2022-2023学年甘肃省兰州六十三中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州六十三中高一（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知集合A＝{x|6x2+7x﹣3≤0}，B＝Z，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
2．（4分）若函数，则f（0）+f（1）＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（tan2022°，sin2022°）位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
4．（4分）命题“∀x＞1，x2+1＞m”是真命题的充要条件是（ ）
A．m＜1B．m＜2C．m≤2D．m＜3
5．（4分）若指数函数y＝ax在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或2D．2
6．（4分）下列函数在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．B．f（x）＝2﹣x
C．D．f（x）＝|x|
7．（4分）已知cs（α），则sin（α）＝（ ）
A．±B．C．D．
8．（4分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．单调增区间为（﹣∞，1]，值域为（0，2]
B．单调减区间是[1，+∞），值域为（﹣∞，2]
C．单调增区间为（﹣1，1]，值域为（﹣∞，2]
D．单调减区间是[1，3），值域为（0，2]
10．（4分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）
（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，lg0.3≈﹣0.5，lg0.7≈﹣0.15，lg0.8≈﹣0.1）
A．1B．3C．5D．7
二、多选题（本大题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对的2分，有选错的得0分.）
（多选）11．（4分）已知函数，则（ ）
A．
B．f（x）的最小正周期为
C．把f（x）向左平移可以得到函数g（x）＝tan2x
D．f（x）在上单调递增
（多选）12．（4分）以下命题正确的是（ ）
A．函数f（x）＝x﹣2与函数表示同一个函数
B．∀x∈（0，+∞），使4x＞3x
C．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2
D．若x＞0，y＞0且x+4y＝1，则2x+16y的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.）
13．（4分）计算： ．
14．（4分）命题“∃x∈[1，2]，x2+x﹣a≤0”为假命题，则a的取值范围为 ．
15．（4分）已知方程cs2x+4sinx﹣a＝0在x∈[0，π]时有解，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（10分）集合A＝{x|3＜x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m+1}．
（1）若m＝2，求A∩B，A∪B；
（2）若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
17．（10分）已知，且tan2α﹣tanα﹣2＝0．
（1）求tan（π﹣α）的值；
（2）求的值．
18．（10分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象．求函数y＝g（x）（x∈[﹣2，1]）的值域．
19．（10分）已知函数f（x）（a∈R）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；
（3）若对于任意实数t，不等式f（t2﹣kt）+f（1﹣t）≤0恒成立，求实数k的取值范围．
2022-2023学年甘肃省兰州六十三中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（4分）已知集合A＝{x|6x2+7x﹣3≤0}，B＝Z，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
【分析】先求出集合A，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：A＝{x|6x2+7x﹣3≤0}＝{x|（3x﹣1）（2x+3）≤0}，
B＝Z，则A∩B＝{﹣1，0}．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（4分）若函数，则f（0）+f（1）＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
【分析】推导出f（0）＝20＝1，f（1）＝1﹣ln1＝1，由此能求出f（0）+f（1）的值．
【解答】解：∵函数，
∴f（0）＝20＝1，f（1）＝1﹣ln1＝1．
∴f（0）+f（1）＝1+1＝2．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（tan2022°，sin2022°）位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】直接利用三角函数的诱导公式求出三角函数值的符号，进一步求出结果．
【解答】解：由于tan2022°＝tan（2160°﹣138°）＝﹣tan138°＞0，sin2022°＝sin（2160°﹣138°）＝﹣sin138°＜0，
故点P（tan2022°，sin2022°）位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
4．（4分）命题“∀x＞1，x2+1＞m”是真命题的充要条件是（ ）
A．m＜1B．m＜2C．m≤2D．m＜3
【分析】根据已知条件，求出m的取值范围，再结合充要条件的定义，即可求解．
【解答】解：“∀x＞1，x2+1＞m”，
则m≤2，
故命题“∀x＞1，x2+1＞m”是真命题的充要条件是m≤2．
故选：C．
【点评】本题主要考查充要条件的定义，属于基础题．
5．（4分）若指数函数y＝ax在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或2D．2
