2022-2023学年河南省郑州第四高级中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省郑州第四高级中学高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）命题“∀x∈R，x2＞1﹣2x”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2＜1﹣2xB．∀x∈R，x2≤1﹣2x
C．∃x∈R，x2≤1﹣2xD．∃x∈R，x2＜1﹣2x
2．（5分）函数的定义域为（ ）
A．[0，2]B．[1，2]
C．[0，1）∪（1，2]D．（0，1）∪（1，2）
3．（5分）下列命题为假命题的是（ ）
A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c
B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd＞0
C．若a＞b＞0，则a2＞ab
D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
4．（5分）已知角α终边上一点P（﹣1，2），则cs（π﹣α）＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知，b＝，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
6．（5分）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知α∈（0，π），β∈（0，π），，，则α+β＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．若Ta＝25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要（ ）（参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04）
A．9分钟B．10分钟C．11分钟D．12分钟
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）当x∈（0，1）时，幂函数y＝xa的图像在直线y＝x的上方，则a的值可能为（ ）
A．B．﹣2C．D．3
（多选）10．（5分）已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）11．（5分）已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且y＝f（x+1）为偶函数．当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣alg2（2x+2），下列结论正确的是（ ）
A．a＝﹣1
B．
C．f（3）＝0
D．f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2023）＝1
（多选）12．（5分）已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f（x）的图象关于点（0，1）对称
C．函数f（x）在定义域上单调递减
D．若实数a，b满足f（a）+f（b）＞2，则a+b＞0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若扇形的圆心角为150°，半径为3，则该扇形的面积为 ．
14．（5分）已知f（ex）＝xlg5，则f（1）+f（e）＝ ．
15．（5分）已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
16．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0.，且，则ω的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x∈R|﹣5≤3x﹣2≤1}，集合B＝{x∈R|lg2（2﹣x）≤1}．
（1）求A∩B，A∪B；
（2）求（∁RB）∪A．
18．（12分）已知m+2n＝2．
（1）当m＞0，n＞0时，求的最小值；
（2）当m＞﹣1，n＞0时，求的最小值．
19．（12分）设f（x）＝lga（2+x）+lga（4﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（2）＝3，求实数a的值及函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域．
20．（12分）已知．
（1）求2sin2α+cs2α的值；
（2）已知α∈（0，π），，6tan2β﹣tanβ﹣1＝0，求α+β的值．
21．（12分）函数，x∈R．
（1）把f（x）的解析式改写为f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的形式；
（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（3）把y＝f（x）图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数y＝g（x）的图象，再把函数y＝g（x）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝h（x）的图象，若函数在区间[0，m]上至少有30个零点，求m的最小值．
22．（12分）设a∈R，已知函数为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若a＜0，判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）在（2）的条件下，函数f（x）在区间[m，n]（m＜n）上的值域是[k•2m，k•2n]（k∈R），求k的取值范围．
2022-2023学年河南省郑州第四高级中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题“∀x∈R，x2＞1﹣2x”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2＜1﹣2xB．∀x∈R，x2≤1﹣2x
C．∃x∈R，x2≤1﹣2xD．∃x∈R，x2＜1﹣2x
【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果．
【解答】解：原命题的否定为∃x∈R，x2≤1﹣2x．
故选：C．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2．（5分）函数的定义域为（ ）
A．[0，2]B．[1，2]
C．[0，1）∪（1，2]D．（0，1）∪（1，2）
