利润为万元，
则，
由，得，解得．
故小李承包的土地到第年开始盈利．
【小问2详解】
设年平均利润为万元，
则，
当且仅当时，等号成立．
故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元．
22. 已知函数.
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）讨论和，结合二次函数性质解不等式即可得出答案；
（2）不等式等价于，对分类讨论求不等式解集.
【小问1详解】
，恒成立，
当时，成立，
当时，则，即，即
综上所述.
【小问2详解】
当时，，则
当时，令，则，或，此时，∴或
当时，即时，
当，即时，
当时，即时，
综上所述:当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，；
当时，解集为