2022-2023学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{1，2}，则集合A∪B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）已知扇形的半径为2，圆心角为45°，则扇形的弧长是（ ）
A．45B．C．D．90
3．（5分）已知函数f（2x+1）＝lg3x，则f（9）＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
4．（5分）设a＞0，则函数y＝|x|（x﹣a）的图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）下列选项中，能使“a＞b”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．a2＞b2B．a＞|b|C．a＞b+2D．a＞b﹣2
6．（5分）方程的根所在的区间是（ ）（参考数据ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）
7．（5分）已知是定义在R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数图象的一条对称轴为，f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性，则|x1+x2|的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（π，2π）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝csxB．f（x）＝x3C．f（x）＝3xD．f（x）＝lg|x|
（多选）10．（5分）已知a，b，c∈R则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若ac2＞bc2，则a＜b
C．若a＞0，b＞0，2a+3a＝2b+4b，则a＞b
D．若a＞b＞0，则
（多选）11．（5分）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A．a＞bB．a＞dC．c＜dD．b＜c
（多选）12．（5分）已知符号函数sgn（x），则下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝sgn（x）的图象关于y轴对称
B．对任意x∈R，sgn（ex）＝1
C．对任意的x∈R，|x|＝﹣xsgn（﹣x）
D．函数y＝xsgn（﹣lnx）的值域为{y|y＜﹣1或0≤y＜1}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）命题“∃x＞0，ex＜x+1”的否定是 ．
14．（5分）已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则实数m＝ ．
15．（5分）已知角α的终边经过点P（x，2），且，则实数x＝ ．
16．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，，若f（x）﹣a+2≥0对一切x≥0成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）计算：；
（2）若，求的值．
18．（12分）已知集合A＝{x|lg5（x+1）≤1}，B＝{x|x2﹣（a+1）2x+2a（a2+1）＜0}．
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）在上的单调递增区间；
（2）若，求的值．
20．（12分）宣城市旅游资源丰富，知名景区众多，如宣州区的敬亭山风景区、绩溪县的龙川景区、旌德县的江村景区、宁国市的青龙湾景区、广德市的太极洞景区、郎溪县的观天下景区、泾县的查济景区等等．近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业将迎来复苏．某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客x万人，则需另投入成本R（x）万元，且R（x）．游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元．
（1）求2023年该项目的利润W（x）（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润＝收入﹣成本）；
（2）当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
21．（12分）如图，矩形ABCD中，，点M，N分别在线段AB，CD（含端点）上，P为AD的中点，PM⊥PN，设∠APM＝α．
（1）求角α的取值范围；
（2）求出△PMN的周长l关于角α的函数解析式f（α），并求△PMN的周长l的最小值及此时α的值．
22．（12分）已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y﹣2）成立，且f（1）＝0．
（1）求f（0）的值和f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（|ax﹣2|）﹣3k|ax﹣2|+2k＝0（a＞1）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
2022-2023学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{1，2}，则集合A∪B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}
