2022-2023学年广西梧州一中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广西梧州一中高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0}
2．（5分）一组数据6，7，8，a，10的平均数为8，则a为（ ）
A．7B．8C．8.5D．9
3．（5分）命题“∀x≥1，x2﹣1＜0”的否定是（ ）
A．∀x≥1，x2﹣1≥0B．∃x≥1，x2﹣1≥0
C．∃x＜1，x2﹣1≥0D．∀x＜1，x2﹣1＜0
4．（5分）函数f（x）＝lnx的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
5．（5分）将一枚质地均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现奇数点”，事件B为“第二次出现偶数点”，则有（ ）
A．事件A与事件B相互独立
B．事件A与事件B为对立事件
C．事件A与事件B互斥
D．事件A不是随机事件
6．（5分）函数f（x）＝ex+e﹣x的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设在函数t＝﹣144lg（1）中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间（小时），n表示每分钟打出的字数，则要达到60字/分水平所需的学习时间约为（lg3≈0.477）（ ）
A．65小时B．67小时C．69小时D．71小时
8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增．若f（2）＝0，且函数f（x﹣1）为偶函数，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣4）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
（多选）10．（5分）下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的有（ ）
A．yB．y＝lgxC．y＝﹣x2+2D．y＝|x|
（多选）11．（5分）下列命题是真命题的是（ ）
A．若1（a＞0，b＞0），则2a+b的最小值为8
B．∀x∈R，x2+x0
C．“x≥1”是“lnx≥0”的充要条件
D．“a＞1”是“1”的充分不必要条件
（多选）12．（5分）已知正实数x，y满足lg2x﹣lg2y＜（）x﹣（）y，则（ ）
A．B．x3＜y3
C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）计算 ．
14．（5分）函数f（x）＝lnx的定义域为 ．
15．（5分）已知x＞﹣1，则x的最小值是 ．
16．（5分）已知函数f（x），函数y＝f（x）﹣a有四个不同零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则实数a的取值范围为 ；x1x2+x3x4的取值范围为 ．
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。）
17．（10分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x＞m﹣2}．
（1）求A∪B；
（2）若 _____，求实数m的取值范围．
请从①A⊆C，②A∩C≠∅，③C⊆∁RA这三个条件中选一个填入②中横线处，并完成第（2）问的解答．
18．（12分）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（3，）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝x﹣f（x），求函数g（x）在[2，4]的值域．
19．（12分）近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁．国际上常用身体质量指数BMI衡量人体胖瘦程度是否健康．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：[12，16），[16，20），[20，24），[24，28），[28，32]，得到相应的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的50%分位数；
（2）现从样本中利用分层抽样的方法从[16，20），[24，28）的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的BMI值不在同一组的概率．
20．（12分）已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）．
（1）证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于实数t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．（12分）投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，假设甲、乙两人进行投壶，每人各投壶两次，规定投中次数多者获胜，投中次数相同则为平局．已知甲、乙每次投中的概率分别为，，每人每次投壶相互独立．
（1）求甲投中两次获胜的概率；
（2）求结果不是平局的概率．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex+ke﹣x为奇函数．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）若对任意的在x2∈[0，1]，总存在x1∈[t，+∞），使ef（x1）≤1成立，求实数t的取值范围．