【分析】若函数f（x）有意义，需满足根号下非负，0次幂，底数不能为0．
【解答】解：若函数f（x）有意义，需满足x（2﹣x）≥0，且x≠1，
即0≤x≤2，且x≠1，即[0，1）∪（1，2]．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域，属于基础题．
3．（5分）下列命题为假命题的是（ ）
A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c
B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd＞0
C．若a＞b＞0，则a2＞ab
D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
【分析】对于A，结合不等式的可加性，即可求解；
对于B，结合不等式的性质，即可求解；
对于C，结合作差法，即可求解；
对于D，结合特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，若a＞b，﹣c＝﹣c，
则a﹣c＞b﹣c，故A为真命题，
对于B，若a＞b＞0，c＞d＞0，
则ac＞bd＞0，故B为真命题，
对于C，a＞b＞0，
则a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，故C为真命题，
对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，
则a﹣c＝b﹣d，故D为假命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4．（5分）已知角α终边上一点P（﹣1，2），则cs（π﹣α）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题知道了角α终边过点（﹣1，2），可以先求出此点到原点的距离，再利用定义求其余弦值，进而根据诱导公式即可求解。
【解答】解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离r,
可得csα，
故cs（π﹣α）＝﹣csα。
故选：C．
【点评】本题考查任意角三角函数的定义，知道了终边一点的坐标的定义，求解本题的关键是正确理解定义及熟练掌握两点间距离公式，属于基础题。
5．（5分）已知，b＝，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断a∈（1，2），b∈（0，1），c＝2，进而比大小．
【解答】解：因为，1＝lg33＜lg38＜lg39＝2，0＜b＝＜1，
故a∈（1，2），b∈（0，1），，
所以b＜a＜c．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
6．（5分）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先利用奇函数图象关于原点对称排除选项，再取特殊值判断即可．
【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，由f（﹣x）f（x），∴f（x）是奇函数，
图象关于原点对称，排除A，B选项，由于f（1）0，排除C选项，
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查数形结合的思想，属于基础题．
7．（5分）已知α∈（0，π），β∈（0，π），，，则α+β＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系求出sinαcsβ和csαsinβ，再求出α+β即可．
【解答】解：∵α，β∈（0，π），sin（α﹣β），，
∴sinαcsβ﹣csαsinβ，5，
∴sinαcsβ，csαsinβ，
∴sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，
且0＜β，α＜π，
∴α+β，∴α+β．
故选：D．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．若Ta＝25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要（ ）（参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04）
A．9分钟B．10分钟C．11分钟D．12分钟
【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出h的值，利用参考数据即可计算得出结果．
【解答】解：将所给数据代入，得，
即，所以
当水温从75° C 降至45° C 时，满足，
可得，即t≈10分钟．
故选：B．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）当x∈（0，1）时，幂函数y＝xa的图像在直线y＝x的上方，则a的值可能为（ ）
A．B．﹣2C．D．3
【分析】由题意，转化为当0＜x＜1时，xa＞x恒成立，解不等式即可．
【解答】解：由题意，转化为当0＜x＜1时，xa＞x恒成立，
两边取对数得algx＞lgx，
由0＜x＜1得lgx＜0，
∴a＜1，
故选：AB．
【点评】本题主要考查了幂函数的性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，得出结论．
【解答】解：∵θ∈（0，π），，
平方可得1+2sinθcsθ，∴sinθcsθ，∴θ为钝角，故AB正确；
再根据sin2θ+cs2θ＝1，可得sinθ，csθ，故tanθ，
故C错误，D正确，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且y＝f（x+1）为偶函数．当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣alg2（2x+2），下列结论正确的是（ ）
A．a＝﹣1
B．
C．f（3）＝0
D．f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2023）＝1
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，又由函数的解析式和奇函数的定义可得a的值，即可得．
【解答】解：根据题意，y＝f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）．
y＝f（x+1）为偶函数，则f（1﹣x）＝f（1+x），变形可得f（﹣x）＝f（2+x），
则有f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数y＝f（x）是周期为4的周期函数，