【分析】直接利用并集的定义运算．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，
则集合A∪B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：D．
2．（5分）已知扇形的半径为2，圆心角为45°，则扇形的弧长是（ ）
A．45B．C．D．90
【分析】由弧长公式求解即可．
【解答】解：因为圆心角的弧度数为，
所以扇形的弧长是．
故选：C．
3．（5分）已知函数f（2x+1）＝lg3x，则f（9）＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】取x＝3结合对数和指数的运算求解即可．
【解答】解：取x＝3得出f（23+1）＝f（9）＝lg33＝1．
故选：C．
4．（5分）设a＞0，则函数y＝|x|（x﹣a）的图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】确定分段函数的解析式，与x轴的交点坐标为（a，0），（0，0），及对称性即可得到结论．
【解答】解：函数y＝|x|（x﹣a）
∵a＞0，
当x≥0，函数y＝x（x﹣a）的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为（0，0），（a，0）
当x＜0时，图象为y＝﹣x（x﹣a）的图象为开口先向下的抛物线的一部分
故选：B．
5．（5分）下列选项中，能使“a＞b”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．a2＞b2B．a＞|b|C．a＞b+2D．a＞b﹣2
【分析】欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个a＞b能推出的选项，但不能推出a＞b，对选项逐一分析即可．
【解答】解：对于A，a＝1＞b＝﹣2不能推出a2＞b2，故选项A不是a＞b的必要条件，不满足题意，故A不正确；
对于B，a＝1＞b＝﹣2不能推出 a＞|b|，故选项B不是a＞b的必要条件，不满足题意，故B不正确；
对于C，a＝1＞b＝﹣1不能推出a＞b+2，故选项C不是a＞b的必要条件，不满足题意，故C不正确；
对于D，a＞b能推出a＞b﹣2，但a＞b﹣2不能推出a＞b，a＞b﹣2是a＞b的一个必要不充分条件，满足题意，D选项正确．
故选：D．
6．（5分）方程的根所在的区间是（ ）（参考数据ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，4）
【分析】由可得x+lnx﹣e＝0，利用零点存在定理可得出结论．
【解答】解：对于方程，有x＞0，可得x+lnx﹣e＝0，
令f（x）＝x+lnx﹣e，其中x＞0，
因为函数y＝x﹣e、y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
因为f（1）＝1﹣e＜0，f（2）＝2+ln2﹣e＜0，f（e）＝1＞0，
由零点存在定理可知，函数f（x）的零点在区间（2，e）内．
故选：B．
7．（5分）已知是定义在R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合分段函数的性质及一次函数，对数函数单调性可求．
【解答】解：要使函数在R上为减函数，
需满足，解得．
故选：D．
8．（5分）已知函数图象的一条对称轴为，f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性，则|x1+x2|的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据辅助角公式得出，即可根据对称轴列式得出a的值，即可得出，根据已知得出（x1，f（x1））与（x2，f（x2））关于对称中心对称，即可列式得出，即可得出答案．
【解答】解：，其中，
函数f（x）图象的一条对称轴为，
则，解得：a＝2，
则，，即，
故，
∵f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性，
∴（x1，f（x1））与（x2，f（x2））关于对称中心对称，
∴，解得，
则k＝0时，．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（π，2π）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝csxB．f（x）＝x3C．f（x）＝3xD．f（x）＝lg|x|
【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性检验各选项即可判断．
【解答】解：函数f（x）＝csx是偶函数，在（π，2π）上单调递增，A选项正确；
函数f（x）＝x3是奇函数，B选项错误；
函数f（x）＝3x非奇非偶，C选项错误；
函数f（x）＝lg|x|是偶函数，在（π，2π）上单调递增，D选项正确；
故选：AD．
（多选）10．（5分）已知a，b，c∈R则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若ac2＞bc2，则a＜b
C．若a＞0，b＞0，2a+3a＝2b+4b，则a＞b
D．若a＞b＞0，则
【分析】利用不等式的性质判断ABD，构造函数f（x）＝2x+3x，利用函数f（x）的单调性判断C．
【解答】解：对于A，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴0，即，故A正确；