2022-2023学年广西梧州一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0}
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：因为集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0}，
﹣2∉A，﹣1∈A，0∈A，
所以A∩B＝{﹣1，0}．
故选：C．
2．（5分）一组数据6，7，8，a，10的平均数为8，则a为（ ）
A．7B．8C．8.5D．9
【分析】利用平均数的定义列方程，求出a．
【解答】解：由题意，8，
解得a＝9，
故选：D．
3．（5分）命题“∀x≥1，x2﹣1＜0”的否定是（ ）
A．∀x≥1，x2﹣1≥0B．∃x≥1，x2﹣1≥0
C．∃x＜1，x2﹣1≥0D．∀x＜1，x2﹣1＜0
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，
则命题的否定为∃x≥1，x2﹣1≥0，
故选：B．
4．（5分）函数f（x）＝lnx的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】紧扣函数零点的判定定理即可．
【解答】解：函数f（x）＝lnx在（0，+∞）上连续，
且f（1）＝﹣2＜0，
f（2）＝ln2﹣1＜0，
f（3）＝ln30．
故选：C．
5．（5分）将一枚质地均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现奇数点”，事件B为“第二次出现偶数点”，则有（ ）
A．事件A与事件B相互独立
B．事件A与事件B为对立事件
C．事件A与事件B互斥
D．事件A不是随机事件
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件、对立事件、互斥事件、随机事件的定义，即可求解．
【解答】解：由题意可知，事件A的发生与否对事件B没有影响，
则A与B相互独立，故A正确；
事件A与事件B可以同时发生，故BC错误；
事件A是随机事件，故D错误．
故选：A．
6．（5分）函数f（x）＝ex+e﹣x的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断f（x）的奇偶性和特殊点的值即可作答．
【解答】解：∵f（x）＝ex+e﹣x，∴f（﹣x）＝e﹣x+ex＝f（x），∴f（x）为偶函数，排除B；
当x＝0时，f（x）＝2，排除A；
当x→+∞时，ex→+∞，e﹣x→0，
∴f（x）＝ex+e﹣x→+∞，排除D；
故选：C．
7．（5分）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设在函数t＝﹣144lg（1）中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间（小时），n表示每分钟打出的字数，则要达到60字/分水平所需的学习时间约为（lg3≈0.477）（ ）
A．65小时B．67小时C．69小时D．71小时
【分析】将n＝60，代入t＝﹣144lg（1）求解即可．
【解答】解：当n＝60时，
t＝﹣144lg（1）＝144lg3≈69，
故选：C．
8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增．若f（2）＝0，且函数f（x﹣1）为偶函数，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣4）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【分析】由题意可得f（x）的图象关于x＝﹣1对称，由f（2）＝0，可得f（﹣4）＝0，即可得f（x）＞0的解集．
【解答】解：因为函数f（x﹣1）为偶函数，
函数f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移1个单调得到的，
所以f（x）的图象关于x＝﹣1对称，
又因为f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，
又因为f（2）＝0，
所以f（﹣4）＝0，
所以不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
故选：C．
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
【分析】在统计里，分别利用简单随机抽样的分类，平均数，众数和中位数的定义，以及方差的性质逐一判断．
【解答】解：A项，在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法，正确；
B项，一组数据的平均数不可能大于这组数据中的每个数据，错误；
C项，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，正确；
D项，方差是衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，正确；
故选：ACD．
（多选）10．（5分）下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的有（ ）
A．yB．y＝lgxC．y＝﹣x2+2D．y＝|x|
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，是反比例函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于B，y＝lgx，是对数函数，区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，y＝﹣x2+2，是二次函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于D，y＝|x|，区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
