湖北省荆州市石首市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份湖北省荆州市石首市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如果一个三角形的三边长分别为5，8，a．那么a的值可能是（ ）
A．2B．9C．13D．15
3．（3分）如图，是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．52°B．60°C．68°D．128°
4．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
5．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
6．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
B．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
C．AB＝3，BC＝4，CA＝8
D．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AC于点D，交AB于点E，若CD＝3，则AC的长度为（ ）
A．9B．8C．7D．6
8．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
9．（3分）如图，AC＝AB＝BD，AB⊥BD，BC＝8，则△BCD的面积为（ ）
A．8B．12C．14D．16
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是 ．
12．（3分）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4＝65°，则∠5＝ °．
13．（3分）已知△ABC，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A'C'B．
作法：在BP上截BA'＝BA，以点B为圆心，BC为半径作弧，以点A'为圆心，AC为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于点C'，则△A'C'B即为所求．
此作图确定三角形的依据是： ．
14．（3分）如图所示，在平面坐标系中B（3，1），AB＝OB，∠ABO＝90°，则点A的坐标是 ．
15．（3分）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝55cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 cm．
16．（3分）如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 ．
三、解答题（有8道小题，共72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠C＝70°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠ADF的度数．
18．（8分）如图，点E在边AC上，已知AB＝DC，∠A＝∠D，BC∥DE．
求证：（1）△ABC≌△DCE；
（2）DE＝AE+BC．
19．（8分）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．
（1）求证：PC垂直平分MN；
（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．
20．（8分）如图，在9×6的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，AB＝5，仅用无刻度的直尺作图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）如图1，在格点上找点D，连接AD，使AD＝5且AD∥BC，再在AC上找点E，使BE平分∠ABC；
（2）如图2，在格点上找点F，使AF⊥AB且AF＝AB，再在直线AC上找一点P，使∠APB＝∠ABC．
21．（9分）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：∠BFA＝∠AFE．
22．（9分）如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．
（1）当a＝2时，则C点的坐标为 ；
（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
23．（10分）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）求∠B，∠C的度数；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2，
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
24．（12分）如图，等边△ABC中，过顶点A在AB边的右侧作射线AP，∠BAP＝α（30°＜α＜120°）．点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，且BE交射线AP于点D，过C，E两点作直线交射线AP于点F．
（1）当α＝40°时，求∠AEC的度数；
（2）在α变化过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围；如果不变化，求∠AFE的大小；
（3）探究线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
2023-2024学年湖北省荆州市石首市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题后面代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一个正确，将它的代号字母填在答题卡中相应的表格里，选对一题3分，不选和选错0分，本题满分为30分）
1．【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．【解答】解：根据三角形的三边关系，得3＜a＜13．
9在第三边长的取值范围内．
故选：B．
3．【解答】解：如图所示：
根据三角形内角和可得∠2＝180°﹣68°﹣60°＝52°，
∵两个三角形全等，
∴所以∠1＝∠2＝52°，
故选：A．
4．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
5．【解答】解：∵∠2＝90°﹣45°＝45°（直角三角形两锐角互余），
∴∠3＝∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+30°＝45°+30°＝75°．
故选：D．
6．【解答】解：A、∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
B、∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
D、AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝6，
∴AD＝6，
∴AC＝AD+CD＝6+3＝9．
故选：A．
8．【解答】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
9．【解答】解：由题意，作AE⊥BC，DF⊥BC，如图：
∵AC＝AB＝BD，
∴AE是等腰三角形ABC的中线，
∴，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠BFD＝90°，
∵∠BAE＝∠DBF，
∴△ABE≌△BDF（AAS），
∴DF＝BE＝4，
∴△BCD的面积为：；
故选：D．
10．【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．【解答】解：①当腰是4时，三边是4、4、9，根据三角形三边关系定理不能组成三角形；
②当腰是9时，三边是4、9、9，能构成三角形，4+9+9＝22，
故答案为：22．
12．【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠5＝360°﹣75°﹣75°﹣65°﹣65°＝80°，
故答案为：80．
13．【解答】解：由作图可知：BA＝BA′，BC＝BC′，AC＝A′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），
故答案为SSS．
14．【解答】解：如图，过点A作AC∥x轴，过点B作BD∥y轴，两条直线相交于点E，
∵B（3，1），
∴OD＝3，BD＝1．
∵∠DOB+∠OBD＝90°，∠OBD+∠ABE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠BOD＝∠ABE，∠OBD＝∠BAE．
在△ABE与△BOD中，
∵，
∴△ABE≌△BOD（ASA），
∴AE＝BD＝1，BE＝OD＝3，
∴AC＝OD﹣BD＝3﹣1＝2，DE＝BD+BE＝1+3＝4，
∴A（2，4）．
故答案为：（2，4）．
15．【解答】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图②，