对于B，若ac2＞bc2，则c2＞0，∴a＞b，故B错误；
对于C，设f（x）＝2x+3x，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵2a+3a＝2b+4b，2b+4b＞2b+3b，
∴2a+3a＞2b+3b，即f（a）＞f（b），
∴a＞b，故C正确；
对于D，∵a＞b＞0，∴0，∴ab，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A．a＞bB．a＞dC．c＜dD．b＜c
【分析】利用指数函数、对数函数的性质确定各数的范围，再进行比较即可．
【解答】解：因为，
所以a＞b＞1；
因为5lg43＝lg4243，3＝lg464＜lg4243＜lg4256＝4，3＜5lg43＜4，
所以；
因为5lg54＝lg51024，4＝lg5625＜lg51024＜lg53125＝5，4＜5lg54＜5，
所以；
所以．
故选：ABC．
（多选）12．（5分）已知符号函数sgn（x），则下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝sgn（x）的图象关于y轴对称
B．对任意x∈R，sgn（ex）＝1
C．对任意的x∈R，|x|＝﹣xsgn（﹣x）
D．函数y＝xsgn（﹣lnx）的值域为{y|y＜﹣1或0≤y＜1}
【分析】举反例判断A；
由ex＞0判断B；
讨论x＜0、x＝0、x＞0三种情况，确定y＝﹣xsgn（﹣x）的解析式，从而判断C；
由﹣lnx的范围得出其值域．
【解答】解：对于A，若y＝sgn（x）的图象关于y轴对称，则y＝sgn（x）为偶函数，应该满足
Sgn（﹣1）＝sgn（1），但sgn（﹣1）＝﹣1，sgn（1）＝1，即sgn（﹣1）≠sgn（1），故A错误；
对于B，因为ex＞0，所以对任意x∈R，sgn（ex）＝1，故B正确；
对于C，当x＜0时，sgn（﹣1）＝1；当x＝0时，sgn（﹣x）＝0；
当x＞0时，sgn（﹣x）＝﹣1，即⇒﹣xsgn（﹣x）＝|x|，故C正确；
对于D，当x∈（0，1）时，﹣lnx＞0，y＝xsgn（﹣lnx）＝x∈（0，1）；
当x＝1时，﹣lnx＝0，y＝xsgn（﹣lnx）＝0；
当x∈（1，+∞）时，﹣lnx＜0，y＝xsgn（﹣lnx）＝﹣x∈（﹣∞，﹣1），
即函数y＝xsgn（﹣lnx）的值域为{y|y＜﹣1或0≤y＜1}，故D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）命题“∃x＞0，ex＜x+1”的否定是 ∀x＞0，ex≥x+1 ．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x＞0，ex＜x+1”的否定是：∀x＞0，ex≥x+1．
故答案为：∀x＞0，ex≥x+1．
14．（5分）已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则实数m＝ ﹣1或3 ．
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
【解答】解：函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，
则有，解得m＝3或m＝﹣1．
故答案为：﹣1或3．
15．（5分）已知角α的终边经过点P（x，2），且，则实数x＝ ．
【分析】由三角函数的定义得出x．
【解答】解：由三角函数的定义可得，则x＜0，
整理得9x2＝64，解得．
故答案为：．
16．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，，若f（x）﹣a+2≥0对一切x≥0成立，则实数a的取值范围是 [，2] ．
【分析】由奇函数的定义和性质，求得x＞0时，f（x）的解析式，结合不等式恒成立思想和运用基本不等式求得最值，即可得到所求取值范围．
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x＝0时，f（0）＝0；
当x＜0时，，
当x＞0时，﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣4x3a+5）＝4x3a﹣5，
当x＝0时，f（x）﹣a+2≥0，即2﹣a≥0，解得a≤2；
当x＞0时，f（x）﹣a+2≥0，即4x2a﹣3≥0恒成立，
因为4x24，当且仅当x时取得等号，
所以4+2a﹣3≥0，解得a，
所以a≤2，即a的取值范围是[，2]．
故答案为：[，2]．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）计算：；
（2）若，求的值．
【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果；
首先对化简求出tanα，再将利用齐次式分子分母同时除以csα，将tanα的值代入即可求得．
【解答】解：（1）原式；
（2）因为，所以，
则．
18．（12分）已知集合A＝{x|lg5（x+1）≤1}，B＝{x|x2﹣（a+1）2x+2a（a2+1）＜0}．
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由对数的运算性质及对数函数的性质计算出集合A，再将a＝2代入集合B中，解出集合B，再由并集的定义即可求得A∪B．
（2）由（1）求得集合A，再对集合B化简，由题意知A∩B＝∅，则对集合B中的a分类讨论即可求得满足条件的实数a的取值范围．
【解答】解：（1）若a＝2，
则B＝{x|x2﹣9x+20＜0}＝{x|4＜x＜5}，A＝{x|﹣1＜x≤4}，
则A∪B＝{x|﹣1＜x＜5}；