故选：BD．
（多选）11．（5分）下列命题是真命题的是（ ）
A．若1（a＞0，b＞0），则2a+b的最小值为8
B．∀x∈R，x2+x0
C．“x≥1”是“lnx≥0”的充要条件
D．“a＞1”是“1”的充分不必要条件
【分析】对A，利用基本不等式判断；对B，研究二次方程的根即可；对C，利用对数不等式的解法判断；对D，利用不等式的性质即可求解．
【解答】解：2a+b，当且仅当b＝2a取等号，A正确；
当时，x2+x0，B错误；
x≥1等价于lnx≥0，C正确；
a＞1时1，当1，a可以为负数，故“a＞1”是“1”的充分不必要条件，D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知正实数x，y满足lg2x﹣lg2y＜（）x﹣（）y，则（ ）
A．B．x3＜y3
C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y
【分析】根据题意，设f（x）＝lg2x﹣（）x，x∈（0，+∞），分析f（x）的单调性，可得0＜x＜y，由此结合不等式的性质分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝lg2x﹣（）x，x∈（0，+∞），
函数y＝lg2x和函数y＝﹣（）x在（0，+∞）都是增函数，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
若lg2x﹣lg2y＜（）x﹣（）y，则有lg2x﹣（）x＜lg2y﹣（）y，即f（x）＜f（y），故有0＜x＜y，
由此分析选项：
对于A，若0＜x＜y，有，A错误；
对于B，若x＜y，必有x3＜y3，B正确；
对于C，x＜y，则有y﹣x+1＞1，必有ln（y﹣x+1）＞0，C正确；
对于D，x＜y，则x﹣y＜0，则2x﹣y＜1，D错误；
故选：BC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）计算 1 ．
【分析】直接根据对数的运算性质计算即可
【解答】解：原式＝lg2+lg5＝lg10＝1，
故答案为：1
14．（5分）函数f（x）＝lnx的定义域为 [1，+∞） ．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝lnx，
∴，可得x≥1，
∴函数f（x）＝lnx的定义域为：[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
15．（5分）已知x＞﹣1，则x的最小值是 5 ．
【分析】利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞﹣1，则x+1＞0，
所以xx+15，
当且仅当x+1，即x＝2时取得最小值5，
故答案为：5．
16．（5分）已知函数f（x），函数y＝f（x）﹣a有四个不同零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则实数a的取值范围为 （1，e] ；x1x2+x3x4的取值范围为 [4，5） ．
【分析】画出f（x）的图象和直线y＝a，考虑四个交点的情况，把x1x2与x3•x4表示出来，并求出范围，进而得到结论．
【解答】解：函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，即两函数y＝f（x）与y＝a图象有四个不同的交点，如图所示，
由图象可知，1＜a≤e，
x1，x2是方程e|x+1|＝a的两根，而图像关于x＝﹣1对称，
∴x1+x2＝﹣2，且x2∈（﹣1，0]，
∴x1•x2＝（﹣2﹣x2）•x2＝﹣（x2+1）2+1∈[0，1），
x3，x4是方程x3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，
∴x3+x4＝3+a，x3•x4＝4，
∴x1x2+x3•x4∈[4，5）．
故答案为：（1，e]，[4，5）．
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。）
17．（10分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x＞m﹣2}．
（1）求A∪B；
（2）若 _____，求实数m的取值范围．
请从①A⊆C，②A∩C≠∅，③C⊆∁RA这三个条件中选一个填入②中横线处，并完成第（2）问的解答．
【分析】（1）根据并集的定义即可求解；（2）选①：根据集合的包含关系建立不等式关系即可求解；选②：根据交集与空集的性质建立不等式关系即可求解；选③：先求出集合A的补集，再根据集合的包含关系建立不等式关系即可求解．
【解答】解：（1）因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，
所以A∪B＝{x|x＞﹣1}；
（2）①若A⊆C，则m﹣2≤﹣1，即m≤1，
所以实数m的取值范围为（﹣∞，1]，
②若A∩C≠∅，则m﹣2＜3，即m＜5，
所以实数m的取值范围为（﹣∞，5），
③若C⊆∁RA，因为∁RA＝{x|x≤﹣1或x≥3}，
则m﹣2≥3，即m≥5，
所以实数m的取值范围为[5，+∞）．
18．（12分）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（3，）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝x﹣f（x），求函数g（x）在[2，4]的值域．
【分析】（1）由f（3）＝3a，能求出函数f（x）；
（2）求出0，g（x）是增函数，由此能求出函数g（x）在[2，4]的值域．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点（3，），
