安徽省宣城市2022-2023学年高一下学期期末调研测试数学试卷

这是一份安徽省宣城市2022-2023学年高一下学期期末调研测试数学试卷，共9页。试卷主要包含了考试结束时，务必将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

宣城市2022—2023学年度第二学期期末调研测试
高一数学试题
考生注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域。
3.考生作答时，请将答案答在答题卷上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.考试结束时，务必将答题卡交回.
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.某单位有职工500人，青年职工300人，中年职工150人，老年职工50人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样从中抽取样本，若抽出的中年职工为15人，则抽出的老年职工的人数为
A.5 B.15 C.30 D.50
2.已知，点E为平行四边形ABCD对自线BD上一点，且DE=2BE，则
A. B. C. D.
3.小明同学统计了他最近10次的数学考试成绩，得到的数据分别为92，85，87，91，95，90，88，83，98，96.则这组数据的60%分位数是
A.92 B.91.5 C.91 D.90
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则C=
A. B.或 C.或 D.或
5.盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚"两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
343 432 314 134 234 132 243 331 112 324
342 241 244 342 124 431 233 214 344 434
由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为
A. B. C. D.
6.《九章算术》作为古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.今有圆亭，上下底面圆直径分别为18寸，30寸，圆亭母线长为10寸(取)，则该圆亭的表面积和体积分别约为
A.1368平方寸3528立方寸 B.1638平方寸4410立方寸
C.1638平方寸3528立方寸 D.1368平方寸4410立方寸
7.已知△ABC是边长为a的等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE并延长到点M，使得DE=2EM，连接DF并延长到点N，使得DF=FN，则的值为
A. B. C. D.
8.已知矩形ABCD，AB=2，AD=1，将△ABD沿BD折起到△A'BD.若点A'在平面BCD上的射影落在△BCD的内部(不包括边界)，则四面体A'-BCD的体积的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9.若复数，，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是
A.在复平面内对应的点位于第一象限，在复平面内对应的点位于第四象限
B.记的共轭复数为，，则
C.若，则
D.若，在复平面内对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则
10.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是
A.取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件
B.至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件
C.事件A=“两个球同色”，则P(A)=
D.事件B=“至少有一个红球”，则P(B)=
11.已知△ABC的内角A，B，C所的对边分别为a，b，c，其中，，，下列四个命题中正确的是
A.△ABC是钝角三角形 B.△ABC面积为
C.△ABC外接圆面积为 D.若D为AB中点，则
12.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点Р为线段D1F上的动点，则

A.两条异面直线D1C和BC1所成的角为60° B.不存在点P，使得C1G/平面BEP
C.对任意点Р，平面FCC1上平面BEP D.点B1到直线D1F的距离为4
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.若复数l+2i是关于x的方程()的一个根，则__________.
14.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为3，现样本加人新数据3，5，7，则此时方差s2=_________.
15.在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且PA=4则.三棱锥P-ABC的外接球表面积为_________.
16.已知□ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，M是AB的中点，P为线段DC上的动点，则的取值范围是__________；延长DC至D'，使DC=CD'，若T为线段CD'上的动点，且恒成立.则的最大值为_________.(第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.)
17、已知平面向量，满足，，且.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)若，求实数入的值.
18.甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场时，该队获胜，比赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.4，且各场比赛结果相互独立.
(1)求前2场比赛，甲至少嬴得一场的概率；
(2)当双方总比分为2：2时，求甲获胜的概率.
19.某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在50分以上(包括50，满分100分)共有100人，分成[50，60)，[60，70)，[70.80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数(中位数精确到0.1)；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任取3人，求此3人分数都在[60，70)的概率.
20.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，BD1∥平面MAC.

(1)证明：M是DD1的中点；
(2)若正四棱柱的外接球的体积是，求该正四棱柱的表面积.
(第20题图)
21.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且∥.且满足.
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC周长的取值范围.
22.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD上平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为2的等边三角形.
(1)若AB=，求直线AB和CD所成角的余弦值；
(2)若点E在棱AD上，AE=AD且三棱锥A-BCD的体积为4，求二面角E-BC-D平面角大小的正弦值.