A项：y＝f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，则f（0）＝1﹣a＝0，∴a＝1，A错误；
则当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣lg2（2x+2），
B项：y＝f（x+1）为偶函数，则f（1﹣x）＝f（1+x），令x，即f（）＝f（），B项正确；
C项：f（3）＝f（﹣1+4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2﹣lg24）＝0，C正确；
D项：f（1）＝2﹣lg24＝0，∵f（1﹣x）＝f（1+x），令x＝1，则f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝0，f（4）＝f（0）＝0，
即f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2023）＝0，D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f（x）的图象关于点（0，1）对称
C．函数f（x）在定义域上单调递减
D．若实数a，b满足f（a）+f（b）＞2，则a+b＞0
【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用f（﹣x）+f（x）＝2可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D．
【解答】解：对于A选项，对任意的x∈R，，
所以函数的定义域为R，
又因为ln（x2+1﹣x2）+2＝2，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝2，故函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，故B正确；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为R，，
即h（﹣x）＝﹣h（x），所以函数h（x）为奇函数，当x≥0时，内层函数为增函数，外层函数y＝lnu为增函数，所以函数h（x）在[0，+∞）上为增函数，故函数h（x）在（﹣∞，0]上也为增函数，因为函数h（x）在R上连续，故函数h（x）在R上为增函数，又因为函数y＝x+1在R上为增函数，故函数f（x）在R上为增函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足f（a）+f（b）＞2，则f（a）＞2﹣f（b）＝f（﹣b），可得a＞﹣b，即a+b＞0，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了复合函数的单调性，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若扇形的圆心角为150°，半径为3，则该扇形的面积为 ．
【分析】根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果．
【解答】解：由题意扇形的半径为3，圆心角为弧度，
所以扇形的面积是32．（其中l为扇形所对应的弧长，r为半径，α为扇形所对应的圆心角）．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
14．（5分）已知f（ex）＝xlg5，则f（1）+f（e）＝ lg5 ．
【分析】分别令ex＝1和e，求出对应的x，即可得出答案．
【解答】解：f（ex）＝xlg5，
令ex＝1，则x＝0，令ex＝e，则x＝1，
∴f（1）+f（e）＝0×lg5+1×lg5＝lg5，
故答案为：lg5．
【点评】本题考查函数的值，考查运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 {m|} ．
【分析】解出p，q的范围，并设A＝{x|x∈p}、B＝{x|x∈q}，根据q是p的必要不充分条件，得出A⫋B，根据集合包含关系即可得出．
【解答】解：解x2﹣8x+15＜0可得3＜x＜5，即p：3＜x＜5，
因为m＞0，所以5m＞2m，解（x﹣2m）（x﹣5m）＜0可得2m＜x＜5m，
即q：2m＜x＜5m．
设A＝{x|x∈p}＝{x|3＜x＜5}，B＝{x|x∈q}＝{x|2m＜x＜5m，m＞0}，
因为若q是p的必要不充分条件，所以A⫋B，
所以有，且不能同时取等号，所以．
故答案为：{m|}．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
16．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0.，且，则ω的最小值为 ．
【分析】直接利用正弦型函数的性质，利用分类讨论求出ω的最小值．
【解答】解：由于函数f（x）＝sin（ωx+φ），且f（0），
所以sinφ，
故φ或φ，（k1∈Z），
由于，所以，
故函数f（x）关于（）对称，
故，所以，（k2∈Z）．
当φ时，，整理得，
故，当k2﹣2k1＝1时，ω的最小值为；
当φ时，，整理得，
故，当k2﹣2k1＝1时，ω的最小值为；
综上所述：ω的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x∈R|﹣5≤3x﹣2≤1}，集合B＝{x∈R|lg2（2﹣x）≤1}．
（1）求A∩B，A∪B；
（2）求（∁RB）∪A．
【分析】（1）由对数函数单调性解不等式得集合B，根据集合的交集、并集运算求解；
（2）根据补集运算、并集运算求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，A＝{x|﹣1≤x≤1}，
不等式lg2（2﹣x）≤1⇔0＜2﹣x≤2⇔0≤x＜2，可得B＝{x|0≤x＜2}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤1}，A∪B＝{x|﹣1≤x＜2}；
（2）由（1）知，∁RB＝{x|x＜0或x≥2}，
∴（∁RB）∪A＝{x|x≥2或x≤1}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
18．（12分）已知m+2n＝2．
（1）当m＞0，n＞0时，求的最小值；
（2）当m＞﹣1，n＞0时，求的最小值．
【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解；
【解答】解：（1）m+2n＝2，
则，
当且仅当，即m，n时，等号成立，
故的最小值为；
（2）m+2n＝2，
则m+1+2n＝3，
，
当且仅当，即m＝0，n＝1时，等号成立，
故的最小值为3．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