∵AC＝BD＝55，∠PCA＝∠BDQ＝30°，
∴AE＝AC＝，
由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝55+10＝65cm，
故答案为：65 cm．
16．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，∠A＝60°
∵D为AC中点，
∴BD⊥AC，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵BP＝AQ＝4，QD＝3，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，QD＝DQ′＝3
∴CQ′＝CD﹣DQ′＝4＝BP，
∴AP＝AQ′＝10，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝10，
∴PE+QE的最小值为10．
故答案为：10．
三、解答题（有8道小题，共72分）
17．【解答】解：（1）∵∠B＝34°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝76°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝BAC＝76°＝38°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，
∵∠EAC＝38°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝38°﹣20°＝18°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠DAE＝90°﹣18°＝72°．
18．【解答】证明：（1）∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEC，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴AC＝DE，BC＝CE，
∴DE＝AC＝AE+CE＝AE+BC．
19．【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中，
，
∴△CMP≌△CNP（SSS），
∴∠MPB＝∠NPB，
∵PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∴PB⊥MN，BM＝BN，
∴PC垂直平分MN；
（2）解：∵CN＝PN＝60cm，
∴当伞收紧时，点P与点A重合，
∴AC＝CN+PN＝120cm，
当∠CPN＝60°时，
∵CN＝PN，
∴△CPN是等边三角形，
∴PC＝PN＝60cm，
∴AP＝AC﹣PC＝60cm．
20．【解答】解：（1）如图1中，线段AD，点E即为所求；
（2）如图2中，点F，点P即为所求．
21．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE，即∠BFA＝∠AFE．
22．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝BA，∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，
∴∠BCE＝∠ABO，
在△BCE和△BAO中，
，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∵A（﹣1，0），B（0，2），
∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，
∴OE＝1+2＝3，
∴C（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）；
（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．
理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝BA，∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，
∴∠BCE＝∠ABO，
在△BCE和△BAO中，
，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∵A（﹣1，0），B（0，a），
∴BO＝AE＝a，AO＝CE＝1，
∴OE＝1+a，
∴C（﹣a，1+a），
又∵点C的坐标为（c，d），
∴c+d＝﹣a+1+a＝1，
即c+d的值不变．
23．【解答】（1）解：∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∵DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，
∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，
故答案为：36；72；
（2）证明：①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，
∴∠BAD＝36°，
在△ACD中，∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝72°，
∴∠CAD＝36°，
∴∠BAD＝∠CAD＝36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN＝∠AHE＝90°，
∴∠AEN＝∠ANE＝54°，
即△ANE是等腰三角形；
②CD＝BN+CE．
证明：由①知AN＝AE，
又∵BA＝BC，DB＝AC，
∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，
∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，
即CD＝BN+CE．
24．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，
∴BD＝DE，BE⊥AP，
∴AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，
∴AB＝BC＝AC＝AE，
∴；
当∠BAP＝α＝40°时，如图1，
∴∠BAD＝∠EAD＝40°，
∴∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝20°，
∴∠AEC＝∠ACE＝80°；
（2）当30°＜α≤90°时，60°＜2α≤180°，D，F在射线AP上，
∴∠BAD＝∠EAD＝α，
∴∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝2α﹣60°，
∴∠AEC＝∠ACE＝120°﹣α，
∴∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAD＝60°；
当90°＜α＜120°时，180°＜2α＜240°，D，F在点A的两侧，如图2，
∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，
∴BD＝DE，BE⊥AP，
∴∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，
∵∠BAP＝α，
∴∠EAP＝∠BAP＝α，AB＝AC，
∴∠EAC＝2α﹣60°，
∴∠AEC＝∠ACE＝120°﹣α，
∴∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAP＝60°；
综上所述，当30°＜α＜120°时，∠AFE＝60°，不变．
（3）当30°＜α≤60°，连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH，如图3，
由（2）知∠AFE＝60°，
∴△HFC是等边三角形，
∴∠HFC＝∠FHC＝∠FCH＝60°，FH＝FC＝HC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∴AP为BE中垂线，
∴BF＝EF，∠FDE＝90°，
又∵∠AFE＝60°，
∴∠DEF＝90°﹣∠AFE＝30°，
∴EF＝2DF＝BF；
∵∠ACB＝∠HCF＝60°
即∠ACB﹣∠HCB＝∠HCF﹣∠HCB，
∴∠ACH＝∠BCF，
∴△ACH≌△BCF（SAS），
∴AH＝BF，
∴AH＝BF＝EF＝2DF，
∴AF＝AH+HF＝2DF+CF；
当60°＜α＜120°，连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH，如图4，
由（2）知∠AFE＝60°，
∴△HFC是等边三角形，
∴∠HFC＝∠FHC＝∠FCH＝60°，FH＝FC＝HC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，
∴AP为BE中垂线，
∴BF＝EF，∠FDE＝90°，
又有∠AFE＝60°，
∴∠DEF＝90°﹣∠AFE＝30°，
∴EF＝2DF＝BF；
∵∠ACB＝∠HCF＝60°
即∠ACB+∠ACF＝∠HCF+∠ACF，
∴∠ACH＝∠BCF，
∴△ACH≌△BCF（SAS），
∴AH＝BF，
∴AH＝BF＝EF＝2DF，
∴AF＝AH﹣HF＝2DF﹣CF；