2022-2023学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A．1⊆{0，1，2}B．∅∈{0，1，2}C．∅⊆{2，0，1}D．{1}∈{0，1，2}
2．（4分）命题“∃x∈R，x2+5x+2＜0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+5x+2＜0B．∃x∈R，x2+5x+2≤0
C．∀x∈R，x2+5x+2≥0D．∃x∈R，x2+5x+2≥0
3．（4分）一段高速公路有400个太阳能标志灯，其中进口的有40个，联合研制的有100个，国产的有260个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，则进口的标志灯抽取的数量为（ ）
A．2B．3C．5D．13
4．（4分）不等式2x2+5x﹣12＜0的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）设a＞0，则下列等式恒成立的是（ ）
A．am+an＝am+nB．am•an＝am﹣n
C．（am）n＝am+nD．am•an＝am+n
6．（4分）幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）设x，y∈R，且x+y＝4，则3x+3y的最小值为（ ）
A．10B．C．D．18
8．（4分）甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）用二分法研究函数f（x）＝x3+2x﹣1的零点时，第一次计算，得f（0）＜0，f（0.5）＞0，第二次应计算f（x1），则x1等于（ ）
A．1B．﹣1C．0.25D．0.75
10．（4分）设a＝30.2，b＝0.23，，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
11．（4分）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间分别为83，84，80，69，82，81，81（单位：min）．则这组时间数据的（ ）
A．极差为14B．方差为22
C．平均数为80D．中位数为80
12．（4分）已知函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1]B．（﹣1，2）C．[1，2）D．（0，+∞）
二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）13．（4分）若a＞b＞0，则以下结论正确的是（ ）
A．ac2＞bc2B．a2＞ab＞b2C．lga＞lgbD．
（多选）14．（4分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件A与B互斥D．事件A与B相互独立
（多选）15．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时f（x）＝﹣x2﹣2x，则（ ）
A．f（x）的最大值为1
B．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
C．f（x）≥0的解集为[﹣2，2]
D．当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.
16．（4分）“x＞2”是“x2﹣4＞0”的 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）．
17．（4分）函数f（x）的定义域为 ．
18．（4分）lg3 ．
19．（4分）下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于30次．其中随机事件的序号为 ．
20．（4分）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足y＝15x﹣x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为 克．
四、解答题：本题共7小题，共70分，每小题10分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.
21．（10分）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}．求：
（1）A∩B；
（2）∁R（A∪B）．
22．（10分）甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目标的概率分别是、、．现3人各射一次箭，求：
（1）3人都射中目标的概率；
（2）3人中恰有2人射中目标的概率．
23．（10分）已知函数f（x）．
（1）判断函数f（x）奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并利用单调性定义说明理由．
24．（10分）某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表．
（1）求a，b的值，并作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；
（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）；
（3）现从第4，5组中用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率．
25．（10分）某市新建一片园区种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1日至30日开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）＝8（千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）＝143﹣|x﹣22|（元），1≤x≤30，x∈N*．
（1）求该园区第x天的旅游收入P（x）（单位：千元）的表达式；
（2）求该园区第几天的旅游收入最低，并求出最低收入．
26．（10分）设f（x）＝x．
（1）求不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞1的解集M；
（2）若函数y＝f（x）在（0，+∞）上最小值为﹣a，求实数a的值；
（3）若对任意的正实数a，存在，使得|f（x0）|≥m，求实数m的最大值．
27．（10分）已知函数，（k∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若对于任意x恒成立，求b的取值范围；
（Ⅲ）若函数，是否存在实数m使得h（x）的最小值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
2022-2023学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.
