2022-2023学年安徽省皖南十校高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省皖南十校高一（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{1，3，5，7}，，则A∩B＝（ ）
A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}
2．（5分）函数的定义域为（ ）
A．[0，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．[0，+∞）
3．（5分）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα+csα的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知α∈R，则“csα”是“α＝2kπ，k∈Z”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，且为偶函数，则实数m＝（ ）
A．2或﹣1B．﹣1C．4D．2
6．（5分）设，b＝lg23，，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c
7．（5分）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步．假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（ ）
A．2032B．2035C．2038D．2040
8．（5分）已知函数f（x），若关于x的方程f（x）＝a有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，0）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
（多选）10．（5分）命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
（多选）11．（5分）若函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1）的图象经过第一、二、三象限，则（ ）
A．0＜ab＜1B．0＜ba＜1C．ab＞1D．ba＞1
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）半径和圆心角都是的扇形的面积为 ．
14．（5分）已知函数的零点为a，则a∈（n，n+1）（n∈N），则n＝ ．
15．（5分）若1（a＞0，b＞0），则2a+b的最小值为 ．
16．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝x3+2x（x≥0），若f（1﹣m）≥f（m），则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|1≤2x+1≤8}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，a∈R．
（1）若1∈B，求实数a取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知，α是第三象限角，求：
（1）tanα的值；
（2）的值．
19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数．
20．（12分）已知函数f（x）＝lga（1+bx）﹣lga（1﹣x）（a＞0且a≠1，b＞0）为奇函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
21．（12分）2022年是不平凡的一年，由于受疫情的影响，各行各业都受到很大冲击，为了减少疫情带来的损失，某书商准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（10﹣0.1x）万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价﹣供货价格．
（1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．
22．（12分）已知e是自然对数的底数，．
（1）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性并证明你的判断是正确的；
（2）记g（x）＝ln{（3﹣a）[f（x）﹣e﹣x]+1}﹣ln3a﹣2x，若g（x）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
2022-2023学年安徽省皖南十校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{1，3，5，7}，，则A∩B＝（ ）
A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}
【分析】求出集合B，再利用交集定义给求出A∩B．
【解答】解：∵{x|2＜x≤5}，A＝{1，3，5，7}，
∴A∩B＝{3，5}．
故选：B．
2．（5分）函数的定义域为（ ）
A．[0，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．[0，+∞）
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解对数不等式得答案．
【解答】解：要使原函数有意义，则，即0＜1﹣x≤1，
解得0≤x＜1，
∴函数的定义域为[0，1）．
故选：A．
3．（5分）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα+csα的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据任意角的三角函数的定义求得sinα和csα的值，即可求得sinα+csα的值．
【解答】解：由题意可得x＝4、y＝﹣3、r＝5，∴sinα，csα，
∴sinα+csα，
故选：A．
4．（5分）已知α∈R，则“csα”是“α＝2kπ，k∈Z”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】先根据三角方程的解法求出满足方程csα的α，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【解答】解：由csα，解得，
“α＝2kπ，k∈Z”可以推出“csα”，满足必要性，
“csα”不能推出“α＝2kπ，k∈Z”，不满足充分性，
所以“csα”是“α＝2kπ，k∈Z”的必要不充分条件．
故选：B．
5．（5分）已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，且为偶函数，则实数m＝（ ）
A．2或﹣1B．﹣1C．4D．2
【分析】由幂函数的定义及奇偶性可解得m的值．
【解答】解：因为函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，
所以m2﹣m﹣1＝1，所以m＝2或m＝﹣1，
m＝2时，f（x）＝x﹣2，是偶函数，
m＝﹣1时，f（x）＝x，是奇函数，
又因为函数f（x）为偶函数，所以m＝2，
