高考数学一轮复习课时分层作业50直线与椭圆含答案

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1．B [由y=x+2，x2m+y23=1，得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
由题意可知3+m≠0， Δ=4m2-4m3+m＞0，
解得m≠-3， m＜0或m＞1，又m＞0，且m≠3，
所以m＞1且m≠3.故选B.]
2．B [由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立x25+y24=1，y=2x-2， 解得交点坐标为(0，－2)，53，43，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝43，∴S△OAB＝12·|OF|·|yA－yB|＝12×1×-2-43＝53.]
3．A [由题意，椭圆C：x24+y23＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则y02＝344-x02，
又由kPA1·kPA2＝y0x0+2×y0x0-2＝y02x02-4＝－34，可得kPA1＝-34kPA2，因为kPA1∈-2，-1，即-2≤-34kPA2≤－1，可得38≤kPA2≤34，所以直线PA2斜率的取值范围是38，34.故选A.]
4．B [由题意设椭圆的方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cs 2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23+y22＝1.故选B.]
5．ACD [由于椭圆C关于原点、x轴、y轴对称．
对于A选项，直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，则椭圆C截直线y＝2x－3所得弦长为7，A选项符合要求；
对于B选项，直线y＝2x＋1与直线l平行，椭圆C截直线y＝2x＋1所得弦长大于7，B选项不符合要求；
对于C选项，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，则椭圆C截直线y＝－2x－3所得弦长为7，C选项符合要求；
对于D选项，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，则椭圆C截直线y＝－2x＋3所得弦长为7，D选项符合要求．故选ACD.]
6．AC [直线l：y＝k(x＋c)过点-c，0，即弦AB过椭圆的左焦点F1.
l△ABF2＝AB+AF2+BF2＝AF1+BF1+AF2+BF2＝4a，所以A正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Mx1+x22，y1+y22，
有kOM＝y1+y2x1+x2，k＝y1-y2x1-x2，
所以kOM·k＝y1+y2x1+x2×y1-y2x1-x2＝y12-y22x12-x22.
由x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，作差得x12-x22a2+y12-y22b2＝0，
所以y12-y22x12-x22＝－b2a2.则有kOM·k＝y12-y22x12-x22＝－b2a2，
所以B错误； AF1＝-c-x1，-y1，AF2＝(c－x1，－y1)，所以AF1·AF2＝x12-c2+y12＝c2a2x12＋a2－2c2∈a2-2c2，a2-c2，则有a2－2c2≤3c2≤a2－c2，可得e＝ca∈55，12，所以C正确；由过焦点的弦中通径最短，则AB的最小值为通径2b2a，则有2b2a＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，所以e＝ca＝12，D错误．故选AC.]
7． 43 [由题意可知F(－1，0)，故l的方程为y＝3(x＋1)．
由y=3x+1，x24+y23=1， 得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－85.
设A(0，3)，B-85，-335.
又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝65，
∴1AF+1BF＝43.]
8． 32 [设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－b2a2kxM，代入k＝1，M(－4，1)，解得b2a2＝14，e＝1-ba2＝32.]
9． 1522 [设与直线x－y－10＝0平行的直线x－y＋c＝0与椭圆相切，两条平行线的距离的最大值为点P到直线x－y－10＝0的距离的最大值，联立x216+y29=1，y=x+c，
整理可得25x2＋32cx＋16c2－16×9＝0，
Δ＝(32c)2－4×25×16(c2－9)＝0，
解得c2＝25，c＝±5，
所以平行线间的距离为c+102＝1522或522，
所以最大值为1522.]
10．[解] (1)BFAB＝b2+c2b2+a2＝ab2+a2＝32
⇒4a2＝3(b2＋a2)⇒a2＝3b2，
所以离心率e＝ca＝a2-b2a2＝63.
(2)由(1)可知椭圆的方程为x2＋3y2＝a2，易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m，
联立y=kx+m，x2+3y2=a2得(1＋3k2)x2＋6kmx＋(3m2－a2)＝0，
由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0⇒3m2＝a2(1＋3k2)，①
xM＝－3km3k2+1，yM＝kxM＋m＝m1+3k2，
由|OM|＝|ON|可得m2＝m29k2+13k2+12，②
由S△OMN＝3可得12|m|·3km1+3k2＝3，③
联立①②③可得k2＝13，m2＝4，a2＝6，
故椭圆的标准方程为x26+y22＝1.
11．[解] (1)依题意可知b=1， 2c=23， a2=b2+c2，解得a=2， b=1， c=3，故椭圆E的方程为x24＋y2＝1.