1．（4分）下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A．1⊆{0，1，2}B．∅∈{0，1，2}C．∅⊆{2，0，1}D．{1}∈{0，1，2}
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系，空集的概念即可求解．
【解答】解：对A，∵1∈{0，1，2}，∴A错误；
对B，∵∅⫋{0，1，2}，∴B错误；
对C，∵∅⊆{2，0，1}，∴C正确；
对D，∵{1}⫋{0，1，2}，∴D错误．
故选：C．
2．（4分）命题“∃x∈R，x2+5x+2＜0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+5x+2＜0B．∃x∈R，x2+5x+2≤0
C．∀x∈R，x2+5x+2≥0D．∃x∈R，x2+5x+2≥0
【分析】由特称命题否定的形式可直接得到结果．
【解答】解：由特称命题的否定知：原命题的否定为∀x∈R，x2+5x+2≥0．
故选：C．
3．（4分）一段高速公路有400个太阳能标志灯，其中进口的有40个，联合研制的有100个，国产的有260个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，则进口的标志灯抽取的数量为（ ）
A．2B．3C．5D．13
【分析】根据分层抽样原则直接计算即可．
【解答】解：根据分层抽样原则知：进口的标志灯应抽取的数量为．
故选：A．
4．（4分）不等式2x2+5x﹣12＜0的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用二次不等式的解法解原不等式即可．
【解答】由2x2+5x﹣12＜0可得（2x﹣3）（x+4）＜0，解得，
因此，原不等式的解集为．
故选：B．
5．（4分）设a＞0，则下列等式恒成立的是（ ）
A．am+an＝am+nB．am•an＝am﹣n
C．（am）n＝am+nD．am•an＝am+n
【分析】根据指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解：（am）n＝amn，am•an＝am+n，故B，C错误，D正确，
由于21+22＝6，21+2＝8，所以am+an≠am+n，故A错误．
故选：D．
6．（4分）幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由，结合幂函数的性质进行分析即可．
【解答】解：由可知x≥0故C，D错误；
由幂函数性质可知，y随着自变量x的增大函数值增大，故B错误．
故选：A．
7．（4分）设x，y∈R，且x+y＝4，则3x+3y的最小值为（ ）
A．10B．C．D．18
【分析】利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
故选：D．
8．（4分）甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】列举出所有基本事件，并确定满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果．
【解答】解：甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共6个基本事件；
其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共2个基本事件；
∴甲排在末位的概率．
故选：B．
9．（4分）用二分法研究函数f（x）＝x3+2x﹣1的零点时，第一次计算，得f（0）＜0，f（0.5）＞0，第二次应计算f（x1），则x1等于（ ）
A．1B．﹣1C．0.25D．0.75
【分析】根据二分法的定义计算可得．
【解答】解：因为f（0）＜0，f（0.5）＞0，
所以f（x）在（0，0.5）内存在零点，
根据二分法第二次应该计算f（x1），其中．
故选：C．
10．（4分）设a＝30.2，b＝0.23，，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【分析】由对数式和指数式的运算性质，判断三个数的范围，即可比较大小．
【解答】解：a＝30.2＞30＝1，0＜b＝0.23＜0.20＝1，，
所以a＞b＞c．
故选：A．
11．（4分）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间分别为83，84，80，69，82，81，81（单位：min）．则这组时间数据的（ ）
A．极差为14B．方差为22
C．平均数为80D．中位数为80
【分析】根据极差，平均数，方差公式计算即可判断A、B、C选项；
根据中位数定义即可判断D选项．
【解答】解：极差为样本最大值与最小值之差：84﹣69＝15，A错误；
平均数为：，C正确；
方差为：，B错误；
样本由大到小排列：69，80，81，81，82，83，84，中位数为81，D错误．
故选：C．
12．（4分）已知函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1]B．（﹣1，2）C．[1，2）D．（0，+∞）
【分析】根据f（x）在R上递增列不等式，由此求得a的取值范围．
【解答】解：y＝x2﹣2x+4的开口向上，对称轴为x＝1，
由于f（x）在R上单调递增，
所以，解得﹣1＜a≤1，
所以a的取值范围是（﹣1，1]．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）13．（4分）若a＞b＞0，则以下结论正确的是（ ）
A．ac2＞bc2B．a2＞ab＞b2C．lga＞lgbD．
【分析】利用不等式的性质对各个选项逐个判断即可求解．
【解答】解：因为a＞b＞0，则a2＞ab，ab＞b2，lga＞lgb，，故B，C正确，D错误，
当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误，
故选：BC．
（多选）14．（4分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件A与B互斥D．事件A与B相互独立
【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误．
【解答】解：对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，
其中满足事件A的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件A和事件B同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，
∴，，A正确，B正确；
∵事件A与事件B可以同时发生，
∴事件A与事件B不互斥，C错误；
∵事件A的发生不影响事件B的发生，
∴事件A与事件B相互独立，D正确．
故选：ABD．
（多选）15．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时f（x）＝﹣x2﹣2x，则（ ）
A．f（x）的最大值为1
B．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
C．f（x）≥0的解集为[﹣2，2]
D．当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x
【分析】设x＞0，则﹣x＜0，求出f（﹣x），利用偶函数的性质可求出f（x），从而可得函数解析式；作出函数图象，进而判断出结论．
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，
所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2﹣2（﹣x）＝﹣x2+2x，
因为f（x）是偶函数，即f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）＝﹣x2+2x，
所以f（x），
函数图象如图所示：
由图可得：f（x）的最大值为1，f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，f（x）≥0的解集为[﹣2，2]，
故选：ABC．
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.