【分析】讨论指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的单调性，从而确定函数的最值，可得a．
【解答】解：由题意，若0＜a＜1，则有a﹣a2＝2，Δ＜0，方程无解；
若a＞1，则有a2﹣a＝2，则a＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的单调性的应用及最值的求法，属于基础题．
6．（4分）下列函数在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．B．f（x）＝2﹣x
C．D．f（x）＝|x|
【分析】根据已知条件，结合函数的单调性，即可求解．
【解答】解：f（x），f（x）＝2﹣x，在（0，+∞）上为减函数，
f（x）＝|x|在（0，+∞）上为增函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
7．（4分）已知cs（α），则sin（α）＝（ ）
A．±B．C．D．
【分析】由条件利用利用诱导公式化简三角函数式，可得结果．
【解答】解：∵已知cs（α），则sin（α）＝cs[（α）]＝cs（α），
故选：D．
【点评】本题主要考查利用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．
8．（4分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件结合函数的奇偶性和单调性比较大小即可．
【解答】解：因为函数f（x）为偶函数，所以f（lg34），
因为y＝0.4x是减函数，所以1＞0.40.3＞0.40.4，
而y＝x0.4在（0，+∞）上是增函数，故0.40.4＞0.30.4＞0，
所以lg34＞1＞0.40.3＞0.30.4＞0，
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小，考查了转化思想，属于中档题．
9．（4分）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．单调增区间为（﹣∞，1]，值域为（0，2]
B．单调减区间是[1，+∞），值域为（﹣∞，2]
C．单调增区间为（﹣1，1]，值域为（﹣∞，2]
D．单调减区间是[1，3），值域为（0，2]
【分析】采用换元法，令t＝﹣x2+2x+3，根据对数函数和二次函数的单调性，由复合函数单调性的判断方法，即可得解．
【解答】解：令t＝﹣x2+2x+3，则f（t）＝lg2t，
由t＝﹣x2+2x+3＞0，知﹣1＜x＜3，
所以t＝﹣x2+2x+3在（﹣1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
又函数y＝lg2t在定义域内单调递增，
所以f（x）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3），
所以f（x）max＝f（1）＝2，
所以函数f（x）的值域为（﹣∞，2]．
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性与值域，熟练掌握复合函数单调性的判断方法，对数函数和二次函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10．（4分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）
（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，lg0.3≈﹣0.5，lg0.7≈﹣0.15，lg0.8≈﹣0.1）
A．1B．3C．5D．7
【分析】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100（1﹣30%）x＜20，解出x的范围即可．
【解答】解：设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100（1﹣30%）x＜20，
∴0.7x＜0.2，
∴，
∴他至少经过5个小时才能驾驶汽车，
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
二、多选题（本大题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对的2分，有选错的得0分.）
（多选）11．（4分）已知函数，则（ ）
A．
B．f（x）的最小正周期为
C．把f（x）向左平移可以得到函数g（x）＝tan2x
D．f（x）在上单调递增
【分析】根据正切函数的图象与性质，逐一分析选项，即可．
【解答】解：选项A，f（0）＝tan（），即A错误；
选项B，最小正周期T，即B正确；
选项C，把f（x）的图象向左平移可以得到函数y＝tan[2（x）]＝tan（2x）≠g（x），即C错误；
选项D，令2x∈（kπ，kπ），k∈Z，则x∈（π，π），k∈Z，
当k＝0时，f（x）在（，）上单调递增，
而⫋（，），所以选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正切函数的图象与性质，函数图象的平移变换是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
（多选）12．（4分）以下命题正确的是（ ）
A．函数f（x）＝x﹣2与函数表示同一个函数
B．∀x∈（0，+∞），使4x＞3x
C．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2
D．若x＞0，y＞0且x+4y＝1，则2x+16y的最小值为
【分析】对A，通过化简知g（x），即可判断；对B，根据在同一坐标系内不同底数的指数函数图像特点即可判斯；对C利用韦达定理即可；对D利用基本不等式即可求出最值，注意取等条件．
【解答】解：对于A，f（x）＝x﹣2，g（x）|x﹣2|，故f（x）与g（x）不是同一个函数，数A错误；
对于B，根据指数函数图象与性质可知，当（0，+∞），y1＝4x的图象在y2＝3x的图象的上方，
故对∀x∈（0，+∞），使4x＞3x，B正确，
对C，由题意知﹣1，2为方程ax2+2x+c＝0的两根，且a≠0，
由韦达定理得，得a＝﹣2，c＝4，故a+c＝2，故C正确；
对D，2x+16y＝2x+24y≥222，
当且仅当2x＝24y，x+4y＝1，即x，y时取等号．
故2x+16y的最小值为2，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查一元二次不等式，同一函数的判断，函数图象的性质，基本不等式的应用，属于中档题．