（2）B＝{x|（x﹣2a）[x﹣（a2+1）]＜0}＝{x|2a＜x＜a2+1}，
当B＝∅时，2a＝a2+1，即a＝1，A∩B＝∅，符合题意；
当B≠∅时，即a≠1，若A∩B＝∅，则2a≥4或a2+1≤﹣1，即a≥2，
综上，实数a的取值范围为{a|a＝1或a≥2}．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）在上的单调递增区间；
（2）若，求的值．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数f（x）在上的单调递增区间；
（2）由已知可得出，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值．
【解答】（1）解：由题意得，
因为，所以，
令，解得，
令，解得，
所以函数f（x）在上的单调递增区间为和；
（2）解：由（1）知．

．
20．（12分）宣城市旅游资源丰富，知名景区众多，如宣州区的敬亭山风景区、绩溪县的龙川景区、旌德县的江村景区、宁国市的青龙湾景区、广德市的太极洞景区、郎溪县的观天下景区、泾县的查济景区等等．近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业将迎来复苏．某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客x万人，则需另投入成本R（x）万元，且R（x）．游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元．
（1）求2023年该项目的利润W（x）（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润＝收入﹣成本）；
（2）当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可；
（2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可．
【解答】解：（1）该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入10x万元，共60x万元收入，
利润即，
故2023年该项目的利润W（x）（万元）关于人数x（万人）的函数关系式为；
（2）当0＜x≤5时，W（x）max＝W（5）＝﹣25，
当5＜x≤20时，二次函数开口向下，对称轴为x＝20，故W（x）max＝W（20）＝200，
当x＞20时，，当且仅当，即x＝30时等号成立，
，
综上，游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元．
21．（12分）如图，矩形ABCD中，，点M，N分别在线段AB，CD（含端点）上，P为AD的中点，PM⊥PN，设∠APM＝α．
（1）求角α的取值范围；
（2）求出△PMN的周长l关于角α的函数解析式f（α），并求△PMN的周长l的最小值及此时α的值．
【分析】（1）由题意得当点M位于点B时，角α取最大值，此时，当点N位于点C时，由对称性得∠DPN取最大值，此时角α取最小值，即可得出答案；
（2）由题意得|PM|，利用勾股定理表示出|MN|，|PN|，可得△PMN的周长l关于角α的函数解析式f（α），利用换元法，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得当点M位于点B时，角α取最大值，此时，
∵，∴，
当点N位于点C时，由对称性得∠DPN取最大值，此时角α取最小值，且最小值为，
故角α的取值范围为；
（2）在Rt△PAM中，|PM|，
在Rt△PDN中，，且|PD|＝1，
∴，
在Rt△PMN中，由勾股定理得，
由（1）得，则sinα＞0，csα＞0，
∴|MN|，
∴，
令t＝sinα+csαsin（α），
∵，∴t∈[，]，
又，
∴，且g（t）在上单调递减，
当时，，
此时，即，
综上所述，当时，△PMN的周长l取得最小值，最小值为．
22．（12分）已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y﹣2）成立，且f（1）＝0．
（1）求f（0）的值和f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（|ax﹣2|）﹣3k|ax﹣2|+2k＝0（a＞1）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【分析】（1）在已知等式中分别取x＝1、y＝0求解f（0），即可求得函数解析式；
（2）令t＝|ax﹣2|（a＞1），则由f（|ax﹣2|）﹣3k|ax﹣2|+2k＝0，得t2﹣（3k+2）t+2k+1＝0，令g（t）＝t2﹣（3k+2）t+2k+1，问题转化为一元二次方程根的分布与系数间的关系求解．
【解答】解：（1）在f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y﹣2）中，令x＝1，y＝0，得f（1）﹣f（0）＝﹣1，
又f（1）＝0，得f（0）＝1，
再令y＝0，则f（x）﹣f（0）＝x（x﹣2），得f（x）＝x2﹣2x+1；
（2）令t＝|ax﹣2|（a＞1），其图象如图，
则由f（|ax﹣2|）﹣3k|ax﹣2|+2k＝0，得t2﹣（3k+2）t+2k+1＝0，
记该方程的根为t1，t2，则当0＜t1＜2＜t2或0＜t1＜2，t2＝2或0＜t1＜2，t2＝0时，
原方程有三个不同的实数解，
令g（t）＝t2﹣（3k+2）t+2k+1，
则或或，
解得或或，
∴实数k的取值范围为或．
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