16．（4分）“x＞2”是“x2﹣4＞0”的 充分不必要 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）．
【分析】解不等式，由集合的包含关系可判．
【解答】解：解不等式x2﹣4＞0可得x＞2或x＜﹣2，
∵{x|x＞2}是{x|x＞2或x＜﹣2}的真子集，
∴“x＞2”是“x2﹣4＞0”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
17．（4分）函数f（x）的定义域为 [1，2）∪（2，+∞） ．
【分析】利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．
【解答】解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∞）
故答案为：[1，2）∪（2，+∞）
18．（4分）lg3 ﹣18 ．
【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可．
【解答】解：．
故答案为：﹣18．
19．（4分）下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于30次．其中随机事件的序号为 ③④ ．
【分析】根据随机事件的定义依次判断各个选项即可．
【解答】解：对于①，物理在重力作用下必然会自由下落，为必然事件，不是随机事件，①错误；
对于②，方程x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根为不可能事件，不是随机事件，②错误；
对于③，下周一可能会下雨，也可能不会下雨，则下周一会下雨可能发生，也可能不发生，为随机事件，③正确；
对于④，收到观众信息回复次数大于30次可能发生，也可能不发生，为随机事件，④正确．
故答案为：③④．
20．（4分）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足y＝15x﹣x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为 克．
【分析】利用标准差和均值的公式完成计算即可．
【解答】解：设香囊中草药甲的含量分别为xi克，香囊功效分别为yi，i＝1，2，…，6，
草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，
即x1+x2+…+x6＝36，y1+y2+…+y6＝15（x1+x2+…+x6）﹣（）＝90，
所以450，则这6个香囊中草药甲含量的方差
s2
[（）﹣12（x1+x2+…+x6）+6×36]
（450﹣12×36+6×36）＝39，
所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为克．
故答案为：．
四、解答题：本题共7小题，共70分，每小题10分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.
21．（10分）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}．求：
（1）A∩B；
（2）∁R（A∪B）．
【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集即可；
（2）由A与B，求出两集合的并集，找出并集的补集即可．
【解答】解：（1）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}，
∴A∩B＝{x|4＜x＜7}；
（2）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}，
∴A∪B＝{x|3≤x＜10}，
则∁R（A∪B）＝{x|x＜3或x≥10}．
22．（10分）甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目标的概率分别是、、．现3人各射一次箭，求：
（1）3人都射中目标的概率；
（2）3人中恰有2人射中目标的概率．
【分析】（1）利用独立事件的概率公式计算即可；
（2）利用独立事件的概率公式与对立事件的概率公式计算即可．
【解答】解：（1）记“甲、乙、丙射一次箭能射中目标”分别为事件A1、A2、A3，
则，，，3人都射中目标的事件为A1A2A3，
其概率为．
（2）设“3人中恰有2人射中目标”为事件B，
由（1）知，
因此，
所以3人中恰有2人射中目标的概率为．
23．（10分）已知函数f（x）．
（1）判断函数f（x）奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并利用单调性定义说明理由．
【分析】（1）易知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（2）根据单调性定义按照取值、作差、变形、定号、得结论等步骤证明即可．
【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：
函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，，满足奇函数定义，
所以f（x）为奇函数．
（2）f（x）在[1，+∞）上单调递增，理由如下：
在[1，+∞）上任取x1＜x2，
则，
因为1≤x1＜x2，所以x1x2＞1，x1﹣x2＜0，
故，即f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在[1，+∞）上单调递增．
24．（10分）某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表．
（1）求a，b的值，并作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；
（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）；
（3）现从第4，5组中用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方表，a＝350，b＝0.3，作出频率分布直方图．
（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数的估计值，中位数的估计值．