19．（12分）设f（x）＝lga（2+x）+lga（4﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（2）＝3，求实数a的值及函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域．
【分析】（1）根据f（2）＝3求得a，根据函数定义域的求法求得f（x）的定义域．
（2）先求得f（x）的定义域，结合二次函数的知识求得f（x）的值域．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lga（2+x）+lga（4﹣x）（a＞0，a≠1），且f（2）＝3，
所以f（2）＝lga4+lga2＝3lga2＝3，解得a＝2，
所以f（x）＝lg2（2+x）+lg2（4﹣x）的定义域需满足，
解得﹣2＜x＜4，
即函数f（x）的定义域为（﹣2，4）．
（2），
由﹣2＜x＜4，根据二次函数的性质可得0＜﹣（x﹣1）2+9≤9，
①当a＞1时，y＝lgax在（0，+∞）上递增，函数f（x）的值域为（﹣∞，2lga3]，
②当0＜a＜1时，y＝lgax在（0，+∞）上递减，函数f（x）的值域为[2lga3，+∞）．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质，考查了函数的定义域和值域，属于基础题．
20．（12分）已知．
（1）求2sin2α+cs2α的值；
（2）已知α∈（0，π），，6tan2β﹣tanβ﹣1＝0，求α+β的值．
【分析】（1）先得到2sin2α+cs2α，求解即可．
（2）先求出α+β∈（，），再利用两角和的正切公式求出tan（α+β）＝1即可．
【解答】解：∵．∴sinα＝2csα，∴tanα＝2，
（1）2sin2α+cs2α1．
（2）∵6tan2β﹣tanβ﹣1＝0，，∴tanβ，
∵α∈（0，π），tanα＝2，∴α∈（，），
∴α+β∈（，），
∵tan（α+β）1，
∴α+β．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的诱导公式，两角和的正切公式，属于中档题．
21．（12分）函数，x∈R．
（1）把f（x）的解析式改写为f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的形式；
（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（3）把y＝f（x）图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数y＝g（x）的图象，再把函数y＝g（x）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝h（x）的图象，若函数在区间[0，m]上至少有30个零点，求m的最小值．
【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得结论．
（2）由题意利用正弦函数的周期性、定义域和值域，得出结论．
（3）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得h（x）的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：（1）（sin2xcs2x）+sin2x+21＝2sin2x﹣2cs2x＝2sin（2x），
所以f（x）的解析式为；
（2）由（1）知，，
所以f（x）的最小正周期为，
因为x∈，
所以2x∈[，]，
所以当，即x＝0时，函数有最小值，最小值为，
当，即时，函数有最大值，最大值为；
（3）把y＝f（x）图象上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，
再把函数y＝g（x）图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得h（x）＝﹣2csx，
则函数y＝h（x）2csx，
令y＝0，即2csx＝0，
解得csx，
由于csx在一个周期区间[0，2π]有2个解，为x，x，
要使函数在区间[0，m]上至少有30个零点，
则只需m≥14×2π，
即实数m的最小值为．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22．（12分）设a∈R，已知函数为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若a＜0，判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）在（2）的条件下，函数f（x）在区间[m，n]（m＜n）上的值域是[k•2m，k•2n]（k∈R），求k的取值范围．
【分析】（1）直接根据奇函数定义f（﹣x）＝﹣f（x），代入解析式即可求出参数a的值；
（2）由（1）知，当a＜0时，得a＝﹣1，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性；
（3）首先根据函数单调性可得，即，令t＝2x＞0，将原问题转化为kt2+（k﹣1）t+1＝0在（0，+∞）上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可．
【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数，有f（﹣x）+f（x）＝0，
有，
有，
有，有a2＝1，得a＝±1．
①当a＝1时，，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，符合题意；
②当a＝﹣1时，，定义域为R，，符合题意．
由上知a＝﹣1或1；
（2）当a＜0时，有a＝﹣1，即f（x）定义域为R，结论为：f（x）在R上单调递增，
设R上任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，
则，
而，，，
∴，
即f（x1）＜f（x2）得证，则f（x）在R上单调递增；
（3）由m＜n知2m＜2n，由[k⋅2m，k⋅2n]（k∈R）知k⋅2m＜k⋅2n，所以k＞0，
由（2）知f（x）在R上单调递增，结合题意有
得，即m，n是的两个不同实根，
令t＝2x＞0，则kt2+（k﹣1）t+1＝0在（0，+∞）上有两个不同实根，
有可得，
故实数k的取值范围为．
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性及单调性的应用，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/7 0:15:21；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231