高考数学一轮复习 第10章 热点探究课6 概率与统计中的高考热点问题

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热点探究课(六)　
概率与统计中的高考热点问题
[命题解读]　1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征．统计与概率内容相互渗透，背景新颖．
热点1　统计与统计案例
以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断．常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力．
　近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解“三高”疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 【导学号：31222407】

患“三高”疾病
不患“三高”疾病
总计
男

6
30
女



总计
36


(1)请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患“三高”疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？
(2)为了研究“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2的观测值k，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关．
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
[解]　(1)完善补充列联表如下：

患“三高”疾病
不患“三高”疾病
总计
男
24
6
30
女
12
18
30
总计
36
24
60
2分
在患“三高”疾病人群中抽9人，则抽取比例为＝，
所以女性应该抽取12×＝3(人).5分
(2)根据2×2列联表，则K2的观测值
k＝＝10＞7.879.10分
所以在允许犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患“三高”疾病与性别有关.12分
[规律方法]　1.将抽样方法与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是抓住统计图表特征，完善样本数据．
2．(1)本题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻，作出无关错误判定．(2)进行独立性检验时，提出的假设是两者无关．
[对点训练1]　(2017·邯郸质检)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2017年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程＝t＋中，＝，＝－.
[解]　(1)易求＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝yi＝7.2，2分
又tiyi－5＝120－5×3×7.2＝12，
t－52＝55－5×32＝10.5分
从而＝＝＝1.2，
∴＝－＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.8分
(2)将t＝6代入回归方程，可预测该地区2017年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).12分
热点2　古典概型与几何概型的概率计算
几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．
　某商场为吸引顾客消费，推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图1所示的圆盘一次，其中O为圆心，目标有20元，10元，0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．

图1
(1)若顾客甲消费了128元，求他获得的优惠券面额大于0元的概率；
【导学号：31222408】
(2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得的优惠券金额不低于20元的概率．
[解]　(1)设“甲获得优惠券”为事件A.
因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是.2分
顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，所以甲获得优惠券面额大于0元的概率为
P(A)＝＋＝.5分
(2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B.
因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x元，第二次获得优惠券的金额为y元，则基本事件空间为
Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率都为.8分
而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指x＋y≥20，所以事件B中包含的基本事件有6个.10分
所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为
P(B)＝＝.12分
[规律方法]　1.本题(1)中，指针连续地变化，是几何概型，第(2)问是顾客获得优惠券的各种可能，是有限的可以一一列举的离散问题，满足古典概型．
2．题目以“市场销售手段”为背景，认真审题，实现知识迁移，恰当选择概型是解题的关键．
[对点训练2]　(2017·海淀区调研)某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R(单位：千米)分为3类，即A类：80≤R＜150，B类：150≤R＜250，C类：R≥250.该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：
类型
A类
B类
C类
已行驶总里程不超过10万千米的车辆数
10
40
30
已行驶总里程超过10万千米的车辆数
20
20
20
(1)从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万千米的概率；
(2)公司为了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．
①求n的值；
②如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率．
[解]　(1)从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过10万千米的概率为P1＝＝.4分
(2)①依题意n＝×14＝5.5分
②5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a，b，c；
5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为m，n.
“从5辆车中随机选取两辆车”的所有选法共10种：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.8分
“从5辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10万千米”的选法共6种：am，an，bm，bn，cm，cn，10分
则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过10万千米的概率P2＝＝.12分
热点3　概率与统计的综合问题(答题模板)
统计和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向，概率统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算．
　(本小题满分12分)(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图2所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．