（3）从第4，5组抽取的人数分别为4，2，第4组抽取的人数为4人设为A，B，C，D，第5组抽取的2人设为a，b，求出从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况包含的基本事件数和抽取的2人中至少有一人是5组包含的基本事件数，由此能求出抽取的2人中至少有一人是5组的概率．
【解答】解：（1）根据频率分布直方表，可得：
，
解得a＝350，b＝0.3，
作出频率分布直方图如下：
（2）该组数据的平均数的估计值为：
2.5×0.05+7.5×0.35+12.5×0.3+17.5×0.2+22.5×0.1＝12.25，
由图知中位数应该在[10，15）内，设中位数为x，
则0.05+0.35+（x﹣10）×0.06＝0.5，解得x≈11.67，
∴中位数的估计值为11.67．
（3）从第4，5组抽取的人数分别为4，2，
第4组抽取的人数为4人设为A，B，C，D，第5组抽取的2人设为a，b，
从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况包含的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），共15个，
抽取的2人中至少有一人是5组包含的基本事件有：
（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），共9个，
∴抽取的2人中至少有一人是5组的概率为：P．
25．（10分）某市新建一片园区种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1日至30日开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）＝8（千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）＝143﹣|x﹣22|（元），1≤x≤30，x∈N*．
（1）求该园区第x天的旅游收入P（x）（单位：千元）的表达式；
（2）求该园区第几天的旅游收入最低，并求出最低收入．
【分析】（1）P（x）＝f（x）⋅g（x），分类讨论去绝对值得分段函数表达式；
（2）分类讨论，结合函数单调性、基本不等式求分段函数最小值；
【解答】解：（1）根据题意可得
，x∈N*；
（2）当1≤x≤22时，，
当且仅当，即x＝11时取等号，此时P（x）取得最小值为1152（千元）；
当22＜x≤30时，是减函数，
则（千元），
∵1116＜1152，
∴该园区第30天的旅游收入最低，为1116千元．
26．（10分）设f（x）＝x．
（1）求不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞1的解集M；
（2）若函数y＝f（x）在（0，+∞）上最小值为﹣a，求实数a的值；
（3）若对任意的正实数a，存在，使得|f（x0）|≥m，求实数m的最大值．
【分析】（1）由条件将不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞1化简为，转化为ax（x﹣1）＞0，再分情况讨论，可得答案；
（2）分情况求出函数f（x）的最小值，由函数最小值为可得方程，得出答案；
（3）由条件可得|f（x0）|max≥m，由函数f（x）的单调性有，然后分情况讨论得出其最大值，可得答案．
【解答】解：（1）∵，
∴f（x）﹣f（x﹣1）＞1，即，也即
所以ax（x﹣1）＞0
若a＝0，该不等式无解；
若a＞0，x（x﹣1）＞0，所以x＞1或x＜0；
若a＜0，x（x﹣1）＜0，所以0＜x＜1
综上，当a＝0时，M＝∅；当a＞0时，M＝（﹣∞，0）∪（1，+∞）；当a＜0时，M＝（0，1）；
（2）若a＝0，f（x）＝x+2在（0，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上无最小值；
若a＞0，在（0，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上无最小值；
若a＜0，，
所以，解得或，
所以或；
（3）因为对任意的正实数a，存在，使得|f（x0）|≥m，所以|f（x0）|max≥m，
当a＞0时，在上单调递增，
所以，
所以，
当，即，由a＞0，解得，
当时，，即|f（x0）|max＝|f（1）|＝|3﹣a|≥m，所以，
当时，，即，所以，
所以，
所以实数m的最大值为．
27．（10分）已知函数，（k∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若对于任意x恒成立，求b的取值范围；
（Ⅲ）若函数，是否存在实数m使得h（x）的最小值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）运用偶函数的定义，结合对数的运算性质，解方程可得k的值；
（Ⅱ）由参数分离和对数函数的单调性，结合恒成立思想可得b的范围；
（Ⅲ）原不等式化为h（x）＝9x+2m•3x+2，令t＝3x，运用对数函数的单调性和二次函数的最值求法，解方程可得所求结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数，（k∈R）是偶函数，
则满足f（x）＝f（﹣x），
所以，
即，
所以2k＝﹣1，解得；
（Ⅱ）由（1）可知，，对于任意x恒成立，
代入可得，所以对于任意x恒成立．
令，
因为，可得，
所以b≤0；
（Ⅲ），x∈[0，lg98]，且，
代入化简可得h（x）＝9x+2m•3x+2，
令t＝3x，因为x∈[0，lg98]，所以，
则
①当﹣m≤1，即m≥﹣1时，p（t）在上为增函数，
所以p（t）min＝p（1）＝2m+3＝0，解得，不合题意，舍去；
②当，即时，p（t）在[1，﹣m]上为减函数，p（t）在上为增函数，
所以，解得，所以；
③当，即时，p（t）在上为减函数，
所以，
解得不合题意，舍去，
综上可知，存在实数m，使得h（x）的最小值为0．
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分组
频数
频率
1
[0，5）
50
0.05
2
[5，10）
a
0.35
3
[10，15）
300
b
4
[15，20）
200
0.2
5
[20，25]
100
0.1
合计
1000
1
组号
分组
频数
频率
1
[0，5）
50
0.05
2
[5，10）
a
0.35
3
[10，15）
300
b
4
[15，20）
200
0.2
5
[20，25]
100
0.1
合计
1000
1