三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.）
13．（4分）计算： 0 ．
【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：
＝lg5+lg2﹣1
＝1﹣1
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（4分）命题“∃x∈[1，2]，x2+x﹣a≤0”为假命题，则a的取值范围为 （﹣∞，2） ．
【分析】由题意得“∀x∈[1，2]，x2+x﹣a＞0”为真命题，即a＜x2+x在x∈[1，2]时恒成立，然后结合恒成立与最值关系的转化及二次函数的性质即可求解．
【解答】解：因为命题“∃x∈[1，2]，x2+x﹣a≤0”为假命题，
所以“∀x∈[1，2]，x2+x﹣a＞0”为真命题，
所以a＜x2+x在x∈[1，2]时恒成立，
所以a＜（x2+x）min，
根据二次函数的性质可知，当x＝1时，函数取得最小值2，
则a＜2．
故答案为：{a|a＜2}．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
15．（4分）已知方程cs2x+4sinx﹣a＝0在x∈[0，π]时有解，则实数a的取值范围是 [1，4] ．
【分析】把方程有解问题转换成图象有交点问题，求出y＝cs2x+4sinx在[0，π]的值域即可得出答案．
【解答】解：∵方程cs2x+4sinx﹣a＝0在x∈[0，π]时有解，
∴cs2x+4sinx＝a在x∈[0，π]上有交点，
令f（x）＝cs2x+4sinx＝﹣sin2x+4sinx+1，x∈[0，π]，
令t＝sinx，t∈[0，1]，
∴f（t）＝﹣t2+4t+1，
∴f（t）∈[1，4]，
∴a的范围为[1，4]，
故答案为：[1.4]．
【点评】本题主要考查了正弦函数值域的求法，属于基础题．
四、解答题（本大题共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（10分）集合A＝{x|3＜x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m+1}．
（1）若m＝2，求A∩B，A∪B；
（2）若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先求出B，再利用集合的运算求解即可．
（2）先得到A⊆B，再列出不等式组，求解即可．
【解答】解：（1）若m＝2，则B＝{x|2≤x≤5}，
∵A＝{x|3＜x≤6}，
∴A∩B＝{x|3＜x≤5}，A∪B＝{x|2≤x≤6}．
（2）∵x∈B是x∈A的必要条件，∴A⊆B，
∴，∴m≤3，
∴实数m的取值范围为[，3]．
【点评】本题考查了集合的运算，充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（10分）已知，且tan2α﹣tanα﹣2＝0．
（1）求tan（π﹣α）的值；
（2）求的值．
【分析】（1）先解出tanα＝﹣1或2，再根据α的范围可得出tanα的值．进而可求出tan（π﹣α）的值；
（2）根据三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由tan2α﹣tanα﹣2＝0得，tanα＝﹣1或2，
又，∴tanα＝2，
∴tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣2；
（2）原式．
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式，弦化切公式，考查了计算能力，属于容易题．
18．（10分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象．求函数y＝g（x）（x∈[﹣2，1]）的值域．
【分析】（1）直接利用函数的图象求出函数的关系式；、
（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数g（x）的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）根据函数的图象：函数的最小正周期T＝16，
故ω，
由于函数的最大值为2，
所以A＝2，
当x＝﹣2时，，由于0＜φ＜π，
所以φ；
故f（x）＝2．
（2）对于函数f（x）＝2的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象；
由于x∈[﹣2，1]，
所以，
故，
故．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的解析式的求法，函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
19．（10分）已知函数f（x）（a∈R）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；
（3）若对于任意实数t，不等式f（t2﹣kt）+f（1﹣t）≤0恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）根据函数是奇函数，由f（0）＝0，可得a的值；
（2）用定义法进行证明，可得函数f（x）在 R上是减函数；
（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式f（t2﹣kt）+f（1﹣t）≤0进行化简求值，可得k的范围．
【解答】解：（1）由函数是奇函数，可得：f（0）＝0，
即：，a＝1，
当a＝1时，，此时，
即f（x）是奇函数，
综上，a＝1．
（2）函数f（x）为单调递减函数，证明如下，
由（1）得：，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则，
∵x1＜x2，
∴，即：，
∴f（x1）＞f（x2），即f（x）在 R上是减函数；
（3）∵f（x）是奇函数，
∴不等式f（t2﹣kt）+f（1﹣t）≤0恒成立等价为f（t2﹣kt）≤﹣f（1﹣t）＝f（t﹣1）恒成立，
∵f（x）在 R上是减函数，
∴t2﹣kt≥t﹣1，即t2﹣（k+1）t+1≥0恒成立，
设g（t）＝t2﹣（k+1）t+1，可得当Δ≤0时，g（t）≥0恒成立，
可得（k+1）2﹣4≤0，解得﹣3≤k≤1，
故k的取值范围为[﹣3，1]．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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