故选：D．
6．（5分）设，b＝lg23，，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c
【分析】由已知结合对数函数的单调性确定b，c的大小，即可比较函数值的大小．
【解答】解：因为，b＝lg23＞1，0，
所以c＜a＜b．
故选：C．
7．（5分）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步．假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（ ）
A．2032B．2035C．2038D．2040
【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案．
【解答】解：设2022年我国GDP（国内生产总值）为a，
在2022年以后，每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n年以后的GDP（国内生产总值）为a（1+8%）n，
由题意，经过n年以后的GDP（国内生产总值）实现翻两番的目标，
则a（1+8%）n＝4a，
lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，
则，
故到2040年GDP基本实现翻两番的目标．
故选：D．
8．（5分）已知函数f（x），若关于x的方程f（x）＝a有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，0）
【分析】画出f（x）的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如下，
由图可知，当﹣1＜a＜0时，直线y＝a与f（x）的图象仅有一个交点，
即关于x的方程f（x）＝a有且仅有一个实数根，
所以﹣1＜a＜0．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【分析】先写出角2θ的范围，再除以2，从而求出θ角的范围，看出是第几象限角．
【解答】解：由已知得2kπ2θ＜2kπ，所以kπθ＜kπ，即θ在第二或第四象限．
故选：BD．
（多选）10．（5分）命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【分析】由题意可知，￢p：∀x∈R，x2+bx+1＞0为真命题，则Δ＜0，求出b的取值范围即可．
【解答】解：若命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，
则￢p：∀x∈R，x2+bx+1＞0为真命题，
所以Δ＝b2﹣4＜0，解得﹣2＜b＜2，
所以实数b的值可能是，，
故选：AB．
（多选）11．（5分）若函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1）的图象经过第一、二、三象限，则（ ）
A．0＜ab＜1B．0＜ba＜1C．ab＞1D．ba＞1
【分析】利用指数函数的图象判断a，b的取值范围即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1）的图象经过第一、二、三象限，
则根据指数函数的图象可知，a＞1，当x＝0时，0＜y＜1，
即0＜1﹣b＜1，解得0＜b＜1，
由指数函数的性质可知1＜ab＜a，0＜ba＜b＜1．
故选：BC．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，则称函数f（x）是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断．
【解答】解：对于A，，
由于，所以f（x）≠﹣1，所以|f（x）|∈[0，+∞），
故不存在正数M，使得|f（x）|≤M成立，故A错误，
对于B，令u＝1﹣x2，则u∈[0，1]，，所以f（x）∈[0，1]，故存在正数1，使得|f（x）|≤1成立，故B正确，
对于C，令u＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，则，易得u≥1．所以，即f（x）∈（0，5]，故存在正数5，使得|f（x）|≤5成立，故C正确，
对于D，令，则t∈[0，2]，|x|＝4﹣t2，
则，易得，
所以，故存在正数，使得成立，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）半径和圆心角都是的扇形的面积为 ．
【分析】根据扇形的弧长公式先求出弧长，然后利用扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：扇形的弧长l，
则扇形的面积SlR．
故答案为：．
14．（5分）已知函数的零点为a，则a∈（n，n+1）（n∈N），则n＝ 2 ．
【分析】根据函数的单调性及零点存在性定理即可求得．
【解答】解：∵函数在（0，+∞）上单调递增，
又∵，
∴a∈（2，3），即n＝2；
故答案为：2．
15．（5分）若1（a＞0，b＞0），则2a+b的最小值为 3+2 ．
【分析】由a＞0，b＞0，1可得2a+b＝（2a+b）（）＝3，进一步即可利用基本不等式求出2a+b的最小值．
【解答】解：由a＞0，b＞0，1，得2a+b＝（2a+b）（）＝33+23+2，
当且仅当，即a，b1时等号成立，
所以2a+b的最小值为3+2．
故答案为：3+2．
16．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝x3+2x（x≥0），若f（1﹣m）≥f（m），则实数m的取值范围是 {m|m} ．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：因为x≥0时，f（x）＝x3+2x单调递增，
根据偶函数的对称性可知，当x＜0时，f（x）单调递减，
若f（1﹣m）≥f（m），则|1﹣m|≥|m|，
两边同时平方得m2﹣2m+1≥m2，
解得m，
故答案为：{m|m}．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|1≤2x+1≤8}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，a∈R．
（1）若1∈B，求实数a取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）直接利用集合间的关系求出参数a的取值范围；
（2）利用集合间的关系和充分条件和必要条件的应用求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）若1∈B，则﹣a（1﹣a）＜0，得0＜a＜1．
（2）由1≤2x+1≤8，得0≤x+1≤3，即﹣1≤x≤2，
所以A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝{x|a＜x＜a+1}，
若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B是A的真子集，
即解得﹣1≤a≤1，
经检验，当﹣1≤a≤1时均有B⫋A．
即实数a的取值范围是[﹣1，1]．
18．（12分）已知，α是第三象限角，求：
（1）tanα的值；
（2）的值．
【分析】（1）利用正余弦的平方关系求出sinα的值，由此即可求出tanα；（2）利用诱导公式化简即可求解．