∴f（3）＝3a，解得函数f（x）＝x﹣1；
（2）函数g（x）＝x﹣f（x）＝x﹣x﹣1＝x，
0，
∴g（x）是增函数，
∴函数g（x）在[2，4]的值域为[g（2），g（4）]＝[，]．
19．（12分）近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁．国际上常用身体质量指数BMI衡量人体胖瘦程度是否健康．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：[12，16），[16，20），[20，24），[24，28），[28，32]，得到相应的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的50%分位数；
（2）现从样本中利用分层抽样的方法从[16，20），[24，28）的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的BMI值不在同一组的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图频率和为1，解出a，利用中位数的定义求解即可；
（2）利用古典概型的公式求出不在同一组的概率．
【解答】解：（1）由题意，（0.01+0.02+a+0.08+0.1）×4＝1，
解得a＝0.04，
该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的50%分位数即中位数，
第一组频率为0.04，第二组频率为0.16，第三组频率为0.4，
则中位数在第三组中，
204＝23；
（2）[16，20）小组中有16人，[24，28）小组中有32人，比例为1；2，
则[16，20）小组中抽取2人，[24，28）小组中抽取4人，
随机抽取2人共有C15种抽法，
在不同组共有2×4＝8种，
故抽取到两人的BMI值不在同一组的概率为P．
20．（12分）已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）．
（1）证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于实数t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【分析】（1）求出定义域，根据奇函数的定义证明即可；
（2）根据单调性的定义证明即可；
（3）由题意可得f（t﹣1）＜f（﹣t），由函数的定义域及单调性求解即可．
【解答】解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：
由题意可知x∈[﹣1，1]，关于原点对称，
f（﹣x）f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（0，1）上单调递增，证明如下：
证明：任取x1，x2，使0＜x1＜x2＜1，
f（x1）﹣f（x2），
因为0＜x1＜x2＜1，
所以x1﹣x2＜0，x1x2＜1，1﹣x1x2＞0，
所以0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，1）上单调递增；
（3）由题意可得函数f（x）为[﹣1，1]上的奇函数且单调递增，
所以f（t﹣1）+f（t）＜0⇔f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
所以，
解得0≤t．
所以不等式的解集为：[0，）．
21．（12分）投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，假设甲、乙两人进行投壶，每人各投壶两次，规定投中次数多者获胜，投中次数相同则为平局．已知甲、乙每次投中的概率分别为，，每人每次投壶相互独立．
（1）求甲投中两次获胜的概率；
（2）求结果不是平局的概率．
【分析】（1）设“甲投中两次获胜”为事件A，利用相互独立事件的概率公式即可求得；
（2）设“结果是平局”为事件B，则B包括“甲乙都进2个球”，“甲乙都进1个球”，“甲乙都进0个球”三种情况，求出每种情况的概率，再求结果不是平局的概率．
【解答】解：（1）设“甲投中两次获胜”为事件A，则；
（2）设“结果是平局”为事件B，
则，
所以，
即结果不是平局的概率为．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex+ke﹣x为奇函数．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）若对任意的在x2∈[0，1]，总存在x1∈[t，+∞），使ef（x1）≤1成立，求实数t的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据奇函数满足f（0）＝0求解即可；
（Ⅱ）将不等式转换为对任意的x2∈[0，1]，总存在x1∈[t，+∞），使成立，根据单调性只需“对任意的x2∈[0，1]，成立”，故考虑的最小值，即|x2﹣t|在x2∈[0，1]上的最大值，再分当与两种情况讨论即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝ex+ke﹣x为奇函数，
所以f（0）＝e0+ke0＝1+k＝0，故k＝﹣1，
此时f（x）＝ex﹣e﹣x为奇函数，故k＝﹣1
（Ⅱ）因为y＝ex为增函数，y＝e﹣x为减函数，故f（x）＝ex﹣e﹣x为增函数，
故“对任意的x2∈[0，1]，总存在x1∈[t，+∞），使成立”，
即“对任意的x2∈[0，1]，成立”，
故考虑的最小值，即|x2﹣t|在x2∈[0，1]上的最大值．
①当时，|x2﹣t|在x2＝0时取最大值，
故，即e2t≤2，，
因为，故不成立；
②当时，|x2﹣t|在x2＝1时取最大值，成立，
即，即，所以，
综上所述，t的取值范围为．
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