(2)由题可设直线BC的方程为y－1＝k(x＋2)，
B(x1，y1)，C(x2，y2)，
联立直线和椭圆E的方程得y-1=kx+2，x24+y2=1，
化简得(1＋4k2)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，由Δ>0可得(16k2＋8k)2－4(1＋4k2)(16k2＋16k)>0，解得k<0.
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝-16k2+8k1+4k2，x1x2＝16k2+16k1+4k2.直线AB的斜率为kAB＝y1-1x1，直线AB的方程为y＝y1-1x1x＋1，令y＝0，可得点M的横坐标xM＝x11-y1，
同理可得点N的横坐标xN＝x21-y2，则有|MN|＝x11-y1-x21-y2
＝x1-kx1+2-x2-kx2+2
＝1kx2x2+2-x1x1+2
＝1k·x2x1+2-x1x2+2x1x2+2x1+x2+4
＝1k·2x1+x22-4x1x2x1x2+2x1+x2+4＝2，
代入根与系数的关系可得
1k·2-16k2+8k1+4k22-4×16k2+16k1+4k216k2+16k1+4k2+2-16k2-8k1+4k2+4＝2，
化简可得
1k·2642k2+k2-4×16k2+k1+4k21+4k2216k2+16k1+4k2+-32k2-16k1+4k2+4+16k21+4k2＝2，
即1k·44k4+4k3+k2-4k4-4k3-k2-k＝2，解得k＝－4，故k的值为－4.
12．B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
由题可知，F(－1，0)，
设过点A的切线为y－y1＝k(x－x1)，
联立x24+y23=1， y-y1=kx-x1，
由Δ＝0可求得k＝－3x14y1，即切线方程为x1x4+y1y3＝1，
而点P在切线上，所以x1x04+y1y03＝1，
同理可得x2x04+y2y03＝1，所以直线AB的方程为x0x4+y0y3＝1，
而直线AB过点F(－1，0)，所以x0＝－4，
当y0≠0时，kPF·kAB＝y0-3×3y0＝－1，即PF⊥AB，
当y0＝0时，显然PF⊥AB，
所以S△ABP＝12×|PF|×|AB|，
易知当直线AB⊥x轴时，|PF|min＝3，|AB|min＝2b2a＝3，
即△ABP面积的最小值为92.故选B.]
13．BD [由题意知a＝5，b＝25，c＝5，F1(－5，0)，F2(5，0)，A1(－5，0)，A2(5，0)，记短轴上的顶点B2(0，5), PF1+PF2＝2a＝10，A错误；
设P(x，y)，则x225+y220＝1，y2＝201-x225，
所以kPA1·kPA2＝yx+5×yx-5＝y2x2-25＝201-x225×1x2-25＝－45，B正确；
因为tan ∠OB2F2＝OF2OB2＝525＝12<1，所以0°<∠OB2F2<45°，从而∠F1B2F2＝2∠OB2F2<90°，而P是椭圆上任一点时，当P是短轴端点时∠F1PF2最大，因此不存在点P满足∠F1PF2＝90°，C错误；
设Px，y，S△PF1F2＝12F1F2yP＝5yP＝45，yP＝4，则xP225+1620＝1，xP＝±5，D正确．故选BD.]
14． x＋2y－22＝0 [取AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得y1+y2x1+x2×y1-y2x1-x2＝－12，即kOE·kAB＝－12.设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0，令x＝0，y＝m，令y＝0，x＝－mk，所以E-m2k，m2，所以k×m2-m2k＝－k2＝－12，k＝－22，所以m2＋-mk2＝m2＋2m2＝12，所以m＝2，所以直线AB的方程为y＝－22x＋2，即x＋2y－22＝0.]
15．[解] (1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝2b，所以椭圆C的方程为x22b2+y2b2＝1.又椭圆C经过点P(23，3)，代入椭圆方程得b＝3，所以a＝32，故所求椭圆方程为x218+y29＝1.
(2)由已知动直线l过点(0，－1)．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16；当l与y轴重合时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9，所以两圆相切于点(0，3)，即两圆只有一个公共点．因此，所求点T如果存在，只能是点(0，3)．以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0，3)．当l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T(0，3).当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx－1.
由y=kx-1，x218+y29=1，得(2k2＋1)x2－4kx－16＝0.由(0，－1)在椭圆内部知Δ＞0成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2k2+1，x1x2＝-162k2+1.又TA＝(x1，y1－3)，TB＝(x2，y2－3)，所以TA·TB＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)·(kx2－4)＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝(1＋k2)·-162k2+1－4k·4k2k2+1＋16＝0.所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(0，3)．所以存在一个定点T(0，3)满足条件．