高考数学一轮复习第10章10从高考概率与统计试题探寻高考改革动向学案

这是一份高考数学一轮复习第10章10从高考概率与统计试题探寻高考改革动向学案，共7页。

概率与统计是高考考查学生数学建模素养和数据分析素养的重要载体，在高考中占有非常重要的地位．概率统计命题方向主要有以下两类：一是以排列、组合、二项式定理、古典概型、离散型随机变量的分布列及数学期望为主的概率计算问题；二是以抽样方法、样本的频率分布、样本数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验为主的统计案例问题．近年来新高考对相互独立事件和条件概率的考查力度增大，该部分知识也恰是新教材中扩充的部分，切合了新课标对教学的要求，指引师生在后续的备考中要关注教材改版前后内容变化．
命题点一 立足统计本质、注重知识交融
[典例1] (2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图．
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区中任选1人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)．
[解] (1)平均年龄x＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．
(2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，则P(A)＝1－P(A)＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式，
得P(C|B)＝PBCPB＝0.1%×0.023×1016%
＝0.001 437 5≈0.001 4.
概率主要研究随机现象，统计主要研究数据，进行数据分析．将两者巧妙地融合是历年来高考命题的思想之一，高考曾将频率分布直方图与二项分布、超几何分布、正态分布融为一体考查；本题又将频率分布直方图与条件概率巧妙地融为一体，给出了新的命题动向．关注知识间的内在联系，研习高考命题思路，提升备考技能．
[跟进训练]
1．药物临床试验一般分为四期，每期都会征集一定量的志愿者参与试验．无论研究者或是受试者，知晓试验用药信息会对疗效安全性评价产生偏性评估．因此在临床试验中，盲法技术是为了避免主观因素对结果评定的影响，即将志愿者分组为试验组和对照组，分别给予有有效成分的药物和无有效成分的安慰剂，最后通过统计得到药物的客观效果．某药厂对一种新药进行二期试验，招募了100名志愿者参与，根据他们的年龄分布得到下面的频率分布直方图：
(1)试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；
(2)A，B，C是参与此次试验的志愿者，他们被随机分配至试验组和对照组．试验组人数多于对照组，若A，B两人恰有一人分配到试验组的概率为1225，求试验组的人数，及三人中至少有2人分配到试验组的概率．
[解] (1)由题知40～50岁年龄组的频率为
1－(0.010＋0.015＋0.020＋0.025)×10＝0.30，
故该组100名志愿者的平均年龄
x＝10×(25×0.015＋35×0.025＋45×0.030＋55×0.020＋65×0.010)＝43.5(岁)．
由直方图知前三组频率之和为0.7，第四组为0.2，
故第75百分位数应在第四组，则第75百分位数为50＋0.75-×10＝52.5岁．
(2)由题知A，B，C三人被分配到试验组的概率相同，设为pp＞12，
则分配到对照组的概率为1－p，
用A，B，C分别表示三人分配到试验组，A，B，C分别表示三人分配到对照组．
p1表示A，B两人恰有1人分配到试验组，三人分组相互独立，则
p1＝P(A·B)＋P(A·B)＝2p(1－p)＝1225，
因为p>12，解得p＝35，
故试验组人数为100×35＝60(人)．
p2表示三人中至少有两人分配到试验组，p2＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝353＋3×35×35×25＝81125.
命题点二 考查数据分析、渗透原理论证
[典例2] (2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，
(1)依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．PBAPBA与PBAPBA的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(i)证明：R＝PABPAB·PABPAB；
(ii)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值．
[解] (1)零假设H0：患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异．
χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d＝200×40×90-60×10250×150×100×100＝24＞6.635＝x0.010，
依据小概率值α＝0.010的独立性检验，推断H0不成立，即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
(2)(i)R＝PBAPBAPBAPBA＝PBA·PBAPBA·PA，
由题意知，证明PBA·PBAPBA·PBA＝PAB·PABPAB·PAB即可，
左边＝PABPA·PABPAPABPA·PABPA＝PAB·PABPAB·PAB，
右边＝PABPB·PABPBPABPB·PA BPB＝PAB·PABPAB·PA B，
左边＝右边，故R＝PABPAB·PABPAB.
(ii)由已知P(A|B)＝40100，P(A|B)＝10100，
又P(A|B)＝60100，P(A|B)＝90100，
所以R＝PABPAB·PABPAB＝6.
新教材与老教材相比，对核心概念、重要公式等都做了必要的拓展、补充或证明，平时备考需进一步加强对核心概念的认知和基本理论体系的建立．如本题第(2)问与我们平时的备考不同，一是题干长，二是涉及条件概率，而且还是证明问题．本题看似麻烦，实则容易，由已知条件和所求R的值两个等式可分别利用条件概率公式展开相乘化简，即可得证；然后结合互斥、对立事件概率之间的关系就可以轻而易举的解答出最后一问．
[跟进训练]
2．(2023·山东潍坊安丘模拟)从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，7.
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率．
①证明：P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)；
②求P(A3)．
[解] (1)由条件概率公式可得P(A2|A1)＝PA1A2PA1＝4×37×647＝12，
所以在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为12.
(2)①由条件概率乘法公式
P(A3|A1A2)＝PA1A2A3PA1A2，可得P(A1A2A3)＝P(A1A2)P(A3|A1A2)，
由P(A2|A1)＝PA1A2PA1，
可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)，
所以P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．
②由①可得P(A3)＝P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
＝PA1PA2A1PA3A1A2+PA1PA2A1PA3A1A2+PA1PA2A1
P(A3|A1A2)＋P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)
＝37×26×15+47×36×25+37×46×25+47×36×35＝37，所以P(A3)＝37.
组别
生活习惯
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828