图2
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
[规范解答]　(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.3分
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.6分
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.9分
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.12分
[答题模板]　第一步：由各矩形的面积之和等于1，求a的值．
第二步：由样本频率分布估计概率．
第三步：设出字母，列出基本事件总数及所求事件M所包含的基本事件．
第四步：利用古典概型概率公式计算．
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[温馨提示]　1.本题的易失分点：
(1)不能利用频率分布直方图的频率求出a值．
(2)求错评分落在[50,60)，[40,50)间的人数．
(3)没有指出基本事件总数与事件M包含的基本事件个数，或者只指出事件个数，没有一一列举出10个基本事件及事件M包含的基本事件，导致扣3分或2分．
2．抓住关键，准确计算：
(1)得关键分：如第(1)问中，正确求得a＝0.006；第(3)问中列出10个基本事件，错写或多写、少写均不得分．
(2)得转化计算分：如第(1)问、第(2)问中的计算要正确，否则不得分；第(3)问中利用“频数、样本容量、频率之间的关系”求得各区间的人数，转化为古典概型的概率．
[对点训练3]　(2017·石家庄质检)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图3所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．
(1)你能否估计哪个班级学生平均上网时间较长？
(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a＞b的概率．

图3
[解]　(1)A班样本数据的平均值为(9＋11＋14＋20＋31)＝17.2分
由此估计A班学生每周平均上网时间为17小时；
B班样本数据的平均值为(11＋12＋21＋25＋26)＝19，
由此估计B班学生每周平均上网时间较长.5分
(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为9,11,14，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11,12,21，从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，8分
其中a＞b的情况有(14,11)，(14,12)两种，故a＞b的概率p＝.12分
热点探究训练(六)　
概率与统计中的高考热点问题
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
1．(2017·揭阳模拟)为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如表所示：
组别
候车时间(分钟)
人数
一
[0,5)
2
二
[5,10)
6
三
[10,15)
4
四
[15,20)
2
五
[20,25]
1
(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
(2)若从表中第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
[解]　(1)由题表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8.2分
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为60×＝32(人).5分
(2)设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1,2.
“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A，所得基本事件共有15种，即ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2,12.10分
其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种．
由古典概型可得P(A)＝.12分
2．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：
x
4
5
7
8
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．

[解]　(1)散点图如图所示．

4分
(2)xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106，
＝＝6，＝＝4，
x＝42＋52＋72＋82＝154，
则＝＝＝1，6分
＝－＝4－6＝－2，
故线性回归方程为＝x＋＝x－2.8分
(3)由回归直线方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.12分
3．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：
【导学号：31222409】
组号
分组
频数
1
[4,5)
2
2
[5,6)
8
3
[6,7)
7
4
[7,8]
3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
[解]　融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个.3分
其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{B1，B2}，共1个．
所以所求的概率P＝1－＝.7分
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于
4．5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.12分
4．(2017·东北师大附中等校联考)甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：

图4
(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；
(2)现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？并说明理由．
[解]　(1)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件：
(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)，3分
基本事件总数n＝25，
记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A，事件A包含的基本事件如下：(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)，5分
事件A包含的基本事件数m＝12，
所以P(A)＝＝.8分
(2)派甲参赛比较合适．理由如下：
甲＝85，乙＝85，s＝31.6，s＝50，10分
因为甲＝乙，s＜s，
所以甲的成绩较稳定，故派甲参赛比较合适.12分
5．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率. 【导学号：31222410】
[解]　(1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6×6＝36个基本事件．
由a·b＝－1，得2x－y＝1.2分
∴a·b＝－1包含的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3种情形，
故P(a·b＝－1)＝＝.5分
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；满足a·b＜0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y＜0}．画出图形如图，8分

正方形的面积为S正方形＝25，阴影部分的面积为
S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b＜0的概率P＝.12分
6．(2017·西安模拟)为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
年龄
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65]
频数
5
10
15
10
5
5
支持
“生育
二胎”
4
5
12
8
2
1
(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；

年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
总计
支持
a＝________
c＝________

不支持
b＝________
d＝________

总计



(2)若对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？
参考数据：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝.
[解]　(1)由题设，列2×2的列联表如下：

年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
总计
支持
a＝3
c＝29
32
不支持
b＝7
d＝11
18
总计
10
40
50
k＝≈6.27＜6.635，
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.5分
(2)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的4人分别为a，b，c，d，不支持“生育二胎”的人记为M，
则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，M)，(b，c)，(b，d)，(b，M)，(c，d)，(c，M)，(d，M).8分
设“恰好这两人都支持“生育二胎”为事件A，
则事件A所有可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，所以P(A)＝＝.10分
所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为.12分