宣城市2022—2023学年度第二学期期末调研测试
高一数学参考答案
一、单选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
B
D
C
C
B
D
二、多选题
题号
9
10
11
12
答案
BC
ACD
ABD
ACD
三、填空题
13.4；14.2.9；15.；16.[-2，2]，(第一空2分，第二空3分)
四、解答题
17.(1)解：由平方得，
因为，，所以，
所以在方方向上的投影向量为

(2)解：因为，所以，
化简得，
所以，
解得................................…………(10分)
18.(1)解：设前2场比赛，甲至少赢一场为事件A
P(A)=0.8×0.8+0.8×(1-0.8)×2=0.96
或者P(A)=1-(1-0.8)×(1-0.8)=0.96.................................4分)
(2)解：当双方总比分为2：2时，设甲获胜为事件B
甲获胜的比分可以是4：2或者4：3
若是4：2，甲连赢两场，则甲获胜概率为：0.8×0.4=0.32
若是4：3，第五场和第六场，甲乙各赢一次，第七场甲赢了，
则甲获胜概率为：0.8×0.6×0.8+0.2×0.4×0.8=0.448
所以，当双方总比分为2：2时，甲获胜的概率P(B)=0.32＋0.448=0.768…………………...…(12分)
19.(1)解：由(a+0.02＋0.035＋0.025+a）×10=1，解得a=0.01.
这次数学竞赛成绩的平均数为55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.1=75.5.
前2组的频率和为0.1+0.2=0.3，前3组的频率和为0.1+0.2+0.35=0.65，
所以中位数为.…....…(6分)
(2)解：分层抽样抽取的6人中，[50，60)的有人，记为1，2.
[60，70)的有6-2=4人，记为3，4，5，6，
从6人中任取3人，基本事件有：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20种，其中3人分数都在[60，70)的有345，346，356，456共4种，
所以从6人中任取3人，分数都在[60，70)的概率为……………….(12分)
20.(1)证明：连接BD，交AC于N，连接MN.
因为BD1∥面MAC，BD1面BDD1，且面MAC∩面BDD1=MN，
根据线面平行的性质定理得，BD1∥MN
在正四棱柱中，四边形ABCD是正方形，所以N是BD的中点，
所以M是DD1的中点.…..........................(6分)
(2)解：设AB=x(x>0)，正四棱柱的外接球的半径为r(r>0)

因为正四棱柱的外接球的体积.
解得，
所以，解得x=1或x=–1(舍)，
即AB=1，所以正四棱柱的表面积为S表=12×2+2×1x4=10.........(12分)
21.(1)解：由∥可得，
即，
由正弦定理得.
故，整理得到，
因为C是△ABC的内角，所以，，
因为，所以.……............(5分)
(2)因为且，，
所以，.
所以
，
因为△ABC为锐角三角形，所以且，
所以，，
，即，
故△ABC周长的取值范围为.…….…….…….…….……(12分)
22.(1)证明：分别取BC、AC的中点M、N，连接OM，ON，MN，

因为О为BD中点，所以MO∥CD，MN∥AB且MO=CD，MN=AB，
所以异面直线AB和CD所成角(或为邻补角)即为∠OMN，
因为AB=AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，
因为△OCD是边长为2的等边三角形，
所以BO=DO=2，MN=AB=，MO=CD=1，
又因为平面ABD⊥平面BCD，AO⊥BD得AO上面BCD，
所以AO⊥OC，OC=OD，得△AOC≌△AOD，得AC=AD=AB=.
在直角三角形△AOC中，
则ON=AC=，
在△MON中，根据余弦定理得，

或
所以直线AB和CD所成角的余弦值为.…….…….…….…….…….…….…….……(4分)
(2)解：过点E作EN∥AO交BD于N.

过点N作NM∥CD交BC于点M，连接ME，
因为EN∥AO且由(1)知AO上平面BCD，
所以EN⊥平面BCD，因为BC平面BCD，
所以EN⊥BC
在△BCD中，因为OB=OD=OC，所以BC⊥CD，
因为NM∥CD，所以MN⊥BC，所以BC⊥平面MNE
所以BC⊥ME，
所以∠EMN为所求的二面角E-BC-D的平面角，
因为，
因为，
所以，
又因为AE=AD，EN∥AO，所以，得，
因为NM∥CD，所以，
因为CD=2，所以MN=.
又，所以MN=EN.
所以，
所以.