【解答】解：（1）因为cs，α是第三象限角，
则sin，
所以tan；
（2）原式．
19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数．
【分析】（1）由图可知f（﹣2）＝0，解得m，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，求出当x＞0时，函数f（x）的解析式/
（2）作出函数f（x）的图象，得f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，问题可转化为y＝a与函数f（x）的图象交点的个数，结合图像可得答案．
【解答】解：（1）由图可知f（﹣2）＝（﹣2）2+m（﹣2）＝0，解得m＝2，
设x＞0，则﹣x＜0，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，
∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），
∴f（x）＝x2﹣2x（x＞0），
∴f（x）．
（2）作出函数f（x）的图象如图所示：
易知f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
方程f（x）﹣a＝0的根的个数等价于y＝a与函数f（x）的图象交点的个数，
由图可知，当a＜﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为0，
当a＞0或a＝﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为2，
当﹣1＜a＜0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为4，
当a＝0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为3．
20．（12分）已知函数f（x）＝lga（1+bx）﹣lga（1﹣x）（a＞0且a≠1，b＞0）为奇函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（x）+f（﹣x）＝0，变形整理可得（1﹣b2）x2＝0，可得b的值，即可得函数的解析式，由此分析可得答案，
（2）根据题意，分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，求出f（x）＞0的解集，综合两种情况即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）为奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0，
即lga（1+bx）﹣lga（1﹣x）+lga（1﹣bx）﹣lga（1+x）＝0，
化简，得，
整理，得（1﹣b2）x2＝0．
上式对定义域内任意的x均成立，必有1﹣b2＝0．
又b＞0，则b＝1．
此时f（x）＝lga（1+x）﹣lga（1﹣x）．
由得﹣1＜x＜1．
故当b＝1时，f（x）为奇函数，且定义域为（﹣1，1）．
（2）由（1）得，x∈（﹣1，1），
易得f（0）＝lga1＝0．
当0＜a＜1时，f（x）＞0，即．
∵﹣1＜x＜1，∴1﹣x＞0，∴1+x＜1﹣x，
解得﹣1＜x＜0；
当a＞1时，f（x）＞0，即，则．
∵﹣1＜x＜1，∴1﹣x＞0，∴1+x＞1﹣x，
解得0＜x＜1．
综上，当0＜a＜1时，f（x）＞0的解集为（﹣1，0）；当a＞1时，f（x）＞0的解集为（0，1）．
21．（12分）2022年是不平凡的一年，由于受疫情的影响，各行各业都受到很大冲击，为了减少疫情带来的损失，某书商准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（10﹣0.1x）万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价﹣供货价格．
（1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）由题意得，求解可得x的取值范围，y＝x﹣（20）＝x20，令x＝80，即可得出答案；
（2）由（1）得y＝x20＝﹣[（100﹣x）]+80，利用基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，解得0＜x＜100，即x∈（0，100），
y＝x﹣（20）＝x20，
∴当x＝80时，y＝80﹣5﹣20＝55（元），此时销售量为10﹣0.1×80＝2（万套），
∴书商能获得的总利润是2×55﹣110万元，
故每套丛书利润y与售价x的函数关系为y＝x20，x∈（0，100），且每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是110万元；
（2）由（1）得y＝x20＝﹣[（100﹣x）]+80，x∈（0，100），
∵x∈（0，100），即100﹣x＞0，
∴（100﹣x）≥220，当且仅当100﹣x，即x＝90时等号成立，
∴y＝﹣[（100﹣x）]+80≤﹣20+80＝60，
故每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大．且最大利润为60元．
22．（12分）已知e是自然对数的底数，．
（1）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性并证明你的判断是正确的；
（2）记g（x）＝ln{（3﹣a）[f（x）﹣e﹣x]+1}﹣ln3a﹣2x，若g（x）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，可证f（x1）﹣f（x2）＝（）（1）＜0，从而f（x1）＜f（x2），由此能判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性．
（2）将g（x）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，转化为ln[（3﹣a）ex+1]≤ln3a+2x恒成立，即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
∴f（x1）﹣f（x2）＝（）﹣（）＝（）+（）＝（）（1），
∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，∴，
∴，，10，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增．
（2）g（x）＝ln[（3﹣a）ex+1]﹣ln3a﹣2x，
问题即为ln[（3﹣a）ex+1]≤ln3a+2x恒成立，由题意a＞0，
首先（3﹣a）ex+1＞0即任意x∈[0，+∞）成立，即，
∵x∈[0，+∞），则33≤4，∴0＜a≤3，
其次，ln[（3﹣a）ex+1]≤ln3a+2x，即为（3﹣a）ex+1≤3ae2x，
即3ae2x+（a﹣3）ex﹣1≥0成立，亦即（3ex+1）（aex﹣1）≥0成立，
∵3ex+1＞0，∴aex﹣1≥0对于任意x∈[0，+∞）成立，
即a≥（）max，∴a≥1．
综上，实数a的取值范围是[1，3]．
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